高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
● 在几何方面的应用
● 在优化方面的应用
● 在几何方面的应用第一节 空间曲线的切线与法平面一,空间曲线的切线空间中直线方程和平面方程是什么样子,已经不记得了,
,000 c zzb yya xx
,0)()()( 000 zzCyyBxxA
点法式
),,( ),,,(,000 的方向向量为过点空间中 cbaszyxP
直线方程为
),,( ),,,(,000 的法向量为过点空间中 CBAnzyxP
点向式平面方程为求空间曲线的切线与法平面的关键在于求曲线的切向量
如果已知曲线上一点 ),,(
000 zyxP
处的切向量为,),,( CBA 则曲线在该点的切线方程为
C
zz
B
yy
A
xx 000
曲线在该点的法平面方程为
0)()()( 000 zzCyyBxxA
PTPQ
PLQ
PL
的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线空间曲线上切线的概念
L
P
Q
T
曲线视为两个曲面的交线，其方程为：
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
通常假设 。1,CGF?
●
● 在实际应用中,常采用参数方程表示曲线：
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
t
R3 中曲线的表示若以 x 为参数，则曲线方程为：
)(
)(
xzz
xyy bxa
。1)(,)(,)( Ctztytx?
t
设曲线 L 的参数方程为
P
Q,
,TL其中,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
))(),(),(( 000 tztytxP：0tP
))(),(),(( 000 ttzttyttxQ：ttQ 0
),,( 000 zyxP?
),,( 000 zzyyxxQ
割线 PQ 的方程为
xxx 0?
y
yy 0
z
zz
0
t? t? t?
t?引入时 0 t
)( 0tx )( 0ty )( 0tz
P
Q,
,TL
。1)(,)(,)( Ctztytx?
t
设曲线 L 的参数方程为其中，
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
曲线 L 在点 P 处的切线方程为
)(
0
0
tx
xx?
)( 0
0
ty
yy
)( 0
0
tz
zz
P
Q,
,TL
。1)(,)(,)( Ctztytx?
t
设曲线 L 的参数方程为其中，
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
,))( ),( ),(( 000 tztytxl其方向向量
,,0)()()( 020202 切线存在时当 tztytx
此处为零，则曲线在点 P 处无切线。 奇点
.)(,)( 1Cxzxy?
设曲线 L 的参数方程为其中,P
Q,
,TL
)(
)(
xzz
xyy Ix?
曲线 L 在点 P 处的切线方程为
1 0xx )(
0
0
xy
yy
)( 0
0
xz
zz
,))( ),(,1( 00 xzxyl其方向向量关于曲线奇点的问题，可以参看
●,微分几何,方德植 编 人民教育出版社
1964.7
● 高等数学第 Ⅲ 卷,多元微积分与微分几何初步,萧树铁 居余马主编 清华大学出版社 1997.4
求圆柱螺旋线,c o s tax?,s in tay?
tbz?
在任意一点处的切线及在 t = 0 处的切线,
x
y
z
O
t
a
螺旋线上任意一点处的 ))(),(),((
000 tztytxP
切线方程为在 t0 = 0 时,切线方程为
0 ax?ay bz
0
0
s in ta
xx
0
0
c o sta
yy
b
zz 0?
例解求圆柱螺旋线,c o s tax?,s in tay?
tbz?
在任意一点处的切线及在 t = 0 处的切线,
x
y
z
O
t
a
螺旋线上任意一点处的 ))(),(),((
000 tztytxP
切线方程为在 t0 = 0 时,切线方程为
0 ax?ay bz
0
0
s in ta
xx
0
0
c o sta
yy
b
zz 0?
例解分母为零?！ 是直线方向向量的分量求圆柱螺旋线,c o s tax?,s in tay?
tbz?
在任意一点处的切线及在 t = 0 处的切线,
x
y
z
O
t
a
螺旋线上任意一点处的 ))(),(),((
000 tztytxP
切线方程为在 t0 = 0 时,切线方程为
0 ax?ay bz
0
0
s in ta
xx
0
0
c o sta
yy
b
zz 0?
例解 现在想一想,将圆柱面切开展平后，其上的螺旋线会有一个什么性质与一个物理现象相符？这个性质在机械中被广泛应用，在日常生活中也常见。
a?20
),,( 000 zyxP在点 处，切线的方向余弦中有
22
c o s
ba
b
这说明在螺旋线上每一点处的切线与 z 轴正向的夹角斜面效应
mg
F
f
自锁现象均相同，故展开后螺旋线为直线,
（常数）
0
0sin ta xx
0
0co sta yy bzz 0?
例求两个圆柱面,
222 ayx,222 azx
的交线在点
2
,
2
,
2
aaa 处的切线方程,
我们只会求参数方程形式下曲线的切线方程，
现在是求一般方程形式下曲线的切线方程,
想想该怎么做?
解例求两个圆柱面,
222 ayx,222 azx
的交线在点
2
,
2
,
2
aaa 处的切线方程,
解
,0),,( 0),,(
zyxG
zyxF设曲线的一般方程为可将它表示为参数方程形式,
,)(txx?,)(tyy?,)(tzz?
求切线方程的关键在于求,)(
0tx?,)( 0ty?,)( 0tz?
首先进行抽象分析假设以下所出现的各函数的导数均存在，由
0))(),(),((
0))(),(),((
tztytxG
tztytxF
对每个方程两边求全导数，得
0)()()(
0)()()(
tz
z
G
ty
y
G
tx
x
G
tz
z
F
ty
y
F
tx
x
F
解关于,)(tx? )(ty? 的二元一次方程组,
)(
),(
),(
),(
),(
)( tz
yx
GF
zy
GF
tx?
)(
),(
),(
),(
),(
)( tz
yx
GF
xz
GF
ty?
0),( ),( yx GF
当分母 时，
),(
),(
)(
zy
GF
tx
于是
),(
),(
)(
xz
GF
ty
),(
),(
)(
yx
GF
tz
由行列式的性质：
),( ),( xz GF,),( ),( zx GF
综上所述，
,0),( ),( yx GF
,),,(,),,( 1CzyxGzyxF?
设曲线
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF 满足条件：
则曲线在点 ),,(
000 zyxP
处的切线方程为
Pzy
GF
xx
),(
),(
0?
Pzx
GF
yy
),(
),(
0
Pyx
GF
zz
),(
),(
0
现在可计算我们的例题了,
pyx
GF
zx
GF
zy
GF
),(
),(,
),(
),(,
),(
),(故取例求两个圆柱面,
222 ayx,222 azx
的交线在点
2
,
2
,
2
aaa 处的切线方程,
解 令
,),,( 222 ayxzyxF,),,( 222 azxzyxG
则
),( ),( zy GF
zy
zy
GG
FF?
z
y
20
02,4yz
,4),( ),( xyyx GF
),( ),( zx GF?zxx 22 02,4xz
Pzy
GF
xx
),(
),(
0?
Pzx
GF
yy
),(
),(
0
Pyx
GF
zz
),(
),(
0
代入切线方程中,得所求切线方程为
1
2
1
2
2?
azay
a
x
小结
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
))(),(),(( 000 tztytx
,0),,( 0),,(
zyxG
zyxF
)(
)(
xzz
xyy ))(),(,1(
00 tzty
pyx
GF
zx
GF
zy
GF
),(
),(,
),(
),(,
),(
),(
m xx 0n yy 0 pzz 0?切线方程曲线方程切线的方向向量看书时请留意一下，
在什么条件下曲线的切线存在,
过曲线 L 上点 P,且垂直于曲线在该点的切线
PT 的平面称为曲线在点
P 的法平面。
T
L
切线 PT
切点,
二,空间曲线的法平面
n n?
P
在曲线 L 上点 P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点 P 处对应的法平面方程分别为
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
0))(())(())(( 000000 zztzyytyxxtx
在曲线 L 上点 P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点 P 处对应的法平面方程分别为
)(
)(
xzz
xyy
0))(())(()( 00000 zzxzyyxyxx
在曲线 L 上点 P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点 P 处对应的法平面方程分别为
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zyxGG
zyxFF
0)(
),(
),()(
),(
),()(
),(
),(
000
zz
yx
GFyy
zx
GFxx
zy
GF
ppp
小心符号求两个抛物柱面,6 2xy? 212 xz? 的交线
L 在
2
1?x 时的切线方程和法平面方程,
当
2
1?x 时，,
2
3?y,3?z 此时
,612)(
2
1
2
1 xx xxy 1224)( 2121 xx xxz
故 所求切线方程和法平面方程分别为 自己计算一下
)()( 0
0
0
0
0 xz
zz
xy
yyxx
0))(())(()( 00000 zzxzyyxyxx
例解切线方程
6
3
6
3212 zyx
法平面方程 09124122 zyx
求曲线
0
6222
zyx
zyx 在点 )1,2,1(?P 处的切线方程和法平面方程,
令,6),,( 222 zyxzyxF,),,( zyxzyxG
则
pyx
GF
),(
),( 6，11
42
11
22
P
yx
,0
11
22
),(
),(
pzx
GF,611
24
),(
),(
pzy
GF
)1,0,1( n取例解故所求的
1 10 21 1 zyx
0 zx
切线方程为法平面方程为
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
● 在几何方面的应用
● 在优化方面的应用
● 在几何方面的应用第一节 空间曲线的切线与法平面一,空间曲线的切线空间中直线方程和平面方程是什么样子,已经不记得了,
,000 c zzb yya xx
,0)()()( 000 zzCyyBxxA
点法式
),,( ),,,(,000 的方向向量为过点空间中 cbaszyxP
直线方程为
),,( ),,,(,000 的法向量为过点空间中 CBAnzyxP
点向式平面方程为求空间曲线的切线与法平面的关键在于求曲线的切向量
如果已知曲线上一点 ),,(
000 zyxP
处的切向量为,),,( CBA 则曲线在该点的切线方程为
C
zz
B
yy
A
xx 000
曲线在该点的法平面方程为
0)()()( 000 zzCyyBxxA
PTPQ
PLQ
PL
的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线空间曲线上切线的概念
L
P
Q
T
曲线视为两个曲面的交线，其方程为：
0),,(
0),,(
zyxG
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通常假设 。1,CGF?
●
● 在实际应用中,常采用参数方程表示曲线：
)(
)(
)(
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R3 中曲线的表示若以 x 为参数，则曲线方程为：
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。1)(,)(,)( Ctztytx?
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设曲线 L 的参数方程为
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)(
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割线 PQ 的方程为
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t
设曲线 L 的参数方程为其中，
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曲线 L 在点 P 处的切线方程为
)(
0
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tx
xx?
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tz
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P
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设曲线 L 的参数方程为其中，
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,,0)()()( 020202 切线存在时当 tztytx
此处为零，则曲线在点 P 处无切线。 奇点
.)(,)( 1Cxzxy?
设曲线 L 的参数方程为其中,P
Q,
,TL
)(
)(
xzz
xyy Ix?
曲线 L 在点 P 处的切线方程为
1 0xx )(
0
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xy
yy
)( 0
0
xz
zz
,))( ),(,1( 00 xzxyl其方向向量关于曲线奇点的问题，可以参看
●,微分几何,方德植 编 人民教育出版社
1964.7
● 高等数学第 Ⅲ 卷,多元微积分与微分几何初步,萧树铁 居余马主编 清华大学出版社 1997.4
求圆柱螺旋线,c o s tax?,s in tay?
tbz?
在任意一点处的切线及在 t = 0 处的切线,
x
y
z
O
t
a
螺旋线上任意一点处的 ))(),(),((
000 tztytxP
切线方程为在 t0 = 0 时,切线方程为
0 ax?ay bz
0
0
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0
c o sta
yy
b
zz 0?
例解求圆柱螺旋线,c o s tax?,s in tay?
tbz?
在任意一点处的切线及在 t = 0 处的切线,
x
y
z
O
t
a
螺旋线上任意一点处的 ))(),(),((
000 tztytxP
切线方程为在 t0 = 0 时,切线方程为
0 ax?ay bz
0
0
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0
0
c o sta
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b
zz 0?
例解分母为零?！ 是直线方向向量的分量求圆柱螺旋线,c o s tax?,s in tay?
tbz?
在任意一点处的切线及在 t = 0 处的切线,
x
y
z
O
t
a
螺旋线上任意一点处的 ))(),(),((
000 tztytxP
切线方程为在 t0 = 0 时,切线方程为
0 ax?ay bz
0
0
s in ta
xx
0
0
c o sta
yy
b
zz 0?
例解 现在想一想,将圆柱面切开展平后，其上的螺旋线会有一个什么性质与一个物理现象相符？这个性质在机械中被广泛应用，在日常生活中也常见。
a?20
),,( 000 zyxP在点 处，切线的方向余弦中有
22
c o s
ba
b
这说明在螺旋线上每一点处的切线与 z 轴正向的夹角斜面效应
mg
F
f
自锁现象均相同，故展开后螺旋线为直线,
（常数）
0
0sin ta xx
0
0co sta yy bzz 0?
例求两个圆柱面,
222 ayx,222 azx
的交线在点
2
,
2
,
2
aaa 处的切线方程,
我们只会求参数方程形式下曲线的切线方程，
现在是求一般方程形式下曲线的切线方程,
想想该怎么做?
解例求两个圆柱面,
222 ayx,222 azx
的交线在点
2
,
2
,
2
aaa 处的切线方程,
解
,0),,( 0),,(
zyxG
zyxF设曲线的一般方程为可将它表示为参数方程形式,
,)(txx?,)(tyy?,)(tzz?
求切线方程的关键在于求,)(
0tx?,)( 0ty?,)( 0tz?
首先进行抽象分析假设以下所出现的各函数的导数均存在，由
0))(),(),((
0))(),(),((
tztytxG
tztytxF
对每个方程两边求全导数，得
0)()()(
0)()()(
tz
z
G
ty
y
G
tx
x
G
tz
z
F
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y
F
tx
x
F
解关于,)(tx? )(ty? 的二元一次方程组,
)(
),(
),(
),(
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)( tz
yx
GF
zy
GF
tx?
)(
),(
),(
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yx
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0),( ),( yx GF
当分母 时，
),(
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于是
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yx
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由行列式的性质：
),( ),( xz GF,),( ),( zx GF
综上所述，
,0),( ),( yx GF
,),,(,),,( 1CzyxGzyxF?
设曲线
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF 满足条件：
则曲线在点 ),,(
000 zyxP
处的切线方程为
Pzy
GF
xx
),(
),(
0?
Pzx
GF
yy
),(
),(
0
Pyx
GF
zz
),(
),(
0
现在可计算我们的例题了,
pyx
GF
zx
GF
zy
GF
),(
),(,
),(
),(,
),(
),(故取例求两个圆柱面,
222 ayx,222 azx
的交线在点
2
,
2
,
2
aaa 处的切线方程,
解 令
,),,( 222 ayxzyxF,),,( 222 azxzyxG
则
),( ),( zy GF
zy
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FF?
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20
02,4yz
,4),( ),( xyyx GF
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代入切线方程中,得所求切线方程为
1
2
1
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小结
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
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,0),,( 0),,(
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)(
)(
xzz
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00 tzty
pyx
GF
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GF
zy
GF
),(
),(,
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),(,
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m xx 0n yy 0 pzz 0?切线方程曲线方程切线的方向向量看书时请留意一下，
在什么条件下曲线的切线存在,
过曲线 L 上点 P,且垂直于曲线在该点的切线
PT 的平面称为曲线在点
P 的法平面。
T
L
切线 PT
切点,
二,空间曲线的法平面
n n?
P
在曲线 L 上点 P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点 P 处对应的法平面方程分别为
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
0))(())(())(( 000000 zztzyytyxxtx
在曲线 L 上点 P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点 P 处对应的法平面方程分别为
)(
)(
xzz
xyy
0))(())(()( 00000 zzxzyyxyxx
在曲线 L 上点 P 处，切线 PT 的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点 P 处对应的法平面方程分别为
),,( ),,(
zyxGG
zyxFF
0)(
),(
),()(
),(
),()(
),(
),(
000
zz
yx
GFyy
zx
GFxx
zy
GF
ppp
小心符号求两个抛物柱面,6 2xy? 212 xz? 的交线
L 在
2
1?x 时的切线方程和法平面方程,
当
2
1?x 时，,
2
3?y,3?z 此时
,612)(
2
1
2
1 xx xxy 1224)( 2121 xx xxz
故 所求切线方程和法平面方程分别为 自己计算一下
)()( 0
0
0
0
0 xz
zz
xy
yyxx
0))(())(()( 00000 zzxzyyxyxx
例解切线方程
6
3
6
3212 zyx
法平面方程 09124122 zyx
求曲线
0
6222
zyx
zyx 在点 )1,2,1(?P 处的切线方程和法平面方程,
令,6),,( 222 zyxzyxF,),,( zyxzyxG
则
pyx
GF
),(
),( 6，11
42
11
22
P
yx
,0
11
22
),(
),(
pzx
GF,611
24
),(
),(
pzy
GF
)1,0,1( n取例解故所求的
1 10 21 1 zyx
0 zx
切线方程为法平面方程为
