第 5章 正弦交流电路中的电压电流 相量法第 5章 正弦交流电路中的电压、电流相量法
5.1 正弦量的基本概念
5.2 正弦量的相量表示法
5.3 基尔霍夫定律的相量形式
5.4 电容元件和电感元件
5.5 三种元件伏安特性的相量形式
5.6 5.8 统一的伏安关系相量形式 —— 阻抗和导纳的引入 等效相量模型
5.7 5.10 一般正弦交流电路的计算（用相量法分析正弦交 流电路）
5.11 双口网络重点：
相位差
正弦量的相量表示
复阻抗复导纳
相量图
用相量法分析正弦稳态电路
正弦交流电路中的功率分析一,正弦量的三要素：
i(t)=Imsin(w t +y )
i
+ _u
5,1 正弦量的基本概念
(1) 幅值 (amplitude) (振幅,最大值 ) Im
(2)角频率 (angular frequency) w
Tfw 22
dttd )( yww
单位,rad/s(3) 初相位 (initial phase angle) y
(w t +y ) 相位 ys i n)(
0 mt Iti
0
T
t
w t?
2
w
i i
I
m
1.
交流量任一时刻的值称瞬时值 。 瞬时值中的最大值 (指绝对值 )
称为正弦量的振幅值,又称峰值 。 Im,Um分别表示正弦电流,电压的振幅值 。
图 5.1 正弦量的波形图
2.周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期 。 通常用,T”表示,
单位为秒 (s)。 实用单位有毫秒 (ms),微秒 (μs),纳秒 (ns)。 正弦量每秒钟变化的周数称为频率,用,f”表示,单位为赫兹 (Hz)。
周期和频率互成倒数,即
3,相位,角频率和初相正弦量解析式中的 ωt+φ称为相位角或电工角,简称相位或相角 。 正弦量在不同的瞬间,有着不同的相位,因而有着不同的状态 (包括瞬时值和变化趋势 )。 相位的单位一般为弧度 (rad)。
相位角变化的速度
Tf 1?
w?wdttd )(
称为角频率,其单位为 rad/s或 1/s。 相位变化 2πrad,经历一个周期 T,那么
fTw 22
t=0时,相位为 φ,称其为正弦量的初相。此时的瞬时值
i(0)=I m sinφ,称为初始值。 如图 5.2所示。
由式可见,角频率是一个与频率成正比的常数。
)s in ()2s in ( 2)( tf TIIti mm
i
I
m
0 t
w t
w t w t
tt0 0
I
m I m
i
i
6
i ( t ) = I
m
s i n w t
i ( t ) = I
m
s i n ( w t + )
6
i ( t ) = I
m
s i n ( w t － )
6
6
( a ) ( b ) ( c )
图 5.2 计时起点的选择当 φ=0时,正弦波的零点就是计时起点,如图 5.2(a)所示； 当
φ>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于 φ=0 的图 5.4例
5.1图 波形左移 φ角,如图 5.2(b)所示； 当 φ<0,正弦波零点在计时起点之右,其波形相对于 φ=0的波形右移 |φ|角,如图 5.2(c)所示。
以上确定 φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点 。 在图 3.3中,确定 φ角的零点是 A点而不是 B点,
φ=― 120 ° 而不是 240° 。
i
′
0
AB
w t
图 5.3 初相的规定规定,|? | (180° )
mV)ts in()t(,mV)ts in( iu abab 36 2 0 0 052 0 0 03 0 0
(1) t=100 ms时,u ab,i ab 分别为
m
mV
u
u
ab
ab
33.4s i n5)1.02 0 0 0s i n (5)1.0(
1 5 0s i n3 0 0)1.02 0 0 0s i n (3 0 0)1.0(
33
66
mAttt ii abba )2 0 0 0s in ()2 0 0 0s in ()( 32535（ 2）
mAi ba 33.4325 )s in ()1.0(
解例 5.1 给出正弦电压 u ab 和正弦电流 iab 的波形 。 由波形知 uab
和 iab 的最大值分别为 300mV和 5 mA,频率 都为 1 kHz
,角频率为 2000πrad/s,初相分别为 和,,
(1) 写出 uab 和 iab 的解析式并求出它们在 t=100 ms时的值 。
(2) 写出 iba 的解析式并求出 t=100ms时的值 。
6
3
它们的解析式分别为：
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i)
相位差? = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
>0,u 领先 (超前 )i,或 i落后 (滞后 ) u
w t
u,i
u
i
yuyi
0
<0,i 领先 (超前 ) u,或 u 落后 (滞后 ) i
= 0,同相,? = (? 180o ),反相：
规定,|? | (180° )
特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
ui
0
= 90°
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
不说 u 落后 i 270°
或 i 领先 u 270°
例 5.2 求两个正弦电流 i 1(t)=― 14.1 sin(ωt― 120° )，
i 2(t)=7.05 cos(ωt― 60° )的相位差 φ12 。
解 把 i 1和 i 2写成标准的解析式,求出二者的初相,再求出相位差 。
)s i n ()s i n ()(
)s i n ()s i n ()(
3005.7906005.7
601.141801201.14
000
2
000
1
ttt
ttt
i
i
ww
ww
303060
3060
000
0
2
0
1,
φφφ
φφ
2112
则当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们之间的初相也随之改变,但二者的相位差却保持不变。
例 5.3 三个正弦电压 uA(t)=311sin314tV，
uB(t)=311 sin(314t+2π/3) V,uC(t)=311sin(314t― 2π/3) V,若以 uB
为参考正弦量,写出三个正弦电压的解析式 。
解 先求出三个正弦量的相位差,由已知得
3
2
0
3
2
3
2
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
0
)(
)(
CA
BC
AB
以 uB为参考正弦量,它们的解析式为
V)ts i n ()t(
V)ts i n ()t(
tVs i n)t(
u
u
u
C
A
B
3
2
3 1 43 1 1
3
2
3 1 43 1 1
3 1 43 1 1
1,定义有效值也称 方均根值
(root-meen-square，
简记为 rms。 )
三,有效值 (effective value)
T ttiTI 0 2d e f d)(1
W2=I 2RT
R
i(t)
R
I
T tRtiW 0 21 d)( T tRtiRTI 0 22 d)(
T ttiTI 0 2 d)(1
物理含义电压有效值 T ttu
TU 0
2d e f d)(1
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。 如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻 R,在一个周期 T内所产生的热量相等,那么这个直流电流 I的数值叫做交流电流的有效值。
由此得出
2,正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imsin(w t + y )
ttITI T d ) (s i n1 0 22m yw
Tttttt TTT 2121d2 )(2c o s1d ) (s i n 000 2 ywyw?
II
I
IT
I
T
I
2
707.0
22
1
m
m
m2
m
) s i n (2) s i n ()( m ywyw tItIti
T ttiTI 0 2d e f d)(1
注意,只适用正弦量例 5.4 一个正弦电流的初相角为 60°,在 时电流的值为
5 A,试求该电流的有效值 。
解 该正弦电流的解析式为
4T
)s i n (
)s i n (
)s i n ()(
32
5
60
4
5
60
0
0
w
w
I
t
I
Ii
m
m
m
tt
由已知得或
A
A
I
I
I
I
m
m
m
07.7
2
10
2
55
6
5
10
21)6/5s i n (
)s i n (
对应的有效值则
5.2 正弦量的相量表示法
5.2.1正弦量的相量表示
1,正弦量的向量表示设某正弦电流为根据欧拉公式可以把复指数 展开成
)s i n ()( 2 itt Ii?w
)(2 itjeI?w?
eImIeIemIemIi
IjIeI
tjtjjtj
ii
tj
ii
i tt
www
w?w?w
.
)(
)(
222
222 )s in ()c o s (
上式的虚部恰好是正弦电流 i,即上式中,Im［ ］ 是,取复数虚部,的意思,而
i
tj IIeI iw )(.
像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数 就叫做正弦量的相量 。 同样,正弦电压的相量为相量是一个复数,它表示一个正弦量,所以在符号字母上加上一点,以与一般复数相区别 。 特别注意,相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量 。 二者不能用等号表示相等的关系,
只能用,,符号表示相对应的关系相量也可以用振幅值来定义 。
2,相量图及参考相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 5.6(a)所示 。 画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,
再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
uUU
.
tUtuUtu
tItiIti
w
w
..
..
Im2)()(
Im2)()(
( a ) ( b )
w t
w t
2
w t
1
w
t 1
w
t 2
0 ＋ 1
i
0
＋ j
＋ j
＋ 1
i
i
i
2 I
.
0
图 5.6 正弦量的相量图
3,旋转因子及旋转相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 5.6(a)所示 。
画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
e jωt = /ωt 是一个旋转因子 。 相量 乘以 /ωt 表示相量 m以 ω为角速度沿逆时针方向旋转,t=0时,幅角位于 φ i 处 。
旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ωt+φi )为正弦量的瞬时值 。
Im sinφ i 为 i(t)的初始值,如图 4.6(b)所示 。 所以,也可以用旋转相量表示正弦量 。
例 5.5 已知正弦电压 u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V,u2(t)=70.5
sin(ωt-π/6) V,写出 u1和 u2的相量,并画出相量图 。
mII,.2?
2
V.Uu
VUu
.
.
6
50
62
570
3
1 0 0
32
1 4 1
22
11
＋ 1
U
1
.
U
2
.
6
3
例 5.6 已知两个频率均为 50 Hz的正弦电压,它们的相量分别为 ù1=380 /π/6 V,2=220 /—π/3 V,试求这两个电压的解析式 。
解 ω=2πf=2π× 50=314 rad/s
u 1= U 1 sin(ωt+φ 1 )=380 sin(314t+π/6)V
u 2= U 2 sin(ωt+φ 2 )=220 sin(314t-π/3) V
5.2.2 两个同频率正弦量之和
1,两个同频率正弦量的相量之和设有两个同频率正弦量
2
22
21.U
2.U
)s i n (2)s i n ()(
)s i n (2)s i n ()(
22122
11111
w?w
w?w
tUtUtu
tUtUtu
m
m
利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即
)s i n (2)()()( 21?w tUtututu
其中
2211
221
2
2211
2
2211
c o sc o s
s ins ina r c t a n
)s ins in()c o sc o s(
UU
UU
UUUUU
2
.
1
.,UUU
I
2
.
I
2
.
I
1
.
I
2
.
( a )
I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
－ I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
I
1
.
( b )
I
1
.
＋
图 5.8 两个相量加减的三角形法则可以看出,要求出同频率正弦量之和,关键是求出它的有效值和初相。
可以证明,若 u=u 1+u 2,则有
2,求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式 。
(2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。
(3)作相量图,按照矢量的运算法则求相量和 。
如图 5.8所示 。 图 5.9表示多个相量加减的多边形法则 。
例 5.7 uA(t)=220 sinωtV,uB(t)=220 sin(ωt—120° ) V,求
u A+uB和 uA—uB 。
解 (1) 相量直接求和。
2 2
Vtuu
Vtuu
VjUUuu
VjUUuu
Vj
jUu
VjUu
BA
BA
BA
BA
BA
BA
B
B
A
A
)30( s in23 8 0
)60( s in22 2 0
603 8 031 1 03 3 0
602 2 031 1 01 1 0
31 1 01 1 0
)1 2 0s i n (2 2 0)1 2 0( c o s (2 2 01 2 02 2 0
02 2 002 2 0
0
0
0
..
0
..
000
.
0
.
/
/
/
/
w
w
(2) 作相量图求解 。 见图 5.10,根据等边三角形和顶角为
120° 的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果,读者自行分析 。
1 2 0 °
1 2 0 °
1 2 0 °
60°
30°
30°
U
A
.
U
B
.
U
C
.
U
B
.
U
B
.
U
A
.
＋
U
B
.
U
A
.
－
U
B
.
－
图 5.10 例 5.7图
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
2
.
U
.
U
3
.
U
4
.
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
.
－ U
4
.
＋ ＋=
图 5.9 相量加减的多边形法则
5.3 基尔霍夫定律的相量形式
5.3.1基尔霍夫结点电流定律的相量形式根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系,可以推出：
正弦电路中任一结点,与它相连接的各支路电流的相量代数和为零,即式 (5—34)就是基尔霍夫结点电流定律的相量形式,简称 KCL
的相量形式 。
5.3.2回路电压定律的相量形式同理可以推出正弦电路中，任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零,即
0,I (5—34)
0,U
(5—35)
式 (5——35)就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式,简称
KVL的相量形式 。
电路定律的相量形式和电路的相量模型一,基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
二,电路元件的相量关系
I
C
Uti
C
u
ILjU
t
i
Lu
IRURiu
w
w
j
1
d
1
d
d
三,电路的相量模型 (phasor model )
时域列写微分方程 相量形式代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jwL
1/jwCSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 相量模型
RCL iii
RCL III
Sdd
d uti
Ct
iL
CL
1
tiCiR CR d1
Sj
1 UI
CILj CL ww
CR ICIR wj
1?
相量模型,电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
综上所述,正弦电路的电流,电压的瞬时值关系,
相量关系都满足 KCL和 KVL,而有效值的关系一般不满足,要由相量的关系决定 。 因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑 。
例 3.14正弦电路中,与某一个结点相连的三个支路电流为
i 1,i 2,i 3。 已知 i 1,i 2流入,i 3流出解 先写出 i1和 i2的相量 (注意,i1的初相应为 60° +90° =150° ) ttitti ww s i n25)(,)60c o s (210)( 2
01
求 i 3 。
i 3的相量为,由 KCL得
w
).ts in()t(i
./.j.j.III
III
...
...
0
3
0
213
321
21 2 6226
21 2 626566355668
0
02.01,150/5,)566.8(150/10 IjI
3
.I
小结
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用正弦波形图 相量图
5.4电容元件和电感元件
5.4.1
1,
电容元件是各种实际电容器的理想化模型,其符号如图 5.11(a)
所示。
电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电容，理想电容器的电容为一常数,电荷量 q总是与端电压 u成线性关系,即
i
uC
a
b
＋
－ q
－
＋ q
( a ) ( b )
q /C
u / VO
5.11理想电容的符号和特性
SI中电容的单位为法拉,简称法,符号为 F。 常用单位有,微法
(μF),皮法 (pF)。 式 (5——8)表示的电容元件电荷量与电压之间的约束关系,称为线性电容的库伏特性,它是过坐标原点的一条直线 。 如图 5.11(b)所示 。
2.
对于图 3.11(a),当 u,i取关联参考方向时,结合式 (5——8),有
Cuq? (5—8)
dtduCdt
Cud
d
dqi )( (5—9)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtduCi
电容的伏安特性说明,任一瞬间,电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比,而与这一瞬间电压大小无关 。
对式 (5——9)进行积分可求出某一时刻电容的电压值 。 任选初始时刻 t 0。 以后,t 时刻的电压为
t
t
t
t
t
t
tt
di
C
utu
di
C
tu
di
C
di
C
di
C
tu
0
0
0
0
)(
1)0()(
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
(5——10)
若取 t 0=0,则
3,电容元件的电场能关联参考方向下,电容吸收的功率
dtduCuiup
电容元件从 u(0)=0 (电场能为零 )增大到 u(t)时,总共吸收的能量,
即 t时刻电容的电场能量 。
)()( 200 21 tt CuC ud up duW tuC (5—11)
当电容电压由 u减小到零时,释放的电场能量也按上式计算。
动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换，
本身不消耗能量。
例 5.8 (1) 2μF 电容两端的电压由 t=1μs时的 6 V线性增长至
t=5μs时的 50 Ｖ,试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能 。
(2) 原来不带电荷的 100 μF的电容器,今予以充电,充电电流为 1 mA,持续时间为 2 s,求电容器充电后的电压 。 假定电压,
电流都为关联参考方向 。
解 (1) 由式 (5—9)得
2210)15( 650102 66dtduCi
增加的电场能量
J
CuCuC
10464.2
362500102
2
1
2
1
2
1
3
6
2
1
2
2
)(
w
(2) 由式 (5——11)和已知条件 u(0)=0,求出 2 s末的电压
VdttiCuu 20102101 0 0 1)(1)0()2( 3620
4,电容的串并联
(1) 电容的并联如图 5.12所示 。
CuqCuq
CuqCuq
qqqq
3322
11
321
,
,
CCCC
uCCCCu
321
321 )(
对于线性电容元件有 u
＋
C 1
－
＋ q 1 ＋ q 2 ＋ q 3
C 2 C 3
－
u
＋
＋ q
C
图 5.12 电容的并联当电容器的耐压值符合要求,但容量不够时,可将几个电容 并联 。
(5—12)
(2) 电容的串联如图 3.13所示
uuuu 321
C
qu
C
qu
C
qu
C
qu
3
3
2
2
1
1,,,
代入电压关系式得
CCCC
q
CCCC
q
321
321
1111
111 )(
则电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数之和 。 电容的串联使总电容值减少 。 每个电容的电压为
(5—13)
uCCuuCCuuCCu
3
3
2
2
1
1,,
u
＋
C
1
－
＋ q
q
＋
＋ q
C
2
C
3
－
u
＋
C
＋ －
＋－ u
3
＋
－
u
2
图 5.13 电容的串联当电容器的电容量足够而耐压值不够时,可将电容器串联使用,但对小电容分得的电压值大这一点应特别注意 。
例 5.9 电容都为 0.3 μF,耐压值同为 250 V的三个电容器 C 1、
C 2,C 3的连接如图 5.14所示 。 试求等效电容,问端口电压值不能超过多少?
解 C 2,C 3 并联等效电容两个电容的分压值为
uCC CuCCuuCC CuCCu
21
1
3
2
21
2
1
1,
uFCCC 6.03223
uFCC CCC 2.06.03.0 3.03.0
231
231
总的等效电容
C 1小于 C 23,则 u 1＞ u 23,应保证 u 1
不超过其耐压值 250 V。 当 u 1=250 V时,
VuCCu 1 252 506.0 3.01
23
123
u
＋
C
1
－
C
2 C 3
＋ －
u
1
u
23
＋
－
图 5.14 例 3.9图
5.4.2
1,电感元件,电感元件是实际电感线圈的理想化模型 。 其符号如图 5.15所示 。
Vuuu 3 7 51 2 52 5 0231所以端口电压不能超过
u
＋
－
L
i
O
i
u
＋
－
b
a
( a ) ( b )
( c )
t
图 5.15 电感元件的符号和特性如图 5.15(a)所示 。 在 SI中,Φ的单位与 Ψ相同,为韦 (伯 ) 。
磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感或自感。
电感元件的电感为一常数,磁链 Ψ总是与产生它的电流 i成线性关系,即在 SI中,电感的单位为亨 (利 ),符号为 H,常用的单位有毫亨 (mH),微亨 (μH)。 式 (5——16)所表示的电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系称为线性电感的韦安特性,是过坐标原点的一条直线 。 如图 5.15(c)所示 。
2,电感元件的伏安特性根据电磁感应定律,感应电压等于磁链的变化率 。 当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时,可得
Li?y (5——16)
dtdu
当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时,结合式 (5—16)有电感元件的伏安特性说明,任一瞬间,电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比,而与该瞬间的电流无关 。 电感元件也称为动态元件,它所在的电路称为动态电路 。 电感对直流起短路作用 。
对式 (5——17)进行积分可求出某一时刻电感的电流值 。 任选初始时刻 t 0后,t时刻的电流为
dtdiLdtd L idt
du y (5——17)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtdiLu
t
t
t
t
tt
du
L
ti
du
L
du
L
du
L
ti
0
0
0
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
0
若取 t=0,则
3,电感元件的磁场能关联参考方向下,电感吸收的功率
t duLiti 0 )(1)0()(
dtdiLiuip
电感电流从 i(0)=0增大到 i(t)时,总共吸收的能量,即 t时刻电感的磁场能量
)()( 200 21 tt LidiLidtpW tiL
当电感的电流从某一值减小到零时,释放的磁场能量也可按上式计算。 在动态电路中,电感元件和外电路进行着磁场能与其它能相互转换,本身不消耗能量。
例 5.10 电感元件的电感 L=100 mH,u和 i的参考方向一致,i的波形如图 5.16(a)所示,试求各段时间元件两端的电压 uL,并作出 uL
的波形,计算电感吸收的最大能量 。
( b )
u
＋
－
L
i
0 1 2
10
3 4 5 t / m s
i / m A
u / V
0 1 2 3 4 5 t / m s
－ 1
1
( a )
图 5.16 例 3.10图解 uL与 i所给的参考方向一致,各段感应电 压为
(1) 0～ 1 ms间，
VtiLdtdiLu L 1101 101010100 3
3
3?
(2) 1～ 4 ms 间,电流不变化,得
uL=0
(3) 4～ 5 ms 间，
VtiLdtdiLu L 1101 1010010100 3
3
3
uL的波形如图 5.16(b)所示 。
JLiW mL 1051010101002121 62332m a x )(
5.5 三种元件伏安特性的相量形式
5.5.1
1,伏安特性在图 5.19(a)中,设电流为
)s i n (2)( utIti?w
则有
)s i n ()s i n ( 22)( uii tt URIRitu?w?w
上式表明,电阻两端电压 u和电流 i 为同频率同相位的正弦量,它们之间关系如下
ui
RIU
(5——21)
φi =0时的 u和 i 的波形如图 5.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
φi =0时的 u和 i 的波形如图 5.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
u
＋
－
R
i
a
b
( a )
＋
－
R
a
b
( b )
U
.
u
＝?
i
U
.
I
.
( c )
图 5.19电阻元件的相量模型及相量图
..
.
.
/
/
IRU
R
I
U
I
U
i
u
根据式 (5——22)画出电阻的相量模型如图 5.19(b)所示,相量图如图 5.19(c)所示 。
2,功率
（ 1）瞬间功率关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率 p=ui,为了计算方便
0 w t
i
u
u,i
P
p
P
m
=U
m
I
m
P = P
m
= U I
1
2
p
图 5.20电阻元件 i,u,p波形
0i
0
222
)2c o s1(
s ins ins in 2
t
ttt
UI
UIIUp
w
www
其波形如图 5.20所示。
又称为有功功率,其单位是瓦 (W)或千瓦 (kW)
例 5.11 一电阻 R=100Ω,通过的电流 i(t)=1.41sin(ωt-30° ) A。
(1) R两端电压 U和 u，
(2) R消耗的功率 P。
解 (1)
（ 3）平均功率平均功率定义为瞬时功率 p在一个周期 T内的平均值,用大写字母 P表示 。 即
R
URIUI
tUITu i dtTp dtTP TTT
2
2
000
2c o s1(111
w
(5——23)
1
2
41.1
2
II m
Vtt
V
Ritu
RIU
)30s i n ()30s i n ( 00 1 4 141.11 0 0)(
1 0 011 0 0
ww
电压或利用相量关系求解对应的正弦量
Vtttu )30s i n ()30s i n ( 00 1 4 121 0 0)( ww
VU 100?
(2) R消耗的功率
W
W
RIP
UIP
1 0 01 0 01
1 0 01 0 01
2
或
00
00
3010030100
30130
2
411
//IRU
//
.
I
..
.
.
5.5.2
1．
在图 5.21(a)中,设通过电感元件的电流为则有
)s i n (2)( itIti?w
)s i n ()s i n (
)c o s (
222
2)(
ui
i
tt
t
ULI
LIdtdiLtu
w?ww
ww
上式表明电感两端电压 u和电流 i是同频率的正弦量,电压超前电流 90° 。 用 XL表示 ωL后,电压和电流有效值关系为
)( IXUIXU mLmL
即
90 0
iu
L IXU
u
＋
－
L
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
( c )
j X
L
u
图 5.21电感元件的相量模型及相量图
IUIUfLLX M mLw 2 (5—25)
而称为感抗,单位为欧姆。
感抗的倒数
LXB L w11 (5——26)
称为感纳,单位为西门子 (S)。
电感电流相量和电压相量的关系为
IjXU L
即 (5—27)
由式 (5——27) 画出电感的相量模型如图 5.21(b),相量图如图 5.21(c)
所示 。
L
i
u jX
I
U
I
U
/
/
.
.
2,功率
（ 1）瞬时功率在关联参考方向下,当 φ i =0时,电感吸收的瞬时功率为
tttt
tt
XIUIUI
IUuip
L wwww
ww
2s in2s ins inc o s
s in)s in (
22
2212
如图 3.22所示。 最大值为 UI或 I2XL。
电感储存磁场能量
4
T
w t0
p i,u
ui
p
4
T
4
T
4
T
－－
＋
＋
图 5.22 电感元件的 i,u,p波形
)2c o s(
s i n
12
1
2
1
2
1
2
222
t
t
LI
LILiW mL
w
w
（ 2）平均功率磁场能量在最大值 和零之间周期性地变化,总是大于零 。)( 22
21 LILI m
02s i n111 000 dttUITdtuiTdtpTP TTT w
为了衡量电感与外部交换能量的规模,引入无功功率 QL，
XUXIUIQ LLL
22 (5—28)
例 5.12 流过 0.1 H电感的电流为试求关联参考方向下电感两端的电压 u及无功功率,磁场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
)10200s i n (215)( 0tti
VjIjXU
I
L
000
..
0
.
1 0 0/3 0 0)1090(/3 0 00/151.02 0 0
10/15
5.5.3
1．伏安特性在图 3.23(a)中,设加在电容两端的电压为
JLIW
VUIQ
Vttu
mL
L
5.2215)2(1.0
2
1
2
1
4 5 0 0153 0 0
)1 0 02 0 0s in (23 0 0)(
222
m a x
0
无功功率磁场能量的最大值
u
＋
－
C
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
I
.
( c )
j X
C
u
I
.
图 5.23 电容元件的相量模型及相量图上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量,电流超前电压 90° 。 用 XC表示 1/ωC后,电流和电压的关系为
)s i n (2)
2
s i n (2
)c o s (2)(
iu
u
tIUtCU
tCU
dt
du
Cti
w
ww
ww
090
1
ui
C
C
IXU
X
U
C
U
CUI
w
w
或 (5——29)
而
m
m
C I
U
I
U
fCCXw 2
11 (5——30)
容抗的倒数
CXB
C
C w
1 (5—31)
由式 (5——32) 画出电容元件的相量模型如图 5.23(b)所示,相量图如图 5.23(c)所示 。
2,功率
（ 1） 瞬时功率为称为容纳,单位是西门子 (S),电容电流相量和电压相量的关系为
0
p i,u
u
i
p
w t
＋
＋
－－
4
T
4
T
4
T
4
T
图 5.24 电容元件的 u,i,p波形
LL
i
u jXUjX
I
U
I
U,
.
.
/
/
如图 5.24所示 。 最大值为 UI或 I 2XC。
电容储存电场能量
ts i nXI
ts i nUItc o sts i nUI
)ts i n (Its i nUui)t(p
C w
www
ww
2
2
2
22
)2c o s1(21s i n2121 2222 tCutCUCuW mC ww
电场能量在最大值 和 0之间周期性地变
（ 2）平均功率
)(21 22 CUCU m
02s i n111 000 TTT t d tUITdtuiTdtpTP w
（ 3）无功功率
C
C X
UXIUIQ 22
电容的无功功率的单位与电感的无功功率的单位相同。
例 5.13 流过 0.5 F电容的电流 i(t)= sin(100t－ 30° ) A,试求关联参考方向下,电容的电压 u,无功功率和电场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
V
jI
C
jIjXU
I
C
02002
0
...
0
.
120/10230/90/102
30/
5.0100
11
30/1
w
JCUW
VUIQ
Vttu
mC
C
0 0 0 2.0)02.0()2(5.0
2
1
2
1
02.0102.0
)1 2 01 0 0s in (202.0)(
222
m a x
0
2
总结,电阻,电感和电容元件上电压和电流的相量关系一,电阻相量形式：
y
y
RIU
II
R
)s i n (2)( yw tIti已知
)s i n (2)()( yw tRItRitu R则
uR(t)
i(t)
R
+
- 有效值关系,UR = RI
相位关系,u,i 同相相量模型
R
+
-RU?
I?
相量关系
IRU R
时域 频域
tIti ws i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tIL
tIL
t
ti
Ltu
ww
ww
jwL
相量模型
+
-
U?
I?
有效值关系
U=wL I
相位关系
u 超前 i 90°
ILU wj?
o0 II?
U?
I?
相量图二,电感
i(t)
u (t) L
+
-
时域模型
w t
u,i u
i
0
波形图感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 感抗和频率成正比。
w
XL
XL= U/I =wL= 2? f L,单位,欧感抗;,,;,0 ),(0
开路短路直流
L
L
X
X
w
w
U=wL I
(3) 由于 感抗的存在使电流落后电压。
i
uL?w
I
UL
w
错误的写法时域 频域
tUtu ws i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tCU
tCU
t
tu
Cti
ww
ww 有效值关系
I=wC U
相位关系
i 超前 u 90°
UCI wj?
o0 UU?
U?
I?
相量图
w t
u,i
u
i
0
波形图二,电容时域模型
i (t)
u(t) C
+
-
相量模型
I?
U?
+
- Cjw
1
容抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
容抗;,0,;,),(0 C
旁路作用隔直作用直流
CX
X
w
w
I=wCU
(3) 由于 容抗的存在使电流领先电压。
i
u
C?w
1
I
U
C?
w
1
错误的写法
CI
U
w
1?
CX C w
1定义?
w
CX
电抗电阻
,I jw LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
+ -
RU?
I
UUU
I
UZ CLR
复阻抗
CLR ww j
1j
)1j( CLR ww
XR j
|Z|
R
X
阻抗三角形
iu yy
单位,?
I
UZ? 阻抗模阻抗角
ZXRZ j
5.6 5.8 统一的伏安关系相量形式 —— 阻抗和导纳的引入 等效相量模型具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠?
w L > 1/wC,X>0,? >0，电压领先电流，电路呈感性；
w L<1/wC,X<0,? <0，电压落后电流，电路呈容性；
画相量图,选电流为参考向量 (wL > 1/wC )
CU?
I?RU?
LU?
U?
22 XR UUU
电压三角形
UX
RU
U
w L=1/wC,X=0,? =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
电压三角形
UX
RU
U
|Z|
R
X
阻抗三角形
ZXRZ j
,I R
+
-
,U
+ -
RU?
+
XU?
-
jX
22 XR UUU
XR UUU
CX C w1?
一：阻抗正弦激励下
I?
ZU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
I
UZ
复阻抗纯电阻 RZ R?
LL jXLZ wj纯电感
CC jXCjZ w1
纯电容
LX L w?
感抗 容抗电导 电纳
,I
jw L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1R
+
-
RI
,
U
III
U
IY CLR
,,,
CLG ww j1j
CLR ww j1
1
j
11
)j( CL BBG
BG j
导纳
φYBGUIY ||j
|Y|
G
B
导纳三角形单位,S
ui
U
IY
yy
导纳的模导纳角
CB C w?
二,导纳正弦激励下
I?
YU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
U
IY
复导纳纯电阻 GYR?
LL jBLY wj1
纯电感
CC BCY jj w
纯电容
LB L w1?
感纳 容纳三,阻抗和导纳的等效互换
φZXRZ j
一般情况 G? 1/R B? 1/X
o
o
Z
R
jX
o
o
G jBY
φYBGY j
BGXR XRXRZY jjj 2211
2222 XR XBXR RG,
φφ ZY,|| 1||
ZY
1?
四,阻抗串、并联
I
Y
Y
IYY
U
Z
Z
UZZ
k
k
kk
k
k
kk
,
,
并联：
串联：
例 已知 Z1=10+j6.28?
Z2=20-j31.9?
Z3=15+j15.7?
求 Zab
86.289.10
5.4045.39
61.5765.3713.3281.11
o
oo
j
ZZZZ ZZZZ ab 3
21
21
3
9.312028.610
)9.3120)(28.610(
jj
jjZ
o
3
6.359.3156.1889.25
86.289.107.1515
j
jjZZZ ab
o
o
Z1Z2
Z3a
b
5.7 5.10一般正弦交流电路的计算 （ 用相量法分析正弦交流电路 ）
相量法一般步骤为：
(1) 作出相量模型图
(2) 运用直流线性电路中所用的定律,定理,分析方法进行计算 。 直接计算的结果就是正弦量的相量值 。
(3) 根据需要,写出正弦量的解析式或计算出其它量 。
一,阻抗混联电路的分析计算例 电路如图所示,uS(t)=40 sin3000t V,求 i,iC,iL。
CL
i
L
i
C
＋
－
u
S H
3
1
F
6
1
( a )
L C
＋
－
S
( b )
b b
U
.
j w L j w C
1
I
.
I
.2
解 写出已知正弦电压的相量作相量模型,如图 5.40(b)所示 。 其中,电感元件和电容元件的复阻抗分别为
VU S 0,0/40?
k
j
j
jj
jj
j
j
jj
jj
ZZ
kjj
Cj
kjjLj
ab
0
6
37/5.2
5.12
2
31
5.1
)11)(11(
)21)(12(
5.1
11
12
5.1
211
)21(1
5.15.1
2
10
6
1
3 0 0 0
11
1
3
1
3 0 0 0
w
w
总结,用相量法分析电路的正弦稳态响应步骤,
① 画相量运算电路 R,L,C? 复阻抗
② 列相量代数方程
IU,i,u?
列写电路的网孔电流方程例 1,
解,
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Ljw
cwj
1
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
SUIRILjRILjRR 3221121 )()( ww
0)()( 33112431 IRILjRILjRRR ww
0j 1)j 1( 42312332 ICIRIRICRR ww
SII4
网孔电流法列写电路的结点电压方程
1S23132 )( IUYUYY
+
_
+
_
21
S4
U
S1I?
Y1
Y2
Y3
Y4 Y5
S5
U
例 2,
解,
5S5S44254313 )( UYUYUYYYUY
结点电压法例 3,已知,
,s/r a d3 1 4,1 0 0
,F10,mH5 0 0,10,1 0 0 0 21
w
VU
CLRR 求,各支路电流。
Z1 Z2
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u
U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj w?
1
Ljw
解,画出电路的相量模型
3.2 8 920.9232.726.3 0 3
67.171 0 4 9
90105.3 1 8
5.3 1 81 0 0 0
)5.3 1 8(1 0 0 0
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
w
w
Ω1 5 71022 jLjRZ w
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj w?
1
Ljw
31.522.1 6 7
21 ZZZ
AZUI 3.525 9 8.01
AI
C
jR
CjI 0.20182.0
1
1
1
1
2
w
w
AI
C
jR
RI 0.70570.0
1 1
1
1
3
w
Ati )3.523 1 4s i n (25 9 8.01
Ati )20314s i n (2182.02
Ati )70314s i n (257.03
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
求：
已知：
ΩΩ
Ω
法一：电源变换
15j1530j30 )30j(30// 31 ZZ
解,
例 4,Z
2
SI?
Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ?
Z2
Z1Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
231 31S//
)//(
4530j15j15
)15j15(4j
o
o
3 6,9-5
455,6 5 7
A9.8113.1 o
法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
ZZIU S
Z0
Z
0
U
I
+
-
Z2
SI?
Z1 Z3
0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ω45j15
// 2310
ZZZZ
A9.8113.1454515 4586.84 o
0
0
jZZ
UI
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jw L3 。
求,Zx=Rx+jwLx。
由平衡条件：
Z1 Z3= Z2 Zx
R1(R3+jw L3)=R2(Rx+j wLx)
∴ Rx=R1R3 /R2
Lx=L3 R1/R2
例 5.
解,
Z1 Z2
Zx Z3
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ
11111S )1( IZIβZIZIZU
例 6.
解,
I
1?I
1?Iβ
Z
Z1
+
_S?U
.90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出转转
Z
IZUUI SS
)1 0 0 05050(j10410)1( 1
1
S ββZZβ
I
U
41 010410 ββ,令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压
I
U
已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,
R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
例 7.
解一：
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I
LU?
+
_
2RU?
+
_
32/4.55/ 11 RUI
I
LRR
U?
2221 )()( w
I
LR
U?
222
2
)(w
32
4.55
)3 1 4()32(
1 1 5
22
2
LR
32
4.55
)3 1 4(
80
22
2
LR
6.192R H1 3 3.02?L
A731.132/4.55/ 11 RUI
6.19731.194.3322 IUR R
HL
IUL L
133.031485.41
85.41731.145.72
2
22
w
co s2 2122212 UUUUU
22121 LR UUUUUU
1.1 1 54 2 3 7.0co s
9.641802
VUU L 45.729.64s i n80s i n 222
VUU R 94.339.64c o s80c o s 222
1U?
LU?
I?
2RU?
2U
2
U?
解二：
Ω86.419.64s i n22.46s i n || 222θZX
H133.0)2/(22 fXL?
Ω6.199.64co s22.46co s || 222ZR
Ω22.46731.1/80/|| 22 IUZ
本章小结,
1,正弦量三要素,Im,w,y
电阻 电容电感2.
时域 u=Ri tiLu dd? tuCi dd?
频域 (相量 ) IRU ILU wj? UCI wj?
有效值 U=RI U=XLIX
L=wL
U= -XCI
XC= -1/(wL)
有功 P=I2R=U2/R 0 0
无功 0 Q=ILUL Q= -ICUC
能量 W=Li2/2 W=Cu2/2
相位?U?I?U
U?I
I
3.相量法计算正弦稳态电路
① 先画相量运算电路电压、电流?相量复阻抗
② 相量形式 KCL,KVL定律，欧姆定律
③ 网络定理计算方法都适用
④ 相量图
5.11 双口网络
5.11.1 二端口网络的 Z方程和 Z参数
Z方程是一组以二端口网络的电流?1和?2表征电压 和 的方程 。二端口网络以电流?1和?2作为独立变量，电压 和 作为待求量，根据置换定理，二端口网络端口的外部电路总是可以用电流源替代，如图 5-1(a)所示，替代后网络是线性的，可按照叠加定理，将图 5-1(a) 所示的网络，分解成仅含单个电流源的网络，如图
5-1(b),(c)所示 。端口电压 和 是电流?1、
2单独作用时所产生的电压之和，即
1
U
2
U
1
U
2
U
1
U
2
U
图 5-1 二端口网络的 Z参数
IZI ZU
IZIZU
2222212
2121111
上式还可以写成如下的矩阵形式：
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
I
I
I
U
U
Z
ZZ
ZZ
参数矩阵称为其中 Z
2221
1211
ZZ
ZZ
Z
如果二端口网络中的电流?2和?1相等，
所产生的开路电压 和 也相等时,Z12 =
Z21，该网络具有互易性。如果该网络还具有 Z11 = Z22 的特点，则网络称为对称的二端口网络。
1U
2
U
Z 11 =
U 1
1? 2 = 0
Z 21 =
U 2
1? 2 = 0
Z 12 =
U 1
2? 1 = 0
Z 22 =
U 2
2? 1 = 0
Z11是输出端开路时,输入端的入端阻抗；
Z21是输出端开路时,输出端对输入端的转移阻抗；
Z12是输入端开路时,输入端对输出端的转移阻抗；
Z22是输入端开路时，输出端的入端阻抗。
Z参数的确定可通过输入端口、输出端口开路测量或计算确定：
例 1：求图 5-2所示二端口网络的开路阻抗矩阵 Z。
图 5-2 例 1图解：首先求二端口网络的开路阻抗参数 （ Z参数 ） 。 令二端口网络的输出端口开路,则?2 = 0，
由图 5-2可得
1
11
32
1
1
1
1 U
7
26
3
1
4
1
U
2
1
U
RR
U
R
U
I?
1
1
3
32
1
2 U
7
4
3
1
3
1
4
1
U
R
RR
U
U?
Ω
13
2
Ω
4
26
7
7
4
Ω
2
21
26
I
U
26
7
I
UZ
1
0I
1
1
0I
11
2
2
Z
所以
3
2
2
1
2
1
R
RR
U
U
3
13
2
1
3
R
22
1
21
2
1
23
21
2
3
2
2
U
4
1
U
U
4
1
U
1
U
R
U
R
U
I
1
令二端口网络的输入端口开路，则?1 = 0，
由图 5-2可知故二端口网络的开路阻抗矩阵 Z为
13
3
13
2
13
2
26
7
Z
Ω
Ω
13
2
13
3
3
2
2
1
2
1
13
3
I
UZ
I
UZ
2
2
0I
22
0I
1
1
所以图 5-3 二端口网络的 Y参数
5.11.2 二端口网络的 Y方程和 Y参数
Y方程是一组以二端口网络的电压 和 表征电流?1和?2的方程 。二端口网络以电压 和作为独立变量，电流?1和?2为待求量，仍采用上节的分析方法，根据置换定理，将二端口网络端口的外部电路用电压源替代，如图 5-3(a)所示。
1
U
2
U
1
U
2
U
按照叠加定理,将图 5-3(a)所示的网络,分解成仅含单个电压源的网络,如图 5-3(b),(c)所示,
端口电流?1和?2 是电压 和 单独作用时所产生的电流之和,即
1
U
2
U
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
参数矩阵称为其中 Y
2221
1211
YY
YY
Y
上式称为二端口网络的 Y参数方程,其矩阵形式为
2
1
2
1
2221
1211
2
1
U
U
Y?
U
U
YY
YY
I
I
Y参数的确定可通过输入端口,输出端口短路测量或计算确定 。
Y 11 =
1
U 1 U 2 = 0
0
Y 21 =
2
U 1 U 2 = 0
0
Y11是输出端短路时，输入端的入端导纳；
Y21是输出端短路时，输出端对输入端的转移导纳；
Y 1 2 =
1
U 2 U 1 = 0
0
Y12是输入端短路时，输入端对输出端的转移导纳；
Y 2 2 =
2
U 2 U 1 = 0
0
Y22是输入端短路时，输出端的入端导纳。
Y参数也可由其它参数转换而定 。 例如当 Z
参数已知时,由 Z参数方程可知
2
1
2221
1211
2
1
I
I
U
U
ZZ
ZZ
对以上方程求逆，即可得 Y参数方程
2
1
2221
1211
2
1
1
2221
1211
2
1
U
U
YY
YY
U
U
I
I
ZZ
ZZ
z
Z
Z
z
Z
YY
YY
1121
1222
1
2221
1211
2221
1211
z
z
Z
ZZ
ZZ
z
Z
Y
z
Z
Y
z
Z
Y
z
Z
Y
11
22
21
21
12
12
22
11
由此可知：
当 Y21=Y12时,二端口网络具有互易性；
如果该网络还具有 Y11 = Y22的特点,则二端口网络是对称的 。
212 2211
2221
1211
Z ZZZz
ZZ
ZZ
其中
5.11.3 二端口网络的 T方程和 T参数
T方程是一组以二端口网络的输出端口电压和电流 表征入口电压 和电流?1的方程,二端口网络以 和?2作为独立变量,,?1为待求量。由
Y参数方程可知,
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
则
2
21
11
2
21
21122211
2122
21
2
21
22
111
2
2121
22
1
I
Y
Y
U
Y
UYI
Y
1
U
Y
Y
YI
I
Y
1Y
U
YYYY
U
Y
2
）（
2
U
2
I 1?U
1
U2?U
B
A
21
11
2121
2112 2211
21
21
22
Y
Y
D
Y
y
Y
YYYY
Y
1
Y
Y
C
则
221
221
)( D
) (B
IUC I
IUAU
上式称为二端口网络的 T参数方程 。
A,B,C,D称为二端口网络的 T参数，其中 A,D无量纲； B具有阻抗性质，量纲为欧姆；
C具有导纳的性质，量纲为西门子。
令由于,?2是二端口网络出口一侧的物理量,,?1是二端口网络入口一侧的物理量,所以又称为传输参数方程,也叫一般传输方程 。 T参数方程的矩阵形式为,
2
2
2
2
1
1
I
U
T
I
U
DC
BA
I
U
参数矩阵称为其中 T?
DC
BA
T
2
U
1
U
T参数可以通过两个端口的开路和短路两种状态分析计算或测量获得：
A =
U 1
U 2 I 2 = 0
C =
1
U 2 I 2 = 0
B =
U 1
-? 2 U 2 = 0
0
D =
I 1
-?
2 U 2 = 0
0
A 是输出端开路时，输入电压与输出电压的比值；
C是输出端开路时，输入端对输出端的转移导纳；
B是输出端短路时，输入端对输出端的转移阻抗；
D是输出端短路时，输入电流与输出电流的比值。
对于互易二端口网络,A D – B C = 1；
如果二端口网络是对称的,则 A= D。
例 2：试求图 6-4所示二端口网络的 T参数,
并验证关系式,AD – BC = 1。
图 5-4 例 2 图解：当二端口网络输出端口开路时,?2 = 0,有
2
2
2
1
11
2
2
1
2
2
1
2
([
1
1
1
1
U)]CLCCC
C
L
U
UCI
LC
U
C
C
L
U
U
21211
ww
w
w
w
ww
w
w
j
j
j
j
j
j
j
)CLCCC(
U
I
C
LC1
U
U
A
21
2
21
0I2
1
2
2
0I2
1
2
2
ww
w
j
所以令二端口网络输出端口短路,=0，有2?U
L
UCL
L
U
UCI
L
U
I
11
1
1
2
w
w
w
w
jj
j
j ω
)1(
2
1
11
1
2
0U2
1
0U2
1
LC1
I
I
D
L
I
U
B
2
2
ω
j ω
所以
21
2
2
21
2
12
CCLLCLCBC
CCLLCLC1AD
42
1
2
422
www
www
1BCAD故
H方程是一组以二端口网络的电流?1和电压表征电压 和电流?2的方程,即以?1和另一端口的电压 为独立变量,和另一端口电流?2作为待求量,方程的结构为,
222121
2121111
UHIH
2
I
UHIHU
上式称为二端口网络的 H参数方程。系数
H11,H12,H21,H22称为二端口网络的 H参数，
其中 H12,H21无量纲； H11具有阻抗性质，量纲为欧姆； H22具有导纳的性质，量纲为西门子。
5.11.4 二端口网络的 H方程和 H参数
2
U
1
U
2
U
1
U
由于 H参数的量纲不完全相同，物理量具有混合之意，故也称为混合参数方程。
H参数其矩阵形式为,
2
1
2
1
2221
1211
2
1
U
I
H
U
I
HH
HH
I
U
参数矩阵称为 H
HH
HH
H
2221
1211
其中
H参数可以通过二端口网络的出口短路和入口开路来分析计算或测量来确定。
H 11 =
U 1
I 1 U 2 = 0
H 12 =
U 1
U 2 I 1 = 0
H 21 =
I 2
I 1 U 2 = 0
H 22 =
I 2
U 2 I 1 = 0
H11是 输出端短路时,输入端的入端阻抗 。 在晶体管电路中称为晶体管的输入电阻；
H12是 输入端开路时，输入与输出端的电压之比。在晶体管电路中称为晶体管的内部电压反馈系数或反向电压传输比；
H21是输出端短路时,输出端与输入端电流之比 。 在晶体管电路中称为晶体管的电流放大倍数或电流增益 。
H22输入端开路时,输出端的入端导纳 。 在晶体管电路中称为晶体管的输出电导 。
5.1 正弦量的基本概念
5.2 正弦量的相量表示法
5.3 基尔霍夫定律的相量形式
5.4 电容元件和电感元件
5.5 三种元件伏安特性的相量形式
5.6 5.8 统一的伏安关系相量形式 —— 阻抗和导纳的引入 等效相量模型
5.7 5.10 一般正弦交流电路的计算（用相量法分析正弦交 流电路）
5.11 双口网络重点：
相位差
正弦量的相量表示
复阻抗复导纳
相量图
用相量法分析正弦稳态电路
正弦交流电路中的功率分析一,正弦量的三要素：
i(t)=Imsin(w t +y )
i
+ _u
5,1 正弦量的基本概念
(1) 幅值 (amplitude) (振幅,最大值 ) Im
(2)角频率 (angular frequency) w
Tfw 22
dttd )( yww
单位,rad/s(3) 初相位 (initial phase angle) y
(w t +y ) 相位 ys i n)(
0 mt Iti
0
T
t
w t?
2
w
i i
I
m
1.
交流量任一时刻的值称瞬时值 。 瞬时值中的最大值 (指绝对值 )
称为正弦量的振幅值,又称峰值 。 Im,Um分别表示正弦电流,电压的振幅值 。
图 5.1 正弦量的波形图
2.周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期 。 通常用,T”表示,
单位为秒 (s)。 实用单位有毫秒 (ms),微秒 (μs),纳秒 (ns)。 正弦量每秒钟变化的周数称为频率,用,f”表示,单位为赫兹 (Hz)。
周期和频率互成倒数,即
3,相位,角频率和初相正弦量解析式中的 ωt+φ称为相位角或电工角,简称相位或相角 。 正弦量在不同的瞬间,有着不同的相位,因而有着不同的状态 (包括瞬时值和变化趋势 )。 相位的单位一般为弧度 (rad)。
相位角变化的速度
Tf 1?
w?wdttd )(
称为角频率,其单位为 rad/s或 1/s。 相位变化 2πrad,经历一个周期 T,那么
fTw 22
t=0时,相位为 φ,称其为正弦量的初相。此时的瞬时值
i(0)=I m sinφ,称为初始值。 如图 5.2所示。
由式可见,角频率是一个与频率成正比的常数。
)s in ()2s in ( 2)( tf TIIti mm
i
I
m
0 t
w t
w t w t
tt0 0
I
m I m
i
i
6
i ( t ) = I
m
s i n w t
i ( t ) = I
m
s i n ( w t + )
6
i ( t ) = I
m
s i n ( w t － )
6
6
( a ) ( b ) ( c )
图 5.2 计时起点的选择当 φ=0时,正弦波的零点就是计时起点,如图 5.2(a)所示； 当
φ>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于 φ=0 的图 5.4例
5.1图 波形左移 φ角,如图 5.2(b)所示； 当 φ<0,正弦波零点在计时起点之右,其波形相对于 φ=0的波形右移 |φ|角,如图 5.2(c)所示。
以上确定 φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点 。 在图 3.3中,确定 φ角的零点是 A点而不是 B点,
φ=― 120 ° 而不是 240° 。
i
′
0
AB
w t
图 5.3 初相的规定规定,|? | (180° )
mV)ts in()t(,mV)ts in( iu abab 36 2 0 0 052 0 0 03 0 0
(1) t=100 ms时,u ab,i ab 分别为
m
mV
u
u
ab
ab
33.4s i n5)1.02 0 0 0s i n (5)1.0(
1 5 0s i n3 0 0)1.02 0 0 0s i n (3 0 0)1.0(
33
66
mAttt ii abba )2 0 0 0s in ()2 0 0 0s in ()( 32535（ 2）
mAi ba 33.4325 )s in ()1.0(
解例 5.1 给出正弦电压 u ab 和正弦电流 iab 的波形 。 由波形知 uab
和 iab 的最大值分别为 300mV和 5 mA,频率 都为 1 kHz
,角频率为 2000πrad/s,初相分别为 和,,
(1) 写出 uab 和 iab 的解析式并求出它们在 t=100 ms时的值 。
(2) 写出 iba 的解析式并求出 t=100ms时的值 。
6
3
它们的解析式分别为：
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i)
相位差? = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
>0,u 领先 (超前 )i,或 i落后 (滞后 ) u
w t
u,i
u
i
yuyi
0
<0,i 领先 (超前 ) u,或 u 落后 (滞后 ) i
= 0,同相,? = (? 180o ),反相：
规定,|? | (180° )
特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
ui
0
= 90°
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
不说 u 落后 i 270°
或 i 领先 u 270°
例 5.2 求两个正弦电流 i 1(t)=― 14.1 sin(ωt― 120° )，
i 2(t)=7.05 cos(ωt― 60° )的相位差 φ12 。
解 把 i 1和 i 2写成标准的解析式,求出二者的初相,再求出相位差 。
)s i n ()s i n ()(
)s i n ()s i n ()(
3005.7906005.7
601.141801201.14
000
2
000
1
ttt
ttt
i
i
ww
ww
303060
3060
000
0
2
0
1,
φφφ
φφ
2112
则当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们之间的初相也随之改变,但二者的相位差却保持不变。
例 5.3 三个正弦电压 uA(t)=311sin314tV，
uB(t)=311 sin(314t+2π/3) V,uC(t)=311sin(314t― 2π/3) V,若以 uB
为参考正弦量,写出三个正弦电压的解析式 。
解 先求出三个正弦量的相位差,由已知得
3
2
0
3
2
3
2
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
0
)(
)(
CA
BC
AB
以 uB为参考正弦量,它们的解析式为
V)ts i n ()t(
V)ts i n ()t(
tVs i n)t(
u
u
u
C
A
B
3
2
3 1 43 1 1
3
2
3 1 43 1 1
3 1 43 1 1
1,定义有效值也称 方均根值
(root-meen-square，
简记为 rms。 )
三,有效值 (effective value)
T ttiTI 0 2d e f d)(1
W2=I 2RT
R
i(t)
R
I
T tRtiW 0 21 d)( T tRtiRTI 0 22 d)(
T ttiTI 0 2 d)(1
物理含义电压有效值 T ttu
TU 0
2d e f d)(1
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。 如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻 R,在一个周期 T内所产生的热量相等,那么这个直流电流 I的数值叫做交流电流的有效值。
由此得出
2,正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imsin(w t + y )
ttITI T d ) (s i n1 0 22m yw
Tttttt TTT 2121d2 )(2c o s1d ) (s i n 000 2 ywyw?
II
I
IT
I
T
I
2
707.0
22
1
m
m
m2
m
) s i n (2) s i n ()( m ywyw tItIti
T ttiTI 0 2d e f d)(1
注意,只适用正弦量例 5.4 一个正弦电流的初相角为 60°,在 时电流的值为
5 A,试求该电流的有效值 。
解 该正弦电流的解析式为
4T
)s i n (
)s i n (
)s i n ()(
32
5
60
4
5
60
0
0
w
w
I
t
I
Ii
m
m
m
tt
由已知得或
A
A
I
I
I
I
m
m
m
07.7
2
10
2
55
6
5
10
21)6/5s i n (
)s i n (
对应的有效值则
5.2 正弦量的相量表示法
5.2.1正弦量的相量表示
1,正弦量的向量表示设某正弦电流为根据欧拉公式可以把复指数 展开成
)s i n ()( 2 itt Ii?w
)(2 itjeI?w?
eImIeIemIemIi
IjIeI
tjtjjtj
ii
tj
ii
i tt
www
w?w?w
.
)(
)(
222
222 )s in ()c o s (
上式的虚部恰好是正弦电流 i,即上式中,Im［ ］ 是,取复数虚部,的意思,而
i
tj IIeI iw )(.
像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数 就叫做正弦量的相量 。 同样,正弦电压的相量为相量是一个复数,它表示一个正弦量,所以在符号字母上加上一点,以与一般复数相区别 。 特别注意,相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量 。 二者不能用等号表示相等的关系,
只能用,,符号表示相对应的关系相量也可以用振幅值来定义 。
2,相量图及参考相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 5.6(a)所示 。 画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,
再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
uUU
.
tUtuUtu
tItiIti
w
w
..
..
Im2)()(
Im2)()(
( a ) ( b )
w t
w t
2
w t
1
w
t 1
w
t 2
0 ＋ 1
i
0
＋ j
＋ j
＋ 1
i
i
i
2 I
.
0
图 5.6 正弦量的相量图
3,旋转因子及旋转相量在复平面上可用一个矢量表示相量,该矢量称正弦量的相量图 (也简称相量 ),其符号与相量相同,如图 5.6(a)所示 。
画几个同频率正弦量的相量图时,可选择某一相量作为参考相量先画出,再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量 。 参考相量的位置可根据需要,任意选择 。
e jωt = /ωt 是一个旋转因子 。 相量 乘以 /ωt 表示相量 m以 ω为角速度沿逆时针方向旋转,t=0时,幅角位于 φ i 处 。
旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ωt+φi )为正弦量的瞬时值 。
Im sinφ i 为 i(t)的初始值,如图 4.6(b)所示 。 所以,也可以用旋转相量表示正弦量 。
例 5.5 已知正弦电压 u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V,u2(t)=70.5
sin(ωt-π/6) V,写出 u1和 u2的相量,并画出相量图 。
mII,.2?
2
V.Uu
VUu
.
.
6
50
62
570
3
1 0 0
32
1 4 1
22
11
＋ 1
U
1
.
U
2
.
6
3
例 5.6 已知两个频率均为 50 Hz的正弦电压,它们的相量分别为 ù1=380 /π/6 V,2=220 /—π/3 V,试求这两个电压的解析式 。
解 ω=2πf=2π× 50=314 rad/s
u 1= U 1 sin(ωt+φ 1 )=380 sin(314t+π/6)V
u 2= U 2 sin(ωt+φ 2 )=220 sin(314t-π/3) V
5.2.2 两个同频率正弦量之和
1,两个同频率正弦量的相量之和设有两个同频率正弦量
2
22
21.U
2.U
)s i n (2)s i n ()(
)s i n (2)s i n ()(
22122
11111
w?w
w?w
tUtUtu
tUtUtu
m
m
利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即
)s i n (2)()()( 21?w tUtututu
其中
2211
221
2
2211
2
2211
c o sc o s
s ins ina r c t a n
)s ins in()c o sc o s(
UU
UU
UUUUU
2
.
1
.,UUU
I
2
.
I
2
.
I
1
.
I
2
.
( a )
I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
－ I
2
.
I
1
.
－ I
2
.
I
1
.
( b )
I
1
.
＋
图 5.8 两个相量加减的三角形法则可以看出,要求出同频率正弦量之和,关键是求出它的有效值和初相。
可以证明,若 u=u 1+u 2,则有
2,求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式 。
(2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。
(3)作相量图,按照矢量的运算法则求相量和 。
如图 5.8所示 。 图 5.9表示多个相量加减的多边形法则 。
例 5.7 uA(t)=220 sinωtV,uB(t)=220 sin(ωt—120° ) V,求
u A+uB和 uA—uB 。
解 (1) 相量直接求和。
2 2
Vtuu
Vtuu
VjUUuu
VjUUuu
Vj
jUu
VjUu
BA
BA
BA
BA
BA
BA
B
B
A
A
)30( s in23 8 0
)60( s in22 2 0
603 8 031 1 03 3 0
602 2 031 1 01 1 0
31 1 01 1 0
)1 2 0s i n (2 2 0)1 2 0( c o s (2 2 01 2 02 2 0
02 2 002 2 0
0
0
0
..
0
..
000
.
0
.
/
/
/
/
w
w
(2) 作相量图求解 。 见图 5.10,根据等边三角形和顶角为
120° 的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果,读者自行分析 。
1 2 0 °
1 2 0 °
1 2 0 °
60°
30°
30°
U
A
.
U
B
.
U
C
.
U
B
.
U
B
.
U
A
.
＋
U
B
.
U
A
.
－
U
B
.
－
图 5.10 例 5.7图
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
2
.
U
.
U
3
.
U
4
.
U
1
.
U
2
.
U
3
.
U
.
－ U
4
.
＋ ＋=
图 5.9 相量加减的多边形法则
5.3 基尔霍夫定律的相量形式
5.3.1基尔霍夫结点电流定律的相量形式根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系,可以推出：
正弦电路中任一结点,与它相连接的各支路电流的相量代数和为零,即式 (5—34)就是基尔霍夫结点电流定律的相量形式,简称 KCL
的相量形式 。
5.3.2回路电压定律的相量形式同理可以推出正弦电路中，任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零,即
0,I (5—34)
0,U
(5—35)
式 (5——35)就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式,简称
KVL的相量形式 。
电路定律的相量形式和电路的相量模型一,基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
二,电路元件的相量关系
I
C
Uti
C
u
ILjU
t
i
Lu
IRURiu
w
w
j
1
d
1
d
d
三,电路的相量模型 (phasor model )
时域列写微分方程 相量形式代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jwL
1/jwCSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 相量模型
RCL iii
RCL III
Sdd
d uti
Ct
iL
CL
1
tiCiR CR d1
Sj
1 UI
CILj CL ww
CR ICIR wj
1?
相量模型,电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
综上所述,正弦电路的电流,电压的瞬时值关系,
相量关系都满足 KCL和 KVL,而有效值的关系一般不满足,要由相量的关系决定 。 因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑 。
例 3.14正弦电路中,与某一个结点相连的三个支路电流为
i 1,i 2,i 3。 已知 i 1,i 2流入,i 3流出解 先写出 i1和 i2的相量 (注意,i1的初相应为 60° +90° =150° ) ttitti ww s i n25)(,)60c o s (210)( 2
01
求 i 3 。
i 3的相量为,由 KCL得
w
).ts in()t(i
./.j.j.III
III
...
...
0
3
0
213
321
21 2 6226
21 2 626566355668
0
02.01,150/5,)566.8(150/10 IjI
3
.I
小结
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用正弦波形图 相量图
5.4电容元件和电感元件
5.4.1
1,
电容元件是各种实际电容器的理想化模型,其符号如图 5.11(a)
所示。
电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电容，理想电容器的电容为一常数,电荷量 q总是与端电压 u成线性关系,即
i
uC
a
b
＋
－ q
－
＋ q
( a ) ( b )
q /C
u / VO
5.11理想电容的符号和特性
SI中电容的单位为法拉,简称法,符号为 F。 常用单位有,微法
(μF),皮法 (pF)。 式 (5——8)表示的电容元件电荷量与电压之间的约束关系,称为线性电容的库伏特性,它是过坐标原点的一条直线 。 如图 5.11(b)所示 。
2.
对于图 3.11(a),当 u,i取关联参考方向时,结合式 (5——8),有
Cuq? (5—8)
dtduCdt
Cud
d
dqi )( (5—9)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtduCi
电容的伏安特性说明,任一瞬间,电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比,而与这一瞬间电压大小无关 。
对式 (5——9)进行积分可求出某一时刻电容的电压值 。 任选初始时刻 t 0。 以后,t 时刻的电压为
t
t
t
t
t
t
tt
di
C
utu
di
C
tu
di
C
di
C
di
C
tu
0
0
0
0
)(
1)0()(
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
(5——10)
若取 t 0=0,则
3,电容元件的电场能关联参考方向下,电容吸收的功率
dtduCuiup
电容元件从 u(0)=0 (电场能为零 )增大到 u(t)时,总共吸收的能量,
即 t时刻电容的电场能量 。
)()( 200 21 tt CuC ud up duW tuC (5—11)
当电容电压由 u减小到零时,释放的电场能量也按上式计算。
动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换，
本身不消耗能量。
例 5.8 (1) 2μF 电容两端的电压由 t=1μs时的 6 V线性增长至
t=5μs时的 50 Ｖ,试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能 。
(2) 原来不带电荷的 100 μF的电容器,今予以充电,充电电流为 1 mA,持续时间为 2 s,求电容器充电后的电压 。 假定电压,
电流都为关联参考方向 。
解 (1) 由式 (5—9)得
2210)15( 650102 66dtduCi
增加的电场能量
J
CuCuC
10464.2
362500102
2
1
2
1
2
1
3
6
2
1
2
2
)(
w
(2) 由式 (5——11)和已知条件 u(0)=0,求出 2 s末的电压
VdttiCuu 20102101 0 0 1)(1)0()2( 3620
4,电容的串并联
(1) 电容的并联如图 5.12所示 。
CuqCuq
CuqCuq
qqqq
3322
11
321
,
,
CCCC
uCCCCu
321
321 )(
对于线性电容元件有 u
＋
C 1
－
＋ q 1 ＋ q 2 ＋ q 3
C 2 C 3
－
u
＋
＋ q
C
图 5.12 电容的并联当电容器的耐压值符合要求,但容量不够时,可将几个电容 并联 。
(5—12)
(2) 电容的串联如图 3.13所示
uuuu 321
C
qu
C
qu
C
qu
C
qu
3
3
2
2
1
1,,,
代入电压关系式得
CCCC
q
CCCC
q
321
321
1111
111 )(
则电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数之和 。 电容的串联使总电容值减少 。 每个电容的电压为
(5—13)
uCCuuCCuuCCu
3
3
2
2
1
1,,
u
＋
C
1
－
＋ q
q
＋
＋ q
C
2
C
3
－
u
＋
C
＋ －
＋－ u
3
＋
－
u
2
图 5.13 电容的串联当电容器的电容量足够而耐压值不够时,可将电容器串联使用,但对小电容分得的电压值大这一点应特别注意 。
例 5.9 电容都为 0.3 μF,耐压值同为 250 V的三个电容器 C 1、
C 2,C 3的连接如图 5.14所示 。 试求等效电容,问端口电压值不能超过多少?
解 C 2,C 3 并联等效电容两个电容的分压值为
uCC CuCCuuCC CuCCu
21
1
3
2
21
2
1
1,
uFCCC 6.03223
uFCC CCC 2.06.03.0 3.03.0
231
231
总的等效电容
C 1小于 C 23,则 u 1＞ u 23,应保证 u 1
不超过其耐压值 250 V。 当 u 1=250 V时,
VuCCu 1 252 506.0 3.01
23
123
u
＋
C
1
－
C
2 C 3
＋ －
u
1
u
23
＋
－
图 5.14 例 3.9图
5.4.2
1,电感元件,电感元件是实际电感线圈的理想化模型 。 其符号如图 5.15所示 。
Vuuu 3 7 51 2 52 5 0231所以端口电压不能超过
u
＋
－
L
i
O
i
u
＋
－
b
a
( a ) ( b )
( c )
t
图 5.15 电感元件的符号和特性如图 5.15(a)所示 。 在 SI中,Φ的单位与 Ψ相同,为韦 (伯 ) 。
磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感或自感。
电感元件的电感为一常数,磁链 Ψ总是与产生它的电流 i成线性关系,即在 SI中,电感的单位为亨 (利 ),符号为 H,常用的单位有毫亨 (mH),微亨 (μH)。 式 (5——16)所表示的电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系称为线性电感的韦安特性,是过坐标原点的一条直线 。 如图 5.15(c)所示 。
2,电感元件的伏安特性根据电磁感应定律,感应电压等于磁链的变化率 。 当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时,可得
Li?y (5——16)
dtdu
当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时,结合式 (5—16)有电感元件的伏安特性说明,任一瞬间,电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比,而与该瞬间的电流无关 。 电感元件也称为动态元件,它所在的电路称为动态电路 。 电感对直流起短路作用 。
对式 (5——17)进行积分可求出某一时刻电感的电流值 。 任选初始时刻 t 0后,t时刻的电流为
dtdiLdtd L idt
du y (5——17)
当 u,i为非关联参考方向时,有
dtdiLu
t
t
t
t
tt
du
L
ti
du
L
du
L
du
L
ti
0
0
0
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
0
若取 t=0,则
3,电感元件的磁场能关联参考方向下,电感吸收的功率
t duLiti 0 )(1)0()(
dtdiLiuip
电感电流从 i(0)=0增大到 i(t)时,总共吸收的能量,即 t时刻电感的磁场能量
)()( 200 21 tt LidiLidtpW tiL
当电感的电流从某一值减小到零时,释放的磁场能量也可按上式计算。 在动态电路中,电感元件和外电路进行着磁场能与其它能相互转换,本身不消耗能量。
例 5.10 电感元件的电感 L=100 mH,u和 i的参考方向一致,i的波形如图 5.16(a)所示,试求各段时间元件两端的电压 uL,并作出 uL
的波形,计算电感吸收的最大能量 。
( b )
u
＋
－
L
i
0 1 2
10
3 4 5 t / m s
i / m A
u / V
0 1 2 3 4 5 t / m s
－ 1
1
( a )
图 5.16 例 3.10图解 uL与 i所给的参考方向一致,各段感应电 压为
(1) 0～ 1 ms间，
VtiLdtdiLu L 1101 101010100 3
3
3?
(2) 1～ 4 ms 间,电流不变化,得
uL=0
(3) 4～ 5 ms 间，
VtiLdtdiLu L 1101 1010010100 3
3
3
uL的波形如图 5.16(b)所示 。
JLiW mL 1051010101002121 62332m a x )(
5.5 三种元件伏安特性的相量形式
5.5.1
1,伏安特性在图 5.19(a)中,设电流为
)s i n (2)( utIti?w
则有
)s i n ()s i n ( 22)( uii tt URIRitu?w?w
上式表明,电阻两端电压 u和电流 i 为同频率同相位的正弦量,它们之间关系如下
ui
RIU
(5——21)
φi =0时的 u和 i 的波形如图 5.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
φi =0时的 u和 i 的波形如图 5.20所示 。 电阻上电压相量和电流相量的关系为
u
＋
－
R
i
a
b
( a )
＋
－
R
a
b
( b )
U
.
u
＝?
i
U
.
I
.
( c )
图 5.19电阻元件的相量模型及相量图
..
.
.
/
/
IRU
R
I
U
I
U
i
u
根据式 (5——22)画出电阻的相量模型如图 5.19(b)所示,相量图如图 5.19(c)所示 。
2,功率
（ 1）瞬间功率关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率 p=ui,为了计算方便
0 w t
i
u
u,i
P
p
P
m
=U
m
I
m
P = P
m
= U I
1
2
p
图 5.20电阻元件 i,u,p波形
0i
0
222
)2c o s1(
s ins ins in 2
t
ttt
UI
UIIUp
w
www
其波形如图 5.20所示。
又称为有功功率,其单位是瓦 (W)或千瓦 (kW)
例 5.11 一电阻 R=100Ω,通过的电流 i(t)=1.41sin(ωt-30° ) A。
(1) R两端电压 U和 u，
(2) R消耗的功率 P。
解 (1)
（ 3）平均功率平均功率定义为瞬时功率 p在一个周期 T内的平均值,用大写字母 P表示 。 即
R
URIUI
tUITu i dtTp dtTP TTT
2
2
000
2c o s1(111
w
(5——23)
1
2
41.1
2
II m
Vtt
V
Ritu
RIU
)30s i n ()30s i n ( 00 1 4 141.11 0 0)(
1 0 011 0 0
ww
电压或利用相量关系求解对应的正弦量
Vtttu )30s i n ()30s i n ( 00 1 4 121 0 0)( ww
VU 100?
(2) R消耗的功率
W
W
RIP
UIP
1 0 01 0 01
1 0 01 0 01
2
或
00
00
3010030100
30130
2
411
//IRU
//
.
I
..
.
.
5.5.2
1．
在图 5.21(a)中,设通过电感元件的电流为则有
)s i n (2)( itIti?w
)s i n ()s i n (
)c o s (
222
2)(
ui
i
tt
t
ULI
LIdtdiLtu
w?ww
ww
上式表明电感两端电压 u和电流 i是同频率的正弦量,电压超前电流 90° 。 用 XL表示 ωL后,电压和电流有效值关系为
)( IXUIXU mLmL
即
90 0
iu
L IXU
u
＋
－
L
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
( c )
j X
L
u
图 5.21电感元件的相量模型及相量图
IUIUfLLX M mLw 2 (5—25)
而称为感抗,单位为欧姆。
感抗的倒数
LXB L w11 (5——26)
称为感纳,单位为西门子 (S)。
电感电流相量和电压相量的关系为
IjXU L
即 (5—27)
由式 (5——27) 画出电感的相量模型如图 5.21(b),相量图如图 5.21(c)
所示 。
L
i
u jX
I
U
I
U
/
/
.
.
2,功率
（ 1）瞬时功率在关联参考方向下,当 φ i =0时,电感吸收的瞬时功率为
tttt
tt
XIUIUI
IUuip
L wwww
ww
2s in2s ins inc o s
s in)s in (
22
2212
如图 3.22所示。 最大值为 UI或 I2XL。
电感储存磁场能量
4
T
w t0
p i,u
ui
p
4
T
4
T
4
T
－－
＋
＋
图 5.22 电感元件的 i,u,p波形
)2c o s(
s i n
12
1
2
1
2
1
2
222
t
t
LI
LILiW mL
w
w
（ 2）平均功率磁场能量在最大值 和零之间周期性地变化,总是大于零 。)( 22
21 LILI m
02s i n111 000 dttUITdtuiTdtpTP TTT w
为了衡量电感与外部交换能量的规模,引入无功功率 QL，
XUXIUIQ LLL
22 (5—28)
例 5.12 流过 0.1 H电感的电流为试求关联参考方向下电感两端的电压 u及无功功率,磁场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
)10200s i n (215)( 0tti
VjIjXU
I
L
000
..
0
.
1 0 0/3 0 0)1090(/3 0 00/151.02 0 0
10/15
5.5.3
1．伏安特性在图 3.23(a)中,设加在电容两端的电压为
JLIW
VUIQ
Vttu
mL
L
5.2215)2(1.0
2
1
2
1
4 5 0 0153 0 0
)1 0 02 0 0s in (23 0 0)(
222
m a x
0
无功功率磁场能量的最大值
u
＋
－
C
i
( a )
＋
－
( b )
U
.
i
U
.
I
.
( c )
j X
C
u
I
.
图 5.23 电容元件的相量模型及相量图上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量,电流超前电压 90° 。 用 XC表示 1/ωC后,电流和电压的关系为
)s i n (2)
2
s i n (2
)c o s (2)(
iu
u
tIUtCU
tCU
dt
du
Cti
w
ww
ww
090
1
ui
C
C
IXU
X
U
C
U
CUI
w
w
或 (5——29)
而
m
m
C I
U
I
U
fCCXw 2
11 (5——30)
容抗的倒数
CXB
C
C w
1 (5—31)
由式 (5——32) 画出电容元件的相量模型如图 5.23(b)所示,相量图如图 5.23(c)所示 。
2,功率
（ 1） 瞬时功率为称为容纳,单位是西门子 (S),电容电流相量和电压相量的关系为
0
p i,u
u
i
p
w t
＋
＋
－－
4
T
4
T
4
T
4
T
图 5.24 电容元件的 u,i,p波形
LL
i
u jXUjX
I
U
I
U,
.
.
/
/
如图 5.24所示 。 最大值为 UI或 I 2XC。
电容储存电场能量
ts i nXI
ts i nUItc o sts i nUI
)ts i n (Its i nUui)t(p
C w
www
ww
2
2
2
22
)2c o s1(21s i n2121 2222 tCutCUCuW mC ww
电场能量在最大值 和 0之间周期性地变
（ 2）平均功率
)(21 22 CUCU m
02s i n111 000 TTT t d tUITdtuiTdtpTP w
（ 3）无功功率
C
C X
UXIUIQ 22
电容的无功功率的单位与电感的无功功率的单位相同。
例 5.13 流过 0.5 F电容的电流 i(t)= sin(100t－ 30° ) A,试求关联参考方向下,电容的电压 u,无功功率和电场能量的最大值 。
解 用相量关系求解
V
jI
C
jIjXU
I
C
02002
0
...
0
.
120/10230/90/102
30/
5.0100
11
30/1
w
JCUW
VUIQ
Vttu
mC
C
0 0 0 2.0)02.0()2(5.0
2
1
2
1
02.0102.0
)1 2 01 0 0s in (202.0)(
222
m a x
0
2
总结,电阻,电感和电容元件上电压和电流的相量关系一,电阻相量形式：
y
y
RIU
II
R
)s i n (2)( yw tIti已知
)s i n (2)()( yw tRItRitu R则
uR(t)
i(t)
R
+
- 有效值关系,UR = RI
相位关系,u,i 同相相量模型
R
+
-RU?
I?
相量关系
IRU R
时域 频域
tIti ws i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tIL
tIL
t
ti
Ltu
ww
ww
jwL
相量模型
+
-
U?
I?
有效值关系
U=wL I
相位关系
u 超前 i 90°
ILU wj?
o0 II?
U?
I?
相量图二,电感
i(t)
u (t) L
+
-
时域模型
w t
u,i u
i
0
波形图感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 感抗和频率成正比。
w
XL
XL= U/I =wL= 2? f L,单位,欧感抗;,,;,0 ),(0
开路短路直流
L
L
X
X
w
w
U=wL I
(3) 由于 感抗的存在使电流落后电压。
i
uL?w
I
UL
w
错误的写法时域 频域
tUtu ws i n2)(?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
tCU
tCU
t
tu
Cti
ww
ww 有效值关系
I=wC U
相位关系
i 超前 u 90°
UCI wj?
o0 UU?
U?
I?
相量图
w t
u,i
u
i
0
波形图二,电容时域模型
i (t)
u(t) C
+
-
相量模型
I?
U?
+
- Cjw
1
容抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
容抗;,0,;,),(0 C
旁路作用隔直作用直流
CX
X
w
w
I=wCU
(3) 由于 容抗的存在使电流领先电压。
i
u
C?w
1
I
U
C?
w
1
错误的写法
CI
U
w
1?
CX C w
1定义?
w
CX
电抗电阻
,I jw LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
+ -
RU?
I
UUU
I
UZ CLR
复阻抗
CLR ww j
1j
)1j( CLR ww
XR j
|Z|
R
X
阻抗三角形
iu yy
单位,?
I
UZ? 阻抗模阻抗角
ZXRZ j
5.6 5.8 统一的伏安关系相量形式 —— 阻抗和导纳的引入 等效相量模型具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠?
w L > 1/wC,X>0,? >0，电压领先电流，电路呈感性；
w L<1/wC,X<0,? <0，电压落后电流，电路呈容性；
画相量图,选电流为参考向量 (wL > 1/wC )
CU?
I?RU?
LU?
U?
22 XR UUU
电压三角形
UX
RU
U
w L=1/wC,X=0,? =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
电压三角形
UX
RU
U
|Z|
R
X
阻抗三角形
ZXRZ j
,I R
+
-
,U
+ -
RU?
+
XU?
-
jX
22 XR UUU
XR UUU
CX C w1?
一：阻抗正弦激励下
I?
ZU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
I
UZ
复阻抗纯电阻 RZ R?
LL jXLZ wj纯电感
CC jXCjZ w1
纯电容
LX L w?
感抗 容抗电导 电纳
,I
jw L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1R
+
-
RI
,
U
III
U
IY CLR
,,,
CLG ww j1j
CLR ww j1
1
j
11
)j( CL BBG
BG j
导纳
φYBGUIY ||j
|Y|
G
B
导纳三角形单位,S
ui
U
IY
yy
导纳的模导纳角
CB C w?
二,导纳正弦激励下
I?
YU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
U
IY
复导纳纯电阻 GYR?
LL jBLY wj1
纯电感
CC BCY jj w
纯电容
LB L w1?
感纳 容纳三,阻抗和导纳的等效互换
φZXRZ j
一般情况 G? 1/R B? 1/X
o
o
Z
R
jX
o
o
G jBY
φYBGY j
BGXR XRXRZY jjj 2211
2222 XR XBXR RG,
φφ ZY,|| 1||
ZY
1?
四,阻抗串、并联
I
Y
Y
IYY
U
Z
Z
UZZ
k
k
kk
k
k
kk
,
,
并联：
串联：
例 已知 Z1=10+j6.28?
Z2=20-j31.9?
Z3=15+j15.7?
求 Zab
86.289.10
5.4045.39
61.5765.3713.3281.11
o
oo
j
ZZZZ ZZZZ ab 3
21
21
3
9.312028.610
)9.3120)(28.610(
jj
jjZ
o
3
6.359.3156.1889.25
86.289.107.1515
j
jjZZZ ab
o
o
Z1Z2
Z3a
b
5.7 5.10一般正弦交流电路的计算 （ 用相量法分析正弦交流电路 ）
相量法一般步骤为：
(1) 作出相量模型图
(2) 运用直流线性电路中所用的定律,定理,分析方法进行计算 。 直接计算的结果就是正弦量的相量值 。
(3) 根据需要,写出正弦量的解析式或计算出其它量 。
一,阻抗混联电路的分析计算例 电路如图所示,uS(t)=40 sin3000t V,求 i,iC,iL。
CL
i
L
i
C
＋
－
u
S H
3
1
F
6
1
( a )
L C
＋
－
S
( b )
b b
U
.
j w L j w C
1
I
.
I
.2
解 写出已知正弦电压的相量作相量模型,如图 5.40(b)所示 。 其中,电感元件和电容元件的复阻抗分别为
VU S 0,0/40?
k
j
j
jj
jj
j
j
jj
jj
ZZ
kjj
Cj
kjjLj
ab
0
6
37/5.2
5.12
2
31
5.1
)11)(11(
)21)(12(
5.1
11
12
5.1
211
)21(1
5.15.1
2
10
6
1
3 0 0 0
11
1
3
1
3 0 0 0
w
w
总结,用相量法分析电路的正弦稳态响应步骤,
① 画相量运算电路 R,L,C? 复阻抗
② 列相量代数方程
IU,i,u?
列写电路的网孔电流方程例 1,
解,
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Ljw
cwj
1
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
SUIRILjRILjRR 3221121 )()( ww
0)()( 33112431 IRILjRILjRRR ww
0j 1)j 1( 42312332 ICIRIRICRR ww
SII4
网孔电流法列写电路的结点电压方程
1S23132 )( IUYUYY
+
_
+
_
21
S4
U
S1I?
Y1
Y2
Y3
Y4 Y5
S5
U
例 2,
解,
5S5S44254313 )( UYUYUYYYUY
结点电压法例 3,已知,
,s/r a d3 1 4,1 0 0
,F10,mH5 0 0,10,1 0 0 0 21
w
VU
CLRR 求,各支路电流。
Z1 Z2
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u
U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj w?
1
Ljw
解,画出电路的相量模型
3.2 8 920.9232.726.3 0 3
67.171 0 4 9
90105.3 1 8
5.3 1 81 0 0 0
)5.3 1 8(1 0 0 0
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
w
w
Ω1 5 71022 jLjRZ w
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj w?
1
Ljw
31.522.1 6 7
21 ZZZ
AZUI 3.525 9 8.01
AI
C
jR
CjI 0.20182.0
1
1
1
1
2
w
w
AI
C
jR
RI 0.70570.0
1 1
1
1
3
w
Ati )3.523 1 4s i n (25 9 8.01
Ati )20314s i n (2182.02
Ati )70314s i n (257.03
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
求：
已知：
ΩΩ
Ω
法一：电源变换
15j1530j30 )30j(30// 31 ZZ
解,
例 4,Z
2
SI?
Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ?
Z2
Z1Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
231 31S//
)//(
4530j15j15
)15j15(4j
o
o
3 6,9-5
455,6 5 7
A9.8113.1 o
法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
ZZIU S
Z0
Z
0
U
I
+
-
Z2
SI?
Z1 Z3
0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ω45j15
// 2310
ZZZZ
A9.8113.1454515 4586.84 o
0
0
jZZ
UI
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jw L3 。
求,Zx=Rx+jwLx。
由平衡条件：
Z1 Z3= Z2 Zx
R1(R3+jw L3)=R2(Rx+j wLx)
∴ Rx=R1R3 /R2
Lx=L3 R1/R2
例 5.
解,
Z1 Z2
Zx Z3
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ
11111S )1( IZIβZIZIZU
例 6.
解,
I
1?I
1?Iβ
Z
Z1
+
_S?U
.90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出转转
Z
IZUUI SS
)1 0 0 05050(j10410)1( 1
1
S ββZZβ
I
U
41 010410 ββ,令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压
I
U
已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,
R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
例 7.
解一：
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I
LU?
+
_
2RU?
+
_
32/4.55/ 11 RUI
I
LRR
U?
2221 )()( w
I
LR
U?
222
2
)(w
32
4.55
)3 1 4()32(
1 1 5
22
2
LR
32
4.55
)3 1 4(
80
22
2
LR
6.192R H1 3 3.02?L
A731.132/4.55/ 11 RUI
6.19731.194.3322 IUR R
HL
IUL L
133.031485.41
85.41731.145.72
2
22
w
co s2 2122212 UUUUU
22121 LR UUUUUU
1.1 1 54 2 3 7.0co s
9.641802
VUU L 45.729.64s i n80s i n 222
VUU R 94.339.64c o s80c o s 222
1U?
LU?
I?
2RU?
2U
2
U?
解二：
Ω86.419.64s i n22.46s i n || 222θZX
H133.0)2/(22 fXL?
Ω6.199.64co s22.46co s || 222ZR
Ω22.46731.1/80/|| 22 IUZ
本章小结,
1,正弦量三要素,Im,w,y
电阻 电容电感2.
时域 u=Ri tiLu dd? tuCi dd?
频域 (相量 ) IRU ILU wj? UCI wj?
有效值 U=RI U=XLIX
L=wL
U= -XCI
XC= -1/(wL)
有功 P=I2R=U2/R 0 0
无功 0 Q=ILUL Q= -ICUC
能量 W=Li2/2 W=Cu2/2
相位?U?I?U
U?I
I
3.相量法计算正弦稳态电路
① 先画相量运算电路电压、电流?相量复阻抗
② 相量形式 KCL,KVL定律，欧姆定律
③ 网络定理计算方法都适用
④ 相量图
5.11 双口网络
5.11.1 二端口网络的 Z方程和 Z参数
Z方程是一组以二端口网络的电流?1和?2表征电压 和 的方程 。二端口网络以电流?1和?2作为独立变量，电压 和 作为待求量，根据置换定理，二端口网络端口的外部电路总是可以用电流源替代，如图 5-1(a)所示，替代后网络是线性的，可按照叠加定理，将图 5-1(a) 所示的网络，分解成仅含单个电流源的网络，如图
5-1(b),(c)所示 。端口电压 和 是电流?1、
2单独作用时所产生的电压之和，即
1
U
2
U
1
U
2
U
1
U
2
U
图 5-1 二端口网络的 Z参数
IZI ZU
IZIZU
2222212
2121111
上式还可以写成如下的矩阵形式：
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
I
I
I
U
U
Z
ZZ
ZZ
参数矩阵称为其中 Z
2221
1211
ZZ
ZZ
Z
如果二端口网络中的电流?2和?1相等，
所产生的开路电压 和 也相等时,Z12 =
Z21，该网络具有互易性。如果该网络还具有 Z11 = Z22 的特点，则网络称为对称的二端口网络。
1U
2
U
Z 11 =
U 1
1? 2 = 0
Z 21 =
U 2
1? 2 = 0
Z 12 =
U 1
2? 1 = 0
Z 22 =
U 2
2? 1 = 0
Z11是输出端开路时,输入端的入端阻抗；
Z21是输出端开路时,输出端对输入端的转移阻抗；
Z12是输入端开路时,输入端对输出端的转移阻抗；
Z22是输入端开路时，输出端的入端阻抗。
Z参数的确定可通过输入端口、输出端口开路测量或计算确定：
例 1：求图 5-2所示二端口网络的开路阻抗矩阵 Z。
图 5-2 例 1图解：首先求二端口网络的开路阻抗参数 （ Z参数 ） 。 令二端口网络的输出端口开路,则?2 = 0，
由图 5-2可得
1
11
32
1
1
1
1 U
7
26
3
1
4
1
U
2
1
U
RR
U
R
U
I?
1
1
3
32
1
2 U
7
4
3
1
3
1
4
1
U
R
RR
U
U?
Ω
13
2
Ω
4
26
7
7
4
Ω
2
21
26
I
U
26
7
I
UZ
1
0I
1
1
0I
11
2
2
Z
所以
3
2
2
1
2
1
R
RR
U
U
3
13
2
1
3
R
22
1
21
2
1
23
21
2
3
2
2
U
4
1
U
U
4
1
U
1
U
R
U
R
U
I
1
令二端口网络的输入端口开路，则?1 = 0，
由图 5-2可知故二端口网络的开路阻抗矩阵 Z为
13
3
13
2
13
2
26
7
Z
Ω
Ω
13
2
13
3
3
2
2
1
2
1
13
3
I
UZ
I
UZ
2
2
0I
22
0I
1
1
所以图 5-3 二端口网络的 Y参数
5.11.2 二端口网络的 Y方程和 Y参数
Y方程是一组以二端口网络的电压 和 表征电流?1和?2的方程 。二端口网络以电压 和作为独立变量，电流?1和?2为待求量，仍采用上节的分析方法，根据置换定理，将二端口网络端口的外部电路用电压源替代，如图 5-3(a)所示。
1
U
2
U
1
U
2
U
按照叠加定理,将图 5-3(a)所示的网络,分解成仅含单个电压源的网络,如图 5-3(b),(c)所示,
端口电流?1和?2 是电压 和 单独作用时所产生的电流之和,即
1
U
2
U
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
参数矩阵称为其中 Y
2221
1211
YY
YY
Y
上式称为二端口网络的 Y参数方程,其矩阵形式为
2
1
2
1
2221
1211
2
1
U
U
Y?
U
U
YY
YY
I
I
Y参数的确定可通过输入端口,输出端口短路测量或计算确定 。
Y 11 =
1
U 1 U 2 = 0
0
Y 21 =
2
U 1 U 2 = 0
0
Y11是输出端短路时，输入端的入端导纳；
Y21是输出端短路时，输出端对输入端的转移导纳；
Y 1 2 =
1
U 2 U 1 = 0
0
Y12是输入端短路时，输入端对输出端的转移导纳；
Y 2 2 =
2
U 2 U 1 = 0
0
Y22是输入端短路时，输出端的入端导纳。
Y参数也可由其它参数转换而定 。 例如当 Z
参数已知时,由 Z参数方程可知
2
1
2221
1211
2
1
I
I
U
U
ZZ
ZZ
对以上方程求逆，即可得 Y参数方程
2
1
2221
1211
2
1
1
2221
1211
2
1
U
U
YY
YY
U
U
I
I
ZZ
ZZ
z
Z
Z
z
Z
YY
YY
1121
1222
1
2221
1211
2221
1211
z
z
Z
ZZ
ZZ
z
Z
Y
z
Z
Y
z
Z
Y
z
Z
Y
11
22
21
21
12
12
22
11
由此可知：
当 Y21=Y12时,二端口网络具有互易性；
如果该网络还具有 Y11 = Y22的特点,则二端口网络是对称的 。
212 2211
2221
1211
Z ZZZz
ZZ
ZZ
其中
5.11.3 二端口网络的 T方程和 T参数
T方程是一组以二端口网络的输出端口电压和电流 表征入口电压 和电流?1的方程,二端口网络以 和?2作为独立变量,,?1为待求量。由
Y参数方程可知,
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
则
2
21
11
2
21
21122211
2122
21
2
21
22
111
2
2121
22
1
I
Y
Y
U
Y
UYI
Y
1
U
Y
Y
YI
I
Y
1Y
U
YYYY
U
Y
2
）（
2
U
2
I 1?U
1
U2?U
B
A
21
11
2121
2112 2211
21
21
22
Y
Y
D
Y
y
Y
YYYY
Y
1
Y
Y
C
则
221
221
)( D
) (B
IUC I
IUAU
上式称为二端口网络的 T参数方程 。
A,B,C,D称为二端口网络的 T参数，其中 A,D无量纲； B具有阻抗性质，量纲为欧姆；
C具有导纳的性质，量纲为西门子。
令由于,?2是二端口网络出口一侧的物理量,,?1是二端口网络入口一侧的物理量,所以又称为传输参数方程,也叫一般传输方程 。 T参数方程的矩阵形式为,
2
2
2
2
1
1
I
U
T
I
U
DC
BA
I
U
参数矩阵称为其中 T?
DC
BA
T
2
U
1
U
T参数可以通过两个端口的开路和短路两种状态分析计算或测量获得：
A =
U 1
U 2 I 2 = 0
C =
1
U 2 I 2 = 0
B =
U 1
-? 2 U 2 = 0
0
D =
I 1
-?
2 U 2 = 0
0
A 是输出端开路时，输入电压与输出电压的比值；
C是输出端开路时，输入端对输出端的转移导纳；
B是输出端短路时，输入端对输出端的转移阻抗；
D是输出端短路时，输入电流与输出电流的比值。
对于互易二端口网络,A D – B C = 1；
如果二端口网络是对称的,则 A= D。
例 2：试求图 6-4所示二端口网络的 T参数,
并验证关系式,AD – BC = 1。
图 5-4 例 2 图解：当二端口网络输出端口开路时,?2 = 0,有
2
2
2
1
11
2
2
1
2
2
1
2
([
1
1
1
1
U)]CLCCC
C
L
U
UCI
LC
U
C
C
L
U
U
21211
ww
w
w
w
ww
w
w
j
j
j
j
j
j
j
)CLCCC(
U
I
C
LC1
U
U
A
21
2
21
0I2
1
2
2
0I2
1
2
2
ww
w
j
所以令二端口网络输出端口短路,=0，有2?U
L
UCL
L
U
UCI
L
U
I
11
1
1
2
w
w
w
w
jj
j
j ω
)1(
2
1
11
1
2
0U2
1
0U2
1
LC1
I
I
D
L
I
U
B
2
2
ω
j ω
所以
21
2
2
21
2
12
CCLLCLCBC
CCLLCLC1AD
42
1
2
422
www
www
1BCAD故
H方程是一组以二端口网络的电流?1和电压表征电压 和电流?2的方程,即以?1和另一端口的电压 为独立变量,和另一端口电流?2作为待求量,方程的结构为,
222121
2121111
UHIH
2
I
UHIHU
上式称为二端口网络的 H参数方程。系数
H11,H12,H21,H22称为二端口网络的 H参数，
其中 H12,H21无量纲； H11具有阻抗性质，量纲为欧姆； H22具有导纳的性质，量纲为西门子。
5.11.4 二端口网络的 H方程和 H参数
2
U
1
U
2
U
1
U
由于 H参数的量纲不完全相同，物理量具有混合之意，故也称为混合参数方程。
H参数其矩阵形式为,
2
1
2
1
2221
1211
2
1
U
I
H
U
I
HH
HH
I
U
参数矩阵称为 H
HH
HH
H
2221
1211
其中
H参数可以通过二端口网络的出口短路和入口开路来分析计算或测量来确定。
H 11 =
U 1
I 1 U 2 = 0
H 12 =
U 1
U 2 I 1 = 0
H 21 =
I 2
I 1 U 2 = 0
H 22 =
I 2
U 2 I 1 = 0
H11是 输出端短路时,输入端的入端阻抗 。 在晶体管电路中称为晶体管的输入电阻；
H12是 输入端开路时，输入与输出端的电压之比。在晶体管电路中称为晶体管的内部电压反馈系数或反向电压传输比；
H21是输出端短路时,输出端与输入端电流之比 。 在晶体管电路中称为晶体管的电流放大倍数或电流增益 。
H22输入端开路时,输出端的入端导纳 。 在晶体管电路中称为晶体管的输出电导 。
