1
第十章 正弦交流电路的频率响应及谐振
2
第十章 正弦交流电路的频率响应及谐振
§ 10.1 频率响应的概念
§ 10.2 RC电路的频率响应
§ 10.3 正弦交流电路的串联谐振
§ 10.4 正弦交流电路的并联谐振
3
§ 10-1 网络的频率特性概念,网络的频率特性是研究正弦交流电路中电压、
电流随频率变化的关系（即频域分析）。
iU?
oU?
网络
i
O
U
U
T?
)j?（
传递函数：
4
电路的频率响应，是电路指定输入与输出的频率特性，频率响应的研究是通过正弦交流电路的网络函数来进行的。
网络函数定义,在正弦稳态条件下，响应相量与激励相量之比。
1、策动点函数响应与激励都属同一端口，
（ 1）策动点阻抗 Z0= U/I
（ 2）策动点导纳 Y0= I/U
UI
IU
/
UI
5
2、转移函数 响应和激励不在同一端口
（ 1）转移电压比 AU=
1
2
U
U
（ 2）转移电流比 Ai=
（ 3）转移阻抗 ZT=
（ 4）转移导纳 YT=
1
2
I
I
I
1
2
U
I
1
2
U
U
1
2
I
I
1
2
I
U
1
2
U
I
6
我们用 N(jω)来泛指各类函数，一般情况下 N(jω)是一个复数，可表示为：
N(jω)= ︱ N(jω)︱ ∠ θ (ω)
式中 ︱ N(jω)︱ 是网络函数的 模,等于响应幅值与激励幅值之比，是 ω 的函数 —— 幅频特性
θ (ω)是 N(jω)的辐角，等于响应与激励的 相位 差，是 ω
的函数 —— 相频特性
7
一,RC低通电路网络的传递函数：
i
o
U
U
T?
j
OU?iU?
R
C
滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。
§ 10-2 RC电路的频率响应
8
T
CR
RC
RC
C
R
C
U
U
T
i
o
1
2
t a n
1
1
j1
1
j
1
j
1
j
OU?iU
R
C
低通滤波器的传递函数
9
T
RC
RC
T 1
2
t a n
1
1
j
--- 幅频特性,输出与输入有效值之比与频率的关系。
T其中：
相频特性,输出与输入相位差与频率的关系。
---
10
90
45
相频特性
RC 1t an）（
幅频特性
21
1
RC
T
）（
低通滤波器的频率特性
1
RC
1
0
21
T
0
0?
0 ~,带宽0
：截止频率
11
分贝数定义：
i
o
i
o
P
P
U
U
lg10lg20dB
半功率点：
当 时，
2
1
i
o
U
U
2
1
i
o
P
P
dB3
2
1
lg20lg20
i
o
U
U
0
幅频特性上 时，叫 3 分贝点或半功率点 。
1
RC
1
0
2
1
T
三分贝点
12
OU?iU?
R
C
二,RC高通电路滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
高通滤波器的传递函数
CR
CR
C
R
R
U
U
T
i
o
j1
j
j
1
j
13
高通滤波器的频率特性
CR
CR
C
R
R
U
U
T
i
o
j1
j
j
1
j
幅频特性
21 RC
CR
T
）（
相频特性
RC 1t an90）（
1
RC
1
0
21
T
90
45
14
三,RC串并联网络
iU?
oU?
R
R
CXj?
CXj?iu
ou
R
C
RC
c
c
c
XR
XR
CRZ
XRCRZ
j
)j(
)(
j)(
2
1
并联串联令：
io UZZ
Z
U
21
2
则：
15
iO UZZ
Z
U
21
2
i
c
c
c
c
c
O
U
XR
XR
XR
XR
XR
U
j
)j(
)j(
j
)j(
iU
CR
CR
)
1
(j3
1
16
iO U
CR
CR
U
)
1
(j3
1
22 )1(3
1
)j(
CR
CR
T
幅频特性 )j(?T
RC
1
0
3
1
17
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
谐振串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。
谐振概念,
§ 10.3 正弦交流电路的串联谐振
18
R
XX
XXR
ZXXRZ
CL
CL
CL
122
t a n
j?
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU,同相若令：
CL XX?
0?
则：
谐振
CL XX?
串联谐振的条件是：
19
fCC
XfLLX CL
2
11 2
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
CL XX?
LC
1
0
LC
f
2
1
0?
20
串联谐振的特点
RXXRZZ CL 22m i n
CL XX?
0t a n 1
R
XX CL?U,I 同相
RXX CL
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000
当电源电压一定时：
R
U
III m a x0
UC,UL将大于电源电压 U
21
注：串联谐振也被称为 电压谐振当 时，
RXRX CL,
UUU CL
R
UI?
0
谐振时：
U
R
X
X
R
U
XIU
U
R
X
X
R
U
XIU
C
CCC
L
LLL
0
0
LU?
CU?
I?
UUR
CL XX?
、
22
品质因素 —— Q 值定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。
U
CR
U
R
X
U
U
R
L
U
R
X
U
C
C
L
L
0
0
1
谐振时,
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
在谐振状态下,若 R>XL,R>XC,Q 则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
23
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI?
0
谐振电流
:0f
谐振频率下限截止频率上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
通频带
24
关于谐振曲线的讨论
(a) 不变，
0?
0I
变化。
(c) 不变，
f? 变化。
0?
0I
不变，
0?
0I
I
(b) 不变，
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
0?
0I
I
分以下三种情况：
25
谐振曲线讨论（之一）
结论,R的变化引起 变化
R愈大 愈小（选择性差）
R愈小 愈大（选择性好）
0I
0I
0I
R小
R大不变，
0?
0I
变化。
0I
0?
I
0I?
0?
（ 1） 不变即 LC不变
LC
1
0
R
UI?
0
R改变
0I
改变
（ 2）
26
0I
分析,（ 1） 不变即 U,R不变
R
UI?
0
（ 2） 改变
0?
LC
1
0
结论,LC 的变化引起 变化
L 变小或 C 变小 变大
L 变大或 C 变大 变小
0?
0?
0?
谐振曲线讨论（之二）
01? 02?
0I
I
不变，
变化。
0?
0I
27
谐振曲线讨论（之三）
结论,Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。
Q
f
L
R
f 0
2
分析：
0I
不变,不变
0? （ LC）,R 不变，
f12 如何改变或？
可以证明：
可见 与 Q 相关。f?
不变，
f? 变化。
0I
0?
不变，
0?
0I
I
2
0I
28
串联谐振时的阻抗特性
0?
R
感性
0
22)(j CLCL XXRXXRZ
Z
L?
C?1
容性
0
29
串联谐振应用举例收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送接收电路
30
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
31
已知：
20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解：
CL
f
2
1 2
1
222
1
Lf
C
pF15010250108202
1
623
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题 （一）：
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
32
问题 （二）：
1e
信号在电路中产生的电流 有多大？在 C 上 产生的电压是多少？
V101 μE?
pF1501?C
H2 5 02 μL?
20 2LR
已知：
k Hz8 2 01?f
解答：
12902 1 fLXX CL
A5.0
2
1
R
EI V645C1 CIXU
所希望的信号被放大了 64倍。
C
2L
2LR
1e
2e
3e
33
§ 10.4 正弦交流电路的并联谐振当 时领先于 (容性 )
CL II?
I? U?
U?
I?
LI?
CI?
谐振当 时
CL II?
0?I?
LI?
U?
CI?
理想情况,纯电感和纯电容并联。
当 时落后于 (感性 )
CL II?
I? U?
CI?
U?
LI?
I?
I?
U?
LI? CI?
34
CL X
U
X
U?
C
L
0
0
1
LC
1
0 LC
f
2
1
0?
或
LI?
U?
CI?
CL II?
理想情况下并联谐振条件
I?
U?
LI?
CI?
35
C
C
L
RL
X
U
I
XR
U
I
j
j
U?
RLI?
CI?
I?
CRL III
非理想情况下的并联谐振
U?
I?
RLI?
CI?
UI,同相时则谐振
36
UC
LR
L
LR
R
UC
LR
I
2222
j
j
j
1
虚部实部则,同相I?
U?虚部 =0。谐振条件：
U?
I?
RLI?
CI?
CRL III
一、非理想情况下并联谐振条件
37
002
0
2
0
C
LR
L
由上式虚部并联谐振频率
U?
I?
RLI?
CI?
2
2
2
0 1
11 R
L
C
LCL
R
LC
得：
LC
1
0 LCf?2
1
0?
或02?R
L
C当 时
38
并联谐振的特点
I? 同相。U?,
电路的总阻抗最大。
定性分析,
I?
U?
LI?
CI?
Z
U?
LI?
CI?
理想情况下谐振时, m a x0 ZZI?
39
总阻抗：
RC
LZZ
m a x0
UC
LR
L
LR
R
I
2222
j
得：
I
RC
LU
2
2
0
1
L
R
LC
代入并联谐振电路总阻抗的大小
U?
I?
RLI?
CI?
谐振时虚部为零,即,
ULR
RI
22
什么性质?
40
并联谐振电路总阻抗：
RC
L
ZZ m a x0
0Z
0?R当 时
U? U?
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
41
m i nIZ
UI
O
外加电压一定时，
总电流最小。
I?
U? LI?
CI?
Z
OU?
SI?
m a xZZ O
OSO ZIUU m a x
外加电流为恒定电流 时，
输出电压最大。 ）（ SI?
42
并联支路中的电流可能比总电流大。
支路电流可能大于总电流
U?
RLI?
CI?
I?
电流谐振
U?
I?
RLI?
CI?
43
U?
I?
RLI?
CI?
0 CU
X
UI
C
C
0
U
L
RC
Z
UI
R
L
I
IQ C 0
IIC?
则
RL?0?
若品质因素 --Q,
Q为支路电流和总电流之比。
当 时,RL
0? CRL II?
CR
1
0?
Q
44
并联谐振特性曲线
Z
I
0? 容性感性思考,时为什么是感性？ 0
第十章 正弦交流电路的频率响应及谐振
2
第十章 正弦交流电路的频率响应及谐振
§ 10.1 频率响应的概念
§ 10.2 RC电路的频率响应
§ 10.3 正弦交流电路的串联谐振
§ 10.4 正弦交流电路的并联谐振
3
§ 10-1 网络的频率特性概念,网络的频率特性是研究正弦交流电路中电压、
电流随频率变化的关系（即频域分析）。
iU?
oU?
网络
i
O
U
U
T?
)j?（
传递函数：
4
电路的频率响应，是电路指定输入与输出的频率特性，频率响应的研究是通过正弦交流电路的网络函数来进行的。
网络函数定义,在正弦稳态条件下，响应相量与激励相量之比。
1、策动点函数响应与激励都属同一端口，
（ 1）策动点阻抗 Z0= U/I
（ 2）策动点导纳 Y0= I/U
UI
IU
/
UI
5
2、转移函数 响应和激励不在同一端口
（ 1）转移电压比 AU=
1
2
U
U
（ 2）转移电流比 Ai=
（ 3）转移阻抗 ZT=
（ 4）转移导纳 YT=
1
2
I
I
I
1
2
U
I
1
2
U
U
1
2
I
I
1
2
I
U
1
2
U
I
6
我们用 N(jω)来泛指各类函数，一般情况下 N(jω)是一个复数，可表示为：
N(jω)= ︱ N(jω)︱ ∠ θ (ω)
式中 ︱ N(jω)︱ 是网络函数的 模,等于响应幅值与激励幅值之比，是 ω 的函数 —— 幅频特性
θ (ω)是 N(jω)的辐角，等于响应与激励的 相位 差，是 ω
的函数 —— 相频特性
7
一,RC低通电路网络的传递函数：
i
o
U
U
T?
j
OU?iU?
R
C
滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。
§ 10-2 RC电路的频率响应
8
T
CR
RC
RC
C
R
C
U
U
T
i
o
1
2
t a n
1
1
j1
1
j
1
j
1
j
OU?iU
R
C
低通滤波器的传递函数
9
T
RC
RC
T 1
2
t a n
1
1
j
--- 幅频特性,输出与输入有效值之比与频率的关系。
T其中：
相频特性,输出与输入相位差与频率的关系。
---
10
90
45
相频特性
RC 1t an）（
幅频特性
21
1
RC
T
）（
低通滤波器的频率特性
1
RC
1
0
21
T
0
0?
0 ~,带宽0
：截止频率
11
分贝数定义：
i
o
i
o
P
P
U
U
lg10lg20dB
半功率点：
当 时，
2
1
i
o
U
U
2
1
i
o
P
P
dB3
2
1
lg20lg20
i
o
U
U
0
幅频特性上 时，叫 3 分贝点或半功率点 。
1
RC
1
0
2
1
T
三分贝点
12
OU?iU?
R
C
二,RC高通电路滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
高通滤波器的传递函数
CR
CR
C
R
R
U
U
T
i
o
j1
j
j
1
j
13
高通滤波器的频率特性
CR
CR
C
R
R
U
U
T
i
o
j1
j
j
1
j
幅频特性
21 RC
CR
T
）（
相频特性
RC 1t an90）（
1
RC
1
0
21
T
90
45
14
三,RC串并联网络
iU?
oU?
R
R
CXj?
CXj?iu
ou
R
C
RC
c
c
c
XR
XR
CRZ
XRCRZ
j
)j(
)(
j)(
2
1
并联串联令：
io UZZ
Z
U
21
2
则：
15
iO UZZ
Z
U
21
2
i
c
c
c
c
c
O
U
XR
XR
XR
XR
XR
U
j
)j(
)j(
j
)j(
iU
CR
CR
)
1
(j3
1
16
iO U
CR
CR
U
)
1
(j3
1
22 )1(3
1
)j(
CR
CR
T
幅频特性 )j(?T
RC
1
0
3
1
17
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
谐振串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。
谐振概念,
§ 10.3 正弦交流电路的串联谐振
18
R
XX
XXR
ZXXRZ
CL
CL
CL
122
t a n
j?
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU,同相若令：
CL XX?
0?
则：
谐振
CL XX?
串联谐振的条件是：
19
fCC
XfLLX CL
2
11 2
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
CL XX?
LC
1
0
LC
f
2
1
0?
20
串联谐振的特点
RXXRZZ CL 22m i n
CL XX?
0t a n 1
R
XX CL?U,I 同相
RXX CL
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000
当电源电压一定时：
R
U
III m a x0
UC,UL将大于电源电压 U
21
注：串联谐振也被称为 电压谐振当 时，
RXRX CL,
UUU CL
R
UI?
0
谐振时：
U
R
X
X
R
U
XIU
U
R
X
X
R
U
XIU
C
CCC
L
LLL
0
0
LU?
CU?
I?
UUR
CL XX?
、
22
品质因素 —— Q 值定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。
U
CR
U
R
X
U
U
R
L
U
R
X
U
C
C
L
L
0
0
1
谐振时,
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
在谐振状态下,若 R>XL,R>XC,Q 则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
23
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI?
0
谐振电流
:0f
谐振频率下限截止频率上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
通频带
24
关于谐振曲线的讨论
(a) 不变，
0?
0I
变化。
(c) 不变，
f? 变化。
0?
0I
不变，
0?
0I
I
(b) 不变，
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
0?
0I
I
分以下三种情况：
25
谐振曲线讨论（之一）
结论,R的变化引起 变化
R愈大 愈小（选择性差）
R愈小 愈大（选择性好）
0I
0I
0I
R小
R大不变，
0?
0I
变化。
0I
0?
I
0I?
0?
（ 1） 不变即 LC不变
LC
1
0
R
UI?
0
R改变
0I
改变
（ 2）
26
0I
分析,（ 1） 不变即 U,R不变
R
UI?
0
（ 2） 改变
0?
LC
1
0
结论,LC 的变化引起 变化
L 变小或 C 变小 变大
L 变大或 C 变大 变小
0?
0?
0?
谐振曲线讨论（之二）
01? 02?
0I
I
不变，
变化。
0?
0I
27
谐振曲线讨论（之三）
结论,Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。
Q
f
L
R
f 0
2
分析：
0I
不变,不变
0? （ LC）,R 不变，
f12 如何改变或？
可以证明：
可见 与 Q 相关。f?
不变，
f? 变化。
0I
0?
不变，
0?
0I
I
2
0I
28
串联谐振时的阻抗特性
0?
R
感性
0
22)(j CLCL XXRXXRZ
Z
L?
C?1
容性
0
29
串联谐振应用举例收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送接收电路
30
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
31
已知：
20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解：
CL
f
2
1 2
1
222
1
Lf
C
pF15010250108202
1
623
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题 （一）：
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
32
问题 （二）：
1e
信号在电路中产生的电流 有多大？在 C 上 产生的电压是多少？
V101 μE?
pF1501?C
H2 5 02 μL?
20 2LR
已知：
k Hz8 2 01?f
解答：
12902 1 fLXX CL
A5.0
2
1
R
EI V645C1 CIXU
所希望的信号被放大了 64倍。
C
2L
2LR
1e
2e
3e
33
§ 10.4 正弦交流电路的并联谐振当 时领先于 (容性 )
CL II?
I? U?
U?
I?
LI?
CI?
谐振当 时
CL II?
0?I?
LI?
U?
CI?
理想情况,纯电感和纯电容并联。
当 时落后于 (感性 )
CL II?
I? U?
CI?
U?
LI?
I?
I?
U?
LI? CI?
34
CL X
U
X
U?
C
L
0
0
1
LC
1
0 LC
f
2
1
0?
或
LI?
U?
CI?
CL II?
理想情况下并联谐振条件
I?
U?
LI?
CI?
35
C
C
L
RL
X
U
I
XR
U
I
j
j
U?
RLI?
CI?
I?
CRL III
非理想情况下的并联谐振
U?
I?
RLI?
CI?
UI,同相时则谐振
36
UC
LR
L
LR
R
UC
LR
I
2222
j
j
j
1
虚部实部则,同相I?
U?虚部 =0。谐振条件：
U?
I?
RLI?
CI?
CRL III
一、非理想情况下并联谐振条件
37
002
0
2
0
C
LR
L
由上式虚部并联谐振频率
U?
I?
RLI?
CI?
2
2
2
0 1
11 R
L
C
LCL
R
LC
得：
LC
1
0 LCf?2
1
0?
或02?R
L
C当 时
38
并联谐振的特点
I? 同相。U?,
电路的总阻抗最大。
定性分析,
I?
U?
LI?
CI?
Z
U?
LI?
CI?
理想情况下谐振时, m a x0 ZZI?
39
总阻抗：
RC
LZZ
m a x0
UC
LR
L
LR
R
I
2222
j
得：
I
RC
LU
2
2
0
1
L
R
LC
代入并联谐振电路总阻抗的大小
U?
I?
RLI?
CI?
谐振时虚部为零,即,
ULR
RI
22
什么性质?
40
并联谐振电路总阻抗：
RC
L
ZZ m a x0
0Z
0?R当 时
U? U?
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
41
m i nIZ
UI
O
外加电压一定时，
总电流最小。
I?
U? LI?
CI?
Z
OU?
SI?
m a xZZ O
OSO ZIUU m a x
外加电流为恒定电流 时，
输出电压最大。 ）（ SI?
42
并联支路中的电流可能比总电流大。
支路电流可能大于总电流
U?
RLI?
CI?
I?
电流谐振
U?
I?
RLI?
CI?
43
U?
I?
RLI?
CI?
0 CU
X
UI
C
C
0
U
L
RC
Z
UI
R
L
I
IQ C 0
IIC?
则
RL?0?
若品质因素 --Q,
Q为支路电流和总电流之比。
当 时,RL
0? CRL II?
CR
1
0?
Q
44
并联谐振特性曲线
Z
I
0? 容性感性思考,时为什么是感性？ 0
