第十二章 电路中的过渡过程第十二章 电路中的过渡过程
12.1 换路定律及初始值的确定
12.2 12.3 RC电路,RL电路的过渡过程
12.5 一阶电路过度过程的三要素法
12.6 阶跃函数和阶跃响应
12.1 换路定律及初始值的确定
12.1.1 换路定律通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。
该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则
uC,iL不能跃变，即换路前后一瞬间的 uC,iL是相等的，可表达为：
uC(0+)=uC(0-)
iL(0+)=iL(0-)
必须注意,只有 uC,iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
12.1.2 初 始 值 的确 定换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用
uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定 uC(0-)和 iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和
iL(0+)的值。
电路中其他变量如 iR,uR,uL,iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由 t=0+电路来求得。 具体求法是：
画出 t=0+电路，在该电路中若 uC (0+)= uC (0-)=US，
电容用一个电压源 US代替，若 uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若 iL(0+)= iL(0-)=IS,电感一个电流源
IS 代替，若 iL(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。
例 1：在图 12-3(a)电路中，开关 S在 t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+),iL(0+)、
i1(0+),i2(0+),ic(0+) 和 uL(0+)。
图 12-3
例 1 图解 (1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求 uC(0+)和 iL(0+)。通过换路前稳定状态下 t=0- 电路可求得 uC(0-)和 iL(0-)。在直流稳态电路中,uC不再变化,duC/dt=0，故 iC=0，即电容 C相当于开路。同理 iL也不再变化,diL/dt=0，
故 uL=0，即电感 L相当于短路。所以 t=0- 时刻的等效电路如图 12-3(b)）所示，由该图可知：
Ai
Vu
L
c
2
23
10
)0(
4
23
2
10)0(
（ 2）由换路定理得
Aii
Vuu
LL
cc
2)0()0(
4)0()0(
因此，在 t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个 4V的电压源，电感元件相当于一个 2A的电流源。据此画出 t=0+ 时刻的等效电路，如图 12-3 (C) 所示。
（ 3）在 t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即
Ai
Ai
1
4
4
)0(
2
2
4
)0(
2
1
iC(0+)=2-2-1=-1A
uL(0+)=10-3× 2-4=0
例 2,电路如图 12-4 (a)所示，开关 S闭合前电路无储能，开关 S在 t=0时闭合，试求 i1,i2,i3,uc,uL的初始值。
图 12-4 例 2 图解（ 1）由题意知：
0)0()0(
0)0(
3
L
C
ii
u
（ 2）由换路定理得
0)0()0(
0)0()0(
LL
CC
ii
uu
因此,在 t=0+ 电路中,电容应该用短路线代替,电感以开路代之 。 得到 t=0+ 电路,如图 12-4 (b)所示 。
（ 3）在 t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得通过以上例题,可以归纳出求初始值的一般步骤如下：
(1) 根据 t=0- 时的等效电路,求出 uC(0-) 及 iL(0-)。
(2) 作出 t=0+ 时的等效电路,并在图上标出各待求量 。
(3) 由 t=0+ 等效电路,求出各待求量的初始值 。
3.02010 9)0()0( 21 ii
i3(0+)=0
uL(0+)=20× i2(0+)=20× 0.3=6V
当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应,
图 12- 5 RC电路的零输入
1 i
+
-
UC
IS
R0 R
2
C
(a)
uR
+
-
+
-
uCC
i
(b)
12.2 12.3 RC电路,RL电路的过渡过程图 12-5 (a) 所示的电路中，在 t<0时开关在位置 1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压 uC (0-)=R0IS，
t=0时，开关扳向位置 2，这样在 t≥0时，电容将对 R放电，
电路如图 12-5 (b)所示，电路中形成电流 i。故 t>0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。
1,RC电路的零输入响应
-uR+uc=0
而 uR=i R,
dt
duCi C,代入上式可得
0 CC udtduRC
上式是一阶常系数齐次微分方程,其通解形式为
uc=Aept t≥0 ２式式中 A为待定的积分常数,可由初始条件确定 。
p为１式对应的特征方程的根 。 将２式代入１式可得特征方程为
RCP+1=0
１式换路后由图（ b）可知，根据 KVL有从而解出特征根为
RCp
1
则通解
RC
tAeu
C
３式将初始条件 uc(0+)=R0IS代入 3式，求出积分常数 A为
SC IRAu 0)0(
将 代入３式，得到满足初始值的微分方程的通解为 )0(?cu
RC
t
S
RC
t
CC eIReuu
0)0(
４式放电电流为
RC
t
RC
t
SC eie
R
IR
dt
duCi?
)0(0
t≥0
t≥0 ５式令 τ=RC，它具有时间的量纲，即
秒秒库仑 库仑伏特库仑安培伏特 /.RC?
故称 τ为时间常数,这样４、５两式可分别写为
t
CC euu
)0(
t≥0
t
eii
)0(
t≥0
RCp
1由于 为负，故 uc和 i 均按指数规律衰减，
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R
IRi S0)0(?
当 t→∞ 时,uc和 i 衰减到零。
图 12-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图画出 uc及 i的波形如图 12-６所示。
2 RL电路的零输入响应一阶 RL电路如图 12-7(a)所示,t=0- 时开关 S闭合，电路已达稳态，电感 L相当于短路，流过 L的电流为 I0。即
iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在 t=0时开关 S打开，所以在 t≥0时，电感 L储存的磁能将通过电阻 R放电，在电路中产生电流和电压，如图 12-7 (b)所示。由于 t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感 L的初始储能产生的，所以为零输入响应。
图 12-7 RL电路的零输入响应由图 (b),根据 KVL有
uL+uR=0
LR
L
L Riudt
diLu 及将 代入上式得
0 LL RidtdiL
1式
iL=Ae pt t≥0
上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为
2式将 2式代入 1式,得特征方程为
LP+R=0
故特征根为
L
Rp
则通解为
tLR
L Aei
若令,τ是 RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为
R
L
t
L Aei
t≥0
t≥0
3式将初始条件 i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入 3式,求出积分常数 A为
iL (0+)=A=I0
这样得到满足初始条件的微分方程的通解为
tt
LL eIeii
0)0(
t≥0 4式
t
LR eRIRiu
0
t
RL eRIuu
0
电阻及电感的电压分别是
t≥0
t≥0
分别作出 iL,uR 和,uL的波形如图 12-8(a),(b)
所示。
由图 12-8可知,iL,uR及 uL的初始值（亦是最大值）分别为 iL(0+)=I0,uR(0+)=RI0,uL(0+)= -RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数 τ，
这与一阶 RC零输入电路情况相同。
图 12-8 RL 电路零输入响应 iL,uR和 uL 的波形从以上求得的 RC和 RL电路零输入响应进一步分析可知,对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路,不仅电容电压,电感电流,而且所有电压,电流的零输入响应,都是从它的初始值按指数规律衰减到零的 。 且同一电路中,所有的电压,
电流的时间常数相同 。 若用 f (t)表示零输入响应,
用 f (0+)表示其初始值,则零输入响应可用以下通式表示为
t
eftf )0()( t≥0
应该注意的是,RC电路与 RL电路的时间常数是不同的，前者 τ=RC，后者 τ=L/R。
例 3：如图 12-9 (a)所示电路,t=0-时电路已处于稳态,t=0时开关 S打开。求 t≥0时的电压 uc、
uR和电流 ic。
解 由于在 t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。
图 12-9 例 3 图所以
VURR Ru SC 424 122)0(
21
2?
由换路定律，得
Vuu cC 4)0()0(
作出 t=0+等效电路如图 (b)所示，
电容用 4V电压源代替，由图 (b)可知
VuRR Ru CR 6.132 42)0()0(
32
2?
ARRui CC 8.032 4)0()0(
32
换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为：
52323 RRR
SRC 1515
时间常数为
t
t
RR eeuu
6.1)0(
t
t
CC eeii
8.0)0(
A
V
t≥0
t≥0
也可以由
dt
duCi C
C?
求出 i C = -0.8e -t A t≥0
t
t
CC eeuu
4)0(
V t≥0
计算零输入响应，得在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。
3,RC电路的零状态响应图 12-10所示一阶 RC电路，电容先未充电,t=0时开关闭合，电路与激励 US 接通，试确定 k闭合后电路中的响应。
图 12-10 (a) R C电路的零状态响应在 k闭合瞬间,电容电压不会跃变,由换路定律
uc(0+)= uc(0-)= 0,t=0+ 时电容相当于短路,uR(0+)=US，
故电容开始充电 。 随着时间的推移,uC将逐渐升高,
R
U
R
ui SR
R
)0()0(
uR则逐渐降低,iR（等于 ic） 逐渐减小。当 t→∞ 时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic(∞)=0,uR
(∞)=0,uc=(∞)=Us。
由 kVL uR+uc=US
而 uR=RiR=RiC=,代入上式可得到以 uc
为变量的微分方程
t≥0
初始条件为 uC(0+)=0
dt
duRC C
SC
C Uu
dt
duRC 1式
1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：
一部分是它相应的齐次微分方程的通解 uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解 uCP，即
uc=uch + ucp
RC
tt
ch AeAeu
将初始条件 uc(0+)=0代入上式,得出积分常数 A=-US,故
S
RC
t
cpchC UAeuuu
RC
t
SS
RC
t
SC eUUeUu 1
由于 1式相应的齐次微分方程与 RC零输入响应式完全相同,因此其通解应为式中 A为积分常数。特解 ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设 ucp=k，代入 1式得
1式的解（完全解）为
ucp =k=US
由于稳态值 uc (∞)=US,故上式可写成
t≥0 2式由 2式可知，当 t=0时,uc(0)=0，当 t=τ时，
uc(τ) =US（ 1-e–1） =63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值 uc=(∞)=US的 63.2%所需的时间是 τ。而当
t=4~5τ时,u c上升到其稳态值 US的 98.17%~99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为
)1)(( RC
t
CC euu
t
SC
C eR
U
dt
duCi
t
S
CR eR
Uii
t
SRR eURiu
t≥0
t≥0
t≥0
根据 uc,ic,iR及 uR的表达式，画出它们的波形如 12-10 (b),(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。
图 12-10 (b),(C) R C 电路零状态响应 uc,ic,iR及 uR波形图
4,RL电路的零状态响应图 12-11 (a) 一阶 RL电路的零状态响应对于图 12-11(a)所示的一阶 RL电路,US为直流电压源,
t＜ 0时,电感 L中的电流为零 。 t=0时开关 s闭合,电路与激励 US接通,在 s闭合瞬间,电感电流不会跃变,即有
iL(0+)= iL(0-)=0,选择 iL为首先求解的变量,由 KVL有：
uL+uR=US
将,
uR=RiL,代入上式,可得初始条件为
iL (0+)=0
dt
diLu L
L?
SL
L URi
dt
diL 1式
tLRt
Lh AeAei
R
UKi S
Lp
R
UAei St
L
1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解 iLh 和非齐次方程的特解 iLP两部分组成，即
iL=iLh+iLp
其齐次方程的通解也应为式中时间常数 τ=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解
iLP为常量，令 iLP =K，代入 1式得因此完全解为代入 t=0时的初始条件 iL(0+)=0得
R
UA S
于是由于 iL的稳态值,故上式可写成：
t≥0
电路中的其他响应分别为
t≥0
)1(
t
SS
t
S
L eR
U
R
Ue
R
Ui
t
LL eii 1)(
t
S
L
L eUat
diLu
R
Ui S
L )(
t
SRR eURiu 1
t
S
LR eR
U
ii 1
它们的波形如图 12-11 (b),(c)所示 。
t≥0
t≥0
图 12-11 (b) (C) 一阶 RL电路的零状态响应波形图其物理过程是,S闭合后,iL(即 iR)从初始值零逐渐上升,uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降，
而 uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=∞，电路达到稳态，这时 L相当于短路,iL(∞)=US／ R，
uL(∞)= 0,uR(∞)= US。 从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。
5,完 全 响 应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。
如图 12-15所示，设 uC =uC(0-)=U0,S在 t=0
时闭合，显然电路中的响应属于全响应。
图 12-15 RC电路的全响应对 t≥0的电路,以 uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为
0)0( Uu
Uu
dt
du
RC
C
SC
C
1式与描述零状态电路的微分方程式比较,仅只有初始条件不同,因此,其解答必具有类似的形式,即
S
t
C UKeu
代入初始条件 uC (0+)=U0 得
K= U0 - US
1式从而得到
S
t
SC UeUUu
)(
0
通过对 1式分析可知,当 US=0时,即为 RC零输入电路的微分方程 。 而当 U0=0时,即为 RC零状态电路的微分方程 。 这一结果表明,零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况 。
上式的全响应公式可以有以下两种分解方式 。
1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如 2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。 2
式中第二项 US = uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，
称稳态响应或强制分量。这样有全响应 =暂态响应 +稳态响应
2式
2,全响应分解为零输入响应和零状态响应之和 。
将 2式改写后可得：
)1(0
t
S
t
C eUeUu
3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，
一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即全响应 =零输入响应 +零状态响应
3式
12.5 一阶电路过度过程的三要素法如用 f (t) 表示电路的响应,f (0+)表示该电压或电流的初始值,f (∞) 表示响应的稳定值,表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：
0)()0()()( teffftf
t
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。
式中 f (0+),f (∞) 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。
由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。
用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：
一,确定初始值 f (0+)
初始值 f(0+)是指任一响应在换路后瞬间 t=0+ 时的数值,与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的 。
(1) 先作 t=0- 电路 。 确定换路前电路的状态 uC(0-)或
iL(0-),这个状态即为 t＜ 0阶段的稳定状态,因此,
此时电路中电容 C视为开路,电感 L用短路线代替 。
(2) 作 t=0+ 电路 。 这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值 。 若 uC(0+)=uC(0-)=U0,
iL(0+)=iL(0-)=I0,在此电路中 C用电压源 U0代替,
图 12-16 电容、电感元件在 t=0时的电路模型
L用电流源 I0代替。若 uC(0+)=uC(0-)=0 或
iL(0+)=iL(0-)=0，则 C用短路线代替,L视为开路。
可用图 3-16说明。作 t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的 u (0+),i (0+)。
二,确定稳态值 f(∞)
作 t=∞电路 。 瞬态过程结束后,电路进入了新的稳态,用此时的电路确定各变量稳态值 u(∞)、
i(∞)。 在此电路中,电容 C视为开路,电感 L用短路线代替,可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值 。
三,求时间常数 τ
RC电路中,τ=RC； RL电路中,τ=L/R；其中
,R是将电路中所有独立源置零后，从 C或 L两端看进去的等效电阻,(即戴维南等效源中的 R0)。
例 5 图 12-17 (a)所示电路中,t=0时将 S合上，
求 t≥0时的 i1,iL,uL。
图 12-17 例 5 图解 (1) 先求 iL(0-)。 作 t=0- 电路,见图 (b),电感用短路线代替,则
3
4
63
12)0(?
Li
(2)求 f(0+)。 作 t=0+电路,见图 (C),Aii LL 34)0()0(
图中电感用 4/3A的电流源代替，流向与图 (b)中
iL(0-)一致。因为题意要求 i1,iL,uL，所以相应地需先求 i1(0+)和 uL(0+)。椐 KVL，图 (C)左边回路中有
3 i1 (0+) +6 [i1 (0+) -iL (0+)]=12
得
Ai 920)0(1
图 (C)右边回路中有
Viiiu LLL
3
8)0()0(6)0(6)0(
1
(3)求 f(∞)。 作 t=∞电路如图 (d),电感用短路线代替,则
2
66
663
12)(
1?
i
Aii L 1)(21)( 1
uL(∞) =0
(4)求 τ。从动态元件 L两端看进去的戴维南等效电阻为
863 6366//36R
SSRL 1011.08 8.0
（ 5） 代入三要素公式
t
effftf
)()0()()(
Aeeti tt 10101
9
222
9
202)(
t≥0
Aeeti ttL 1010
3
111
3
41)(
Veetu ttL 1010
3
80
3
80)(
t≥0
t≥0
i1 (t),iL (t)及 uL(t)的波形图如 12-18所示。
图 12-18 例 5 图
（ 3） 零输入响应：当外加激励为零，仅有动态元件初始储能所产生所激发的响应 。
零输入响应：电路的初始储能为零仅由输入产生的响应。
全响应：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。
（ 4）求解一阶电路三要素公式为：
0)()0()()( teffftf
t
12.6 单位阶跃响应单位阶跃函数用 ε(t)表示,其定义如下：
ε(t) =
0 t≤ 0-
1 t≥ 0+
ε(t)的波形如图 3-12(a)所示,它在 （ 0-,0+） 时域内发生了单位阶跃 。
图 12-12 单位阶跃函数单位阶跃函数可以用来描述图 12-12 (b)所示的开关动作，它表示在 t=0时把电路接入 1V直流源时
u(t)的值，即：
u (t)= ε(t) V
如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到 t=t0，其波形如图 12-13所示
，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为
ε(t-t0) =
0 t≤t 0-
1 t≥t 0+
图 12-13 延迟的单位阶跃函数
)()1( 0
0
tteu
tt
C
当激励为单位阶跃函数 ε(t)时,电路的零状态响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应 。 对于图
12-10所示电路的单位阶跃响应,只要令 US=ε(t)就能得到,例如电容电压为若图 12-10的激励 uS=Kε(t)（ K为任意常数 ）,则根据线性电路的性质,电路中的零状态响应均应
)(1 teu
t
C?
如单位阶跃不是在 t=0而是在某一时刻 t0时加上的，则只要把上述表达式中的 t改为 t-t0，即延迟时间 t0就行了。例如这种情况下的 uC为扩大 K倍，对于电容有
)()1( teKu
t
C?
例 4,求图 12-14 (a)电路的阶跃响应 uC。
解 先将电路 ab左端的部分用戴维南定理化简，
得图 12-14(b)所示电路。由图 (a)可得图 12-14 例 4 图
)(2)(
2
1443
111 ttuuuU oc
∵ 3u1+u1=0 ∴ u1=0
则
AtI SC 11 )(
2
1
2
0
SC
oc
I
UR
于是
)()1(2)1( teeUu
tt
ocC?
式中 τ=R0C=2× 10-6S
将 ab端短路，设短路电流为 ISC（从 a流向 b）
12.1 换路定律及初始值的确定
12.2 12.3 RC电路,RL电路的过渡过程
12.5 一阶电路过度过程的三要素法
12.6 阶跃函数和阶跃响应
12.1 换路定律及初始值的确定
12.1.1 换路定律通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。
该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则
uC,iL不能跃变，即换路前后一瞬间的 uC,iL是相等的，可表达为：
uC(0+)=uC(0-)
iL(0+)=iL(0-)
必须注意,只有 uC,iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
12.1.2 初 始 值 的确 定换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用
uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定 uC(0-)和 iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和
iL(0+)的值。
电路中其他变量如 iR,uR,uL,iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由 t=0+电路来求得。 具体求法是：
画出 t=0+电路，在该电路中若 uC (0+)= uC (0-)=US，
电容用一个电压源 US代替，若 uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若 iL(0+)= iL(0-)=IS,电感一个电流源
IS 代替，若 iL(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。
例 1：在图 12-3(a)电路中，开关 S在 t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+),iL(0+)、
i1(0+),i2(0+),ic(0+) 和 uL(0+)。
图 12-3
例 1 图解 (1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求 uC(0+)和 iL(0+)。通过换路前稳定状态下 t=0- 电路可求得 uC(0-)和 iL(0-)。在直流稳态电路中,uC不再变化,duC/dt=0，故 iC=0，即电容 C相当于开路。同理 iL也不再变化,diL/dt=0，
故 uL=0，即电感 L相当于短路。所以 t=0- 时刻的等效电路如图 12-3(b)）所示，由该图可知：
Ai
Vu
L
c
2
23
10
)0(
4
23
2
10)0(
（ 2）由换路定理得
Aii
Vuu
LL
cc
2)0()0(
4)0()0(
因此，在 t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个 4V的电压源，电感元件相当于一个 2A的电流源。据此画出 t=0+ 时刻的等效电路，如图 12-3 (C) 所示。
（ 3）在 t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即
Ai
Ai
1
4
4
)0(
2
2
4
)0(
2
1
iC(0+)=2-2-1=-1A
uL(0+)=10-3× 2-4=0
例 2,电路如图 12-4 (a)所示，开关 S闭合前电路无储能，开关 S在 t=0时闭合，试求 i1,i2,i3,uc,uL的初始值。
图 12-4 例 2 图解（ 1）由题意知：
0)0()0(
0)0(
3
L
C
ii
u
（ 2）由换路定理得
0)0()0(
0)0()0(
LL
CC
ii
uu
因此,在 t=0+ 电路中,电容应该用短路线代替,电感以开路代之 。 得到 t=0+ 电路,如图 12-4 (b)所示 。
（ 3）在 t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得通过以上例题,可以归纳出求初始值的一般步骤如下：
(1) 根据 t=0- 时的等效电路,求出 uC(0-) 及 iL(0-)。
(2) 作出 t=0+ 时的等效电路,并在图上标出各待求量 。
(3) 由 t=0+ 等效电路,求出各待求量的初始值 。
3.02010 9)0()0( 21 ii
i3(0+)=0
uL(0+)=20× i2(0+)=20× 0.3=6V
当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应,
图 12- 5 RC电路的零输入
1 i
+
-
UC
IS
R0 R
2
C
(a)
uR
+
-
+
-
uCC
i
(b)
12.2 12.3 RC电路,RL电路的过渡过程图 12-5 (a) 所示的电路中，在 t<0时开关在位置 1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压 uC (0-)=R0IS，
t=0时，开关扳向位置 2，这样在 t≥0时，电容将对 R放电，
电路如图 12-5 (b)所示，电路中形成电流 i。故 t>0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。
1,RC电路的零输入响应
-uR+uc=0
而 uR=i R,
dt
duCi C,代入上式可得
0 CC udtduRC
上式是一阶常系数齐次微分方程,其通解形式为
uc=Aept t≥0 ２式式中 A为待定的积分常数,可由初始条件确定 。
p为１式对应的特征方程的根 。 将２式代入１式可得特征方程为
RCP+1=0
１式换路后由图（ b）可知，根据 KVL有从而解出特征根为
RCp
1
则通解
RC
tAeu
C
３式将初始条件 uc(0+)=R0IS代入 3式，求出积分常数 A为
SC IRAu 0)0(
将 代入３式，得到满足初始值的微分方程的通解为 )0(?cu
RC
t
S
RC
t
CC eIReuu
0)0(
４式放电电流为
RC
t
RC
t
SC eie
R
IR
dt
duCi?
)0(0
t≥0
t≥0 ５式令 τ=RC，它具有时间的量纲，即
秒秒库仑 库仑伏特库仑安培伏特 /.RC?
故称 τ为时间常数,这样４、５两式可分别写为
t
CC euu
)0(
t≥0
t
eii
)0(
t≥0
RCp
1由于 为负，故 uc和 i 均按指数规律衰减，
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R
IRi S0)0(?
当 t→∞ 时,uc和 i 衰减到零。
图 12-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图画出 uc及 i的波形如图 12-６所示。
2 RL电路的零输入响应一阶 RL电路如图 12-7(a)所示,t=0- 时开关 S闭合，电路已达稳态，电感 L相当于短路，流过 L的电流为 I0。即
iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在 t=0时开关 S打开，所以在 t≥0时，电感 L储存的磁能将通过电阻 R放电，在电路中产生电流和电压，如图 12-7 (b)所示。由于 t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感 L的初始储能产生的，所以为零输入响应。
图 12-7 RL电路的零输入响应由图 (b),根据 KVL有
uL+uR=0
LR
L
L Riudt
diLu 及将 代入上式得
0 LL RidtdiL
1式
iL=Ae pt t≥0
上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为
2式将 2式代入 1式,得特征方程为
LP+R=0
故特征根为
L
Rp
则通解为
tLR
L Aei
若令,τ是 RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为
R
L
t
L Aei
t≥0
t≥0
3式将初始条件 i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入 3式,求出积分常数 A为
iL (0+)=A=I0
这样得到满足初始条件的微分方程的通解为
tt
LL eIeii
0)0(
t≥0 4式
t
LR eRIRiu
0
t
RL eRIuu
0
电阻及电感的电压分别是
t≥0
t≥0
分别作出 iL,uR 和,uL的波形如图 12-8(a),(b)
所示。
由图 12-8可知,iL,uR及 uL的初始值（亦是最大值）分别为 iL(0+)=I0,uR(0+)=RI0,uL(0+)= -RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数 τ，
这与一阶 RC零输入电路情况相同。
图 12-8 RL 电路零输入响应 iL,uR和 uL 的波形从以上求得的 RC和 RL电路零输入响应进一步分析可知,对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路,不仅电容电压,电感电流,而且所有电压,电流的零输入响应,都是从它的初始值按指数规律衰减到零的 。 且同一电路中,所有的电压,
电流的时间常数相同 。 若用 f (t)表示零输入响应,
用 f (0+)表示其初始值,则零输入响应可用以下通式表示为
t
eftf )0()( t≥0
应该注意的是,RC电路与 RL电路的时间常数是不同的，前者 τ=RC，后者 τ=L/R。
例 3：如图 12-9 (a)所示电路,t=0-时电路已处于稳态,t=0时开关 S打开。求 t≥0时的电压 uc、
uR和电流 ic。
解 由于在 t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。
图 12-9 例 3 图所以
VURR Ru SC 424 122)0(
21
2?
由换路定律，得
Vuu cC 4)0()0(
作出 t=0+等效电路如图 (b)所示，
电容用 4V电压源代替，由图 (b)可知
VuRR Ru CR 6.132 42)0()0(
32
2?
ARRui CC 8.032 4)0()0(
32
换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为：
52323 RRR
SRC 1515
时间常数为
t
t
RR eeuu
6.1)0(
t
t
CC eeii
8.0)0(
A
V
t≥0
t≥0
也可以由
dt
duCi C
C?
求出 i C = -0.8e -t A t≥0
t
t
CC eeuu
4)0(
V t≥0
计算零输入响应，得在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。
3,RC电路的零状态响应图 12-10所示一阶 RC电路，电容先未充电,t=0时开关闭合，电路与激励 US 接通，试确定 k闭合后电路中的响应。
图 12-10 (a) R C电路的零状态响应在 k闭合瞬间,电容电压不会跃变,由换路定律
uc(0+)= uc(0-)= 0,t=0+ 时电容相当于短路,uR(0+)=US，
故电容开始充电 。 随着时间的推移,uC将逐渐升高,
R
U
R
ui SR
R
)0()0(
uR则逐渐降低,iR（等于 ic） 逐渐减小。当 t→∞ 时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic(∞)=0,uR
(∞)=0,uc=(∞)=Us。
由 kVL uR+uc=US
而 uR=RiR=RiC=,代入上式可得到以 uc
为变量的微分方程
t≥0
初始条件为 uC(0+)=0
dt
duRC C
SC
C Uu
dt
duRC 1式
1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：
一部分是它相应的齐次微分方程的通解 uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解 uCP，即
uc=uch + ucp
RC
tt
ch AeAeu
将初始条件 uc(0+)=0代入上式,得出积分常数 A=-US,故
S
RC
t
cpchC UAeuuu
RC
t
SS
RC
t
SC eUUeUu 1
由于 1式相应的齐次微分方程与 RC零输入响应式完全相同,因此其通解应为式中 A为积分常数。特解 ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设 ucp=k，代入 1式得
1式的解（完全解）为
ucp =k=US
由于稳态值 uc (∞)=US,故上式可写成
t≥0 2式由 2式可知，当 t=0时,uc(0)=0，当 t=τ时，
uc(τ) =US（ 1-e–1） =63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值 uc=(∞)=US的 63.2%所需的时间是 τ。而当
t=4~5τ时,u c上升到其稳态值 US的 98.17%~99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为
)1)(( RC
t
CC euu
t
SC
C eR
U
dt
duCi
t
S
CR eR
Uii
t
SRR eURiu
t≥0
t≥0
t≥0
根据 uc,ic,iR及 uR的表达式，画出它们的波形如 12-10 (b),(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。
图 12-10 (b),(C) R C 电路零状态响应 uc,ic,iR及 uR波形图
4,RL电路的零状态响应图 12-11 (a) 一阶 RL电路的零状态响应对于图 12-11(a)所示的一阶 RL电路,US为直流电压源,
t＜ 0时,电感 L中的电流为零 。 t=0时开关 s闭合,电路与激励 US接通,在 s闭合瞬间,电感电流不会跃变,即有
iL(0+)= iL(0-)=0,选择 iL为首先求解的变量,由 KVL有：
uL+uR=US
将,
uR=RiL,代入上式,可得初始条件为
iL (0+)=0
dt
diLu L
L?
SL
L URi
dt
diL 1式
tLRt
Lh AeAei
R
UKi S
Lp
R
UAei St
L
1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解 iLh 和非齐次方程的特解 iLP两部分组成，即
iL=iLh+iLp
其齐次方程的通解也应为式中时间常数 τ=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解
iLP为常量，令 iLP =K，代入 1式得因此完全解为代入 t=0时的初始条件 iL(0+)=0得
R
UA S
于是由于 iL的稳态值,故上式可写成：
t≥0
电路中的其他响应分别为
t≥0
)1(
t
SS
t
S
L eR
U
R
Ue
R
Ui
t
LL eii 1)(
t
S
L
L eUat
diLu
R
Ui S
L )(
t
SRR eURiu 1
t
S
LR eR
U
ii 1
它们的波形如图 12-11 (b),(c)所示 。
t≥0
t≥0
图 12-11 (b) (C) 一阶 RL电路的零状态响应波形图其物理过程是,S闭合后,iL(即 iR)从初始值零逐渐上升,uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降，
而 uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=∞，电路达到稳态，这时 L相当于短路,iL(∞)=US／ R，
uL(∞)= 0,uR(∞)= US。 从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。
5,完 全 响 应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。
如图 12-15所示，设 uC =uC(0-)=U0,S在 t=0
时闭合，显然电路中的响应属于全响应。
图 12-15 RC电路的全响应对 t≥0的电路,以 uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为
0)0( Uu
Uu
dt
du
RC
C
SC
C
1式与描述零状态电路的微分方程式比较,仅只有初始条件不同,因此,其解答必具有类似的形式,即
S
t
C UKeu
代入初始条件 uC (0+)=U0 得
K= U0 - US
1式从而得到
S
t
SC UeUUu
)(
0
通过对 1式分析可知,当 US=0时,即为 RC零输入电路的微分方程 。 而当 U0=0时,即为 RC零状态电路的微分方程 。 这一结果表明,零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况 。
上式的全响应公式可以有以下两种分解方式 。
1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如 2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。 2
式中第二项 US = uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，
称稳态响应或强制分量。这样有全响应 =暂态响应 +稳态响应
2式
2,全响应分解为零输入响应和零状态响应之和 。
将 2式改写后可得：
)1(0
t
S
t
C eUeUu
3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，
一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即全响应 =零输入响应 +零状态响应
3式
12.5 一阶电路过度过程的三要素法如用 f (t) 表示电路的响应,f (0+)表示该电压或电流的初始值,f (∞) 表示响应的稳定值,表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：
0)()0()()( teffftf
t
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。
式中 f (0+),f (∞) 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。
由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。
用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：
一,确定初始值 f (0+)
初始值 f(0+)是指任一响应在换路后瞬间 t=0+ 时的数值,与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的 。
(1) 先作 t=0- 电路 。 确定换路前电路的状态 uC(0-)或
iL(0-),这个状态即为 t＜ 0阶段的稳定状态,因此,
此时电路中电容 C视为开路,电感 L用短路线代替 。
(2) 作 t=0+ 电路 。 这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值 。 若 uC(0+)=uC(0-)=U0,
iL(0+)=iL(0-)=I0,在此电路中 C用电压源 U0代替,
图 12-16 电容、电感元件在 t=0时的电路模型
L用电流源 I0代替。若 uC(0+)=uC(0-)=0 或
iL(0+)=iL(0-)=0，则 C用短路线代替,L视为开路。
可用图 3-16说明。作 t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的 u (0+),i (0+)。
二,确定稳态值 f(∞)
作 t=∞电路 。 瞬态过程结束后,电路进入了新的稳态,用此时的电路确定各变量稳态值 u(∞)、
i(∞)。 在此电路中,电容 C视为开路,电感 L用短路线代替,可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值 。
三,求时间常数 τ
RC电路中,τ=RC； RL电路中,τ=L/R；其中
,R是将电路中所有独立源置零后，从 C或 L两端看进去的等效电阻,(即戴维南等效源中的 R0)。
例 5 图 12-17 (a)所示电路中,t=0时将 S合上，
求 t≥0时的 i1,iL,uL。
图 12-17 例 5 图解 (1) 先求 iL(0-)。 作 t=0- 电路,见图 (b),电感用短路线代替,则
3
4
63
12)0(?
Li
(2)求 f(0+)。 作 t=0+电路,见图 (C),Aii LL 34)0()0(
图中电感用 4/3A的电流源代替，流向与图 (b)中
iL(0-)一致。因为题意要求 i1,iL,uL，所以相应地需先求 i1(0+)和 uL(0+)。椐 KVL，图 (C)左边回路中有
3 i1 (0+) +6 [i1 (0+) -iL (0+)]=12
得
Ai 920)0(1
图 (C)右边回路中有
Viiiu LLL
3
8)0()0(6)0(6)0(
1
(3)求 f(∞)。 作 t=∞电路如图 (d),电感用短路线代替,则
2
66
663
12)(
1?
i
Aii L 1)(21)( 1
uL(∞) =0
(4)求 τ。从动态元件 L两端看进去的戴维南等效电阻为
863 6366//36R
SSRL 1011.08 8.0
（ 5） 代入三要素公式
t
effftf
)()0()()(
Aeeti tt 10101
9
222
9
202)(
t≥0
Aeeti ttL 1010
3
111
3
41)(
Veetu ttL 1010
3
80
3
80)(
t≥0
t≥0
i1 (t),iL (t)及 uL(t)的波形图如 12-18所示。
图 12-18 例 5 图
（ 3） 零输入响应：当外加激励为零，仅有动态元件初始储能所产生所激发的响应 。
零输入响应：电路的初始储能为零仅由输入产生的响应。
全响应：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。
（ 4）求解一阶电路三要素公式为：
0)()0()()( teffftf
t
12.6 单位阶跃响应单位阶跃函数用 ε(t)表示,其定义如下：
ε(t) =
0 t≤ 0-
1 t≥ 0+
ε(t)的波形如图 3-12(a)所示,它在 （ 0-,0+） 时域内发生了单位阶跃 。
图 12-12 单位阶跃函数单位阶跃函数可以用来描述图 12-12 (b)所示的开关动作，它表示在 t=0时把电路接入 1V直流源时
u(t)的值，即：
u (t)= ε(t) V
如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到 t=t0，其波形如图 12-13所示
，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为
ε(t-t0) =
0 t≤t 0-
1 t≥t 0+
图 12-13 延迟的单位阶跃函数
)()1( 0
0
tteu
tt
C
当激励为单位阶跃函数 ε(t)时,电路的零状态响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应 。 对于图
12-10所示电路的单位阶跃响应,只要令 US=ε(t)就能得到,例如电容电压为若图 12-10的激励 uS=Kε(t)（ K为任意常数 ）,则根据线性电路的性质,电路中的零状态响应均应
)(1 teu
t
C?
如单位阶跃不是在 t=0而是在某一时刻 t0时加上的，则只要把上述表达式中的 t改为 t-t0，即延迟时间 t0就行了。例如这种情况下的 uC为扩大 K倍，对于电容有
)()1( teKu
t
C?
例 4,求图 12-14 (a)电路的阶跃响应 uC。
解 先将电路 ab左端的部分用戴维南定理化简，
得图 12-14(b)所示电路。由图 (a)可得图 12-14 例 4 图
)(2)(
2
1443
111 ttuuuU oc
∵ 3u1+u1=0 ∴ u1=0
则
AtI SC 11 )(
2
1
2
0
SC
oc
I
UR
于是
)()1(2)1( teeUu
tt
ocC?
式中 τ=R0C=2× 10-6S
将 ab端短路，设短路电流为 ISC（从 a流向 b）
