第八章 含 互感电路的分析第八章 互感与理想变压器第八章 含 互感电路的分析第八章 互感与理想变压器
8.1 耦合电感元件
8.2 含耦合电感正弦交流电路的分析
8.3 空心变压器分析
8.4 耦合电感的去耦等效电路分析
8.5 理想变压器第八章 含 互感电路的分析
8.1 耦合电感元件
8.1.1 耦合电感的基本概念图 8.1-1耦合电感元件第八章 含 互感电路的分析
21221
12112
N
N
2
12
12
1
21
21
i
M
i
M
2112 MM?
21 LLM?
第八章 含 互感电路的分析
φ12≤φ22,φ21≤φ11,所以
21
2
222
1
111
1
212
2
121
1
21
2
12
2112
2
LL
i
N
i
N
i
N
i
N
ii
MMM
21 LLM?
21 LLkM?
21 LL
Mk?
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-2 耦合系数 k与线圈相互位置的关系第八章 含 互感电路的分析
8.1.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系图 8.1-3 磁通相助的耦合电感第八章 含 互感电路的分析
12221222
21112111
MiiL
MiiL
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-4 磁通相消的耦合电感第八章 含 互感电路的分析
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
12
2
2
2
21
1
1
1
21222
12111
当电流分别从两线圈各自的某端同时流入 (或流出 )时,若两者产生的磁通相助,则这两端称为两互感线圈的同名端,
用标志,·”或,*” 表示 。
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-5 互感线圈的同名端
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-6 磁通相消情况互感线圈
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-7 互感线圈同名端的测定第八章 含 互感电路的分析例 8.1-1 图 8.1-8(a)所示电路,已知 R1=10Ω,L1=5H,
L2=2H,M=1H,i1(t)波形如图 8.1-8(b)所示 。 试求电流源两端电压 uac(t)及开路电压 ude(t)。
图 8.1-8 例 8.1-1用图第八章 含 互感电路的分析解 由于第 2个线圈开路，其电流为零，所以 R2上电压为零,L2上自感电压为零,L2上仅有电流 i1在其上产生的互感电压。这一电压也就是 d,e开路时的电压。根据 i1的参考方向及同名端位置，可知
dt
tdiMtu
de
)()( 1?
dt
tdiLtu
bc
)()( 1
1?
dt
tdiLtiRtututu
bcabac
)()()()()( 1
111
第八章 含 互感电路的分析在 0≤t≤1 s时
Atti 10)(1? (由给出的 i1(t)波形写出 )
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
de
bcabac
bc
ab
10
)10(
1)(
501 0 0)()()(
50)10(5)(
1 0 01010)()(
1
1
1
11
第八章 含 互感电路的分析在 1≤t≤2s时
Atti 2010)(1
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
dc
bcabac
bc
ab
10
)2010(
1)(
150100)()()(
50)2010(5)(
200100)2010(10)()(
1
1
1
11
第八章 含 互感电路的分析在 t≥2s时
0)(1?ti
0,0,0,0 deacbcab uuuu
0
150100
50100
)( Vt
Vt
tu ac
0
10
10
)( V
V
tu
de
其余
st
st
21
10
其余
st
st
21
10
第八章 含 互感电路的分析例 8.1-2 图 8.1-9所示互感线圈模型电路,同名端位置及各线圈电压,电流的参考方向均标示在图上,试列写出该互感线圈的电压,电流关系式 (指微分关系 )。
图 8.1-9 例 8.1-2用图第八章 含 互感电路的分析解
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
第八章 含 互感电路的分析
§ 8-2 含耦合电感的正弦交流电路的分析一、基本分析分析含耦合电感的正弦交流电路，可以将耦合电感看作是两条支路，每条支路均由两个元件组成。一个元件是本线圈的自感抗，体现线圈的自感电压，一个元件是受控电压源，体现线圈中的互感电压。控制量是产生这个互感电压的另一个线圈的电流的相量，控制系数为互感。
图 8.2-1
第八章 含 互感电路的分析
8.2.1 耦合电感的串联等效图 8.2-2 互感线圈顺接串联二、举例说明含耦合电感的正弦交流电路的分析第八章 含 互感电路的分析用耦合电感的含受控源等效电路代替原耦合电感后的电路为
∴L=L 1+L2+2M
IMLLj
IMjILjIMjILjU
)2( 21
21
第八章 含 互感电路的分析
8.2-2 图 8.2-3(a)为互感线圈的并联,其中 a,c端为同名端,求端子 1,2间的等效电感 Leq 。
图 8.2-3互感线圈并联第八章 含 互感电路的分析解应用互感 T型去耦等效,将 (a)图等效为 (b)图 (要特别注意等效端子,将 (a),(b)图中相应的端子都标上 )。 应用无互感的电感串,并联关系,由 (b)图可得
MLL
MLL
MLL
MLML
M
MLMLML eq
22
))((
)//()(
21
2
21
21
21
21
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
第八章 含 互感电路的分析
8.3 空心变压器分析
8.3.1 空心变压器电路图 8.3-1 空心变压器电路在电工技术中，常需要用变压器作为能量传输器件或信号转换器，变压器一般由两个或两个以上有磁耦合的线圈组成。
接电源 —— 初级（原边）线圈接负载 —— 次级（副边）线圈第八章 含 互感电路的分析由 KVL得
0)( 12
222
21
111
dt
di
M
dt
di
LiRR
u
dt
di
M
dt
di
LiR
L
s
0)(
)(
2221
2111
ILjRRIMj
UIMjILjR
L
s
0222121
212111
IZIZ
UIZIZ s
第八章 含 互感电路的分析
22
221121122211
21
1
22
21
2
22
2211
22
21122211
22
2221
1211
22
12
1
0
MZZ
UMj
ZZZZ
UZ
I
Z
Z
I
MZZ
UZ
ZZZZ
UZ
ZZ
ZZ
Z
ZU
I
ss
ss
s
22
2211
22
1 ))((
)(
MLjRRLjR
ULjRRI
L
sL
22
2211
2 ))(( MLjRRLjR
UMjI
L
s
第八章 含 互感电路的分析
8.3.2 空心变压器的等效电路分析
22
22
11
1
Z
M
Z
U
I s
22
22
Z
MZ
r e f
111
1
f
s
ZZ
UI
第八章 含 互感电路的分析图 8.3-2 初级等效电路第八章 含 互感电路的分析设次级回路自阻抗
222222 jXRZ
11
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
22
ff
r e f
jXR
XR
XM
j
XR
RM
jXR
M
Z
M
Z
222
22
2
22
22
1
222
22
2
22
22
1
X
XR
M
X
R
XR
M
R
f
f
第八章 含 互感电路的分析从初级端看的输入阻抗
22
22
1111
1
1
Z
MZZZ
I
UZ
r e fin
22
1
2
Z
IMj
I
应当清楚,该等效电路必须在求得了初级电流 的前提下才可应用来求电流,特别应注意的是,等效源的极性,大小及相位与耦合电感的同名端,初,次级电流参考方向有关
1I?
2I?
第八章 含 互感电路的分析图 8.3-3 次级等效电路
LZLjR
IMj
Z
IMj
I
22
1
22
1
2
第八章 含 互感电路的分析例 8.3-1 互感电路如图 8.3-4(a)所示,使用在正弦稳态电路中,图中 L1,L2和 M分别为初级,次级的电感及互感 。 将互感电路的次级 22′短路,试证明该电路初级端 11′间的等效阻抗
21
1
2
'11 )1(
LL
M
k
LkjZ
其中第八章 含 互感电路的分析图 8.3-4 例 8.3-1用图第八章 含 互感电路的分析证明 (一 ) 由图可知
222111,LjZLjZ
2
2
2
22
22
1 L
Mj
Z
MZ
f?
21
2
1
2
2
1111'11
1
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ
f
12'11 )1( LkjZ
第八章 含 互感电路的分析证明 (二 )
21
2
2
21
2
2221
2
2
1
21'11
1
2
)(
)//()(
LL
M
L
LL
L
MMLMLLL
MML
MLM
ML
MLMMLZ
1
2
'11
1
2
'11
)1(
)1(
LkjL
LkL
第八章 含 互感电路的分析例 8.3-2 图 8.3-5(a)所示互感电路,已知 R1=7.5Ω,
ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,
=15∠ 0° V。 求电流 R2上消耗的功率 P2。
1
1
C?
sU?,,21 II
图 8.3-5 例 8.3-2用图第八章 含 互感电路的分析解
5.75.75.22305.71
1
1111 jjjCjLjRZ
60602222 jLjRZ?
5.75.76060 30
2
22
22
1 jjZ
MZ
f
AjjZZ UI
f
s
015.75.75.75.7
015
111
1
AjjZ IMjI 45225.06060 0130
22
1
2
WRIP 5.760)225.0( 22222
第八章 含 互感电路的分析
8.4.1 耦合电感的 T型等效
1,同名端为共端的 T
图 8.4-1 同名端为共端的 T型去耦等效
8.4 耦合电感的去耦等效电路分析法第八章 含 互感电路的分析
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
第八章 含 互感电路的分析
2,异名端为共端的 T型去耦等效图 8.4-2 异名端为共端的 T型去耦等效第八章 含 互感电路的分析
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
第八章 含 互感电路的分析以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法,
它们适用于任何变动电压,电流情况,当然也可用于正弦稳态交流电路 。 应再次明确,无论是互感串联二端子等效还是 T型去耦多端子等效,都是对端子以外的电压,电流,
功率来说的,其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数,互感系数有关,而且还与同名端的位置有关 。
第八章 含 互感电路的分析例 8.4-1 图 8.4-3(a)为互感线圈的并联,其中 a,c端为同名端,求端子 1,2间的等效电感 Leq 。
图 8.4-3互感线圈并联第八章 含 互感电路的分析解应用互感 T型去耦等效,将 (a)图等效为 (b)图 (要特别注意等效端子,将 (a),(b)图中相应的端子都标上 )。 应用无互感的电感串,并联关系,由 (b)图可得
MLL
MLL
MLL
MLML
M
MLMLML eq
22
))((
)//()(
21
2
21
21
21
21
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
第八章 含 互感电路的分析例 8.4-2 如图 8.4-4(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈,
已知 us(t)=2cos(2t+45° ) V,L1=L2=1.5H,M=0.5 H,负载电阻
RL=1Ω。 求 RL上吸收的平均功率 PL。
图 8.4-4 含有互感的正弦稳态电路第八章 含 互感电路的分析解
A
jjjj
U
I smm
022
45
2
1
452
2)]2(1/ /[)21(
AjjIjjj jjI mLm 135202211 12121 21
WRIP LLmL 212
2
1
2
1 22
第八章 含 互感电路的分析
8.5 理 想 变 压 器
8.5.1 理想变压器的三个理想条件理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下述 3个理想条件极限演变而来的 。
条件 1：耦合系数 k=1,即全耦合 。
条件 2：自感系数 L1,L2无穷大,且 L1/L2等于常数 。
条件 3,无损耗。
第八章 含 互感电路的分析
8.5.2 理想变压器的主要性能图 8.5-1 变压器示意图及其模型第八章 含 互感电路的分析
)(
)(
212222122222
121111211111
NNN
NNN
11222122
22111211
22
11
N
N
第八章 含 互感电路的分析
1,变压关系
dt
d
N
dt
d
u
dt
d
N
dt
d
u
2
2
2
1
1
1
nNNuu
2
1
2
1
若 u1,u2参考方向的,+”极性端都分别设在同名端,
则 u1与 u2之比等于 N1与 N2之比 。
nNNuu
2
1
2
1
(8.5-2)
(8.5-1)
第八章 含 互感电路的分析在进行变压关系计算时是选用 (8.5-1)式或是选用 (8.5-2)
式决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置,与两线圈中电流参考方向如何假设无关 。
图 8.5-2 变压关系带负号情况的模型第八章 含 互感电路的分析
2,变流关系图 8.5-3 变流关系带负号第八章 含 互感电路的分析
dt
diM
dt
diLu 21
11
(8.5-3)
设电流初始值为零并对 (6.4-6)式两端作 0～ t的积分，得
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t
1
2
1
111
1
112
1
111
1
212
1
N
N
i
N
i
N
i
N
i
N
L
M
第八章 含 互感电路的分析
)()( 2
1
2
1 tiN
Nti
nN
N
ti
ti 1
)(
)(
1
2
2
1
nN
N
ti
ti 1
)(
)(
1
2
2
1
在进行变流关系计算时是选用 (8.5-4)式还是选用 (8.5-5)式取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置,与两线圈上电压参考方向如何假设无关 。
(8.5-5)
(8.5-4)
第八章 含 互感电路的分析图 8.5-4 变流关系不带负号第八章 含 互感电路的分析
0
))()((
1
)()(
)()()()()(
1111
2211
tnitu
n
titu
titutitutp
理想变压器不消耗能量,也不贮存能量,所以它是不耗能,不贮能的无记忆多端电路元件 。
第八章 含 互感电路的分析
3,变换阻抗关系图 8.5-5 推导理想变压器变换阻抗关系用图第八章 含 互感电路的分析
2
1
2
1
2
2
1
1
I
N
N
I
U
N
N
U
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
I
U
N
N
I
N
N
U
N
N
I
U
Z in
LLin ZnZN
NZ 2
2
2
1?
第八章 含 互感电路的分析理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当于初级亦开路 。
(1) 理想变压器的 3个理想条件,全耦合,参数无穷大,
无损耗 。
(2) 理想变压器的 3个主要性能：变压,变流,变阻抗 。
(3) 理想变压器的变压,变流关系适用于一切变动电压,
电流情况,即便是直流电压,电流,理想变压器也存在上述变换关系 。
(4) 理想变压器在任意时刻吸收的功率为零,这说明它是不耗能,不贮能,只起能量传输作用的电路元件 。
第八章 含 互感电路的分析例 8.5-1 图 8.5-6(a)所示正弦稳态电路,
(1) 若变比 n=2,求电流 以及 RL上消耗的平均功率 PL;
(2) 若匝比 n可调整,问 n=? 时可使 RL上获最大功率,并求出该最大功率 P L max。
图 8.5-6 例 8.5-1用图第八章 含 互感电路的分析解 (1)
1
11
11
1
1
1
1
11
11
jjCj
L
j
R
Y
Z
L
ab
ab
412 22 abin ZnZ
4inin ZR
A
RR
UI
in
s
04.0
416
08
1
1
WRIP inL 64.044.0 221
第八章 含 互感电路的分析
(2) 改变变比 n以满足最大输出功率条件
LLin RRnR 2
41161
LR
Rn
W
R
UP s
L 1164
8
4
2
1
2
m a x
第八章 含 互感电路的分析例 6.4-3 图 6.4-8电路,求 ab端等效电阻 Rab。
图 6.4-8 例 6.4-3用图第八章 含 互感电路的分析解 uuiuuuu
4
1
2,2
1,2
321
uuuiii
u
uu
uu
i
12
1
6
1
4
1
6
1
3
2
1
3
432
21
4
8.4
5
24
24
5
24
5
24
1
6
1
24
1
12
1
2
1
2
1
14
21
u
u
i
u
R
uuuiii
uuii
ab
8.1 耦合电感元件
8.2 含耦合电感正弦交流电路的分析
8.3 空心变压器分析
8.4 耦合电感的去耦等效电路分析
8.5 理想变压器第八章 含 互感电路的分析
8.1 耦合电感元件
8.1.1 耦合电感的基本概念图 8.1-1耦合电感元件第八章 含 互感电路的分析
21221
12112
N
N
2
12
12
1
21
21
i
M
i
M
2112 MM?
21 LLM?
第八章 含 互感电路的分析
φ12≤φ22,φ21≤φ11,所以
21
2
222
1
111
1
212
2
121
1
21
2
12
2112
2
LL
i
N
i
N
i
N
i
N
ii
MMM
21 LLM?
21 LLkM?
21 LL
Mk?
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-2 耦合系数 k与线圈相互位置的关系第八章 含 互感电路的分析
8.1.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系图 8.1-3 磁通相助的耦合电感第八章 含 互感电路的分析
12221222
21112111
MiiL
MiiL
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-4 磁通相消的耦合电感第八章 含 互感电路的分析
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
12
2
2
2
21
1
1
1
21222
12111
当电流分别从两线圈各自的某端同时流入 (或流出 )时,若两者产生的磁通相助,则这两端称为两互感线圈的同名端,
用标志,·”或,*” 表示 。
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-5 互感线圈的同名端
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-6 磁通相消情况互感线圈
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
第八章 含 互感电路的分析图 8.1-7 互感线圈同名端的测定第八章 含 互感电路的分析例 8.1-1 图 8.1-8(a)所示电路,已知 R1=10Ω,L1=5H,
L2=2H,M=1H,i1(t)波形如图 8.1-8(b)所示 。 试求电流源两端电压 uac(t)及开路电压 ude(t)。
图 8.1-8 例 8.1-1用图第八章 含 互感电路的分析解 由于第 2个线圈开路，其电流为零，所以 R2上电压为零,L2上自感电压为零,L2上仅有电流 i1在其上产生的互感电压。这一电压也就是 d,e开路时的电压。根据 i1的参考方向及同名端位置，可知
dt
tdiMtu
de
)()( 1?
dt
tdiLtu
bc
)()( 1
1?
dt
tdiLtiRtututu
bcabac
)()()()()( 1
111
第八章 含 互感电路的分析在 0≤t≤1 s时
Atti 10)(1? (由给出的 i1(t)波形写出 )
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
de
bcabac
bc
ab
10
)10(
1)(
501 0 0)()()(
50)10(5)(
1 0 01010)()(
1
1
1
11
第八章 含 互感电路的分析在 1≤t≤2s时
Atti 2010)(1
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
dc
bcabac
bc
ab
10
)2010(
1)(
150100)()()(
50)2010(5)(
200100)2010(10)()(
1
1
1
11
第八章 含 互感电路的分析在 t≥2s时
0)(1?ti
0,0,0,0 deacbcab uuuu
0
150100
50100
)( Vt
Vt
tu ac
0
10
10
)( V
V
tu
de
其余
st
st
21
10
其余
st
st
21
10
第八章 含 互感电路的分析例 8.1-2 图 8.1-9所示互感线圈模型电路,同名端位置及各线圈电压,电流的参考方向均标示在图上,试列写出该互感线圈的电压,电流关系式 (指微分关系 )。
图 8.1-9 例 8.1-2用图第八章 含 互感电路的分析解
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
第八章 含 互感电路的分析
§ 8-2 含耦合电感的正弦交流电路的分析一、基本分析分析含耦合电感的正弦交流电路，可以将耦合电感看作是两条支路，每条支路均由两个元件组成。一个元件是本线圈的自感抗，体现线圈的自感电压，一个元件是受控电压源，体现线圈中的互感电压。控制量是产生这个互感电压的另一个线圈的电流的相量，控制系数为互感。
图 8.2-1
第八章 含 互感电路的分析
8.2.1 耦合电感的串联等效图 8.2-2 互感线圈顺接串联二、举例说明含耦合电感的正弦交流电路的分析第八章 含 互感电路的分析用耦合电感的含受控源等效电路代替原耦合电感后的电路为
∴L=L 1+L2+2M
IMLLj
IMjILjIMjILjU
)2( 21
21
第八章 含 互感电路的分析
8.2-2 图 8.2-3(a)为互感线圈的并联,其中 a,c端为同名端,求端子 1,2间的等效电感 Leq 。
图 8.2-3互感线圈并联第八章 含 互感电路的分析解应用互感 T型去耦等效,将 (a)图等效为 (b)图 (要特别注意等效端子,将 (a),(b)图中相应的端子都标上 )。 应用无互感的电感串,并联关系,由 (b)图可得
MLL
MLL
MLL
MLML
M
MLMLML eq
22
))((
)//()(
21
2
21
21
21
21
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
第八章 含 互感电路的分析
8.3 空心变压器分析
8.3.1 空心变压器电路图 8.3-1 空心变压器电路在电工技术中，常需要用变压器作为能量传输器件或信号转换器，变压器一般由两个或两个以上有磁耦合的线圈组成。
接电源 —— 初级（原边）线圈接负载 —— 次级（副边）线圈第八章 含 互感电路的分析由 KVL得
0)( 12
222
21
111
dt
di
M
dt
di
LiRR
u
dt
di
M
dt
di
LiR
L
s
0)(
)(
2221
2111
ILjRRIMj
UIMjILjR
L
s
0222121
212111
IZIZ
UIZIZ s
第八章 含 互感电路的分析
22
221121122211
21
1
22
21
2
22
2211
22
21122211
22
2221
1211
22
12
1
0
MZZ
UMj
ZZZZ
UZ
I
Z
Z
I
MZZ
UZ
ZZZZ
UZ
ZZ
ZZ
Z
ZU
I
ss
ss
s
22
2211
22
1 ))((
)(
MLjRRLjR
ULjRRI
L
sL
22
2211
2 ))(( MLjRRLjR
UMjI
L
s
第八章 含 互感电路的分析
8.3.2 空心变压器的等效电路分析
22
22
11
1
Z
M
Z
U
I s
22
22
Z
MZ
r e f
111
1
f
s
ZZ
UI
第八章 含 互感电路的分析图 8.3-2 初级等效电路第八章 含 互感电路的分析设次级回路自阻抗
222222 jXRZ
11
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
22
ff
r e f
jXR
XR
XM
j
XR
RM
jXR
M
Z
M
Z
222
22
2
22
22
1
222
22
2
22
22
1
X
XR
M
X
R
XR
M
R
f
f
第八章 含 互感电路的分析从初级端看的输入阻抗
22
22
1111
1
1
Z
MZZZ
I
UZ
r e fin
22
1
2
Z
IMj
I
应当清楚,该等效电路必须在求得了初级电流 的前提下才可应用来求电流,特别应注意的是,等效源的极性,大小及相位与耦合电感的同名端,初,次级电流参考方向有关
1I?
2I?
第八章 含 互感电路的分析图 8.3-3 次级等效电路
LZLjR
IMj
Z
IMj
I
22
1
22
1
2
第八章 含 互感电路的分析例 8.3-1 互感电路如图 8.3-4(a)所示,使用在正弦稳态电路中,图中 L1,L2和 M分别为初级,次级的电感及互感 。 将互感电路的次级 22′短路,试证明该电路初级端 11′间的等效阻抗
21
1
2
'11 )1(
LL
M
k
LkjZ
其中第八章 含 互感电路的分析图 8.3-4 例 8.3-1用图第八章 含 互感电路的分析证明 (一 ) 由图可知
222111,LjZLjZ
2
2
2
22
22
1 L
Mj
Z
MZ
f?
21
2
1
2
2
1111'11
1
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ
f
12'11 )1( LkjZ
第八章 含 互感电路的分析证明 (二 )
21
2
2
21
2
2221
2
2
1
21'11
1
2
)(
)//()(
LL
M
L
LL
L
MMLMLLL
MML
MLM
ML
MLMMLZ
1
2
'11
1
2
'11
)1(
)1(
LkjL
LkL
第八章 含 互感电路的分析例 8.3-2 图 8.3-5(a)所示互感电路,已知 R1=7.5Ω,
ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,
=15∠ 0° V。 求电流 R2上消耗的功率 P2。
1
1
C?
sU?,,21 II
图 8.3-5 例 8.3-2用图第八章 含 互感电路的分析解
5.75.75.22305.71
1
1111 jjjCjLjRZ
60602222 jLjRZ?
5.75.76060 30
2
22
22
1 jjZ
MZ
f
AjjZZ UI
f
s
015.75.75.75.7
015
111
1
AjjZ IMjI 45225.06060 0130
22
1
2
WRIP 5.760)225.0( 22222
第八章 含 互感电路的分析
8.4.1 耦合电感的 T型等效
1,同名端为共端的 T
图 8.4-1 同名端为共端的 T型去耦等效
8.4 耦合电感的去耦等效电路分析法第八章 含 互感电路的分析
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
第八章 含 互感电路的分析
2,异名端为共端的 T型去耦等效图 8.4-2 异名端为共端的 T型去耦等效第八章 含 互感电路的分析
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
第八章 含 互感电路的分析以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法,
它们适用于任何变动电压,电流情况,当然也可用于正弦稳态交流电路 。 应再次明确,无论是互感串联二端子等效还是 T型去耦多端子等效,都是对端子以外的电压,电流,
功率来说的,其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数,互感系数有关,而且还与同名端的位置有关 。
第八章 含 互感电路的分析例 8.4-1 图 8.4-3(a)为互感线圈的并联,其中 a,c端为同名端,求端子 1,2间的等效电感 Leq 。
图 8.4-3互感线圈并联第八章 含 互感电路的分析解应用互感 T型去耦等效,将 (a)图等效为 (b)图 (要特别注意等效端子,将 (a),(b)图中相应的端子都标上 )。 应用无互感的电感串,并联关系,由 (b)图可得
MLL
MLL
MLL
MLML
M
MLMLML eq
22
))((
)//()(
21
2
21
21
21
21
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
第八章 含 互感电路的分析例 8.4-2 如图 8.4-4(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈,
已知 us(t)=2cos(2t+45° ) V,L1=L2=1.5H,M=0.5 H,负载电阻
RL=1Ω。 求 RL上吸收的平均功率 PL。
图 8.4-4 含有互感的正弦稳态电路第八章 含 互感电路的分析解
A
jjjj
U
I smm
022
45
2
1
452
2)]2(1/ /[)21(
AjjIjjj jjI mLm 135202211 12121 21
WRIP LLmL 212
2
1
2
1 22
第八章 含 互感电路的分析
8.5 理 想 变 压 器
8.5.1 理想变压器的三个理想条件理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下述 3个理想条件极限演变而来的 。
条件 1：耦合系数 k=1,即全耦合 。
条件 2：自感系数 L1,L2无穷大,且 L1/L2等于常数 。
条件 3,无损耗。
第八章 含 互感电路的分析
8.5.2 理想变压器的主要性能图 8.5-1 变压器示意图及其模型第八章 含 互感电路的分析
)(
)(
212222122222
121111211111
NNN
NNN
11222122
22111211
22
11
N
N
第八章 含 互感电路的分析
1,变压关系
dt
d
N
dt
d
u
dt
d
N
dt
d
u
2
2
2
1
1
1
nNNuu
2
1
2
1
若 u1,u2参考方向的,+”极性端都分别设在同名端,
则 u1与 u2之比等于 N1与 N2之比 。
nNNuu
2
1
2
1
(8.5-2)
(8.5-1)
第八章 含 互感电路的分析在进行变压关系计算时是选用 (8.5-1)式或是选用 (8.5-2)
式决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置,与两线圈中电流参考方向如何假设无关 。
图 8.5-2 变压关系带负号情况的模型第八章 含 互感电路的分析
2,变流关系图 8.5-3 变流关系带负号第八章 含 互感电路的分析
dt
diM
dt
diLu 21
11
(8.5-3)
设电流初始值为零并对 (6.4-6)式两端作 0～ t的积分，得
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t
1
2
1
111
1
112
1
111
1
212
1
N
N
i
N
i
N
i
N
i
N
L
M
第八章 含 互感电路的分析
)()( 2
1
2
1 tiN
Nti
nN
N
ti
ti 1
)(
)(
1
2
2
1
nN
N
ti
ti 1
)(
)(
1
2
2
1
在进行变流关系计算时是选用 (8.5-4)式还是选用 (8.5-5)式取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置,与两线圈上电压参考方向如何假设无关 。
(8.5-5)
(8.5-4)
第八章 含 互感电路的分析图 8.5-4 变流关系不带负号第八章 含 互感电路的分析
0
))()((
1
)()(
)()()()()(
1111
2211
tnitu
n
titu
titutitutp
理想变压器不消耗能量,也不贮存能量,所以它是不耗能,不贮能的无记忆多端电路元件 。
第八章 含 互感电路的分析
3,变换阻抗关系图 8.5-5 推导理想变压器变换阻抗关系用图第八章 含 互感电路的分析
2
1
2
1
2
2
1
1
I
N
N
I
U
N
N
U
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
I
U
N
N
I
N
N
U
N
N
I
U
Z in
LLin ZnZN
NZ 2
2
2
1?
第八章 含 互感电路的分析理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当于初级亦开路 。
(1) 理想变压器的 3个理想条件,全耦合,参数无穷大,
无损耗 。
(2) 理想变压器的 3个主要性能：变压,变流,变阻抗 。
(3) 理想变压器的变压,变流关系适用于一切变动电压,
电流情况,即便是直流电压,电流,理想变压器也存在上述变换关系 。
(4) 理想变压器在任意时刻吸收的功率为零,这说明它是不耗能,不贮能,只起能量传输作用的电路元件 。
第八章 含 互感电路的分析例 8.5-1 图 8.5-6(a)所示正弦稳态电路,
(1) 若变比 n=2,求电流 以及 RL上消耗的平均功率 PL;
(2) 若匝比 n可调整,问 n=? 时可使 RL上获最大功率,并求出该最大功率 P L max。
图 8.5-6 例 8.5-1用图第八章 含 互感电路的分析解 (1)
1
11
11
1
1
1
1
11
11
jjCj
L
j
R
Y
Z
L
ab
ab
412 22 abin ZnZ
4inin ZR
A
RR
UI
in
s
04.0
416
08
1
1
WRIP inL 64.044.0 221
第八章 含 互感电路的分析
(2) 改变变比 n以满足最大输出功率条件
LLin RRnR 2
41161
LR
Rn
W
R
UP s
L 1164
8
4
2
1
2
m a x
第八章 含 互感电路的分析例 6.4-3 图 6.4-8电路,求 ab端等效电阻 Rab。
图 6.4-8 例 6.4-3用图第八章 含 互感电路的分析解 uuiuuuu
4
1
2,2
1,2
321
uuuiii
u
uu
uu
i
12
1
6
1
4
1
6
1
3
2
1
3
432
21
4
8.4
5
24
24
5
24
5
24
1
6
1
24
1
12
1
2
1
2
1
14
21
u
u
i
u
R
uuuiii
uuii
ab
