2 电阻电路的等效变换学习要求
1,深刻理解两个结构不同的二端网络等效的概念 。
2,熟练掌握电阻串联,并联及串并联混联电路等效化简为一个等效电阻的方法 。
3,熟练掌握电压源串联和电流源并联等效化简为一个等效电压源和一个等效电流源的方法 。
4,熟练掌握两类实际电源模型等效互换的方法 。
5,掌握星形 （ Y） 电阻网络与三角形 （ △ ） 电阻网络等效互换的方法 。
6,掌握含源线性二端网络等效化简的方法 。
7、掌握用等效化简的方法分析电阻电路。
2 电阻电路的等效变换
2,1 二端网络等效的概念
2,2 电阻串、并联电路的等效电路
2,3 实际电压源和实际电流源的电路模型及其等效变换
2,4 含独立源支路的等效电路
2,5 混联电路的分析
2,6 含受控源二端网络的化简及含受控源混联电路的分析
2,7 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换
2,1 二端网络等效的概念
1,二端网络,由多个元件组成的电路,但只有两个端纽与外部连接 。 二端网络的性质可以由其端钮的伏安特性表示 。
2,无源二端网络：内部不含独立源的二端网络,一般可等效为一个电阻 。
3,有源二端网络：内部含独立源的二端网络,一般可等效为一个电压源和一个电阻的串联,或一个电流源和一个电阻的并联 。
4,等效二端网络,如果两个二端网络 N1和 N2端钮上的伏安特性完全相同,则 N1和 N2等效 。 注意,1） 等效是指 N1和 N2对 外接电路的作用完全相同,即端钮上等效,不是指 内部结构 相同 。 2） 同一电路,端口不同,则等效电路不同 。
因为等效电路在电路中对外部电路的作用完全相同，所以等效电路在电路中可以相互替换。
2,2 电阻串、并联电路的等效电路
2.2.1 电阻的串联
2.2.2 电导的并联
2.2.1 电阻的串联
R为串联电阻的等效电阻,
可以证明,R=R1+R2+… +Rk，
简单证明如下,对 N1,其伏安关系：
U=I× (R1+R2+… +Rk)
对 N2,其伏安关系,U=IR
∵ N1与 N2等效 ∴ R=R1+R2+… +Rk
由几个电阻相串联组成的二端网络 N1,可以用一个电阻来等效（ N2），
如右图。
2.2.2 电导的并联由几个电导并联组成的二端网络,可以用一个电导来等效 。 等效电导为：
G=G1+G2+… +Gk
一个由电阻串并联组成的二端网络，也可以用一个电阻来等效。运用电阻串并联等效变换，可以把一个复杂的纯电阻二端网络逐步化简为一个等效电阻。
2.2.3 电阻的混联例,如图电路，求 a,b端的等效电阻。
2,3 实际电压源和实际电流源的电路模型及其等效变换
2.3.1 实际电压源的电路模型
2.3.2 实际电流源的电路模型
2.3.3 两种电源模型的等效变换
2.3.4 两个结论
2.3.1 实际电压源的电路模型
1,实际电压源用理想电压源和电阻串联作为电路模型,如图 。
当 I=0时，即实际电压源空载时,U=US,称 US为空载电压；
S
S
R
UI?当 U=0时，即实际电压源短路时,—— 短路电流；
当 RS=0时,U=US—— 理想电压源； RS称为实际电压源的内阻。
2、端钮伏安关系式,U=US-IRS
2.3.2 实际电流源的电路模型
1、用理想电流源和电阻并联作为实际电流源的电路模型，如图。
2,端钮伏安关系,I=IS-GSU
当 U=0,I=IS,IS为实际电流源端钮短路时输出电流 —— 短路电流；
当 I=0,即实际电流源开路时,U=ISRS—— 开路电压；
当 R→∞,I=IS—— 理想电流源,RS为实际电流源的内阻。
2.3.3 两种电源模型的等效变换实际电压源模型和实际电流源模型可以等效变换。
1、等效的条件,两个网络端钮上的伏安关系相同。
实际电压源模型的伏安关系,
SS IRUU
实际电流源模型的伏安关系：
SSS
S
S IRRIUR
UII
'
①
②
当 US=IRS,RS=RS’（ 等效条件 ）,① 式 ② 式完全相同,两种电源模型等效 。
等效的条件,US=IRS,RS=RS’。
2,实际电压源模型等效变换为实际电流源模型：
注意：电流源参考方向与电压源参考极性一致。
等效条件为,',
SS
S
S
S RRR
UI
3.实际电流源模型等效变换为实际电压源模型：
注意,IS和 US的参考方向应一致。
等效条件为,',
SSSSS RRRIU
例,如图电路分别求含电流源和电压源的最简等效电路。
2.3.4 两个结论
1,与理想电压源并联的元件 （ 电流源或电阻 ） 在求其组成的二端网络的等效电路时可以去掉 ！
2、与理想电流源串联的元件（电压源或电阻）在求其组成的二端网络的等效电路时可以去掉！
2,4 含独立源支路的等效电路
2.4.1 理想电压源的串联
2.4.2 理想电流源的并联
2.4.3 含独立源和电阻的二端网络的化简
2.4.1 理想电压源的串联如图,由 3个理想电压源串联组成的二端网络 N。
VAR,KVL,U-US1-US2+US3=0
∴ U=US1+US2-US3
可见,N可以用 1个理想电压源来等效
（ 参考极性上 +下 -）,
US=US1+US2-US3,US为几个串联电压源的等效电压源 。
注意：等效时要先确定 等效电压源 US的参考极性。
2.4.2 理想电流源的并联如图,由 3个理想电流源并联组成的二端网络 N。
VAR,KCL,I=IS1+IS2-IS3
可见,N可以用 1个理想电流源来等效 （ 参考方向向上 ）,
IS= IS1+IS2-IS,IS为几个并联电流源的等效电流源。
注意：等效时要先确定等效电流源 IS的参考方向。
2.4.3 含独立源和电阻的二端网络的化简结论,由独立源和电阻串,并联及混联联接组成的二端网络总可以化简为一个电压源和一个电阻的串联组合或一个电流源和一个电阻的并联组合 。
化简方法,反复运用电阻的串、并联等效，理想电压源、
电流源的串、并联等效，实际电源两种模型的等效。
例,如图电路，求含电压源的最简等效电路。
Ω5 Ω1 Ω4
Ω2
Ω3
Ω2
Ω1
3A +
12V
-
Ω8
-
5V
+
2,5 混联电路的分析等效化简分析法的基本思想,通过等效变换将电路化简为一个单回路电路或单节偶电路，再利用全电路欧姆定律或弥尔曼定理求解。
例,如图电路，求 U。
此电路可认为是广义的单节偶电路，将电导与电压源串联支路用电流源与电导并联支路来等效替代根据弥尔曼定理，节偶电压
4321
443322114321 GGGG UGUGUGUGIIIIU SSSSSSSSS
此式称 推广的弥尔曼定理,该式的分母是各支路电导的和；分子是各电源流入假定高电位点电流的代数和，包括与电压源和电阻相串联支路等效的电流源的电流。以后课直接用推广的弥尔曼定理求解题目。
2,6 含受控源二端网络的化简及含受控源混联电路的分析
2.6.1 两个结论
2.6.2 含受控源二端网络的化简思路
2.6.3 含受控源混联的分析
2.6.1 两个结论
1,任何由受控源和电阻通过串,并,混联构成的二端网络都可以用一个电阻来等效 。
2,任何由受控源,电阻和独立源通过串并,混联构成的二端网络都可以用一个都可以用一个电压源和一个电阻相串联或一个电流源和一个电阻相并联的二端网络来等效 。
2.6.2 含受控源二端网络的化简思路采用外加电压法或外加电流法 。
1,在二端网络端钮上加上一个电压源或电流源,标出端钮电压,电流的参考方向 （ 尽量取关联 ） 。
2,将受控源作为独立源看待,将电路等效化简为单回路电路或单节偶电路 。 注意在进行等效变换时,应保留控制量所在的支路 。
3,列写端钮伏安关系,化简为 U=IR 或 U=IR+US的形式 。
4,画出等效电路 。
例,如图电路，求等效电阻。
I
R 2
R 1I
+
-
U? I R 2
R 2R 1I
+
-
U
例,求下图二端网络最简等效电路。 I 1
Ω3
Ω2
Ω6
+
6V
-
+
6I 1
-
+
U
-
I
2.6.3 含受控源混联的分析分析方法,先对电路进行化简，再运用两类约束关系列方程求解未知量。
例,如图求 I。
Ω1kΩ
1k
Ω1k
Ω2k
4.5
mA
0.5I 1
I I 1
2,7 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换三个电阻可以接成星形,也可以接成三角形,两者可以等效变换 。
1,Y→ △,
3
21
2112 R
RRRRR
2
31
3113 R
RRRRR
1
32
3223 R
RRRRR
当 R1=R2=R3=RY,R12=R13=R23=Ry时,
有 R△ = 3 RY
2,△ → Y
231312
1312
1 RRR
RRR
231312
2312
2 RRR
RRR
231312
2313
3 RRR
RRR
当 R1=R2=R3=RY,R12=R13=R23=R△ 时，有 RY= 1/3 R△
1,深刻理解两个结构不同的二端网络等效的概念 。
2,熟练掌握电阻串联,并联及串并联混联电路等效化简为一个等效电阻的方法 。
3,熟练掌握电压源串联和电流源并联等效化简为一个等效电压源和一个等效电流源的方法 。
4,熟练掌握两类实际电源模型等效互换的方法 。
5,掌握星形 （ Y） 电阻网络与三角形 （ △ ） 电阻网络等效互换的方法 。
6,掌握含源线性二端网络等效化简的方法 。
7、掌握用等效化简的方法分析电阻电路。
2 电阻电路的等效变换
2,1 二端网络等效的概念
2,2 电阻串、并联电路的等效电路
2,3 实际电压源和实际电流源的电路模型及其等效变换
2,4 含独立源支路的等效电路
2,5 混联电路的分析
2,6 含受控源二端网络的化简及含受控源混联电路的分析
2,7 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换
2,1 二端网络等效的概念
1,二端网络,由多个元件组成的电路,但只有两个端纽与外部连接 。 二端网络的性质可以由其端钮的伏安特性表示 。
2,无源二端网络：内部不含独立源的二端网络,一般可等效为一个电阻 。
3,有源二端网络：内部含独立源的二端网络,一般可等效为一个电压源和一个电阻的串联,或一个电流源和一个电阻的并联 。
4,等效二端网络,如果两个二端网络 N1和 N2端钮上的伏安特性完全相同,则 N1和 N2等效 。 注意,1） 等效是指 N1和 N2对 外接电路的作用完全相同,即端钮上等效,不是指 内部结构 相同 。 2） 同一电路,端口不同,则等效电路不同 。
因为等效电路在电路中对外部电路的作用完全相同，所以等效电路在电路中可以相互替换。
2,2 电阻串、并联电路的等效电路
2.2.1 电阻的串联
2.2.2 电导的并联
2.2.1 电阻的串联
R为串联电阻的等效电阻,
可以证明,R=R1+R2+… +Rk，
简单证明如下,对 N1,其伏安关系：
U=I× (R1+R2+… +Rk)
对 N2,其伏安关系,U=IR
∵ N1与 N2等效 ∴ R=R1+R2+… +Rk
由几个电阻相串联组成的二端网络 N1,可以用一个电阻来等效（ N2），
如右图。
2.2.2 电导的并联由几个电导并联组成的二端网络,可以用一个电导来等效 。 等效电导为：
G=G1+G2+… +Gk
一个由电阻串并联组成的二端网络，也可以用一个电阻来等效。运用电阻串并联等效变换，可以把一个复杂的纯电阻二端网络逐步化简为一个等效电阻。
2.2.3 电阻的混联例,如图电路，求 a,b端的等效电阻。
2,3 实际电压源和实际电流源的电路模型及其等效变换
2.3.1 实际电压源的电路模型
2.3.2 实际电流源的电路模型
2.3.3 两种电源模型的等效变换
2.3.4 两个结论
2.3.1 实际电压源的电路模型
1,实际电压源用理想电压源和电阻串联作为电路模型,如图 。
当 I=0时，即实际电压源空载时,U=US,称 US为空载电压；
S
S
R
UI?当 U=0时，即实际电压源短路时,—— 短路电流；
当 RS=0时,U=US—— 理想电压源； RS称为实际电压源的内阻。
2、端钮伏安关系式,U=US-IRS
2.3.2 实际电流源的电路模型
1、用理想电流源和电阻并联作为实际电流源的电路模型，如图。
2,端钮伏安关系,I=IS-GSU
当 U=0,I=IS,IS为实际电流源端钮短路时输出电流 —— 短路电流；
当 I=0,即实际电流源开路时,U=ISRS—— 开路电压；
当 R→∞,I=IS—— 理想电流源,RS为实际电流源的内阻。
2.3.3 两种电源模型的等效变换实际电压源模型和实际电流源模型可以等效变换。
1、等效的条件,两个网络端钮上的伏安关系相同。
实际电压源模型的伏安关系,
SS IRUU
实际电流源模型的伏安关系：
SSS
S
S IRRIUR
UII
'
①
②
当 US=IRS,RS=RS’（ 等效条件 ）,① 式 ② 式完全相同,两种电源模型等效 。
等效的条件,US=IRS,RS=RS’。
2,实际电压源模型等效变换为实际电流源模型：
注意：电流源参考方向与电压源参考极性一致。
等效条件为,',
SS
S
S
S RRR
UI
3.实际电流源模型等效变换为实际电压源模型：
注意,IS和 US的参考方向应一致。
等效条件为,',
SSSSS RRRIU
例,如图电路分别求含电流源和电压源的最简等效电路。
2.3.4 两个结论
1,与理想电压源并联的元件 （ 电流源或电阻 ） 在求其组成的二端网络的等效电路时可以去掉 ！
2、与理想电流源串联的元件（电压源或电阻）在求其组成的二端网络的等效电路时可以去掉！
2,4 含独立源支路的等效电路
2.4.1 理想电压源的串联
2.4.2 理想电流源的并联
2.4.3 含独立源和电阻的二端网络的化简
2.4.1 理想电压源的串联如图,由 3个理想电压源串联组成的二端网络 N。
VAR,KVL,U-US1-US2+US3=0
∴ U=US1+US2-US3
可见,N可以用 1个理想电压源来等效
（ 参考极性上 +下 -）,
US=US1+US2-US3,US为几个串联电压源的等效电压源 。
注意：等效时要先确定 等效电压源 US的参考极性。
2.4.2 理想电流源的并联如图,由 3个理想电流源并联组成的二端网络 N。
VAR,KCL,I=IS1+IS2-IS3
可见,N可以用 1个理想电流源来等效 （ 参考方向向上 ）,
IS= IS1+IS2-IS,IS为几个并联电流源的等效电流源。
注意：等效时要先确定等效电流源 IS的参考方向。
2.4.3 含独立源和电阻的二端网络的化简结论,由独立源和电阻串,并联及混联联接组成的二端网络总可以化简为一个电压源和一个电阻的串联组合或一个电流源和一个电阻的并联组合 。
化简方法,反复运用电阻的串、并联等效，理想电压源、
电流源的串、并联等效，实际电源两种模型的等效。
例,如图电路，求含电压源的最简等效电路。
Ω5 Ω1 Ω4
Ω2
Ω3
Ω2
Ω1
3A +
12V
-
Ω8
-
5V
+
2,5 混联电路的分析等效化简分析法的基本思想,通过等效变换将电路化简为一个单回路电路或单节偶电路，再利用全电路欧姆定律或弥尔曼定理求解。
例,如图电路，求 U。
此电路可认为是广义的单节偶电路，将电导与电压源串联支路用电流源与电导并联支路来等效替代根据弥尔曼定理，节偶电压
4321
443322114321 GGGG UGUGUGUGIIIIU SSSSSSSSS
此式称 推广的弥尔曼定理,该式的分母是各支路电导的和；分子是各电源流入假定高电位点电流的代数和，包括与电压源和电阻相串联支路等效的电流源的电流。以后课直接用推广的弥尔曼定理求解题目。
2,6 含受控源二端网络的化简及含受控源混联电路的分析
2.6.1 两个结论
2.6.2 含受控源二端网络的化简思路
2.6.3 含受控源混联的分析
2.6.1 两个结论
1,任何由受控源和电阻通过串,并,混联构成的二端网络都可以用一个电阻来等效 。
2,任何由受控源,电阻和独立源通过串并,混联构成的二端网络都可以用一个都可以用一个电压源和一个电阻相串联或一个电流源和一个电阻相并联的二端网络来等效 。
2.6.2 含受控源二端网络的化简思路采用外加电压法或外加电流法 。
1,在二端网络端钮上加上一个电压源或电流源,标出端钮电压,电流的参考方向 （ 尽量取关联 ） 。
2,将受控源作为独立源看待,将电路等效化简为单回路电路或单节偶电路 。 注意在进行等效变换时,应保留控制量所在的支路 。
3,列写端钮伏安关系,化简为 U=IR 或 U=IR+US的形式 。
4,画出等效电路 。
例,如图电路，求等效电阻。
I
R 2
R 1I
+
-
U? I R 2
R 2R 1I
+
-
U
例,求下图二端网络最简等效电路。 I 1
Ω3
Ω2
Ω6
+
6V
-
+
6I 1
-
+
U
-
I
2.6.3 含受控源混联的分析分析方法,先对电路进行化简，再运用两类约束关系列方程求解未知量。
例,如图求 I。
Ω1kΩ
1k
Ω1k
Ω2k
4.5
mA
0.5I 1
I I 1
2,7 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换三个电阻可以接成星形,也可以接成三角形,两者可以等效变换 。
1,Y→ △,
3
21
2112 R
RRRRR
2
31
3113 R
RRRRR
1
32
3223 R
RRRRR
当 R1=R2=R3=RY,R12=R13=R23=Ry时,
有 R△ = 3 RY
2,△ → Y
231312
1312
1 RRR
RRR
231312
2312
2 RRR
RRR
231312
2313
3 RRR
RRR
当 R1=R2=R3=RY,R12=R13=R23=R△ 时，有 RY= 1/3 R△
