高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元函数的偏导数是一元函数导数的推广,其计算往往是借用一元函数的计算公式和方法,但实际计算往往较繁,
在推广中有一些东西将起质的变化,
我们通常介绍二元函数的情形,所得结果可以推广到更高元的函数中,一般不会遇到原则性问题,
工程和科学技术中,遇到的大部分是多变量的问题,在处理时往往需要知道在其它变量不变,只有某一个变量变化时,引起的事物反应,
在物理和力学中,经常用到力和速度的分解和合成,一般是将任意方向的力或分速度,
力或速度分解为平行于坐标轴方向的分一元函数 的导数xaxf s i n)(?
xaaxf c o s)(
xaaxf s in),(?
xaaaxf x co s),(
将函数表示为含参数的形式用下标显示是对 x 求导一元函数 的导数xaxf s i n)(?
xaaxf c o s)(
xaaxf s in),(?
xaaaxf x co s),(
xyy s i n)?
xyyyf x co s)
如果 x,y 为自变量,这就是二元函数
f (x,y) 关于变量 x 的偏导数,
将参数 a 换成变量 y.
一,偏增量和全增量偏增量
),(),( 000 yxyxXx
或
),(),( 0000 yxyxxXx
,0 则称固定 yy?
,),( 00 的偏增量处关于在点为变量 xyxX
,2 中空间 R
一,偏增量和全增量偏增量
),(),( 000 yxyxXy
或
),(),( 0000 yxyyxXy
,0 则称固定 xx?
,),( 00 的偏增量处关于在点为变量 yyxX
,2 中空间 R
一,偏增量和全增量全增量
,2 中空间 R ),( ),( 00 处的全增量为在点变量 yxyxX?
),(),( 000 yxyxXXX
或表示为
),(),( 0000 yxyyxxX
,,,00 xxyxxx其中
x
y
O
),( 00 yyxxX
),( 00 yxxX
),( 00 yyxX
Xx?
Xy?
0y
0x
),( 000 yxX
0yy?固定
0xx?固定一,偏增量和全增量例如,
),,(),,( 000000 zyxzzyyxxX
),,(),,( 000000 zyxzyxxXx
),,(),,( 000000 zyxzyyxXy
),,(),,( 000000 zyxzzyxXz
同学们不难将以上增量形式推广至空间 )3(?nR n 中,
函数的增量的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量,
函数 相应于自变量 ),( yxfz? yx 和二,多元函数的偏增量和全增量函数的偏增量,2 中空间 R
),(),( 000 yxfyxfzx
),(),( 0000 yxfyxxfzx
函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处的偏增量为,
及 ),(),(
000 yxfyxfzy
),(),( 0000 yxfyyxfzy
二,多元函数的偏增量和全增量
O
x
y
z
D?
),( yxfz?
)0,,( 00 yxQ
0y
),,( 000 zyxP沿此曲线计算的函数在点 P 处的增量为偏增量 z
x?
二,多元函数的偏增量和全增量函数的全增量,2 中空间 R
),(),( 00 yxfyxfz
),(),( 0000 yxfyyxxfz或二,多元函数的偏增量和全增量函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处的全增量为,
函数增量的点函数表示,2 中空间 R
)()( 00 XfXXfz
)()( 00 XfXXfz xx
)()( 00 XfXXfz yy
二,多元函数的偏增量和全增量函数 ),( yxfz? 在点 ),( 000 yxX 处的全增量为,
函数 ),( yxfz? 在点 ),( 000 yxX 处的偏增量为,
对于
)3(?nR n 中的函数可仿此进行增量的定义
)()( 00 XfXXfz
)()( 00 XfXXfz kk xx
),,,,,( 21 nk xxxxX
其中
,则设 zyxu?
全增量
zyxzyxxux )( 偏增量
zyxzyyxuy )(
zyxzzyxuz )(
xyzzzyyxxu ))()((
例函数的连续性能否用函数的全增量描述？
想想：
函数的连续性能否用函数的全增量描述？ 能
0lim 0 ZX
二元函数的偏导数定义且极限内有定义在设,),U ( ),( 00 yxyxfz?
ax zx yxfyxxf x
xx
0
0000
0
lim),(),(lim
称极限值可偏导处对则称函数在点存在,),(,00 axyx
记为的偏导数量为函数在该点的关于变,x
,
0
0
axz
yy
xx
,
),( 00 a
x
yxf?
,
0
0
az
yy
xxx
,),( 00 ayxf x,),( 001 ayxf
三,多元函数的偏导数且极限内有定义在设,),U ( ),( 00 yxyxfz?
by zy yxfyyxf y
yy
0
0000
0
lim),(),(lim
称极限值可偏导处对则称函数在点存在,),(,00 byyx
记为的偏导数量为函数在该点的关于变,y
,
0
0
byz
yy
xx
,
),( 00 b
y
yxf?
,
0
0
bz
yy
xxy
,),( 00 byxf y,),( 002 byxf
三,多元函数的偏导数二元函数的偏导数定义变量 x 和 y 的偏导数均存在,则称函数若函数 ),( yxf 在点 ),(
00 yx
处关于
),( yxf 在点 ),( 00 yx 处可偏导,
在区域?内的任一点若函数 ),( yxf
内可偏导,
处均可偏导,则称函数 ),( yxf 在区域?
与一元函数的情况类似,函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数,一般仍称为函数在区域上的偏导数,
下面讨论偏导数的计算方法
x
yxfyxxf
x
z
x?
),(),(lim
0
可以看出,定义
x
z
时,变量 y 是不变的,实际上,
是对函数 ),( yxf,将 y 视为常数,关于变量 x 按一元函数导数的定义进行的：
x
yxfyxxf
x
z
xyx?
),(),(lim 0000
0),( 00
0d
),(d 0
xxx
yxf
实质上是多元函数的偏导数的计算方法,
没有任何技术性的新东西,
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－ 1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可,
,)2,1( 3 22 处的偏导数在点求 yxyxz
)2,1(
22
)2,1( })()3(){( xxx yxyxx
z
)2,1(
22
)2,1( })()3(){( yyy yxyxy
z
8)32( )2,1( yx
7)23( )2,1( yx
例解由定义,此例也可用下列方式求解
8)46(d d 12)2,1(xxxxxz
7)31(d d 22)2,1(yyyyyz
000 d
),(d 0
),( xxyx x
yxf
x
z
但最好采用前一种方法,
)2,1( 3 22 处点yxyxz
,a r c ta n 的偏导数求 yxz?
xy
x
y
xx
z
2
1
1
,22 yx y?
yy
x
y
xy
z
2
1
1
,22 yx x
将 y 看成常数
y
1
将 x 看成常数
2y
x?
例解
,)0( 的偏导数求 xxz y
1 yxyxz )( 1 aa xax
ln xxyz y ln)( aaa xx
将 y 看成常数时,是对幂函数求导,
将 x 看成常数时,是对指数函数求导,
例解以上的叙述虽然是对二元函数元及其以上的多元函数中去,
进行的,但其结论可直接推广到三
,32 的偏导数求 zxyxeu; )1( 232 yexu zxyx; 232 yxeyu zxyx
,)3( 232 zezu zxyx
例解
,)0,0( 处的连续性和可偏导性在点
,则取 xky?
,1l i ml i m 2222
2
0
022
0
0 k
k
xkx
xk
yx
yx
y
x
y
x?
由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,
例解
,)0,0( ),( 处不连续在点故函数 yxf
),( yxf讨论函数
0 2222 yxyx xy
0 0 22 yx
但是
,00l im)0,0()0,(l im 00 xx x fxf
,00lim)0,0(),0(lim 00 yy y fyf
,0)0,0( xf
0)0,0(,) 0( ),( 2222 fyxyx xyyxf
,0)0,0( yf
,)0,0( ),( 且处可偏导在点即函数 yxf
想想是什么问题?
该例说明了一个重要问题：
对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系,
这是多元函数与一元函数的一个本质区别,
在热力学中,已知压强 P,体积 V 和温度 T 之间满足关系 PV = k T,其中,k
为常数,证明,,1PTTVVP
,V TVP 2k故从而
PTTVVP kkk V P V T2,1PVT k
例证
V
TP TPV kk 得由关系
,VPT,PTV kk类似可得警告 各位 ！
偏导数的符号
yx?
,是一个整体记号,
z? 与 yx,的商,
不能像一元函数那样将
y
z
x
z
,看成是
x
y
z
O
1T
2T.
.
ta n),(
00
0
y
yxf
xx 平面上在
t a n
),(
00
0
x
yxf
yy 上在平面
),( 0yxfz?
),( 0 yxfz?
四,偏导数的几何意义
P
),( yxfz?
0x
0y
0P
),( 000 上的曲线就是平面 xxy yxf
0
1 I ),(
xx
yyxfz
,),(,000 处切线的斜率即点在点 yxyy?
),( 000 上的曲线就是平面 yyx yxf
,),(,000 处切线的斜率即点在点 yxxx?
0
I ),(
yy
xyxfz
二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,
故由偏导数存在不能推出函数连续,
偏导数的几何意义说明了一个问题,
),(),( 00 yxfyxf
,)),U ( (),( ),,( 002222 yx其中五,二元函数的微分中值定理定理,)),U ( ( ),( 00 则内可偏导在设函数 yxyxfz?
),( )),U ( (),( 1100 和至少存在一组点yxKyx
),( 22 使得
))(,())(,( 022011 yyfxxf yx
)),((U),( 00 yxyx?
)),((U),(),( 0000 yxyxyx?，
),(),( 00 yxfyxf )),(),(( 0 yxfyxf?
)),(),(( 000 yxfyxf
∵
∴
自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理,得
)( ),( ),(),( 010 xxx yfyxfyxf
)( ),(),(),( 020000 yyyxfyxfyxf
证
,,0 201 之间与在之间与在 yyxx
,),(),(,),(),( 2022111 则记 xy
))(,())(,(),(),( 02201100 yyfxxfyxfyxf yx
且有
2020201201 )()()()( yyxxyx
2020202202 )()()()( yyxxyx
,)),U ((),(,),( 001111 yx即由中值定理,可将函数的全增量表示为
),(),( 0000 yxfyyxxfz
))(,())(,( 022011 yyfxxf yx
定理以及该结论可以推广到三元和三元以上的函数中,
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元函数的偏导数是一元函数导数的推广,其计算往往是借用一元函数的计算公式和方法,但实际计算往往较繁,
在推广中有一些东西将起质的变化,
我们通常介绍二元函数的情形,所得结果可以推广到更高元的函数中,一般不会遇到原则性问题,
工程和科学技术中,遇到的大部分是多变量的问题,在处理时往往需要知道在其它变量不变,只有某一个变量变化时,引起的事物反应,
在物理和力学中,经常用到力和速度的分解和合成,一般是将任意方向的力或分速度,
力或速度分解为平行于坐标轴方向的分一元函数 的导数xaxf s i n)(?
xaaxf c o s)(
xaaxf s in),(?
xaaaxf x co s),(
将函数表示为含参数的形式用下标显示是对 x 求导一元函数 的导数xaxf s i n)(?
xaaxf c o s)(
xaaxf s in),(?
xaaaxf x co s),(
xyy s i n)?
xyyyf x co s)
如果 x,y 为自变量,这就是二元函数
f (x,y) 关于变量 x 的偏导数,
将参数 a 换成变量 y.
一,偏增量和全增量偏增量
),(),( 000 yxyxXx
或
),(),( 0000 yxyxxXx
,0 则称固定 yy?
,),( 00 的偏增量处关于在点为变量 xyxX
,2 中空间 R
一,偏增量和全增量偏增量
),(),( 000 yxyxXy
或
),(),( 0000 yxyyxXy
,0 则称固定 xx?
,),( 00 的偏增量处关于在点为变量 yyxX
,2 中空间 R
一,偏增量和全增量全增量
,2 中空间 R ),( ),( 00 处的全增量为在点变量 yxyxX?
),(),( 000 yxyxXXX
或表示为
),(),( 0000 yxyyxxX
,,,00 xxyxxx其中
x
y
O
),( 00 yyxxX
),( 00 yxxX
),( 00 yyxX
Xx?
Xy?
0y
0x
),( 000 yxX
0yy?固定
0xx?固定一,偏增量和全增量例如,
),,(),,( 000000 zyxzzyyxxX
),,(),,( 000000 zyxzyxxXx
),,(),,( 000000 zyxzyyxXy
),,(),,( 000000 zyxzzyxXz
同学们不难将以上增量形式推广至空间 )3(?nR n 中,
函数的增量的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量,
函数 相应于自变量 ),( yxfz? yx 和二,多元函数的偏增量和全增量函数的偏增量,2 中空间 R
),(),( 000 yxfyxfzx
),(),( 0000 yxfyxxfzx
函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处的偏增量为,
及 ),(),(
000 yxfyxfzy
),(),( 0000 yxfyyxfzy
二,多元函数的偏增量和全增量
O
x
y
z
D?
),( yxfz?
)0,,( 00 yxQ
0y
),,( 000 zyxP沿此曲线计算的函数在点 P 处的增量为偏增量 z
x?
二,多元函数的偏增量和全增量函数的全增量,2 中空间 R
),(),( 00 yxfyxfz
),(),( 0000 yxfyyxxfz或二,多元函数的偏增量和全增量函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处的全增量为,
函数增量的点函数表示,2 中空间 R
)()( 00 XfXXfz
)()( 00 XfXXfz xx
)()( 00 XfXXfz yy
二,多元函数的偏增量和全增量函数 ),( yxfz? 在点 ),( 000 yxX 处的全增量为,
函数 ),( yxfz? 在点 ),( 000 yxX 处的偏增量为,
对于
)3(?nR n 中的函数可仿此进行增量的定义
)()( 00 XfXXfz
)()( 00 XfXXfz kk xx
),,,,,( 21 nk xxxxX
其中
,则设 zyxu?
全增量
zyxzyxxux )( 偏增量
zyxzyyxuy )(
zyxzzyxuz )(
xyzzzyyxxu ))()((
例函数的连续性能否用函数的全增量描述？
想想：
函数的连续性能否用函数的全增量描述？ 能
0lim 0 ZX
二元函数的偏导数定义且极限内有定义在设,),U ( ),( 00 yxyxfz?
ax zx yxfyxxf x
xx
0
0000
0
lim),(),(lim
称极限值可偏导处对则称函数在点存在,),(,00 axyx
记为的偏导数量为函数在该点的关于变,x
,
0
0
axz
yy
xx
,
),( 00 a
x
yxf?
,
0
0
az
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xxx
,),( 00 ayxf x,),( 001 ayxf
三,多元函数的偏导数且极限内有定义在设,),U ( ),( 00 yxyxfz?
by zy yxfyyxf y
yy
0
0000
0
lim),(),(lim
称极限值可偏导处对则称函数在点存在,),(,00 byyx
记为的偏导数量为函数在该点的关于变,y
,
0
0
byz
yy
xx
,
),( 00 b
y
yxf?
,
0
0
bz
yy
xxy
,),( 00 byxf y,),( 002 byxf
三,多元函数的偏导数二元函数的偏导数定义变量 x 和 y 的偏导数均存在,则称函数若函数 ),( yxf 在点 ),(
00 yx
处关于
),( yxf 在点 ),( 00 yx 处可偏导,
在区域?内的任一点若函数 ),( yxf
内可偏导,
处均可偏导,则称函数 ),( yxf 在区域?
与一元函数的情况类似,函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数,一般仍称为函数在区域上的偏导数,
下面讨论偏导数的计算方法
x
yxfyxxf
x
z
x?
),(),(lim
0
可以看出,定义
x
z
时,变量 y 是不变的,实际上,
是对函数 ),( yxf,将 y 视为常数,关于变量 x 按一元函数导数的定义进行的：
x
yxfyxxf
x
z
xyx?
),(),(lim 0000
0),( 00
0d
),(d 0
xxx
yxf
实质上是多元函数的偏导数的计算方法,
没有任何技术性的新东西,
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－ 1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可,
,)2,1( 3 22 处的偏导数在点求 yxyxz
)2,1(
22
)2,1( })()3(){( xxx yxyxx
z
)2,1(
22
)2,1( })()3(){( yyy yxyxy
z
8)32( )2,1( yx
7)23( )2,1( yx
例解由定义,此例也可用下列方式求解
8)46(d d 12)2,1(xxxxxz
7)31(d d 22)2,1(yyyyyz
000 d
),(d 0
),( xxyx x
yxf
x
z
但最好采用前一种方法,
)2,1( 3 22 处点yxyxz
,a r c ta n 的偏导数求 yxz?
xy
x
y
xx
z
2
1
1
,22 yx y?
yy
x
y
xy
z
2
1
1
,22 yx x
将 y 看成常数
y
1
将 x 看成常数
2y
x?
例解
,)0( 的偏导数求 xxz y
1 yxyxz )( 1 aa xax
ln xxyz y ln)( aaa xx
将 y 看成常数时,是对幂函数求导,
将 x 看成常数时,是对指数函数求导,
例解以上的叙述虽然是对二元函数元及其以上的多元函数中去,
进行的,但其结论可直接推广到三
,32 的偏导数求 zxyxeu; )1( 232 yexu zxyx; 232 yxeyu zxyx
,)3( 232 zezu zxyx
例解
,)0,0( 处的连续性和可偏导性在点
,则取 xky?
,1l i ml i m 2222
2
0
022
0
0 k
k
xkx
xk
yx
yx
y
x
y
x?
由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,
例解
,)0,0( ),( 处不连续在点故函数 yxf
),( yxf讨论函数
0 2222 yxyx xy
0 0 22 yx
但是
,00l im)0,0()0,(l im 00 xx x fxf
,00lim)0,0(),0(lim 00 yy y fyf
,0)0,0( xf
0)0,0(,) 0( ),( 2222 fyxyx xyyxf
,0)0,0( yf
,)0,0( ),( 且处可偏导在点即函数 yxf
想想是什么问题?
该例说明了一个重要问题：
对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系,
这是多元函数与一元函数的一个本质区别,
在热力学中,已知压强 P,体积 V 和温度 T 之间满足关系 PV = k T,其中,k
为常数,证明,,1PTTVVP
,V TVP 2k故从而
PTTVVP kkk V P V T2,1PVT k
例证
V
TP TPV kk 得由关系
,VPT,PTV kk类似可得警告 各位 ！
偏导数的符号
yx?
,是一个整体记号,
z? 与 yx,的商,
不能像一元函数那样将
y
z
x
z
,看成是
x
y
z
O
1T
2T.
.
ta n),(
00
0
y
yxf
xx 平面上在
t a n
),(
00
0
x
yxf
yy 上在平面
),( 0yxfz?
),( 0 yxfz?
四,偏导数的几何意义
P
),( yxfz?
0x
0y
0P
),( 000 上的曲线就是平面 xxy yxf
0
1 I ),(
xx
yyxfz
,),(,000 处切线的斜率即点在点 yxyy?
),( 000 上的曲线就是平面 yyx yxf
,),(,000 处切线的斜率即点在点 yxxx?
0
I ),(
yy
xyxfz
二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,
故由偏导数存在不能推出函数连续,
偏导数的几何意义说明了一个问题,
),(),( 00 yxfyxf
,)),U ( (),( ),,( 002222 yx其中五,二元函数的微分中值定理定理,)),U ( ( ),( 00 则内可偏导在设函数 yxyxfz?
),( )),U ( (),( 1100 和至少存在一组点yxKyx
),( 22 使得
))(,())(,( 022011 yyfxxf yx
)),((U),( 00 yxyx?
)),((U),(),( 0000 yxyxyx?，
),(),( 00 yxfyxf )),(),(( 0 yxfyxf?
)),(),(( 000 yxfyxf
∵
∴
自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理,得
)( ),( ),(),( 010 xxx yfyxfyxf
)( ),(),(),( 020000 yyyxfyxfyxf
证
,,0 201 之间与在之间与在 yyxx
,),(),(,),(),( 2022111 则记 xy
))(,())(,(),(),( 02201100 yyfxxfyxfyxf yx
且有
2020201201 )()()()( yyxxyx
2020202202 )()()()( yyxxyx
,)),U ((),(,),( 001111 yx即由中值定理,可将函数的全增量表示为
),(),( 0000 yxfyyxxfz
))(,())(,( 022011 yyfxxf yx
定理以及该结论可以推广到三元和三元以上的函数中,
