高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
一,全 导 数多元函数经复合运算后,一般仍是多元函数,但也可能成为一元函数,
按前面关于多元函数的讨论方法,复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始,
这就是全导数问题,
第五节 多元复合函数微分法
,dd,c o s,s i n,22 tztbytaxyxz 求设
tbatbtayxz 2s i n41)c o s()s i n( 2222222
22c o s2s in241 dd 22 ttbatz故
tba 4s i n21 22?
下面看另一种解法,
例解
,dd,c o s,s i n,22 tztbytaxyxz 求设例解
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
d
d
d
d
d
d
)s in(2c o s 2 22 tbyxtayx
tba 4s i n21 22?
你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？
z
x
y
t+
z
x
y
t t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
d
d
d
d
d
d
,)(,)(,),( 221121 txxtxxxxfz
t
x
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t
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t
z
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d
d 2
2
1
1?
2
1 d
d
i
i
i t
x
x
z
,)( ),( ),,( 均可导设 tyytxxyxfz
将例中的情形进行一般性的描述由此可推至一般的情况定理 (全导数公式 )
),,1 ( )(,),,( 1 可复合为设函数 mixvvvfu iim
,))(,),(( 1 xxfu m
的点在相应于函数处可微在点若 ),,(,)( 1 xvvfxx mi
处在点则复合函数处可微 ))(,),((,),,( 11 xxxfuvv mm
,且可偏导
m
i
i
i x
v
v
u
x
u
1
,dddd
m
i
i
i x
v
v
u
x
u
1
d
d
d
d
u x
1v
mv
2v
iv
+
全导数公式图示定理 (全导数公式 )
),,1 ( )(,),,( 1 可复合为设函数 mixvvvfu iim
,))(,),(( 1 xxfu m
的点在相应于函数处可微在点若 ),,(,)( 1 xvvfxx mi
处在点则复合函数处可微 ))(,),((,),,( 11 xxxfuvv mm
,且可偏导
m
i
i
i x
v
v
u
x
u
1
,dddd
现在证明定理
)()( xxxv iii ),,1( mi
由
),,( 1 mvvfu
的可微性,有
||)o ( ||
1
vvvuu
m
i
i
i
从而
x
v
x
v
v
u
x
u m
i
i
i?
||)o (| |
1
由一元函数导数导定义,取 0x 的极限,
x
u
x
u
d
d?
x
v
x
v ii
d
d?
0
||)o ( ||？
x
v
证 给 x 以增量,相应地有x?
由 )( xv ii 可导,故必连续,从而 0x 时,
定理获证
x
v
v
v
x
v
xx?
||||
||||
)||||o(lim)||||o( lim
00
为什么取绝对值?
221 |||| mvvv
,0 ||||,0 于是即有 vv i
m
i
i
xv x
v
v
v
1
2
00||||
lim|||| ||)o ( ||lim
,0?
设 xxz si n?,求,ddxz
令
,yxz?,s in xy? 则
x
y
y
z
x
z
x
z
d
d
d
d
z
x
x
y
1yyx xxx y c o sln?
xx
x
xx x lnc o ss ins i n
例解设以下函数满足定理的条件,; )(,)(,),( tyytxxyxfz; )(,)(,)(,),,( tzztyytxxzyxfu
写出二元和三元函数的全导数公式,
,)(,)(,),,( xzzxyyzyxfu
请同学自己写例; )(,)(,),( tyytxxyxfz
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
d
d
d
d
d
d
z
x
y
t; )(,)(,)(,),,( tzztyytxxzyxfu
t
z
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x
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y
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t
开始对答案
,)(,)(,),,( xzzxyyzyxfu
x
z
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u
x
y
y
u
x
u
x
u
d
d
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d
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d
u
x
y
z
x
你做对了吗?
二,链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,
试想一下如何求下面的导数：
,),,( wvufz?
,),(,),(,),( yxwwyxvvyxuu
)),( ),,( ),,(( yxwyxvyxufz?
.,yzxz求
z
u
v
w
x
y
将 y 看成常数
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
x
w
w
z
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
y
w
w
z
将 x 看成常数分别将 x,y 看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数,
从上面的作法可以看出,将复合的多元函求函数偏导数,
全导数公式求导,在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数,对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数的求导法则吗?
定理设 ),,(
1 nii xxv ),,2,1( mi 在点对应点 ),,(
1 mvv?
可微,则复合函数
)),,(,),,,(( 111 nmn xxxxfu
在点 ),,(
1 nxx? 处可导,且
jx
u ),,2,1( nj
m
i j
i
i x
v
v
u
1
),,( 1 nxx? 处均可导,且 ),,( 1 mvvfu 在
m 个 n 元函数一个 m 元函数一个 n 元函数定理设 ),,(
1 nii xxv ),,2,1( mi 在点对应点 ),,(
1 mvv?
可微,则复合函数
)),,(,),,,(( 111 nmn xxxxfu
在点 ),,(
1 nxx? 处可导,且
jx
u ),,2,1( nj
m
i j
i
i x
v
v
u
1
),,( 1 nxx? 处均可导,且 ),,( 1 mvvfu 在
m 个 n 元函数一个 m 元函数一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广,
看成常数,运用全导数公式,
将求导记号作相应改变即可证明该定理,
将诸 ) ( jkx k?
设,),,( yxufz? ),( yxuu? 满足定理的条件,则有 ),,),(( yxyxufz?
z
u
x
y
x
y
x
z
x
u
u
z
x
f
x
u
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f
x
z
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y
u
u
z
y
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y
u
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y
z
例
z
u
v
x
y
设,s i n vez u?,
22 yxu?,yxv
求
,
x
z
.
y
z
x
z?
x
u
u
z
x
v
v
z
22s i n xyve u 1c o s?ve u
))c o s ()s i n (2( 222 yxyxxye yx
例解
z
u
v
x
y
设,s i n vez u?,
22 yxu?,yxv
求
,
x
z
.
y
z
y
z?
y
u
u
z
y
v
v
z
yxve u 22s i n )1(co sve u
))c o s ()s i n (2( 222 yxyxyxe yx
例解设
xy t teyxF 0 d),( 3 )0,0( yx
求,
x
F
.yF
令,xyu? 则
u t teuF 0 d)( 3
uF x
y
x
u
u
F
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F
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2
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x
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2
1
y
u
u
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y
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xy
xe u
2
3
y
xe xy 3)(
2
1
关于 u 的一元函数例解设,),( 22 xyeyxfz 求
。xz
z
x
y
1
2
x
yxf
x
z )( 22
1
212 fyefx xy
x
ef xy
)(
2
y
z
2 21 fexfyyz xy
自己做例解设,)c o s,( 22 xyyxfz,c o s?rx?
,s i n?ry? 其中,1Cf? 求 。
r
z
令,22 yxu
,c o s xyv?
则,),( vufz?
z
u
v y
x r
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u
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v
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u
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)si nc o s(2
v
zxyxy
s i n)s i nc o s(
例解设函数,),,( vuxfz?,),,( uyxv
),( yxgu? 均可微,求,
x
z
.yz
z
x
u
v
x
y
x
y
u
x
y
g
g
xz
uf xg
v
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g
u
xf
例解设函数,),,( vuxfz?,),,( uyxv
),( yxgu? 均可微,求,
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g
yz
u
f
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v
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y
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u
例解三,全微分形式不变性记得吗? 一元函数的微分有一个重要性质：
一阶微分形式不变性对函数 )( ufy? 不论 u 是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有
d)(d uufy
对二元函数 ),( yxfz? 来说,
在可微的条件下,f 的全微分总可写为：
zd
x
x
z d
y
y
z d
不论 x 和 y 是自变量还是中间变量,
详细的推导过程请同学自己看书,
设,),,(
1 nxxfu
不论
ix
是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有
i
n
i i
x
x
uu dd
1
一般说来,
设,s i n vez u?,xyu?,yxv
应用全微分形式不变性求
，
x
z
。
y
z
vvzuuzz ddd
)dd(s i n yxxyve u
xyxyxye xy d)]c o s ()s i n ([
yyxyxxe xy d)]c o s ()s i n ([
)d(dco s yxve u
与 y
y
zx
x
zz ddd
比较,得
)]c o s ()s i n ([ yxyxyexz xy
例解设,s i n vez u?,xyu?,yxv
应用全微分形式不变性求
，
x
z
。
y
z
vvzuuzz ddd
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xyxyxye xy d)]c o s ()s i n ([
yyxyxxe xy d)]c o s ()s i n ([
)d(dco s yxve u
与 y
y
zx
x
zz ddd
比较,得
)]c o s ()s i n ([ yxyxxe
y
z xy
例解
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
一,全 导 数多元函数经复合运算后,一般仍是多元函数,但也可能成为一元函数,
按前面关于多元函数的讨论方法,复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始,
这就是全导数问题,
第五节 多元复合函数微分法
,dd,c o s,s i n,22 tztbytaxyxz 求设
tbatbtayxz 2s i n41)c o s()s i n( 2222222
22c o s2s in241 dd 22 ttbatz故
tba 4s i n21 22?
下面看另一种解法,
例解
,dd,c o s,s i n,22 tztbytaxyxz 求设例解
t
y
y
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z
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d
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)s in(2c o s 2 22 tbyxtayx
tba 4s i n21 22?
你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？
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将例中的情形进行一般性的描述由此可推至一般的情况定理 (全导数公式 )
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,))(,),(( 1 xxfu m
的点在相应于函数处可微在点若 ),,(,)( 1 xvvfxx mi
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iv
+
全导数公式图示定理 (全导数公式 )
),,1 ( )(,),,( 1 可复合为设函数 mixvvvfu iim
,))(,),(( 1 xxfu m
的点在相应于函数处可微在点若 ),,(,)( 1 xvvfxx mi
处在点则复合函数处可微 ))(,),((,),,( 11 xxxfuvv mm
,且可偏导
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现在证明定理
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从而
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1
由一元函数导数导定义,取 0x 的极限,
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u
x
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0
||)o ( ||？
x
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证 给 x 以增量,相应地有x?
由 )( xv ii 可导,故必连续,从而 0x 时,
定理获证
x
v
v
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x
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||||
||||
)||||o(lim)||||o( lim
00
为什么取绝对值?
221 |||| mvvv
,0 ||||,0 于是即有 vv i
m
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v
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1
2
00||||
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设 xxz si n?,求,ddxz
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xx x lnc o ss ins i n
例解设以下函数满足定理的条件,; )(,)(,),( tyytxxyxfz; )(,)(,)(,),,( tzztyytxxzyxfu
写出二元和三元函数的全导数公式,
,)(,)(,),,( xzzxyyzyxfu
请同学自己写例; )(,)(,),( tyytxxyxfz
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y
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z
t
开始对答案
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x
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u
x
y
y
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x
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d
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x
你做对了吗?
二,链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,
试想一下如何求下面的导数：
,),,( wvufz?
,),(,),(,),( yxwwyxvvyxuu
)),( ),,( ),,(( yxwyxvyxufz?
.,yzxz求
z
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将 y 看成常数
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将 x 看成常数分别将 x,y 看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数,
从上面的作法可以看出,将复合的多元函求函数偏导数,
全导数公式求导,在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数,对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数的求导法则吗?
定理设 ),,(
1 nii xxv ),,2,1( mi 在点对应点 ),,(
1 mvv?
可微,则复合函数
)),,(,),,,(( 111 nmn xxxxfu
在点 ),,(
1 nxx? 处可导,且
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u ),,2,1( nj
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v
v
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),,( 1 nxx? 处均可导,且 ),,( 1 mvvfu 在
m 个 n 元函数一个 m 元函数一个 n 元函数定理设 ),,(
1 nii xxv ),,2,1( mi 在点对应点 ),,(
1 mvv?
可微,则复合函数
)),,(,),,,(( 111 nmn xxxxfu
在点 ),,(
1 nxx? 处可导,且
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v
v
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1
),,( 1 nxx? 处均可导,且 ),,( 1 mvvfu 在
m 个 n 元函数一个 m 元函数一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广,
看成常数,运用全导数公式,
将求导记号作相应改变即可证明该定理,
将诸 ) ( jkx k?
设,),,( yxufz? ),( yxuu? 满足定理的条件,则有 ),,),(( yxyxufz?
z
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22 yxu?,yxv
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例解
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例解设
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关于 u 的一元函数例解设,),( 22 xyeyxfz 求
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1
212 fyefx xy
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x
v
v
z
u
zyx
)si nc o s(2
v
zxyxy
s i n)s i nc o s(
例解设函数,),,( vuxfz?,),,( uyxv
),( yxgu? 均可微,求,
x
z
.yz
z
x
u
v
x
y
x
y
u
x
y
g
g
xz
uf xg
v
f
x
x
g
u
xf
例解设函数,),,( vuxfz?,),,( uyxv
),( yxgu? 均可微,求,
x
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.yz
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x
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v
x
y
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x
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g
g
yz
u
f
y
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v
f
y
y
g
u
例解三,全微分形式不变性记得吗? 一元函数的微分有一个重要性质：
一阶微分形式不变性对函数 )( ufy? 不论 u 是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有
d)(d uufy
对二元函数 ),( yxfz? 来说,
在可微的条件下,f 的全微分总可写为：
zd
x
x
z d
y
y
z d
不论 x 和 y 是自变量还是中间变量,
详细的推导过程请同学自己看书,
设,),,(
1 nxxfu
不论
ix
是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有
i
n
i i
x
x
uu dd
1
一般说来,
设,s i n vez u?,xyu?,yxv
应用全微分形式不变性求
，
x
z
。
y
z
vvzuuzz ddd
)dd(s i n yxxyve u
xyxyxye xy d)]c o s ()s i n ([
yyxyxxe xy d)]c o s ()s i n ([
)d(dco s yxve u
与 y
y
zx
x
zz ddd
比较,得
)]c o s ()s i n ([ yxyxyexz xy
例解设,s i n vez u?,xyu?,yxv
应用全微分形式不变性求
，
x
z
。
y
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xyxyxye xy d)]c o s ()s i n ([
yyxyxxe xy d)]c o s ()s i n ([
)d(dco s yxve u
与 y
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zx
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比较,得
)]c o s ()s i n ([ yxyxxe
y
z xy
例解
