高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第一节 多元函数的概念集合的连通性邻域区域有界集无界集开集闭集多元函数多元函数的极限多元函数的累次极限多元函数的连续性回忆一维空间中点的邻域概念利用,点,将邻域概念推广到高维空间
),U( 00,邻域的点 xx
} || | { 0 xxx
} ),d( | {),U( 00 xxxx
( )
0x0x
0x
.
( )
0x0x
0x
.
回忆一维空间中点的邻域概念利用,点,将邻域概念推广到高维空间
),U( 00,邻域的点 xx
} || | { 0 xxx
} ),d( | {),U( 00 xxxx
0X
0X
0X X || ),d( 00 XXXX
,1 中邻域的定义空间 nR
0 ),3,2 ( 0 为实数，则称集合，设nRX n
} ),d( | {),U( 00 XXXX
),U( 00 。邻域，记为的中点为 XXR n
想想,二维、三维空间中点的邻域是什么样子?
} )()( |),{(),U( 20200 yyxxyxX
O x
y
,),( 000 yxX
2 中：在 R
开圆盘
3 中：在 R
开球体
Ox y
z
,),,( 0000 zyxX
} )()()( |),,{(),U( 2020200 zzyyxxzyxX
去心邻域的概念也可搬过来 。
中去心邻域的定义空间 nR
0 ),3,2 ( 0 为实数，则称集合，设nRX n
} ),d(0 | {),U( 00 XXXX
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2 中：在 R
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3 中：在 R
2,开集、闭集、有界集、无界集集合的内点,外点,边界点 。
E
边界点 外点内点 ·
· ·
E)(U 0 X
E)(U 0 X
)U( 0X?
其内既有 E
的点也有不属于 E 的点
E
集合 E 的聚点
0 E,，若设有集合
E),(U? 0X
E 0 。的一个聚点为集合则称点 X 聚点
的内点、集合 } 10 | ),{(E 22 yxyx
E )0,0( 1 22 的聚点。都是上的点、以及点圆周 yx
O x
y
..,1 聚点可能属于集合 E,也可能不属于集合 E 。
例集合的孤立点
)(U? E 00,其内不含集合，但存在若点 XX?
E,E 0 。的孤立点为集合则称的点 X
集合的孤立点一定是集合的边界点,
孤立点是否为集合的边界点？
},1|),{(E Nnnyxyx集合的所有点均为 E 孤立点。
x
y
O
.(1,1).
),( 2121....
)0,0( 为其聚点但点例开集,闭集
E 中的开集。为则称集合 nR
E 点，中的每一点均为它的内若集合
E,包含了它的所有聚点若集合
E 。中的闭集为则称集合 nR
喂！是所有聚点哦！
由内点构成的集合！
有界集
E ),U (O,E,0 为则称使若 rr
.,,称为无界集否则中的有界集nR
y
xO
E rE中的有界集
2R
) U ( O,E r?
x
y
O a
E
无界集 },|),{(E ybxayx
b
集合的连通性
E E 内的全位于中的任意两点均可用完若
,E,中的连通集为则称折线连接起来 nR
,E,为不连通的称否则连通集单连通集复连通集分为集合的连通性单连通 复连通
E E..,,
不连通
E.,
是有界判别下列集合的有界性、连通性及开闭,
是无界 }1),{( 222 yxyxE
是有界
}164|),,{( 2223 zyxzyxE
连通 开集连通 闭集连通 非开非闭集例
} 4 | ),{( 221 yxyxE
,是开集还是闭集与全集空集中空间 nn RR?
,,是开集又是闭集空间中的空集与全集既规定
3.区域区域是连通开集,
区域?的内点及边界点都是它的聚点,
,则称为一连通开集若非空集 nR
,中的区域为 nR?
注意：集合的聚点不一定属于集合,
开的
的所有边界点构成的集合的 边界,记为称为
区域的边界区域与其全部边界点的并集,称为闭区域,
记为
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第一节 多元函数的概念集合的连通性邻域区域有界集无界集开集闭集多元函数多元函数的极限多元函数的累次极限多元函数的连续性回忆一维空间中点的邻域概念利用,点,将邻域概念推广到高维空间
),U( 00,邻域的点 xx
} || | { 0 xxx
} ),d( | {),U( 00 xxxx
( )
0x0x
0x
.
( )
0x0x
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.
回忆一维空间中点的邻域概念利用,点,将邻域概念推广到高维空间
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0X
0X
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,1 中邻域的定义空间 nR
0 ),3,2 ( 0 为实数，则称集合，设nRX n
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想想,二维、三维空间中点的邻域是什么样子?
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O x
y
,),( 000 yxX
2 中：在 R
开圆盘
3 中：在 R
开球体
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} )()()( |),,{(),U( 2020200 zzyyxxzyxX
去心邻域的概念也可搬过来 。
中去心邻域的定义空间 nR
0 ),3,2 ( 0 为实数，则称集合，设nRX n
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2 中：在 R
} )()()(0 |),,{(),U( 2020200 zzyyxxzyxX
3 中：在 R
2,开集、闭集、有界集、无界集集合的内点,外点,边界点 。
E
边界点 外点内点 ·
· ·
E)(U 0 X
E)(U 0 X
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其内既有 E
的点也有不属于 E 的点
E
集合 E 的聚点
0 E,，若设有集合
E),(U? 0X
E 0 。的一个聚点为集合则称点 X 聚点
的内点、集合 } 10 | ),{(E 22 yxyx
E )0,0( 1 22 的聚点。都是上的点、以及点圆周 yx
O x
y
..,1 聚点可能属于集合 E,也可能不属于集合 E 。
例集合的孤立点
)(U? E 00,其内不含集合，但存在若点 XX?
E,E 0 。的孤立点为集合则称的点 X
集合的孤立点一定是集合的边界点,
孤立点是否为集合的边界点？
},1|),{(E Nnnyxyx集合的所有点均为 E 孤立点。
x
y
O
.(1,1).
),( 2121....
)0,0( 为其聚点但点例开集,闭集
E 中的开集。为则称集合 nR
E 点，中的每一点均为它的内若集合
E,包含了它的所有聚点若集合
E 。中的闭集为则称集合 nR
喂！是所有聚点哦！
由内点构成的集合！
有界集
E ),U (O,E,0 为则称使若 rr
.,,称为无界集否则中的有界集nR
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E rE中的有界集
2R
) U ( O,E r?
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E
无界集 },|),{(E ybxayx
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集合的连通性
E E 内的全位于中的任意两点均可用完若
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E E..,,
不连通
E.,
是有界判别下列集合的有界性、连通性及开闭,
是无界 }1),{( 222 yxyxE
是有界
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连通 开集连通 闭集连通 非开非闭集例
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,是开集还是闭集与全集空集中空间 nn RR?
,,是开集又是闭集空间中的空集与全集既规定
3.区域区域是连通开集,
区域?的内点及边界点都是它的聚点,
,则称为一连通开集若非空集 nR
,中的区域为 nR?
注意：集合的聚点不一定属于集合,
开的
的所有边界点构成的集合的 边界,记为称为
区域的边界区域与其全部边界点的并集,称为闭区域,
记为
