5.5 单位反馈控制系统的稳态误差尽管引入反馈增加了成本和系统的复杂性，但之所以采用反馈控制系统的一个基本原因就是在降低系统的稳态误差方面得到了改善。对于稳定的闭环系统，其稳态误差要比开环系统的稳态误差小几个数量级。
图 5.18 闭环控制系统系统的作用信号为,它是系统误差的度量。而系统的实际误差为 。)(sEa
系统的稳态误差为
)(1
)(lim)(lim
0 sG
ssRete
ssst?
对于单位反馈系统,确定系统在三种标准测试输入信号下的稳态误差 。
一）阶跃输入对于幅值为 A的阶跃输入，系统的稳态误差为
)0(1)(1
)/(lim
0 G
A
sG
sAse
sss?
即决定系统稳态误差的是开环传递函数 。 开环传递函数的一般形式可写为
Q
k
k
N
M
i
i
pss
zsK
sG
1
1
)(
)(
)(
当 s 趋于零时，开环传递函数取决于积分个数 N 。 如果 N大于零，则 G(0)趋于无穷大，而稳定误差趋于零。积分个数 N常常表示系统的型数。
对 0型系统，即 N=0时，系统的稳态误差为常数 G(0)称为 位置误差常数,记为
)(lim 0 sGK sp
对于幅值为 A的阶跃输入,稳态跟踪误差为
p
ss
K
A
e
1
而对于系统具有一个或多个积分，即 N〉 =1,有
0
)/(
li m
)/(1
li m
0
0
ki
N
N
s
k
N
i
s
ss
pzKs
As
pszK
A
e
二） 斜坡输入对于斜率为的斜波（速度）输入，其稳态误差为
)(
lim
)(
lim
)(1
)/(lim
00
2
0 ssG
A
ssGs
A
sG
sAse
sssss
对 0型系统，即 N=0时，系统的稳态误差为无穷大。
Q
k
k
N
M
i
i
pss
zsK
sG
1
1
)(
)(
)(
对 1型系统，即 N=1时，系统的稳态误差为
ki
ss
pzK
A
e
/
记 为 速度误差常数,它为
vK
)(lim
0
ssGK
sv?
当传递函数具有两个或更多的积分。
三）加速度输入当速度输入为 时，稳态误差为2/)( 2Attr?
)(
l i m
)(1
)/(l i m
20
3
0 sGs
A
sG
sAse
ssss
对于 N=0和 N=1型的系统，稳态误差无穷大。 对于具有两个积分的系统,即 N=2,稳态误差为
aki
ss K
A
pzK
A
e?
/
用 表示 加速度误差常数,为
aK
)(li m 2
0
sGsK
sa?
当积分个数等于或大于 3时，系统的稳态误差为零。
例,移动机器人转向控制残疾人可以利用移动机器人作为辅助装置或仆人。这类机器人的转向控制系统可用图 5.19所示的方块图来描述。
转向控制器 为)(
1 sG sKKsG /)(
211
图 5.19 移动机器人转向控制系统的方块图
02?K 11 )( KsG? 时，系统在阶跃输入下的稳态误差为,
p
ss
K
A
e
1
1KKK p?
其中
02?K,为 1型系统：
s
KsKsG 21
1 )(
在阶跃输入下的稳态误差为零。
如果转向命令为斜坡输入，则稳态误差为
v
ss K
Ae?
KKsGssGK sv 210 )()(l i m
5.6 非单位反馈系统的稳态误差图 5.21 非单位反馈系统图 5.22 一个速度控制系统图 5.23 图 5.22所示的等效速度控制系统，
21 KK?
考虑到图 5.21所示的控制系统。若
)1(
)( 2
s
K
sH
21 KK?
时,图 5.23所示的系统误差 为
)()](1[)()()( sRsTsYsRsE
)(1
)(
)(
1
1
sGK
sGK
sT
)(
)(1
1
)(
1
sR
sGK
sE
其中于是系统在单位阶跃输入下的稳态误差为
)0(1
1
)(lim
1
0 GK
ssEe
sss?
例,稳态误差对于图 5.21所示的系统，试确定适当的,并计算在单位阶跃输入下的稳态误差,其中 1K
)5(
40)(
s
sG
)11.0()10(
20)( 2
s
K
s
sH
，
221 KK
选取
17
1
8*21
1
)0(1
1
1
GK
e ss
例,反馈系统图 5.24
实际误差为
)()](1[)( sRsTsE
试确定适当的增益,使得系统在阶跃输入下的稳态误差最小。 稳态误差为
K
s
sTse
sss
1)](1[lim
0
Kss
sK
sHsG
sGsT
2)4)(2(
)4(
)()(1
)()(
系统在单位阶跃输入下的稳态误差为
)]0(1[ Te ss
K
K
T
28
4
)0(
其中
1
28
4)0(?
K
KT 4?K
为获得零稳态误差，要求
图 5.18 闭环控制系统系统的作用信号为,它是系统误差的度量。而系统的实际误差为 。)(sEa
系统的稳态误差为
)(1
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对于单位反馈系统,确定系统在三种标准测试输入信号下的稳态误差 。
一）阶跃输入对于幅值为 A的阶跃输入，系统的稳态误差为
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即决定系统稳态误差的是开环传递函数 。 开环传递函数的一般形式可写为
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1
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)(
)(
)(
当 s 趋于零时，开环传递函数取决于积分个数 N 。 如果 N大于零，则 G(0)趋于无穷大，而稳定误差趋于零。积分个数 N常常表示系统的型数。
对 0型系统，即 N=0时，系统的稳态误差为常数 G(0)称为 位置误差常数,记为
)(lim 0 sGK sp
对于幅值为 A的阶跃输入,稳态跟踪误差为
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1
而对于系统具有一个或多个积分，即 N〉 =1,有
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二） 斜坡输入对于斜率为的斜波（速度）输入，其稳态误差为
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对 0型系统，即 N=0时，系统的稳态误差为无穷大。
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三）加速度输入当速度输入为 时，稳态误差为2/)( 2Attr?
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20
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对于 N=0和 N=1型的系统，稳态误差无穷大。 对于具有两个积分的系统,即 N=2,稳态误差为
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例,移动机器人转向控制残疾人可以利用移动机器人作为辅助装置或仆人。这类机器人的转向控制系统可用图 5.19所示的方块图来描述。
转向控制器 为)(
1 sG sKKsG /)(
211
图 5.19 移动机器人转向控制系统的方块图
02?K 11 )( KsG? 时，系统在阶跃输入下的稳态误差为,
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在阶跃输入下的稳态误差为零。
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5.6 非单位反馈系统的稳态误差图 5.21 非单位反馈系统图 5.22 一个速度控制系统图 5.23 图 5.22所示的等效速度控制系统，
21 KK?
考虑到图 5.21所示的控制系统。若
)1(
)( 2
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21 KK?
时,图 5.23所示的系统误差 为
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)(1
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例,稳态误差对于图 5.21所示的系统，试确定适当的,并计算在单位阶跃输入下的稳态误差,其中 1K
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，
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例,反馈系统图 5.24
实际误差为
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试确定适当的增益,使得系统在阶跃输入下的稳态误差最小。 稳态误差为
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