高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第二节 多元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质推广的思路第二节 多元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质回忆一元函数的情形推广到多元函数中验证可行性形式上一,多元函数的极限及极限的运算
x0 x
y
ay?
ay
ay
( ).
.
a
)(xf
.x
O
.
)( xfy?
P
),(U? 0?x
),U(?a
)(lim
0
的几何意义axfxx
.
x0 x
y
ay?
ay
ay
( ).
.
a
)(xf
.x
O
.
)( xfy?
P
),(U? 0?x
),U(?a
)(lim
0
的几何意义axfxx
.
),(U? 0?xx?
x0 x
y
ay?
ay
ay
( ).
.
a
)(xf
.x
O
.
)( xfy?
P
),(U? 0?x
),U(?a
)(lim
0
的几何意义axfxx
.
),(U? 0?xx?
),U()(?axf?
回忆一元函数极限的概念的
,I I,)( 0 的聚点为设 xxxfy
,),(U?,0,0 0 时当点若 xx
,|)(| ),,U()( 则称即 axfaxf
,)(lim
0
axfxx
现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念的
,I I,)( 0 的聚点为设 xxxfy
,),(U?,0,0 0 时当点若 xx
,|)(| ),,U()( 则称即 axfaxf
,)(lim
0
axfxx
现在进行形式上的推广
XXfu )( 的聚点为 0?X
),(U? 0?XX?
),U()(?aXf? |)(| aXf
)(lim
0
aXfXX 进行整理
,,)( 0 的聚点为设 XXXfu
,),(U?,0,0 0 时当点若 XX
,|)(| ),,U()( 则称即 aXfaXf
,)(li m
0
aXfXX
我们完成了极限概念的推广工作,
（重极限）
二元函数极限的定义
,D),(U?,0,0 0 时当点若 XX
时的极限 (二重极限 ),记为
,),(l i m)(l i m
0
00
ayxfXf
yy xxXX
0 )( XXXfza 当为则称 ),,U()(?aXf?有
,D),(,)( 2RyxXXfz设,D ),( 000 的聚点为yxX?
几点注意
.
),U ( 00
的某些点可无定义内及函数在点?XX
.
,
),( U 00
行向进可以任意方式沿任何方内的邻域落在点点?XXX
,|| ),,(U
,|)(|
),,U()(
azaz
aXf
aXf
亦即即
.
,)3(
的类似极限的定义与二元函数时 nRX n
,)(
)()(0
D,),(U?
2
0
2
0
0
处有定义在点且即
XXf
yyxx
XX
)( Xfz?
多元函数极限的性质、定理多元函数的极限如果存在,则必唯一,
,)(,0)(lim 0
0
时的无穷小量为则称若 XXXXXX
aXfaXfXX )( )(lim
0
应用这个性质,
可将一元函数的极限运算法则和性质推广到多元函数中来,,0lim ),(U?,00XXXX其中由于
,||||l i m
22
0
0 yx
yx
y
x?
求
||||0
22
yx
yx
怎么办?
||||||||
22
yx
y
yx
x
怎么办?
|||| ||||
22
yxyyxx
而,0) |||| (lim
00
yx
yx
故由夹逼定理,得
0||||l i m
22
0
0
yx
yx
y
x
夹逼定理例解又
(有界量 )
(无穷小量 )
无穷小量的性质
,1s in)(lim 2222
0
0 yx
yx
y
x?
求由于 1 1s i n 22 yx
0)(lim 22
00
yx
yx
,01s in)(lim 2222
0
0
yx
yx
y
x
故例解有理化 (平方差公式 )
,11 l i m 22
22
0
0
yx
yx
y
x
求
1)1(
)11 )((lim
22
2222
0
0
yx
yxyx
y
x
原式
2)11 (lim 22
00
yx
yx
例解等价无穷小替代似曾相识
.s inlim
2
0 x
yx
y
x
求
x
xy
x
xy
y
x
y
x
2
0
2
0
lims inlim
,2lim
20
y
yx
例解
2
s i n
limlim
s i n
lim
s i n
lim
2
0
2
0
2
0
2
0
xy
xy
y
xy
xyy
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
利用重要极限此题另一解法
,11li m
2
5
yx
x
y
x x
求例解,11lim 1
5
eex yx
xx
y
x
原式
,1lim,11lim
55
yx
xe
x yx
x
y
x
其中利用重要极限例解,,2 的次数相同分子与分母关于时当 xxy?
,2 则取 kxy?
,1lim),(lim 2424
22
0
0
0
0 k
k
xkx
kxxyxf
y
x
y
x?
)0,0(),(?yx由于极限存在应与 的方式和方向无关,
而上述结果与 k 值有关,故原极限不存在,
,),(l i m
00
yxf
yx
求?),( yxf设
,0,2224
2
yxyx yx
,0,0 22 yx
该例还说明一个问题对此你有什么想法?
,2xky?虽然沿无穷多个方向：
,,)0,0(),( 函数均有极限时当?yx
,),( lim
00
不存在但函数的极限 yxf
yx
多元函数的极限不存在,
“无穷多个方向”不等于“任意方向”,
可利用方向性来判别累次极限累次极限是指的下列极限一般说来,这两个极限不一定相等,
在高等数学中,运算顺序不能随便交换,
),(li mli m yxf
byax ) ),(lim (lim yxfbyax
),(li mli m yxf
axby ) ),(lim (lim yxfaxby
定理若两个累次极限存在,但不相等：
),(li mli m),(li mli m yxfyxf axbybyax
,),( l i m 不存在则二重极限 yx
by
ax
.li m
22
0
0 yx
yxyx
y
x?
求
1limlimlim
2
0
22
00
x
xx
yx
yxyx
xyx
1l i ml i ml i m
2
0
22
00
y
yy
yx
yxyx
yxy
由于两个累次极限不相等,故
,li m
22
0
0
不存在
yx
yxyx
y
x?
例解二重极限存在不一定能推出累次极限存在,
则有设,0,1si n),( 22 yxyxyxf
) 1|1s in| ( 01s inli m
0
0
yy
x
y
x
但,)
1si nl i m(l i m1si nl i ml i m
0000
不存在yxyx
yxyx
例即算两个累次极限存在且相等,
也不一定能推出二重极限存在,
请同学们课后讨论函数
22),( yx
xyyxf
时的两类极限,)0,0(),(?yx当二,多元函数的连续性多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,
与函数的极限密切相关,
二元函数连续性的定义
,D),U(,0,0 0 时当点若 XX
在则称二元函数有 ),( ),),(U()( 0 yxfXfXf
,,),( 02 DXRDXXfz设
,0 处连续点 X,0 称为函数的连续点点 X
0 则函数在点为函数定义域的聚点，若 X
0 处的连续性等价于X
,)()(lim 0
0
XfXfXX
,D,)U( )( 00 的聚点为则内有定义在若 XXXf
若函数 在区域? 上的每一点都连续,则称函数 在区域? 上连续,
记为,)()( CXf
)(Xf
)(Xf
数中讨论区间端点处连续性的情形,
如果点 为区域? 的边界点,则只需讨论X
点 的邻域中属于? 的那一部分,类似于一元函X
与一元函数类似：
和、差、积、商 (分母不能为零 )仍是仍是连续函数；
可以参考以下两本书二元函数连续函数的运算连续的多元函数的复合函数仍连续,
在一定的条件下,连续的多元函数的
1.,分析中的反例,
[美 ] B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德,
上海科学出版社,1980.
2.,高等数学是非 300例分析,
计幕然等,北京航空学院出版社,1985.
与一元函数类似由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,称为多元初等函数,
由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知,多元初等函数在其有定义的区域内是连续的,
多元初等函数有界闭区域上连续函数的性质一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质,
在空间 )2(?nR n 中,闭区域不一定有界,
在一维空间中,闭区间一定是有界的,
性质 1 (最大、最小值定理 )
,为有界闭区域设 nR
使则若,),()( 2,1 XXCXf
,)(m a x)( 1 XfXf X
,)(m i n)( 2 XfXf X
推 论
)()(, CXfR n 为有界闭区域
,)( 内有界在?Xf
设 nR 为有界闭区域,
任意一个值?,至少存在一点
0X
使得
.)( 0Xf
,)()( CXf 且 )( Xf 在? 上取两个若函数值? 与
,)( 则对于? 与? 间的性质 2 (介质值定理 )
从定理可看出：
)(m a x XfX
)(m i n XfX
则至少存在一点
0X
使得
.)( 0Xf
若取由连续性根存在定理能否由介值定理得出设 nR 为有界闭区域,
存在一点
0X
使得,0)( 0?Xf
两个函数值? 与? 0,且,则至少
,)()( CXf 且 )( Xf
在? 上取若该定理实际上是介值定理的推论,
性质 2 (根存在定理 )
通常说：
0X如果函数 在点)(Xf 处不连续,则称函数在点 0X 处间断点 0X 称为函数的间断点,
三,多元函数的间断点寻找间断点的方法与一元函数的情况类似函数无定义的点 ;
极限存在但不等于函数例如：
极限不存在的点 ;
在该点的函数值的点等等,
,的间断点求函数 yx xyz
由分母不能为零,
的一切点均为函数的间断点,O
x
y
0 yx
)D( f
例解直线 上0 yx
多元函数间断点多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合,
情形比较复杂
,1 22 的间断点求函数 yxz
由分母不能为零,
,,0 22 函数无定义时当 yx
例解故点 为函数的间断点,)0,0(
由三角函数知识可知,
所求间断点为
2
22 kyx
),2,1,0(k O x
y
同心圆
,)ta n ( 22 的间断点求函数 yxz例解根据函数连续的定义,只需证明
,0),(lim
00
yxf
yx
想想,应该怎么做?
例解
,)0,0( 处的连续性讨论函数在点
),( yxf
0,|)(| 2222 yxyx xxy
,0,0 22 yx
,222 ryx 0)0,0(),( ryx
运用夹逼定理,
rrryx xxy 2|c o s)c o s( s in||)(|0
2
22?
02lim0 rr? 0
|)(|lim
22
0
0
yx
xxy
y
x
故函数在点 (0,0)处连续,
运用极坐标,c os?rx?,s in?ry?
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第二节 多元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质推广的思路第二节 多元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质回忆一元函数的情形推广到多元函数中验证可行性形式上一,多元函数的极限及极限的运算
x0 x
y
ay?
ay
ay
( ).
.
a
)(xf
.x
O
.
)( xfy?
P
),(U? 0?x
),U(?a
)(lim
0
的几何意义axfxx
.
x0 x
y
ay?
ay
ay
( ).
.
a
)(xf
.x
O
.
)( xfy?
P
),(U? 0?x
),U(?a
)(lim
0
的几何意义axfxx
.
),(U? 0?xx?
x0 x
y
ay?
ay
ay
( ).
.
a
)(xf
.x
O
.
)( xfy?
P
),(U? 0?x
),U(?a
)(lim
0
的几何意义axfxx
.
),(U? 0?xx?
),U()(?axf?
回忆一元函数极限的概念的
,I I,)( 0 的聚点为设 xxxfy
,),(U?,0,0 0 时当点若 xx
,|)(| ),,U()( 则称即 axfaxf
,)(lim
0
axfxx
现在进行形式上的推广回忆一元函数极限的概念的
,I I,)( 0 的聚点为设 xxxfy
,),(U?,0,0 0 时当点若 xx
,|)(| ),,U()( 则称即 axfaxf
,)(lim
0
axfxx
现在进行形式上的推广
XXfu )( 的聚点为 0?X
),(U? 0?XX?
),U()(?aXf? |)(| aXf
)(lim
0
aXfXX 进行整理
,,)( 0 的聚点为设 XXXfu
,),(U?,0,0 0 时当点若 XX
,|)(| ),,U()( 则称即 aXfaXf
,)(li m
0
aXfXX
我们完成了极限概念的推广工作,
（重极限）
二元函数极限的定义
,D),(U?,0,0 0 时当点若 XX
时的极限 (二重极限 ),记为
,),(l i m)(l i m
0
00
ayxfXf
yy xxXX
0 )( XXXfza 当为则称 ),,U()(?aXf?有
,D),(,)( 2RyxXXfz设,D ),( 000 的聚点为yxX?
几点注意
.
),U ( 00
的某些点可无定义内及函数在点?XX
.
,
),( U 00
行向进可以任意方式沿任何方内的邻域落在点点?XXX
,|| ),,(U
,|)(|
),,U()(
azaz
aXf
aXf
亦即即
.
,)3(
的类似极限的定义与二元函数时 nRX n
,)(
)()(0
D,),(U?
2
0
2
0
0
处有定义在点且即
XXf
yyxx
XX
)( Xfz?
多元函数极限的性质、定理多元函数的极限如果存在,则必唯一,
,)(,0)(lim 0
0
时的无穷小量为则称若 XXXXXX
aXfaXfXX )( )(lim
0
应用这个性质,
可将一元函数的极限运算法则和性质推广到多元函数中来,,0lim ),(U?,00XXXX其中由于
,||||l i m
22
0
0 yx
yx
y
x?
求
||||0
22
yx
yx
怎么办?
||||||||
22
yx
y
yx
x
怎么办?
|||| ||||
22
yxyyxx
而,0) |||| (lim
00
yx
yx
故由夹逼定理,得
0||||l i m
22
0
0
yx
yx
y
x
夹逼定理例解又
(有界量 )
(无穷小量 )
无穷小量的性质
,1s in)(lim 2222
0
0 yx
yx
y
x?
求由于 1 1s i n 22 yx
0)(lim 22
00
yx
yx
,01s in)(lim 2222
0
0
yx
yx
y
x
故例解有理化 (平方差公式 )
,11 l i m 22
22
0
0
yx
yx
y
x
求
1)1(
)11 )((lim
22
2222
0
0
yx
yxyx
y
x
原式
2)11 (lim 22
00
yx
yx
例解等价无穷小替代似曾相识
.s inlim
2
0 x
yx
y
x
求
x
xy
x
xy
y
x
y
x
2
0
2
0
lims inlim
,2lim
20
y
yx
例解
2
s i n
limlim
s i n
lim
s i n
lim
2
0
2
0
2
0
2
0
xy
xy
y
xy
xyy
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
利用重要极限此题另一解法
,11li m
2
5
yx
x
y
x x
求例解,11lim 1
5
eex yx
xx
y
x
原式
,1lim,11lim
55
yx
xe
x yx
x
y
x
其中利用重要极限例解,,2 的次数相同分子与分母关于时当 xxy?
,2 则取 kxy?
,1lim),(lim 2424
22
0
0
0
0 k
k
xkx
kxxyxf
y
x
y
x?
)0,0(),(?yx由于极限存在应与 的方式和方向无关,
而上述结果与 k 值有关,故原极限不存在,
,),(l i m
00
yxf
yx
求?),( yxf设
,0,2224
2
yxyx yx
,0,0 22 yx
该例还说明一个问题对此你有什么想法?
,2xky?虽然沿无穷多个方向：
,,)0,0(),( 函数均有极限时当?yx
,),( lim
00
不存在但函数的极限 yxf
yx
多元函数的极限不存在,
“无穷多个方向”不等于“任意方向”,
可利用方向性来判别累次极限累次极限是指的下列极限一般说来,这两个极限不一定相等,
在高等数学中,运算顺序不能随便交换,
),(li mli m yxf
byax ) ),(lim (lim yxfbyax
),(li mli m yxf
axby ) ),(lim (lim yxfaxby
定理若两个累次极限存在,但不相等：
),(li mli m),(li mli m yxfyxf axbybyax
,),( l i m 不存在则二重极限 yx
by
ax
.li m
22
0
0 yx
yxyx
y
x?
求
1limlimlim
2
0
22
00
x
xx
yx
yxyx
xyx
1l i ml i ml i m
2
0
22
00
y
yy
yx
yxyx
yxy
由于两个累次极限不相等,故
,li m
22
0
0
不存在
yx
yxyx
y
x?
例解二重极限存在不一定能推出累次极限存在,
则有设,0,1si n),( 22 yxyxyxf
) 1|1s in| ( 01s inli m
0
0
yy
x
y
x
但,)
1si nl i m(l i m1si nl i ml i m
0000
不存在yxyx
yxyx
例即算两个累次极限存在且相等,
也不一定能推出二重极限存在,
请同学们课后讨论函数
22),( yx
xyyxf
时的两类极限,)0,0(),(?yx当二,多元函数的连续性多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,
与函数的极限密切相关,
二元函数连续性的定义
,D),U(,0,0 0 时当点若 XX
在则称二元函数有 ),( ),),(U()( 0 yxfXfXf
,,),( 02 DXRDXXfz设
,0 处连续点 X,0 称为函数的连续点点 X
0 则函数在点为函数定义域的聚点，若 X
0 处的连续性等价于X
,)()(lim 0
0
XfXfXX
,D,)U( )( 00 的聚点为则内有定义在若 XXXf
若函数 在区域? 上的每一点都连续,则称函数 在区域? 上连续,
记为,)()( CXf
)(Xf
)(Xf
数中讨论区间端点处连续性的情形,
如果点 为区域? 的边界点,则只需讨论X
点 的邻域中属于? 的那一部分,类似于一元函X
与一元函数类似：
和、差、积、商 (分母不能为零 )仍是仍是连续函数；
可以参考以下两本书二元函数连续函数的运算连续的多元函数的复合函数仍连续,
在一定的条件下,连续的多元函数的
1.,分析中的反例,
[美 ] B.R.盖尔鲍姆,J.M.H.奥姆斯特德,
上海科学出版社,1980.
2.,高等数学是非 300例分析,
计幕然等,北京航空学院出版社,1985.
与一元函数类似由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,称为多元初等函数,
由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知,多元初等函数在其有定义的区域内是连续的,
多元初等函数有界闭区域上连续函数的性质一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质,
在空间 )2(?nR n 中,闭区域不一定有界,
在一维空间中,闭区间一定是有界的,
性质 1 (最大、最小值定理 )
,为有界闭区域设 nR
使则若,),()( 2,1 XXCXf
,)(m a x)( 1 XfXf X
,)(m i n)( 2 XfXf X
推 论
)()(, CXfR n 为有界闭区域
,)( 内有界在?Xf
设 nR 为有界闭区域,
任意一个值?,至少存在一点
0X
使得
.)( 0Xf
,)()( CXf 且 )( Xf 在? 上取两个若函数值? 与
,)( 则对于? 与? 间的性质 2 (介质值定理 )
从定理可看出：
)(m a x XfX
)(m i n XfX
则至少存在一点
0X
使得
.)( 0Xf
若取由连续性根存在定理能否由介值定理得出设 nR 为有界闭区域,
存在一点
0X
使得,0)( 0?Xf
两个函数值? 与? 0,且,则至少
,)()( CXf 且 )( Xf
在? 上取若该定理实际上是介值定理的推论,
性质 2 (根存在定理 )
通常说：
0X如果函数 在点)(Xf 处不连续,则称函数在点 0X 处间断点 0X 称为函数的间断点,
三,多元函数的间断点寻找间断点的方法与一元函数的情况类似函数无定义的点 ;
极限存在但不等于函数例如：
极限不存在的点 ;
在该点的函数值的点等等,
,的间断点求函数 yx xyz
由分母不能为零,
的一切点均为函数的间断点,O
x
y
0 yx
)D( f
例解直线 上0 yx
多元函数间断点多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合,
情形比较复杂
,1 22 的间断点求函数 yxz
由分母不能为零,
,,0 22 函数无定义时当 yx
例解故点 为函数的间断点,)0,0(
由三角函数知识可知,
所求间断点为
2
22 kyx
),2,1,0(k O x
y
同心圆
,)ta n ( 22 的间断点求函数 yxz例解根据函数连续的定义,只需证明
,0),(lim
00
yxf
yx
想想,应该怎么做?
例解
,)0,0( 处的连续性讨论函数在点
),( yxf
0,|)(| 2222 yxyx xxy
,0,0 22 yx
,222 ryx 0)0,0(),( ryx
运用夹逼定理,
rrryx xxy 2|c o s)c o s( s in||)(|0
2
22?
02lim0 rr? 0
|)(|lim
22
0
0
yx
xxy
y
x
故函数在点 (0,0)处连续,
运用极坐标,c os?rx?,s in?ry?
