高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第四节 全微分方向导数梯度我们以二元函数为主,进行讲解,所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中,
一,全微分回忆一元函数的微分
,0 使得有关的实数若存在仅与 Ax
)o( xxAy
)(,)( 0 xfxAxxf 为函数处可微在点则称函数?
且在点处的微分,
xxxxfy d,d)(d
可微 可导
运用多元函数的全增量概念,
将一元函数的微分概念推广到多元函数中,
一元函数的增量多元函数的全增量回忆一元微分的几何意义
O x
y
x?
xd
x xx
)( xfy?
ddtan xy
一元,用切线上的增量近似曲线上的增量,
多元,用切平面上的增量近似曲面上的增量,
T
应用 的某一个线性函数表示二元函数的全增量
yx,
:z?
ybxa
yxfyyxxfz
),(),(
,,无关的常数和是与 yxba
,应该是一个无穷小量?
二元函数全微分的定义
)U( 00 XXX 时,若函数在点 X0 处的全增量可则称函数在点 X0 处可微,
xazyb )o( 22 yx
zd ybxa
设函数 )( Xfz? 在点
),( 000 yxX? 的某一邻域称为函数在点 X0 处的全微分,其中,a,b 是与?X
)U( 0X 内有定义,当 0X 获得增量,),( yxX 且表示为
0 有关的常数,无关,仅与 X
全微分概念的极限形式
0)(lim 22
0
0
yx
ybxaz
y
x
0|||| |)(|lim
0
0
X
ybxaz
y
x
或
22 yx
|||| X?其中如果函数
)(Xf 在区域?中的每一点均可微,则称函数在区域?
上可微,
函数在区域上的可微性可微连续 可导
在多元函数中,三者的关系如何？
连续,0lim
0
0
z
y
x
可微与连续的关系 (可微的必要条件 )
可微：
xazyb )o( 22 yx
函数 )( Xf 在点 X0 处可微,
则必在点 X0 处连续,
可微与连续的关系 (可微的必要条件 )
可微连续 可导在多元函数中,可微 连续可微与可导的关系 (可微的必要条件 )
可微, xazyb )o( 22 yx
定理 则其两个处可微在点若,),( ),( yxPyxfz?
,,且均存在偏导数 yzxz
,d d d yyzxxzz
若函数可微,则
)o( 22 yxybxaz
,0,,则取的任意性由 yyx
) || o( xxazz x
ax xxax z
y
x
x
y
x
|)o ( |limlim
0
0
0
0
即,axz 同理,取,,0 byzx 得证
,)d,d(,d d d yyxxyyzxxzz故可微连续 可导在多元函数中,可微 可偏导可微连续 可导在多元函数中,可微 可偏导在多元函数中,可偏导 可微?
),( yxf函数
0 2222 yxyx xy
0 0 22 yx
例在点 (0,0) 处连续,且有有界的偏导数,但不可微,
该例留给学生课后研讨参考书：,高等数学中的反例,朱 勇等编华中工学院出版社 1986年 p 120~130
逆命题?
可 微连续 可导连 续 可 导连续可导
Ok
二元函数可微的充分条件定理,,)),U ( ( ),( 00 可偏导内有定义在设 yxyxfz?
),(,),( z,z 00 在则函数处连续在点若 yxfyxyx
,),( 00 处可微点 yx
利用微分中值定理
))(,(),(),( 0100 xxyfyxfyxf x,))(,( 020 yyxf y
yy yxfxx yxfz ),( ),( 0000,)o( 22 yx
由偏导数的连续性,
),(
),(lim 001
0
0 x
yxf
x
yf
yy
xx?
要证明函数 f ( x,y ) 在点 处可微,即要证),( 00 yx证故
,),( ),( 001 x yxfx yf
同理,),( ),( 0020 y yxfyxf
其中,为该极限过程中的无穷小量,
从而,函数的全增量
yy yxfxx yxfz ),( ),( 0000,)o( yx
又 22 0 yx yx,0||||
yy yxfxx yxfz ),( ),( 0000,)o(
22 yx
即函数 f ( x,y ) 在点 处可微,),( 00 yx
故由夹逼定理,得如果函数 )( Xfz? 在区域? 中具有连续偏导数
x
z
和
y
z
,则称函数
.)()( 1 CXf
)(Xf 为区域 1C? 中的 类函数,记为当不强调区域时,记为,)( 1CXf?
全微分的计算请同学自己看书 !
,)( ),( 则处可微在点设函数 XXgXf
)(d)(d))()(d( XgXfXgXf
)( )(d))(d( RXfXf
)(d)()(d)())()(d( XgXfXfXgXgXf
0))( ( )( )(d)()(d)()( )(d 2 XgXg XgXfXfXgXg Xf
.d,)1,2,2(uxu zy 求设?
zzuyyuxxuu dddd
)1,2,2()1,2,2( )(
zyx
xx
u
4
)1,2,2(1
zyz xy
将 y,z 看成常数,,,zw ywxu
将 x,z 看成常数,,,zw ywxu
)1,2,2()1,2,2( )(
zyx
yy
u
)1,2,2(1ln zy yzxx
z 2ln4?
例解将 x,y 看成常数,,,zw ywxu
)1,2,2()1,2,2( )(
zyx
yy
u
)1,2,2(lnln yyxx zy
z 2ln8 2?
故
zyxu d2ln8d2ln4d4d 2)1,2,2(
,,? 22 求其全微分若可微是否可微函数 yyxz
,2,2 22 中连续在易知 Ryxyzyxxz
,222 中可微在故函数 Ryyxz
yyzxxzz ddd yyxxxy d)2(d2 2
例解回头看全微分公式
zzz yx ddd
yyzxxzzd
,d 的偏微分称为函数关于 xxxzzx
,d 的偏微分称为函数关于 yyyzzy
这与物理中的叠加原理相符,
二,方向导数回忆一元函数的单侧导数,
A
B
C?
xx
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)(
0
,0x
||AC||?
||)(|| xxxx
||AC||
( A )( C )lim
0
ff
x
( C ))( fxxf ( A ))( fxf?
AC 方向的导数沿
x
x
O y
z,
P0
P
l
0l?,中 3R
)( Xfz?
||PP|| )(P( P)lim
0
0
PP 0
ff?
,)( 0 方向的导数沿 lXf?
利用点函数推广到 中 3R
方向导数的定义设函数 )( Xfu? 在 )U(
0X
内有定义,
若点 )U(
0XX?
沿射线 l 趋于
0X
时,极限
||||
)()(lim
0
0
0 XX
XfXf
XX?
l 方向的方向导数,记为存在,则称该极限值为函数 )(Xf 在点
0X
处沿
||||
)()(lim
0
0
0
0 XX
XfXf
l
z
XXXX?
,)( 0Xf l?或比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中,分母 0,|||| 0 XX
在偏导数中,分母 可正、可负,yx,
即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时,
方向导数与偏导数也是两个不同的概念,
单向双向利用直线方程可将方向导数的定义表示为,
)()(lim 00
0 t
XfetXf
l
u
t
射线 l 的方程,
则故,0 etXX
tzzyyxx c o sc o sc o s 000
,c o s0?txx,c o s0?tyyc o s0 tzz
,)c o s,c o s,( c o se
怎么计算方向导数？
0X
X
l0l?
),,( 0000 zyxX
),,( zyxX
||||
c os
0
0
XX
xx
||||
c o s
0
0
XX
yy
||||
c o s
0
0
XX
zz
| | )o ( | |)()( 00 XXz
z
uy
y
ux
x
uXfXf
中的情形看空间 3R
||||
)()(l i m
0
0
00 XX
XfXf
l
u
XXXX?
||||
||||
lim
000 XX
y
y
u
XX
x
x
u
XX
||||
| | )o ( | |
||||
0
0
0 XX
XX
XX
z
z
u
c o s c o s c o s zuyuxu
方向导数导计算公式若函数 ),,( zyxfu? 在点 ),,(
000 zyx
处可微,
则函数 )(Xf 在点 ),,(
000 zyx
处沿任一方向
)c o s,c o s,( c o s0l?
的方向导数存在,且
lu
其中,各偏导数均为在点 ),,(
000 zyx
处的值,
c o sxu?
c o s
y
u?co s
z
u
定理
)2,2,1(, Pxyzu 求函数在点设
,22 的方向导数沿方向 kjil;4 PP yzxu ;2 PP xzyu
,2 PP xyzu
,31co s,32co s,32cos
3
4
3
22
3
2)2(
3
1)4(
Pl
u
3221 |||| 222l?
例解由点 ),P( yx 到坐标原点的距离定义的函数
22 yxz
在坐标原点处向导数值都等于 1:
1
0
li m
22
22
0
0
yx
yx
l
z
y
x
的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均存在,且方此例说明,1,方向导数存在时,偏导数不一定存在,
2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件,
例算公式再回头看方向导数的计
c o s c o s c o s zuyuxulu
)c o s,c o s,( c o s 0l?其中则若引进向量,
,
,
r a dg?
z
u
y
u
x
uu
0 darg
lu
l
u
,darg 0 上的投影在是即 lulu
,,r a dg zuyuxuu向量只与函数在点 X0 处的偏导数有关,
0 darg
lu
l
u
),darc o s ( g|||||| darg|| 00 lulu
),darc o s ( g|| darg|| 0luu
1
一个问题：
该问题仅在
z
u
y
u
x
u
,,不同时为零才有意义,
),,()( zyxfXfu
在给定点
0X
沿什么方向增加得最快?
可微函数
,0 的最大值处该问题即求在点 luX
,),darc o s ( g|| darg|| 0 可知由 luulu
,,1),darc o s ( g 0 取最大值时当 lulu
.,darg 0 取最大值的方向重合时与即当 luul
00 || darg||
m a x
XX ul
u?
现在正式给出 的定义grad u
且三,梯度定义 设
,3R,)()( 1 CXfu
,0 X
则称向量为函数
)( Xf
在点
0X
处的梯度,记为
)(g r ad 0Xf
或
。)( 0Xf?
i
x
Xf?)( 0?
j
y
Xf?)( 0 k
z
Xf?
)( 0
梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值,
以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中,
在 2R 中
luc o sxu?c o s
y
u
在 nR 中
lu?
1
1
c o s?
x
u
n
nx
u?c o s
可统一表示为 0g r a d lulu
)c o s,,c o s,( c o s 210 nl
)2(?n
ugr a d
,,
,
21 nx
u
x
u
x
u?
并求在求设,g r a d,5 2 uzxyzu
,)( )1,1,0( 值小处方向导数的最大点?M
∵
∴
,yzxu,xzyu,2 zxyzu
)1,1,0()1,1,0( )2,,(g r a d zxyxzyzu
)2,0,1(
从而 5||g r a d||m a x ulu M
5||g r a d||m in ulu M
例解设点电荷 q 位于坐标原点,在点 ),,( zyxM
,
4 r
qv
处的电位为 其中,? 为介电系数,
,kzjyixr,|||| rr 求电位 v 的梯度,
g r a dg r a d?v
r
q
4
r
r
q g r a d
4 2
r
r
q?
34
其中,负号说明离点电荷越远,电位越低,即电位梯度的方向与电场 E 的方向相反,
自己计算一下这一步,
例解
222g r a dg r a d zyxr
222 zyx
kzjyix
r
r
梯度及其运算公式的参考书工程数学,矢量分析与场论,谢树艺高等教育出版社 1985年
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第四节 全微分方向导数梯度我们以二元函数为主,进行讲解,所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中,
一,全微分回忆一元函数的微分
,0 使得有关的实数若存在仅与 Ax
)o( xxAy
)(,)( 0 xfxAxxf 为函数处可微在点则称函数?
且在点处的微分,
xxxxfy d,d)(d
可微 可导
运用多元函数的全增量概念,
将一元函数的微分概念推广到多元函数中,
一元函数的增量多元函数的全增量回忆一元微分的几何意义
O x
y
x?
xd
x xx
)( xfy?
ddtan xy
一元,用切线上的增量近似曲线上的增量,
多元,用切平面上的增量近似曲面上的增量,
T
应用 的某一个线性函数表示二元函数的全增量
yx,
:z?
ybxa
yxfyyxxfz
),(),(
,,无关的常数和是与 yxba
,应该是一个无穷小量?
二元函数全微分的定义
)U( 00 XXX 时,若函数在点 X0 处的全增量可则称函数在点 X0 处可微,
xazyb )o( 22 yx
zd ybxa
设函数 )( Xfz? 在点
),( 000 yxX? 的某一邻域称为函数在点 X0 处的全微分,其中,a,b 是与?X
)U( 0X 内有定义,当 0X 获得增量,),( yxX 且表示为
0 有关的常数,无关,仅与 X
全微分概念的极限形式
0)(lim 22
0
0
yx
ybxaz
y
x
0|||| |)(|lim
0
0
X
ybxaz
y
x
或
22 yx
|||| X?其中如果函数
)(Xf 在区域?中的每一点均可微,则称函数在区域?
上可微,
函数在区域上的可微性可微连续 可导
在多元函数中,三者的关系如何？
连续,0lim
0
0
z
y
x
可微与连续的关系 (可微的必要条件 )
可微：
xazyb )o( 22 yx
函数 )( Xf 在点 X0 处可微,
则必在点 X0 处连续,
可微与连续的关系 (可微的必要条件 )
可微连续 可导在多元函数中,可微 连续可微与可导的关系 (可微的必要条件 )
可微, xazyb )o( 22 yx
定理 则其两个处可微在点若,),( ),( yxPyxfz?
,,且均存在偏导数 yzxz
,d d d yyzxxzz
若函数可微,则
)o( 22 yxybxaz
,0,,则取的任意性由 yyx
) || o( xxazz x
ax xxax z
y
x
x
y
x
|)o ( |limlim
0
0
0
0
即,axz 同理,取,,0 byzx 得证
,)d,d(,d d d yyxxyyzxxzz故可微连续 可导在多元函数中,可微 可偏导可微连续 可导在多元函数中,可微 可偏导在多元函数中,可偏导 可微?
),( yxf函数
0 2222 yxyx xy
0 0 22 yx
例在点 (0,0) 处连续,且有有界的偏导数,但不可微,
该例留给学生课后研讨参考书：,高等数学中的反例,朱 勇等编华中工学院出版社 1986年 p 120~130
逆命题?
可 微连续 可导连 续 可 导连续可导
Ok
二元函数可微的充分条件定理,,)),U ( ( ),( 00 可偏导内有定义在设 yxyxfz?
),(,),( z,z 00 在则函数处连续在点若 yxfyxyx
,),( 00 处可微点 yx
利用微分中值定理
))(,(),(),( 0100 xxyfyxfyxf x,))(,( 020 yyxf y
yy yxfxx yxfz ),( ),( 0000,)o( 22 yx
由偏导数的连续性,
),(
),(lim 001
0
0 x
yxf
x
yf
yy
xx?
要证明函数 f ( x,y ) 在点 处可微,即要证),( 00 yx证故
,),( ),( 001 x yxfx yf
同理,),( ),( 0020 y yxfyxf
其中,为该极限过程中的无穷小量,
从而,函数的全增量
yy yxfxx yxfz ),( ),( 0000,)o( yx
又 22 0 yx yx,0||||
yy yxfxx yxfz ),( ),( 0000,)o(
22 yx
即函数 f ( x,y ) 在点 处可微,),( 00 yx
故由夹逼定理,得如果函数 )( Xfz? 在区域? 中具有连续偏导数
x
z
和
y
z
,则称函数
.)()( 1 CXf
)(Xf 为区域 1C? 中的 类函数,记为当不强调区域时,记为,)( 1CXf?
全微分的计算请同学自己看书 !
,)( ),( 则处可微在点设函数 XXgXf
)(d)(d))()(d( XgXfXgXf
)( )(d))(d( RXfXf
)(d)()(d)())()(d( XgXfXfXgXgXf
0))( ( )( )(d)()(d)()( )(d 2 XgXg XgXfXfXgXg Xf
.d,)1,2,2(uxu zy 求设?
zzuyyuxxuu dddd
)1,2,2()1,2,2( )(
zyx
xx
u
4
)1,2,2(1
zyz xy
将 y,z 看成常数,,,zw ywxu
将 x,z 看成常数,,,zw ywxu
)1,2,2()1,2,2( )(
zyx
yy
u
)1,2,2(1ln zy yzxx
z 2ln4?
例解将 x,y 看成常数,,,zw ywxu
)1,2,2()1,2,2( )(
zyx
yy
u
)1,2,2(lnln yyxx zy
z 2ln8 2?
故
zyxu d2ln8d2ln4d4d 2)1,2,2(
,,? 22 求其全微分若可微是否可微函数 yyxz
,2,2 22 中连续在易知 Ryxyzyxxz
,222 中可微在故函数 Ryyxz
yyzxxzz ddd yyxxxy d)2(d2 2
例解回头看全微分公式
zzz yx ddd
yyzxxzzd
,d 的偏微分称为函数关于 xxxzzx
,d 的偏微分称为函数关于 yyyzzy
这与物理中的叠加原理相符,
二,方向导数回忆一元函数的单侧导数,
A
B
C?
xx
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)(
0
,0x
||AC||?
||)(|| xxxx
||AC||
( A )( C )lim
0
ff
x
( C ))( fxxf ( A ))( fxf?
AC 方向的导数沿
x
x
O y
z,
P0
P
l
0l?,中 3R
)( Xfz?
||PP|| )(P( P)lim
0
0
PP 0
ff?
,)( 0 方向的导数沿 lXf?
利用点函数推广到 中 3R
方向导数的定义设函数 )( Xfu? 在 )U(
0X
内有定义,
若点 )U(
0XX?
沿射线 l 趋于
0X
时,极限
||||
)()(lim
0
0
0 XX
XfXf
XX?
l 方向的方向导数,记为存在,则称该极限值为函数 )(Xf 在点
0X
处沿
||||
)()(lim
0
0
0
0 XX
XfXf
l
z
XXXX?
,)( 0Xf l?或比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中,分母 0,|||| 0 XX
在偏导数中,分母 可正、可负,yx,
即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时,
方向导数与偏导数也是两个不同的概念,
单向双向利用直线方程可将方向导数的定义表示为,
)()(lim 00
0 t
XfetXf
l
u
t
射线 l 的方程,
则故,0 etXX
tzzyyxx c o sc o sc o s 000
,c o s0?txx,c o s0?tyyc o s0 tzz
,)c o s,c o s,( c o se
怎么计算方向导数？
0X
X
l0l?
),,( 0000 zyxX
),,( zyxX
||||
c os
0
0
XX
xx
||||
c o s
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0
XX
yy
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c o s
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z
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y
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x
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中的情形看空间 3R
||||
)()(l i m
0
0
00 XX
XfXf
l
u
XXXX?
||||
||||
lim
000 XX
y
y
u
XX
x
x
u
XX
||||
| | )o ( | |
||||
0
0
0 XX
XX
XX
z
z
u
c o s c o s c o s zuyuxu
方向导数导计算公式若函数 ),,( zyxfu? 在点 ),,(
000 zyx
处可微,
则函数 )(Xf 在点 ),,(
000 zyx
处沿任一方向
)c o s,c o s,( c o s0l?
的方向导数存在,且
lu
其中,各偏导数均为在点 ),,(
000 zyx
处的值,
c o sxu?
c o s
y
u?co s
z
u
定理
)2,2,1(, Pxyzu 求函数在点设
,22 的方向导数沿方向 kjil;4 PP yzxu ;2 PP xzyu
,2 PP xyzu
,31co s,32co s,32cos
3
4
3
22
3
2)2(
3
1)4(
Pl
u
3221 |||| 222l?
例解由点 ),P( yx 到坐标原点的距离定义的函数
22 yxz
在坐标原点处向导数值都等于 1:
1
0
li m
22
22
0
0
yx
yx
l
z
y
x
的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均存在,且方此例说明,1,方向导数存在时,偏导数不一定存在,
2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件,
例算公式再回头看方向导数的计
c o s c o s c o s zuyuxulu
)c o s,c o s,( c o s 0l?其中则若引进向量,
,
,
r a dg?
z
u
y
u
x
uu
0 darg
lu
l
u
,darg 0 上的投影在是即 lulu
,,r a dg zuyuxuu向量只与函数在点 X0 处的偏导数有关,
0 darg
lu
l
u
),darc o s ( g|||||| darg|| 00 lulu
),darc o s ( g|| darg|| 0luu
1
一个问题：
该问题仅在
z
u
y
u
x
u
,,不同时为零才有意义,
),,()( zyxfXfu
在给定点
0X
沿什么方向增加得最快?
可微函数
,0 的最大值处该问题即求在点 luX
,),darc o s ( g|| darg|| 0 可知由 luulu
,,1),darc o s ( g 0 取最大值时当 lulu
.,darg 0 取最大值的方向重合时与即当 luul
00 || darg||
m a x
XX ul
u?
现在正式给出 的定义grad u
且三,梯度定义 设
,3R,)()( 1 CXfu
,0 X
则称向量为函数
)( Xf
在点
0X
处的梯度,记为
)(g r ad 0Xf
或
。)( 0Xf?
i
x
Xf?)( 0?
j
y
Xf?)( 0 k
z
Xf?
)( 0
梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值,
以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中,
在 2R 中
luc o sxu?c o s
y
u
在 nR 中
lu?
1
1
c o s?
x
u
n
nx
u?c o s
可统一表示为 0g r a d lulu
)c o s,,c o s,( c o s 210 nl
)2(?n
ugr a d
,,
,
21 nx
u
x
u
x
u?
并求在求设,g r a d,5 2 uzxyzu
,)( )1,1,0( 值小处方向导数的最大点?M
∵
∴
,yzxu,xzyu,2 zxyzu
)1,1,0()1,1,0( )2,,(g r a d zxyxzyzu
)2,0,1(
从而 5||g r a d||m a x ulu M
5||g r a d||m in ulu M
例解设点电荷 q 位于坐标原点,在点 ),,( zyxM
,
4 r
qv
处的电位为 其中,? 为介电系数,
,kzjyixr,|||| rr 求电位 v 的梯度,
g r a dg r a d?v
r
q
4
r
r
q g r a d
4 2
r
r
q?
34
其中,负号说明离点电荷越远,电位越低,即电位梯度的方向与电场 E 的方向相反,
自己计算一下这一步,
例解
222g r a dg r a d zyxr
222 zyx
kzjyix
r
r
梯度及其运算公式的参考书工程数学,矢量分析与场论,谢树艺高等教育出版社 1985年
