9.4 相对稳定性和 Nyquist稳定性判据在 s平面上，用每个根或每对根的相对调节时间来度量相对稳定性。
本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。 Nyquist
稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息，而且还能够用于定义和估算系统的相对稳定性。
Nyquist稳定性判据是以极坐标图上的 (-1,0)点，或者
Bode图和对数幅 -相图上的 点为基础的。 显然，
的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相对稳定性的度量。
)1 8 0-d B,0(?
)(sGH
)1)(1(
)(
21
jjj
KjGH
考虑图 9.18
该轨迹与轴的交点为
21
21
K
u
时，系统在 轴上存在特征1u
)(
21
21
K或?j
根。随 K值从该临界值下降，稳定性将随之增加，并且在临界增益 与增益 之间的裕量就是相对稳定性的度量。这种相对稳定性的度量称为增益裕量
（ gain margin）,它定义为相角达到 （即 ）时的增益 的倒数。增益裕量是 的轨迹通过点之前系统能够增加多少倍增益的度量。
2121 /)(K 2KK?
当
180? 0?v
)(?jGH )(?jGH
1u
1）通过幅值定义相对稳定性对于图 9.18所示的增益,增益裕量等于 时的倒数。由于当相角为 时，有,
所以增益裕量为
2KK?
0?v
)(?jGH?180? 21/1
d
K
jGH
1
)(
1 1
21
212
增益裕量可以用对数形式（分贝）定义为
dBlo g201lo g20 dd
增益裕量是当相位为 时，系统的 Nyquist曲线与点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最大增益量。
180?
01 j
相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳定系统之间的相角差来定义。当
2）通过相位定义相对稳定性于是，作为相对稳定性的一种度量 — 相位裕量定义为轨迹在单位幅值 点上通过平面上的 点时所转过的相角量。这种相对稳定性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量。
)(?jGH 1)(jGH )(?jGH
)0,1(?
该信息可以从图 9.18所示的 Nyquist曲线确定。当增益时，系统变成不稳定之前可以增加一个相位角
。而对于增益,相位裕量等于,如图 9.18所示。
2KK?
2? 1K
1?
相位裕量是当幅值为 1时，系统的 Nyquist曲线与点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。
01 j
3) 由 Bode图判断稳定性考察开环频率特性函数
)12.0)(1(
1)(
jjjjGH
4) 由 对数幅 -相图 图判断相对稳定性
)12.0)(1( 1)(1 jjjjGH
22 )1(
1)(
jjjGH
第一个更稳定些。
5) 确定二阶系统的增益裕量，以及相位裕量与欠阻尼系统的阻尼比 的关系。
考虑图 9.1所示的系统，其中开环传递函数为
)2()(
2
n
n
sssGH
该二阶系统的特征方程为
02 22 nn ss 21 nn js
)2()(
2
n
n
jjjGH
频率传递函数为在频率 处，频率响应的幅值等于 1，于是有
c?
1
)4( 2/1222
2
ncc
n
0)(4)( 422222 ncnc
22/14
2
2
2)14(
n
c
)]
2)14(
1
[2(t an
)]2)14[(
2
1
t an (90)
2
(t an901 8 0
2/1
22/14
1
2/122/141
n
c
pm
于是，该系统的相位裕量为提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式，
提供了频率响应和时间响应之间的关系。
pm 01.0?
，其中相位裕量的单位为度。
考察具有如下开环传递函数的系统
)12.0)(1(
1)(
jjjjGH
相位裕量为
43
43.001.0 pm
%22.,?OP
9.5 在频域中规定的时域性能判据
)(1
)()(
)(
)(
jGH
jGjT
jR
jY
1)(jH
1)(jH,令系统的输出等于 H(s)的输出
)(1
)()()( )(
jG
jGeMjT j
则频域传递函数为
jvujG)(?1) 令
2/122
2/122
])1[(
)(
1)(1
)(
vu
vu
jvu
jvu
jG
jGM
于是，闭环响应的幅值为
2
2
2
2
2
2
11?
M
M
v
M
M
u
2
2
1 M
Mu
0?v,
圆心为,半径为的 圆
)1/( 2MM?
)1)(1()( 21 jjj
KjGH
随 K值增加，极坐标图的曲线接近
(-1,0)点,
于是可以估计出闭环频率响应的幅值曲线，
2) 类似地，可以得到闭环相角为常数的圆。
u
v
u
v
jvujvujT
1
t a nt a n
)1/()()(
11
022
N
vuvut a nN,常数
2
2
2 11
4
1
2
15.0
NN
vu
3) Nichols图等 M圆和等 N圆可以在极坐标平面用于分析和设计控制系统。但是，由于绘制系统的 Bode图要比极坐标图更容易，
所以希望将等 M圆和等 N圆绘制在对数幅 -相图上。
N.B.Nichols最早将等 M圆和等 N圆绘制在对数幅 -相位图上，所以得到的图称为 Nichols图（ Nichols图）。在图 9.26的 Nichols图上，等 M和等 N圆似乎变成了曲线，
而对数幅 -相图的坐标与 8.6节采用的一样。等 M线的单位为分贝，而等 N线的单位为度。
图 9.26
例 7 利用 Nichols图估计相对稳定性
)12.0)(1(
1)(
jjjjG
考察具有如下开环传递函数的反馈系统：
在图 9.27所示的 Nichols图上，绘制了 轨迹。)(?jG
图 9.27
由图判断：
最大幅值,dB5.2?
8.0?r?
72?
带宽：
谐振频率：
闭环相角,
33.1?B?
闭环相角,?142?
Nichols图可以用于设计控制系统，在 Nichols图上，
通过改变的轨迹，便可得到希望的相位裕量和 。
于是，通过调整系统的增益，可提供合适的相位裕量和 。
pM
pM
9.6 系统带宽闭环控制系统的带宽是系统响应重现能力的极好度量。
在 Bode图上，对于低频幅值为 的系统，带宽是在幅值下降至 时的频率值。阶跃响应的速度大致与成正比，而调节时间与 成反比。于是，在系统的元件容许情况下，希望系统具有较大的带宽。
dB0
dB3? B?
B?
85.119.1/ nB
n
sT
44 )c o s (1)( tBety ntn
nr w
T
n
rT?
60.016.2
1
21
npT
21/1 eM
pt
1
1)(
1 ssT 15
1)(
2 ssT
考虑
，
这两个系统的频率响应如图 9.29(a)所示，系统的阶跃响应如图 9.29(b)所示，而斜坡响应如图 9.29 (c)所示。
具有较大带宽的系统能够提供较快的阶跃响应和较高的斜坡响应重现能力。
1 0 010
1 0 0)(
23 sssT
90030
900)(
24 sssT
考虑
，
5.0两个系统阻尼比相同均为,两个闭环系统的频率响应如图 9.30(a)所示。两系统的自然频率分别为
10和 30。带宽分别为 15和 40。两者的超调量都为,
但系统 的峰值时间为 秒，而系统 的峰值时间为秒，如图 9.30(b)所示。系统 的调节时间为
0.37秒，而系统 的调节时间为 秒。因此，具有较大带宽的系统能够提供较快的响应。
%15
12.0
36.0
4T 3T
4T
3T
9.0
9.7 时延系统的稳定性 （ 略 ）
9.8 频域中的 PID控制器
PID控制器的传递函数为
sKsKKsG c 321)(
s
ssK
s
s
K
Ks
K
KK
sG c
)1)(1()1(
)(
22
12
2
3
2
通常，当有一个或二个极点 (或可以用一个二阶对象近似 )
时,PID控制器对减少稳态误差和改善瞬态响应特别有用。
当 和 时，上式的 Bode图如图 9.37所示。
PID控制器是一种具有可变增益的陷波型（或带阻型）
校正器。
22?K 10
j
jK
jG nnc
])/()/2(1[
)(
2
2
具有复零点的 PID控制器为
7.09.0
其中
9.9 设计实例：遥控侦察车期望的速度 由无线电传送给侦察车，扰动 表示路面的凹凸不平。 目标 是实现良好的控制效果，即使系统对阶跃输入命令 的稳态误差和超调量都很低。
)(sR )(sD
)(sR
1）考察系统对阶跃输入的稳态误差：
2/1
1
)(1
1
l i m
]
)(1
)(
[l i m
)(l i m
0
0
0
KsGG
sGG
sR
s
ssEe
cs
cs
s
ss
20?K,稳态误差为 10%
2）开环传递函数为
)4/2/1)(1(
)2/1(10
)(
2sss
s
sG
表 9.4 该设计实例的频率响应数据
0 1.2 1.6 2.0 2.8 4 6
DB 20 18.4 17.8 16.0 10.5 2.7 -5.2
度 0 -6.5 -86 -108 -142 -161 -170
由 Nichols图可知，
为,
相位裕量为,
超调量为 61%。
pM dB12
15
为了降低阶跃响应的超调量，可以减少增益来实现预期的超调量。若要求将超调量限制在 25%以下，则主导根的阻尼比选为 0.4,。35.1?
pM
为了减少增益，可以在图 9.35所示的 Nichols图上将频率响应曲线垂直向下移动。
在 处，正好与 的闭环曲线相切。增益的减少量（垂直下降量）等于 13dB或 4.5倍。于是
。此时，阶跃输入下的稳态误差为
8.21 dB6.2
44.45.4/20K
31.0
)2/4.41(
1?
sse
此时，超调量为 。%32
221 nr 12 )212(|)(| rp GM
将 时的响应向下移至,便可得到时的频率响应曲线，超调量为,而稳态误差为 。
20?K dB62l o g20?
10?K %48
%17
作为适当的折衷，选取 K=10.
由 K=10时的 Nichols图可知，最大幅值为 和相位裕量为 。于是，所估计主导根的阻尼比为,
超调量为 。实际响应性能如表 9.5所示。系统的带宽为 。 于是预计的调节时间（ 2%基准）为
dB7pM
26 34.0
%30
5?B?
3.3
)4.1/)(34.0(
44
Bn
sT
85.119.1/ nB
秒实际的调节时间约为 5.4秒，如图 9.36所示。
图 9.36
设 R(s)=0,并运用终值定理，可求出单位阶跃扰动的稳态响应为
KssGG
sGsy
c
s 24
11
)(1
)(lim)(
0?
于是单位扰动减少了 倍。对于,有或稳态扰动降低到扰动幅值的 。因此，采用得到的结果是比较合理的。
)24( K? 10?K 24/1)(y
%4 10?K
本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。 Nyquist
稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息，而且还能够用于定义和估算系统的相对稳定性。
Nyquist稳定性判据是以极坐标图上的 (-1,0)点，或者
Bode图和对数幅 -相图上的 点为基础的。 显然，
的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相对稳定性的度量。
)1 8 0-d B,0(?
)(sGH
)1)(1(
)(
21
jjj
KjGH
考虑图 9.18
该轨迹与轴的交点为
21
21
K
u
时，系统在 轴上存在特征1u
)(
21
21
K或?j
根。随 K值从该临界值下降，稳定性将随之增加，并且在临界增益 与增益 之间的裕量就是相对稳定性的度量。这种相对稳定性的度量称为增益裕量
（ gain margin）,它定义为相角达到 （即 ）时的增益 的倒数。增益裕量是 的轨迹通过点之前系统能够增加多少倍增益的度量。
2121 /)(K 2KK?
当
180? 0?v
)(?jGH )(?jGH
1u
1）通过幅值定义相对稳定性对于图 9.18所示的增益,增益裕量等于 时的倒数。由于当相角为 时，有,
所以增益裕量为
2KK?
0?v
)(?jGH?180? 21/1
d
K
jGH
1
)(
1 1
21
212
增益裕量可以用对数形式（分贝）定义为
dBlo g201lo g20 dd
增益裕量是当相位为 时，系统的 Nyquist曲线与点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最大增益量。
180?
01 j
相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳定系统之间的相角差来定义。当
2）通过相位定义相对稳定性于是，作为相对稳定性的一种度量 — 相位裕量定义为轨迹在单位幅值 点上通过平面上的 点时所转过的相角量。这种相对稳定性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量。
)(?jGH 1)(jGH )(?jGH
)0,1(?
该信息可以从图 9.18所示的 Nyquist曲线确定。当增益时，系统变成不稳定之前可以增加一个相位角
。而对于增益,相位裕量等于,如图 9.18所示。
2KK?
2? 1K
1?
相位裕量是当幅值为 1时，系统的 Nyquist曲线与点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。
01 j
3) 由 Bode图判断稳定性考察开环频率特性函数
)12.0)(1(
1)(
jjjjGH
4) 由 对数幅 -相图 图判断相对稳定性
)12.0)(1( 1)(1 jjjjGH
22 )1(
1)(
jjjGH
第一个更稳定些。
5) 确定二阶系统的增益裕量，以及相位裕量与欠阻尼系统的阻尼比 的关系。
考虑图 9.1所示的系统，其中开环传递函数为
)2()(
2
n
n
sssGH
该二阶系统的特征方程为
02 22 nn ss 21 nn js
)2()(
2
n
n
jjjGH
频率传递函数为在频率 处，频率响应的幅值等于 1，于是有
c?
1
)4( 2/1222
2
ncc
n
0)(4)( 422222 ncnc
22/14
2
2
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c
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2)14(
1
[2(t an
)]2)14[(
2
1
t an (90)
2
(t an901 8 0
2/1
22/14
1
2/122/141
n
c
pm
于是，该系统的相位裕量为提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式，
提供了频率响应和时间响应之间的关系。
pm 01.0?
，其中相位裕量的单位为度。
考察具有如下开环传递函数的系统
)12.0)(1(
1)(
jjjjGH
相位裕量为
43
43.001.0 pm
%22.,?OP
9.5 在频域中规定的时域性能判据
)(1
)()(
)(
)(
jGH
jGjT
jR
jY
1)(jH
1)(jH,令系统的输出等于 H(s)的输出
)(1
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jG
jGeMjT j
则频域传递函数为
jvujG)(?1) 令
2/122
2/122
])1[(
)(
1)(1
)(
vu
vu
jvu
jvu
jG
jGM
于是，闭环响应的幅值为
2
2
2
2
2
2
11?
M
M
v
M
M
u
2
2
1 M
Mu
0?v,
圆心为,半径为的 圆
)1/( 2MM?
)1)(1()( 21 jjj
KjGH
随 K值增加，极坐标图的曲线接近
(-1,0)点,
于是可以估计出闭环频率响应的幅值曲线，
2) 类似地，可以得到闭环相角为常数的圆。
u
v
u
v
jvujvujT
1
t a nt a n
)1/()()(
11
022
N
vuvut a nN,常数
2
2
2 11
4
1
2
15.0
NN
vu
3) Nichols图等 M圆和等 N圆可以在极坐标平面用于分析和设计控制系统。但是，由于绘制系统的 Bode图要比极坐标图更容易，
所以希望将等 M圆和等 N圆绘制在对数幅 -相图上。
N.B.Nichols最早将等 M圆和等 N圆绘制在对数幅 -相位图上，所以得到的图称为 Nichols图（ Nichols图）。在图 9.26的 Nichols图上，等 M和等 N圆似乎变成了曲线，
而对数幅 -相图的坐标与 8.6节采用的一样。等 M线的单位为分贝，而等 N线的单位为度。
图 9.26
例 7 利用 Nichols图估计相对稳定性
)12.0)(1(
1)(
jjjjG
考察具有如下开环传递函数的反馈系统：
在图 9.27所示的 Nichols图上，绘制了 轨迹。)(?jG
图 9.27
由图判断：
最大幅值,dB5.2?
8.0?r?
72?
带宽：
谐振频率：
闭环相角,
33.1?B?
闭环相角,?142?
Nichols图可以用于设计控制系统，在 Nichols图上，
通过改变的轨迹，便可得到希望的相位裕量和 。
于是，通过调整系统的增益，可提供合适的相位裕量和 。
pM
pM
9.6 系统带宽闭环控制系统的带宽是系统响应重现能力的极好度量。
在 Bode图上，对于低频幅值为 的系统，带宽是在幅值下降至 时的频率值。阶跃响应的速度大致与成正比，而调节时间与 成反比。于是，在系统的元件容许情况下，希望系统具有较大的带宽。
dB0
dB3? B?
B?
85.119.1/ nB
n
sT
44 )c o s (1)( tBety ntn
nr w
T
n
rT?
60.016.2
1
21
npT
21/1 eM
pt
1
1)(
1 ssT 15
1)(
2 ssT
考虑
，
这两个系统的频率响应如图 9.29(a)所示，系统的阶跃响应如图 9.29(b)所示，而斜坡响应如图 9.29 (c)所示。
具有较大带宽的系统能够提供较快的阶跃响应和较高的斜坡响应重现能力。
1 0 010
1 0 0)(
23 sssT
90030
900)(
24 sssT
考虑
，
5.0两个系统阻尼比相同均为,两个闭环系统的频率响应如图 9.30(a)所示。两系统的自然频率分别为
10和 30。带宽分别为 15和 40。两者的超调量都为,
但系统 的峰值时间为 秒，而系统 的峰值时间为秒，如图 9.30(b)所示。系统 的调节时间为
0.37秒，而系统 的调节时间为 秒。因此，具有较大带宽的系统能够提供较快的响应。
%15
12.0
36.0
4T 3T
4T
3T
9.0
9.7 时延系统的稳定性 （ 略 ）
9.8 频域中的 PID控制器
PID控制器的传递函数为
sKsKKsG c 321)(
s
ssK
s
s
K
Ks
K
KK
sG c
)1)(1()1(
)(
22
12
2
3
2
通常，当有一个或二个极点 (或可以用一个二阶对象近似 )
时,PID控制器对减少稳态误差和改善瞬态响应特别有用。
当 和 时，上式的 Bode图如图 9.37所示。
PID控制器是一种具有可变增益的陷波型（或带阻型）
校正器。
22?K 10
j
jK
jG nnc
])/()/2(1[
)(
2
2
具有复零点的 PID控制器为
7.09.0
其中
9.9 设计实例：遥控侦察车期望的速度 由无线电传送给侦察车，扰动 表示路面的凹凸不平。 目标 是实现良好的控制效果，即使系统对阶跃输入命令 的稳态误差和超调量都很低。
)(sR )(sD
)(sR
1）考察系统对阶跃输入的稳态误差：
2/1
1
)(1
1
l i m
]
)(1
)(
[l i m
)(l i m
0
0
0
KsGG
sGG
sR
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ssEe
cs
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20?K,稳态误差为 10%
2）开环传递函数为
)4/2/1)(1(
)2/1(10
)(
2sss
s
sG
表 9.4 该设计实例的频率响应数据
0 1.2 1.6 2.0 2.8 4 6
DB 20 18.4 17.8 16.0 10.5 2.7 -5.2
度 0 -6.5 -86 -108 -142 -161 -170
由 Nichols图可知，
为,
相位裕量为,
超调量为 61%。
pM dB12
15
为了降低阶跃响应的超调量，可以减少增益来实现预期的超调量。若要求将超调量限制在 25%以下，则主导根的阻尼比选为 0.4,。35.1?
pM
为了减少增益，可以在图 9.35所示的 Nichols图上将频率响应曲线垂直向下移动。
在 处，正好与 的闭环曲线相切。增益的减少量（垂直下降量）等于 13dB或 4.5倍。于是
。此时，阶跃输入下的稳态误差为
8.21 dB6.2
44.45.4/20K
31.0
)2/4.41(
1?
sse
此时，超调量为 。%32
221 nr 12 )212(|)(| rp GM
将 时的响应向下移至,便可得到时的频率响应曲线，超调量为,而稳态误差为 。
20?K dB62l o g20?
10?K %48
%17
作为适当的折衷，选取 K=10.
由 K=10时的 Nichols图可知，最大幅值为 和相位裕量为 。于是，所估计主导根的阻尼比为,
超调量为 。实际响应性能如表 9.5所示。系统的带宽为 。 于是预计的调节时间（ 2%基准）为
dB7pM
26 34.0
%30
5?B?
3.3
)4.1/)(34.0(
44
Bn
sT
85.119.1/ nB
秒实际的调节时间约为 5.4秒，如图 9.36所示。
图 9.36
设 R(s)=0,并运用终值定理，可求出单位阶跃扰动的稳态响应为
KssGG
sGsy
c
s 24
11
)(1
)(lim)(
0?
于是单位扰动减少了 倍。对于,有或稳态扰动降低到扰动幅值的 。因此，采用得到的结果是比较合理的。
)24( K? 10?K 24/1)(y
%4 10?K
