第六章 正弦交流电路的功率
6,正弦交流电路的功率
6.1 R,L,C元件的功率、能量
6.2 6.3 6.4 二端网络的功率
6.5 正弦交流电路中的最大功率
6 正 弦 交流电路 的 功 率
6.1 R,L,C元件的功率和能量
1,电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A
其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V
则瞬时功率为
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt
=URIR（ 1-cos2ωt） W
由于 cos2ωt≤1,故此
pR（ t） =URIR（ 1-cos2ωt） ≥0
其瞬时功率的波形图如 6-10
所示。由图可见，
电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且 pR（ t）
≥0，说明电阻元件是耗能元件。
图 6-10 电阻元件的瞬时功率电阻的平均功率
R
U
RIIU
dttIUIU
T
dttp
T
P
RRR
T
RRRR
T
R
2
2
00
2c o s
1
)(
1
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
2,电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：
VtU
VtXItu
L
LLL
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
tAIti LL?s i n2?
其瞬时功率为
tIU
ttIU
titutp
LL
LL
LLL
2s in
s in)
2
s in (2
)()()(
上式表明,
电 感 元 件 的瞬 时 功 率 也是 以 两 倍 于电 压 的 频 率变 化 的 ； 且
pL(t)的值可正可负,其波形图如图 6-11
所示 。 图 6-11 电感元件的瞬时功率
02s i n1)(1
00
t d tIUTdttpTp LT LT LL?
从图上看出，当 uL(t),iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，
电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，
说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
tAIti cc?s i n2)(?
VtU
VtXItu
C
ccc
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
3,电容元件的功率在电压,电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为,
则电容电压为,
其瞬时功率为：
tIU
ttIUtitutp
cc
ccccc
2s in
s in)
2
s in (2)()()(
uc(t),Ic(t),pc(t)的波形如图 6-12所示 。
Cui
图 6-12 电容元件的瞬时功率从图上看出,pc(t),与 pL(t)波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 。
电容的平均功率也为零，即：
T ccTc dttIUTdttpTp 00 0)2s in(1)(1?
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,
电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 。
6.2 6.3 6.4 二端网络的功率
1.瞬时功率在图 6-13所示二端电路中,设电流 i(t)及端口电压 u(t)在关联参考方向下,分别为：
iu
VtUtu
tAIti
u )s i n (2)(
s i n2)(
则二端电路的瞬时功率为：
图 6-13
)2c o s (c o s
)]2c o s ([ c o s
s i n2)s i n (2)()()(
uu
uu
u
tUIUI
tUI
tItUtitutp
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，
第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图 6-14所示。
图 6-14 二端 RLC电路的瞬时功率从图上看出,u(t)或 i(t)为零时,p(t)为零；当二者同号时,p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时,p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。
2,有功功率（也叫平均功率）和功率因素
Z
T
uu
T
UI
dttUIUI
T
dttp
T
p
c o s
)]2c o s (c o s[
1
)(
1
0
0
式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差,也叫功率因素角。
Z?co s
Z? Z?
2,功率因数的意义功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率,减小线路压降及功率损耗,应设法提高功率因数。
3．提高功率因数的方法提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器 。 感性负载并联电容器后,它们之间相互补偿,进行一部分能量交换,减少了电源和负载间的能量交换,
功率因数提高并 C后并联电容分析,
U?
I?
LI?
CI?
1?2
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
再从功率这个角度来看,
有功,UIL cos?1 =UI cos?2
无功,UILsin?1 > UIsin?2
4,感性负载提高功率因数的原理可用图说明。
补偿容量的确定,U?
I?
LI?
CI?
1?2
)tgtg(
)tgtg(
c o s
,
c o sc o s
c o s
s i ns i n
212
21
122
1
21
φφ
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P
C
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U
P
I
φU
P
I
φU
P
φ
φI
I
φIφII
C
L
L
LC
代入得将补偿容量不同 全欠过已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6(滞后 )。要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c o s φφ 得由例,
P=20kW
cos?1=0.6
+
_
C
U?
L
R
C
U?
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CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c o s φφ 得由
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LI?
CI?
1?2
F 375
)84.25tg13.53tg(
380314
1020
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
补偿容量也可以用功率三角形确定：
1?2
P
QC
QL
Q
)tgtg(
)tgtg(
212
2
21
ω U
PC
ω CUQ
PQQQ
C
L
3,无功功率、视在功率无功功率用 Q表示，定义
ZUIQ?s i n?
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用 S表示,即
S=UI
4.有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22 QPS
S
P
Q?Z
R
X?U
UR
UX R X+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
*I?U
5,复功率
iu IIUU,
s i njc o s UIUI
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负载
+
_
)co s ( iuUIP
*
IUS
j QP
]eR e [ )j( u iUI
]eeR e [ iu j-j IU?
][Re *IUP
记 * IUS 为复功率，单位 VA
UIUI i )(
u
无功功率单位,乏 (var)
φUIQ s ind e f?
一般情况下,?
b
k
kSS
1
.,* 不等于视在功率守恒复功率守恒复功率也可表示为
ZIIIZIUS 2**
*2**** )( YUYUUYUUIUS
6：复功率守恒
0
0
0)j(
0 0
1
1
1
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*
1
b
k
k
b
k
kb
k
kk
b
k
kk
b
k
k
Q
P
QP
IUS
6.5 正弦交流电路中的最大功率以如图 所示的电路相量模型为例,
分析在 US,ZS给定的条件下,
负载 ZL获得最大功率的条件 。
其中
LLL jXRZ
由图可知,电路中电流相量为
)()(
..
.
LSLS
S
LS
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流的有效值为
22 )()(
LSLS
S
XXjRR
UI
负载吸收的功率
Z
S
Z
L
＋
－
U
S
.
I
.
有内阻抗的交流电源负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关,下面分两种情况进行讨论。
1,负载的电阻和电抗均可调节从式 (6.8.1)可见,若 RL保持不变,只改变 XL,当 XS+XL=0 时,
即 XL=－ XS,PL可以获得最大值,这时
22
2
2
)()( LSLS
LS
LL XXjRR
RURIP
(6.8.1)
2
2
)( LS
LS
L RR
RUP
再改变 RL,使 P L获得最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
即
0)( )(2)( 4
2
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LS
LSLLS
S
L
L
RR
RRRRRU
dP
dP
得 RL=RS,因此,负载获得最大功率的条件为故 0)(2)( 2
LSLLS RRRRR
SL
SL
RR
XX
SL RZ即负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹配 。 此时最大功率为
S
S
R
UP
4
2
m a x?
(6.8.2)
(6.8.3)
2．负载为纯电阻此时,ZL=RL,RL可变化 。 这时式 (3——47)中的 XL=0,即
L
LS
SL R
XRR
UP
2
5
2
2
)(
(6.8.4)
PL为最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
例 在图 所示的正弦电路中,R和 L为损耗电阻和电 感 。 实为电源内阻参数 。 已知,R=5 Ω，
L=50μH。 RL=5 Ω,试求其获得的功率 。 当 RL为多大时,能获得最大功率?最大功率等于多少?
即
0)(
)()(
222
22
2?
SLS
LLSSLS
S
L
L
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SSL
LLSSLS
XRR
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(6.8.5)
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22
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SS
S
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S
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UP
(6.8.6)
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L
R
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R
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U
I
VU
j
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LL
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4589.0
6.26/89.0
6.26/8.11
0/10
510
10
555
0/10
0/10
45/2555
1050105
22
.
.
.
65
设电压源的相量为电路中的电流为负载获得的功率为
22 LSL XRZR当 时,模匹配,能获得最大功率,
即
W
Z
U
P
WRIP
jjRZ
U
I
R
o
SS
S
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15.4
)45c o s1(252
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15.407.77 6 6.0
5.22/7 6 6.0
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0/10
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0/10
07.755
0/10
07.755
22
m a x
22
m a x
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.
.
22
6,正弦交流电路的功率
6.1 R,L,C元件的功率、能量
6.2 6.3 6.4 二端网络的功率
6.5 正弦交流电路中的最大功率
6 正 弦 交流电路 的 功 率
6.1 R,L,C元件的功率和能量
1,电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A
其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V
则瞬时功率为
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt
=URIR（ 1-cos2ωt） W
由于 cos2ωt≤1,故此
pR（ t） =URIR（ 1-cos2ωt） ≥0
其瞬时功率的波形图如 6-10
所示。由图可见，
电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且 pR（ t）
≥0，说明电阻元件是耗能元件。
图 6-10 电阻元件的瞬时功率电阻的平均功率
R
U
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T
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可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
2,电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：
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)
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上式表明,
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pL(t)的值可正可负,其波形图如图 6-11
所示 。 图 6-11 电感元件的瞬时功率
02s i n1)(1
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t d tIUTdttpTp LT LT LL?
从图上看出，当 uL(t),iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，
电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，
说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
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则电容电压为,
其瞬时功率为：
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Cui
图 6-12 电容元件的瞬时功率从图上看出,pc(t),与 pL(t)波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 。
电容的平均功率也为零，即：
T ccTc dttIUTdttpTp 00 0)2s in(1)(1?
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,
电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 。
6.2 6.3 6.4 二端网络的功率
1.瞬时功率在图 6-13所示二端电路中,设电流 i(t)及端口电压 u(t)在关联参考方向下,分别为：
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则二端电路的瞬时功率为：
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上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，
第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图 6-14所示。
图 6-14 二端 RLC电路的瞬时功率从图上看出,u(t)或 i(t)为零时,p(t)为零；当二者同号时,p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时,p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。
2,有功功率（也叫平均功率）和功率因素
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2,功率因数的意义功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率,减小线路压降及功率损耗,应设法提高功率因数。
3．提高功率因数的方法提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器 。 感性负载并联电容器后,它们之间相互补偿,进行一部分能量交换,减少了电源和负载间的能量交换,
功率因数提高并 C后并联电容分析,
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代入得将补偿容量不同 全欠过已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6(滞后 )。要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c o s φφ 得由例,
P=20kW
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补偿容量也可以用功率三角形确定：
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3,无功功率、视在功率无功功率用 Q表示，定义
ZUIQ?s i n?
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用 S表示,即
S=UI
4.有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22 QPS
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记 * IUS 为复功率，单位 VA
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一般情况下,?
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6：复功率守恒
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6.5 正弦交流电路中的最大功率以如图 所示的电路相量模型为例,
分析在 US,ZS给定的条件下,
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由图可知,电路中电流相量为
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负载吸收的功率
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有内阻抗的交流电源负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关,下面分两种情况进行讨论。
1,负载的电阻和电抗均可调节从式 (6.8.1)可见,若 RL保持不变,只改变 XL,当 XS+XL=0 时,
即 XL=－ XS,PL可以获得最大值,这时
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(6.8.2)
(6.8.3)
2．负载为纯电阻此时,ZL=RL,RL可变化 。 这时式 (3——47)中的 XL=0,即
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例 在图 所示的正弦电路中,R和 L为损耗电阻和电 感 。 实为电源内阻参数 。 已知,R=5 Ω，
L=50μH。 RL=5 Ω,试求其获得的功率 。 当 RL为多大时,能获得最大功率?最大功率等于多少?
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0/10
0/10
45/2555
1050105
22
.
.
.
65
设电压源的相量为电路中的电流为负载获得的功率为
22 LSL XRZR当 时,模匹配,能获得最大功率,
即
W
Z
U
P
WRIP
jjRZ
U
I
R
o
SS
S
R
LR
o
o
oo
LS
L
15.4
)45c o s1(252
1 0 0
)c o s1(2
15.407.77 6 6.0
5.22/7 6 6.0
5.22/06.13
0/10
57.12
0/10
07.755
0/10
07.755
22
m a x
22
m a x
2
.
.
22
