高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
● 在几何方面的应用
● 在优化方面的应用● 在优化方面的应用极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,
它是一种简单的优化问题,
多元函数的极值无约束极值有约束极值变量替代法拉格朗日乘数法多元函数的极值无约束极值的形式目标函数,nRXXfu,)(
表现形式,XXf )(m a x
XXf )(m in
一,无约束极值极大值和极小值的定义设 )( Xfu? 在
nRX?)U( 0
内有定义,
若
,)(U? 0XX
总有
)()( 0XfXf? ))()(( 0XfXf?
则称 )(
0Xf
为函数 )(Xf 的极大值 (极小值 ).
0X
称为函数的极大点 (极小点 ).
函数的极大值和极小值统称为函数的极值,
例 1 函数 221 yxz 在点 )0,0( 处 取极大值,
函数 22 yxz 在点 )0,0( 处取极小值,例 2
现在对已有的结果进行分析,
看能否得到一点什么,
例 1 函数 221 yxz 在点 )0,0( 处 取极大值,
进行分析：
函数 21 xz (即固定 )0?y 在点 0?x 处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有
0)0,0( xz
取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有类似地,函数 (即固定 )0?x 在点 0?y 处21 yz
0)0,0(?
y
z
上半单位球面函数 22 yxz 在点 )0,0( 处取极小值,例 2
进行分析,上半空间中的圆锥面函数 22 yxz 在点 )0,0( 处偏导数不存在,
固定,)0(0 xy 发现相应的一元函数 || xz?
)||( yz? 在 )0(0 yx 处取极值,
将以上对两例的分析与极值的定义综合起来,你能得出什么样的结论？
得出结论没有？
如果点 X0 是函数的极值点,则在过 X0 的任何一条曲线上,点 X0 将仍是函数的极值点,
若 ),(
000 yxX
是函数 ),( yxf 的极值点,则
0x 是一元函数 ),( 0yxf 的极值点 ;
0y
是一元函数 ),(
0 yxf
的极值点,
能存在,也可能不存在,故可得到结论,
但函数 ),( yxf 在极值点 ),(
000 yxX 处偏导数可如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零,
使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点,
先以二元函数为例,叙述结果,然后将它推广到一般的 n 元函数,
定理 (二元可导函数取极值的必要条件 )
证若 在点 具有偏导数,且在),( yxfz? ),( 00 yx
处取极值,则必有),( 00 yx
,0),(,0),( 0000 y yxfx yxf
,),( ),( 00 则处取极大值在点不妨设 yxyxf
)),U( (),( ),(),( 0000 yxyxyxfyxf
故 )),U( (),( ),(),( 000000 yxyxyxfyxf
)),U( (),( ),(),( 000000 yxyxyxfyxf
由一元函数取极值的必要条件,得即即 一元函数 ),( ),( 00 yxfzyxfz 和
,),( 00 处取极大值和极小值在点 yx
,0
d
),(d,0
d
),(d
0
0
0
0?
yyy
yxf
xxx
yxf
,0 ),(,0 ),( 0000 y yxfx yxf
,0),(,0),(
,0),( g r ad
0000
00
yxJfyxf
yxf
或该结论还可写为处的切平面方程为
0)())(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx
由可微函数取极值的必要条件：
0),(),( 0000 yxfyxf yx
此时,切平面平行于 xy 平面,
设函数 在点 ),(
00 yx
处可微且取),( yxf
极值,则相应的曲面 在点 ),(
00 yx
),( yxfz?
下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为,0zz?
定理 (n 元可导函数取极值的必要条件 )
若 )( Xfu? 在点
0X
具有偏导数,且在
0X
处取极值,则必有
0)( 0
ix
Xf,),,2,1( ni
证 不妨设 )(Xf 在点
0X
处取极大值,则
)U(,)()( 00 XXXfXf
其中,
),,,,,( 00 100 1010 niii xxxxxX
),,,,,( 00 10 101 niiii xxxxxX
),,,,,( 111 niii xxxxxX
记
,)U( 0XX i? 则
)()( 0XfXf i? ),,2,1( ni
即一元函数 )(
iXfu?
在点 0
ii xx?
处取极大值,
由一元函数取极值的必要条件,得
0d )(d 0
ii xxi
i
x
Xf
即
0)( 0
ix
Xf ),,2,1( ni
该结论还可写为
,0)( 0?XJf,0)( 0 Xf,0)( g r a d 0?Xf
函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点,
函数在其极值可疑点处,可能取极值,
也可能不取极值,
使函数 )( Xfu?
零的点
0X
称为函数的驻点,
的一阶偏导数全为这就产生了一个问题,如何判断函数在极值可疑点处是否取极值,
我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果,
则 0d),(d),(d
0000 yyxfxyxfz yx
故由微分形式的泰勒公式,得
),(
2
22
2
2
2
00
),(
!2
1
yx
y
f
xy
f
yx
f
x
f
yx
2R?
y
x
,0),(g r a d ),),U((),( 00002 yxfyxCyxfz设
200
2
0000 ),(d!2
1),(d),(),( Ryxfyxfyxfyxf
我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果,
则 0d),(d),(d
0000 yyxfxyxfz yx
故由微分形式的泰勒公式,得
),(
2
22
2
2
2
00
),(
!2
1
yx
y
f
xy
f
yx
f
x
f
yx
2R?
y
x
,0),(g r a d ),),U((),( 00002 yxfyxCyxfz设
200
2
0000 ),(d!2
1),(d),(),( Ryxfyxfyxfyxf
注意条件正 (负 )取决于二次型的正 (负 )定余项
Q
记,
),(2
2
00 yxx
fA
,),(
2
00 yxyx
fB
,),(2
2
00 yxy
fC
则 ),(),(
00 yxfyxf
y
x
CB
BA
yx ),(
!2
1
)),((2 yxR?
H 称为函数 f 的 Hessian 矩阵
H
当 0?A 且 02 BAC 时,二次型 Q 正定,
即从而,,0),(),(
00 yxfyxf ),( 00 yxf
为函数的极小值,
二次型与它的矩阵具有相同的有定性矩阵 H 正定当 0?A 且 02 BAC 时,二次型 Q 负定,
从而,,0),(),(
00 yxfyxf
即 ),( 00 yxf
为函数的极大值,
当 02 BAC 时,二次型 Q 是不定的,此时,),(
00 yxf
不是函数的极值,
当 02 BAC 时,二次型 Q 是半定的,运为函数的极值,
若要判定则需要运用更高阶的泰勒公式,
),( 00 yxf用二阶泰勒公式已不能判定 是否定理 (可微的二元函数极值判别法 )
记,
),(2
2
00 yxx
fA
,),(
2
00 yxyx
fB
,
),(2
2
00 yxy
fC
,
A
H?
CB
B 那么,
(1) 若 H 正定,则 ),( yxf 在 ),(
00 yx
取极小值,
(2) 若 H 负定,则 ),( yxf 在 ),(
00 yx
取极大值,
(3) 若 H 不定,则 ),(
00 yx
不是 ),( yxf 的极值点,
取极值,
(4) 若 H 半定,则不能判定 ),( yxf 在 ),( 00 yx 是否设,0),( g r ad )),,( U (),( 00002 yxfyxCyxfz
定理 (可微的二元函数极值判别法 )
记,
),(2
2
00 yxx
fA
,
),(
2
00 yxyx
fB
,
),(2
2
00 yxy
fC
设,0),( g r ad )),,( U (),( 00002 yxfyxCyxfz
,),( ),(,0 )1( 002 处取极值在点则 yxyxfACB
.,0 ;,0 取极小值时取极大值时 AA
,),( ),(,0 )2( 002 的极值点不是则 yxfyxACB
,),(,0 )3( 002 是否极值点则不能判断 yxACB
该定理的常用写法是下面的形式,
该判别法可直接推广到元函数的情形,其结论请看书,
n
例 3 求 yxxyxyxf 12153),( 23 的极值,
解 联立方程组,求驻点,
0126
01533 22
xyf
yxf
y
x
解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(,)1,2(
又
,6 xfA xx,6 yfB xy,6 xfC yy
故
CB
BA
H?
x6 y6
y6 x6
)(36 22 yx
一阶主子式,xW 6
1?
二阶主子式,)(36|H| 22
2 yxW
Hessian 矩阵的顺序主子式 xy yx 66 66H
1W 2W点 是否极值点)2,1(
)2,1(
)1,2(
极大点
)1,2( 极小点 不是不是
H
不定不定正定负定综上所述,
点 )1,2( 是极小点,极小值为,28)1,2(f
点 )1,2( 是极大点,极大值为,28)1,2(f
点,)2,1( )2,1( 不是极值点,
下面用另一种方式来写出 例 3 的解,
例 3 求 yxxyxyxf 12153),( 23 的极值,
解 联立方程组,求驻点,
0126
01533 22
xyf
yxf
y
x
解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(,)1,2(
又
,6 xfA xx,6 yfB xy,6 xfC yy
此例也可用下面方式写出,
)(36 222 xyACB
,012,0)( )1,2()1,2(2 AACB
点 )1,2( 是极小点,极小值为,28)1,2(f
,012,0)( )1,2()1,2(2 AACB
点 )1,2( 是极大点,极大值为,28)1,2(f
,0)( )2,1(2 ACB,0)( )2,1(2ACB
点,)2,1( )2,1( 不是极值点,
故 )(36 222 xyACB
二,函数的最大值和最小值
,)( 上有定义在有界闭区域设函数 Xfu
并与内的所有极值在求出,)(?Xf
从中上的所有极值进行比较在,)(Xf
上的最大值和最小值,
在它们就是取出最大者和最小者 )(,Xf?
不一定能函数一般说来 )(,Xf
,值取得它的最大值和最小在?
怎 么 办？
有何高见？
由于区域的边界通常都比较复杂,
较困难的一件事情,
所以求多元函数的最大值和最小值是比求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小值,
如果知道可微函数 )(Xf 的最大值或最小值一定在区域? 内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点,
如果,)()( CXf
)(Xf
为有界闭区域,则函必在 上取到它的最大值和最小值,?数例 4 )1,0( ),0,1( ( 0,0 ),CBOxy 平面上求到点在距离之平方和为最大及最小的点,
解
x
y
O
C
B
·P
,),( yxP设所求点为
222 |||||| PCPBOP
22233 22 yxyx
所求距离之平方和为
),( 所在区域为所求点 yxP
}1,0,0|),({D yxyxyx
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数：
最值问题：
,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
22233),( 22 yxyxyxf
所讨论的问题归结为下面的优化问题,
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
求函数 f 在有界闭区域 D 上的最大、最小值的一般步骤为：
※
※
先求函数 f 在开区域 D 上的极大、极小值点 ;
再求函数 f 在边界 D? 上的极大、极小值点 ;
※ 将所求出的极值 (及边界上的特殊点的函数值 )
进行比较,即可得出函数的最大、最小值,
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 内在由方程组
026
x
x
f
026 yyf
得到驻点
,),( 3131
且,),( 343131?f
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 上在?
x
y
O
C
B
·P,10,0,OB xy上在,223),( 2 xxyxf故由一元函数求极值的方法,
得驻点：
,),( 31 0
0函数值：
),( 31f
3
5
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 上在?
x
y
O
C
B
·P,10,0,OC yx上在,223),( 2 yyyxf故由一元函数求极值的方法,
得驻点：
,),( 31
0 函数值：
),( 31
0
3
5
f
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 上在?
x
y
O
C
B
·P,10,1,BC xyx上在,366),( 2 xxyxf故由一元函数求极值的方法,
得驻点：
,),( 2121
函数值：
),( 2121f
2
3
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
综上所述※
f?),(
3
1
3
5
0
f?),(
3
1
0
3
5
f?),(
2
1
2
1
2
3
f?),(
3
1
3
1
3
4
边界上端点值：
,2)0,0(?f,3)0,1(?f,3)1,0(?f
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
:),(m a xD yxf 3)1,0(?f3)0,1(?f
:),(m inD yxf f?),(
3
1
3
1
3
4
所求最值点为,……
以下的工作,由学生自己完成,
例 5 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体,
z
x
y
O
P
球面解 选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为 2222 azyx
设所求长方体在第一卦限中的顶点为 ),,,(P zyx
则长方体的三个棱边长是
,2,2,2 zyx 长方体体积为
22288)2)(2)(2( yxaxyx y zzyxV
区域：,222 ayx 0?x,0?y
目标函数,2228 yxaxyV
:D
最值问题,V
D
m a x 2Dm a x V
原问题归结为下面的优化问题,
区域：,D,222 ayx 0?x,0?y
目标函数,2228 yxaxyV
最值问题：
2
D
m a x V )(64m a x 22222
D
yxayx
由
0
0
2
2
y
V
x
V
222
222
2
2
ayx
ayx
解之得
,
3
ayx
。
3
222 ayxaz
由
0
0
2
2
y
V
x
V
222
222
2
2
ayx
ayx
解之得
,
3
ayx
。
3
222 ayxaz
应用题,又仅有唯一的个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为,
3
2222 azyx
区域：,D,222 ayx 0?x,0?y
目标函数,2228 yxaxyV
最值问题：
2
D
m a x V )(64m a x 22222
D
yxayx
在两个例题中,出现了一个相同的问题,
这个问题已被我们轻松地解决了,
什么问题?
目标函数中的变量必须满足一定的条件这就是对目标函数的约束应满足方程对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题,
例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题,长方体顶点必须位于球面上,其坐标
x 2 + y 2 + z 2 = a 2,
三,有约束极值 （条件极值）
有约束极值 (条件极值 )的定义
},0)(
,,0)(,|{ 1
nmX
XRXXL
m
n
设若
,0 LX?,)(U? 0XLX 有 )()( 0XfXf?
( 或,))()(
0XfXf?
则称 )(
0Xf
为函数 )(Xf 在约束条件,,0)(
1X? )}(,0)( nmXm
下的极大值 (或极小值 ).
这种极值通常简称为函数的条件极大 (小 )值,
这里的约束称为等式约束,
有约束极值带等式约束的极值带其它约束的极值无约束极值转化有约束极值的形式目标函数,nRXXfu,)(
表现形式,XXf )(m a x
,0)(1?X?,t,s
,
,0)(?Xm?min
有约束极值无约束极值拉格朗日乘数法变量替代法我们再举一例说明变量替代法例 6 现需用钢板制造容积为 2 m
3 的有盖的长方体水箱,问当长、宽、高各为多少时用料最省？
解 设长方体的长、宽、高分别为,x,y,z
则问题归结为下列有约束极值问题：
min,)(2 xzyzxyS
t.s,2?xyz
)0,,(?zyx
,2xyz?由约束条件,2?x yz
得 代入目标函数中,
使问题转化为下列无约束极值问题：
222m in?
yxxyS)0,(?yx
令
0
2
2
0
2
2
2
2
y
xS
x
yS
y
x
唯一的驻点
)2,2( 33
故当水箱的长、宽、高均为
3 2 )(m
时,用料最省,
就是已经讲过的方法,
拉格朗日乘数法问题,求函数 ),,( zyxfu? 在
0),,(?zyx? 下的极值,条件运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难 —— 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式,
自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法,
能由这里求得 z=z (x,y )
再作变量替代吗？
一般不能,但对满足隐函数存在定理条件的可微函数可行,
问题,求函数 ),,( zyxfu? 在
0),,(?zyx? 下的极值,条件拉格朗日乘数法分析与推导若函数 ),,( zyxf 在点 ),,(
000 zyx
处取得极值,
求 ),,( zyxfu? 在条件 0),,(?zyx? 下的极值,
则首先应有 0.),,( 000?zyx?
若 0),,(?zyx? 可确定隐函数 ),,( yxzz?
于是原问题转化为无约束极值问题：
求函数 )),(,,( yxzyxfu? 的极值,
则函数 )),(,,( yxzyxf 在 ),(
00 yx
处取极值,
(假设以下的各种运算均成立 )
对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有
),( 00 yxx
u 0)(
),( 00 yxxzx zff
),( 00 yxy
u
0)( ),( 00 yxyzy zff
由隐函数求导公式,得
z
x
xz?
z
y
yz?
对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有
),( 00 yxx
u 0)(
),( 00 yxxzx zff
),( 00 yxy
u
0)( ),( 00 yxyzy zff
由隐函数求导公式,得
z
x
xz?
z
y
yz?
代入对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有
),( 00 yxx
u 0)(
),( 00 yxxzx zff
),( 00 yxy
u
0)( ),( 00 yxyzy zff
由隐函数求导公式,得
z
x
xz?
z
y
yz?
代入
0)
),,(
),,(
),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyx
zyxfzyxf
z
y
zy?
0)
),,(
),,(),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyxzyxfzyxf
z
x
zx?
想想这一段要求函数满足什么条件？
0),,( 000?zyx?
0)
),,(
),,(),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyxzyxfzyxf
z
x
zx?
0)
),,(
),,(
),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyx
zyxfzyxf
z
y
zy?
),,( zyxfu? 在条件 0),,(?zyx?函数 下,
于点 ),,(
000 zyx
处取得极值的必要条件是综上所述,
还有一个令?
),,(
),,(
000
000
zyx
zyxf
z
z
则上述的必要条件可写为
0),,( 000?zyx?
),,( 000 zyxf x 0),,( 000 zyxx
),,( 000 zyxf y 0),,( 000 zyxy
),,( 000 zyxf z 0),,( 000 zyxz
令?
),,(
),,(
000
000
zyx
zyxf
z
z
则上述的必要条件可写为
0),,( 000?zyx?
),,( 000 zyxf x 0),,( 000 zyxx
),,( 000 zyxf y 0),,( 000 zyxy
),,( 000 zyxf z 0),,( 000 zyxz
拉格朗日函数问题,求函数 ),,( zyxfu? 在条件
0),,(?zyx? 下的极值,
若,),,( zyxf,),,( 1Czyx 则称
),,,(?zyxL?),,( zyxf ),,( zyx
为该极值问题的拉格朗日函数,? 称为拉格朗日乘数,
转化为拉格朗日函数的无条件极值问题拉格朗日乘数法求解 nRXXf? )( m a x
0)(,t.s 1?X?
0)(?Xm?
构造拉格朗日函数
),,,( 1 mXL
)( Xf?)(11 X )( Xmm
由取极值的必要条件 0
1
x
L
0?
nx
L
0
1
L
0?
m
L
解方程组 驻点进行判别这部分确定隐函数关系这部分确定变量 xi 与
i 间的关系例 7 求函数 x y zzyxf?),,( 在条件
azyx
1111
下的极小值,并证明此时不等式成立：
3
1
111
3 x y z
zyx
其中,x,y,z,a > 0为实数,
解 作拉格朗日函数
),,,(?zyxL?xyz
azyx
1111?
令,0
2 xyzL x
,02
y
xzL y?
,02 zxyL z?
,01111
azyx
L?
由这一部分找出
zyx,,与? 间的关系。
代入此方程，求出拉格朗日函数的驻点由前三式得,
zyx
x y z 从而,zyx
将它代入最后一式,得到拉格朗日函数的驻点：
,3 azyx )3,3,3( aa
该驻点是否为原函数的极值点?
应该怎么进行判断?
01111
azyx
设方程 确定隐函数,),( yxzz?
则可令,),()),(,,(),( yxzxyyxzyxfyxF从而
xF xzxyyz,
2
x
yzyz
y
F
y
zxyxz
,2
y
xzxz
2
2
x
F
x
z
x
yz
x
yz
x
zy
2
2
2
,2 3
3
x
yz?
2
2
x
z
x
z
2
2
y
z
y
z
2
2
y
F,2
3
3
y
xz?
yx
F2,2 322
xy
z
x
z
y
zz
在点 ayx 3 处
H
2
2
x
F
2
2
y
F
yx
F
2
xy
F
2
)3,3(),( aayx?
aa
aa
63
36
,027 2 a,062
2
a
x
F又
aa
aa
63
36
故 Hessian 矩阵 H 正定,函数 F (x,y)在点 (3a,3a)
处取极小值,这等价于函数 f (x,y,z) 在 (3a,3a,3a)
取极小值,27)3,3,3( 3aaaaf?
请课后自己计算下面证明不等式,311113 x y z
zyx
由于点 (3a,3a,3a) 是可微函数 x y zzyxf?),,(
的唯一 (条件 )极小值点,故在
,)3( 3ax y z?
}0,0,0,1111|),,{(D zyx
azyx
zyx
中有 D),,(?zyx
即有,1113 31 x y z
zyx
D),,(?zyx
由 x,y,z,a > 0 的任意性,即可得
3
1
111
3 x y z
zyx
)0,0,0( zyx
证明已完成看看还有没有附带的产物由 x,y,z,a > 0 的任意性,即可得
3
1
111
3 x y z
zyx
)0,0,0( zyx
将上式稍加变形,即可得到一个重要的不等式：
zyxzyx
111
3
1111
3 )0,0,0( zyx
几何平均值 算术平均值
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
● 在几何方面的应用
● 在优化方面的应用● 在优化方面的应用极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,
它是一种简单的优化问题,
多元函数的极值无约束极值有约束极值变量替代法拉格朗日乘数法多元函数的极值无约束极值的形式目标函数,nRXXfu,)(
表现形式,XXf )(m a x
XXf )(m in
一,无约束极值极大值和极小值的定义设 )( Xfu? 在
nRX?)U( 0
内有定义,
若
,)(U? 0XX
总有
)()( 0XfXf? ))()(( 0XfXf?
则称 )(
0Xf
为函数 )(Xf 的极大值 (极小值 ).
0X
称为函数的极大点 (极小点 ).
函数的极大值和极小值统称为函数的极值,
例 1 函数 221 yxz 在点 )0,0( 处 取极大值,
函数 22 yxz 在点 )0,0( 处取极小值,例 2
现在对已有的结果进行分析,
看能否得到一点什么,
例 1 函数 221 yxz 在点 )0,0( 处 取极大值,
进行分析：
函数 21 xz (即固定 )0?y 在点 0?x 处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有
0)0,0( xz
取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有类似地,函数 (即固定 )0?x 在点 0?y 处21 yz
0)0,0(?
y
z
上半单位球面函数 22 yxz 在点 )0,0( 处取极小值,例 2
进行分析,上半空间中的圆锥面函数 22 yxz 在点 )0,0( 处偏导数不存在,
固定,)0(0 xy 发现相应的一元函数 || xz?
)||( yz? 在 )0(0 yx 处取极值,
将以上对两例的分析与极值的定义综合起来,你能得出什么样的结论？
得出结论没有？
如果点 X0 是函数的极值点,则在过 X0 的任何一条曲线上,点 X0 将仍是函数的极值点,
若 ),(
000 yxX
是函数 ),( yxf 的极值点,则
0x 是一元函数 ),( 0yxf 的极值点 ;
0y
是一元函数 ),(
0 yxf
的极值点,
能存在,也可能不存在,故可得到结论,
但函数 ),( yxf 在极值点 ),(
000 yxX 处偏导数可如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零,
使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点,
先以二元函数为例,叙述结果,然后将它推广到一般的 n 元函数,
定理 (二元可导函数取极值的必要条件 )
证若 在点 具有偏导数,且在),( yxfz? ),( 00 yx
处取极值,则必有),( 00 yx
,0),(,0),( 0000 y yxfx yxf
,),( ),( 00 则处取极大值在点不妨设 yxyxf
)),U( (),( ),(),( 0000 yxyxyxfyxf
故 )),U( (),( ),(),( 000000 yxyxyxfyxf
)),U( (),( ),(),( 000000 yxyxyxfyxf
由一元函数取极值的必要条件,得即即 一元函数 ),( ),( 00 yxfzyxfz 和
,),( 00 处取极大值和极小值在点 yx
,0
d
),(d,0
d
),(d
0
0
0
0?
yyy
yxf
xxx
yxf
,0 ),(,0 ),( 0000 y yxfx yxf
,0),(,0),(
,0),( g r ad
0000
00
yxJfyxf
yxf
或该结论还可写为处的切平面方程为
0)())(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx
由可微函数取极值的必要条件：
0),(),( 0000 yxfyxf yx
此时,切平面平行于 xy 平面,
设函数 在点 ),(
00 yx
处可微且取),( yxf
极值,则相应的曲面 在点 ),(
00 yx
),( yxfz?
下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为,0zz?
定理 (n 元可导函数取极值的必要条件 )
若 )( Xfu? 在点
0X
具有偏导数,且在
0X
处取极值,则必有
0)( 0
ix
Xf,),,2,1( ni
证 不妨设 )(Xf 在点
0X
处取极大值,则
)U(,)()( 00 XXXfXf
其中,
),,,,,( 00 100 1010 niii xxxxxX
),,,,,( 00 10 101 niiii xxxxxX
),,,,,( 111 niii xxxxxX
记
,)U( 0XX i? 则
)()( 0XfXf i? ),,2,1( ni
即一元函数 )(
iXfu?
在点 0
ii xx?
处取极大值,
由一元函数取极值的必要条件,得
0d )(d 0
ii xxi
i
x
Xf
即
0)( 0
ix
Xf ),,2,1( ni
该结论还可写为
,0)( 0?XJf,0)( 0 Xf,0)( g r a d 0?Xf
函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点,
函数在其极值可疑点处,可能取极值,
也可能不取极值,
使函数 )( Xfu?
零的点
0X
称为函数的驻点,
的一阶偏导数全为这就产生了一个问题,如何判断函数在极值可疑点处是否取极值,
我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果,
则 0d),(d),(d
0000 yyxfxyxfz yx
故由微分形式的泰勒公式,得
),(
2
22
2
2
2
00
),(
!2
1
yx
y
f
xy
f
yx
f
x
f
yx
2R?
y
x
,0),(g r a d ),),U((),( 00002 yxfyxCyxfz设
200
2
0000 ),(d!2
1),(d),(),( Ryxfyxfyxfyxf
我们首先进行分析、讨论,然后再归纳出结果,
则 0d),(d),(d
0000 yyxfxyxfz yx
故由微分形式的泰勒公式,得
),(
2
22
2
2
2
00
),(
!2
1
yx
y
f
xy
f
yx
f
x
f
yx
2R?
y
x
,0),(g r a d ),),U((),( 00002 yxfyxCyxfz设
200
2
0000 ),(d!2
1),(d),(),( Ryxfyxfyxfyxf
注意条件正 (负 )取决于二次型的正 (负 )定余项
Q
记,
),(2
2
00 yxx
fA
,),(
2
00 yxyx
fB
,),(2
2
00 yxy
fC
则 ),(),(
00 yxfyxf
y
x
CB
BA
yx ),(
!2
1
)),((2 yxR?
H 称为函数 f 的 Hessian 矩阵
H
当 0?A 且 02 BAC 时,二次型 Q 正定,
即从而,,0),(),(
00 yxfyxf ),( 00 yxf
为函数的极小值,
二次型与它的矩阵具有相同的有定性矩阵 H 正定当 0?A 且 02 BAC 时,二次型 Q 负定,
从而,,0),(),(
00 yxfyxf
即 ),( 00 yxf
为函数的极大值,
当 02 BAC 时,二次型 Q 是不定的,此时,),(
00 yxf
不是函数的极值,
当 02 BAC 时,二次型 Q 是半定的,运为函数的极值,
若要判定则需要运用更高阶的泰勒公式,
),( 00 yxf用二阶泰勒公式已不能判定 是否定理 (可微的二元函数极值判别法 )
记,
),(2
2
00 yxx
fA
,),(
2
00 yxyx
fB
,
),(2
2
00 yxy
fC
,
A
H?
CB
B 那么,
(1) 若 H 正定,则 ),( yxf 在 ),(
00 yx
取极小值,
(2) 若 H 负定,则 ),( yxf 在 ),(
00 yx
取极大值,
(3) 若 H 不定,则 ),(
00 yx
不是 ),( yxf 的极值点,
取极值,
(4) 若 H 半定,则不能判定 ),( yxf 在 ),( 00 yx 是否设,0),( g r ad )),,( U (),( 00002 yxfyxCyxfz
定理 (可微的二元函数极值判别法 )
记,
),(2
2
00 yxx
fA
,
),(
2
00 yxyx
fB
,
),(2
2
00 yxy
fC
设,0),( g r ad )),,( U (),( 00002 yxfyxCyxfz
,),( ),(,0 )1( 002 处取极值在点则 yxyxfACB
.,0 ;,0 取极小值时取极大值时 AA
,),( ),(,0 )2( 002 的极值点不是则 yxfyxACB
,),(,0 )3( 002 是否极值点则不能判断 yxACB
该定理的常用写法是下面的形式,
该判别法可直接推广到元函数的情形,其结论请看书,
n
例 3 求 yxxyxyxf 12153),( 23 的极值,
解 联立方程组,求驻点,
0126
01533 22
xyf
yxf
y
x
解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(,)1,2(
又
,6 xfA xx,6 yfB xy,6 xfC yy
故
CB
BA
H?
x6 y6
y6 x6
)(36 22 yx
一阶主子式,xW 6
1?
二阶主子式,)(36|H| 22
2 yxW
Hessian 矩阵的顺序主子式 xy yx 66 66H
1W 2W点 是否极值点)2,1(
)2,1(
)1,2(
极大点
)1,2( 极小点 不是不是
H
不定不定正定负定综上所述,
点 )1,2( 是极小点,极小值为,28)1,2(f
点 )1,2( 是极大点,极大值为,28)1,2(f
点,)2,1( )2,1( 不是极值点,
下面用另一种方式来写出 例 3 的解,
例 3 求 yxxyxyxf 12153),( 23 的极值,
解 联立方程组,求驻点,
0126
01533 22
xyf
yxf
y
x
解之得驻点,)2,1(,)2,1(,)1,2(,)1,2(
又
,6 xfA xx,6 yfB xy,6 xfC yy
此例也可用下面方式写出,
)(36 222 xyACB
,012,0)( )1,2()1,2(2 AACB
点 )1,2( 是极小点,极小值为,28)1,2(f
,012,0)( )1,2()1,2(2 AACB
点 )1,2( 是极大点,极大值为,28)1,2(f
,0)( )2,1(2 ACB,0)( )2,1(2ACB
点,)2,1( )2,1( 不是极值点,
故 )(36 222 xyACB
二,函数的最大值和最小值
,)( 上有定义在有界闭区域设函数 Xfu
并与内的所有极值在求出,)(?Xf
从中上的所有极值进行比较在,)(Xf
上的最大值和最小值,
在它们就是取出最大者和最小者 )(,Xf?
不一定能函数一般说来 )(,Xf
,值取得它的最大值和最小在?
怎 么 办？
有何高见？
由于区域的边界通常都比较复杂,
较困难的一件事情,
所以求多元函数的最大值和最小值是比求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小值,
如果知道可微函数 )(Xf 的最大值或最小值一定在区域? 内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点,
如果,)()( CXf
)(Xf
为有界闭区域,则函必在 上取到它的最大值和最小值,?数例 4 )1,0( ),0,1( ( 0,0 ),CBOxy 平面上求到点在距离之平方和为最大及最小的点,
解
x
y
O
C
B
·P
,),( yxP设所求点为
222 |||||| PCPBOP
22233 22 yxyx
所求距离之平方和为
),( 所在区域为所求点 yxP
}1,0,0|),({D yxyxyx
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数：
最值问题：
,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
22233),( 22 yxyxyxf
所讨论的问题归结为下面的优化问题,
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
求函数 f 在有界闭区域 D 上的最大、最小值的一般步骤为：
※
※
先求函数 f 在开区域 D 上的极大、极小值点 ;
再求函数 f 在边界 D? 上的极大、极小值点 ;
※ 将所求出的极值 (及边界上的特殊点的函数值 )
进行比较,即可得出函数的最大、最小值,
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 内在由方程组
026
x
x
f
026 yyf
得到驻点
,),( 3131
且,),( 343131?f
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 上在?
x
y
O
C
B
·P,10,0,OB xy上在,223),( 2 xxyxf故由一元函数求极值的方法,
得驻点：
,),( 31 0
0函数值：
),( 31f
3
5
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 上在?
x
y
O
C
B
·P,10,0,OC yx上在,223),( 2 yyyxf故由一元函数求极值的方法,
得驻点：
,),( 31
0 函数值：
),( 31
0
3
5
f
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
※,D 上在?
x
y
O
C
B
·P,10,1,BC xyx上在,366),( 2 xxyxf故由一元函数求极值的方法,
得驻点：
,),( 2121
函数值：
),( 2121f
2
3
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
综上所述※
f?),(
3
1
3
5
0
f?),(
3
1
0
3
5
f?),(
2
1
2
1
2
3
f?),(
3
1
3
1
3
4
边界上端点值：
,2)0,0(?f,3)0,1(?f,3)1,0(?f
区域,}1,0,0|),({D yxyxyx
目标函数,22233),( 22 yxyxyxf
最值问题,),(m a xD yxf ),(m inD yxf
:),(m a xD yxf 3)1,0(?f3)0,1(?f
:),(m inD yxf f?),(
3
1
3
1
3
4
所求最值点为,……
以下的工作,由学生自己完成,
例 5 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体,
z
x
y
O
P
球面解 选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为 2222 azyx
设所求长方体在第一卦限中的顶点为 ),,,(P zyx
则长方体的三个棱边长是
,2,2,2 zyx 长方体体积为
22288)2)(2)(2( yxaxyx y zzyxV
区域：,222 ayx 0?x,0?y
目标函数,2228 yxaxyV
:D
最值问题,V
D
m a x 2Dm a x V
原问题归结为下面的优化问题,
区域：,D,222 ayx 0?x,0?y
目标函数,2228 yxaxyV
最值问题：
2
D
m a x V )(64m a x 22222
D
yxayx
由
0
0
2
2
y
V
x
V
222
222
2
2
ayx
ayx
解之得
,
3
ayx
。
3
222 ayxaz
由
0
0
2
2
y
V
x
V
222
222
2
2
ayx
ayx
解之得
,
3
ayx
。
3
222 ayxaz
应用题,又仅有唯一的个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为,
3
2222 azyx
区域：,D,222 ayx 0?x,0?y
目标函数,2228 yxaxyV
最值问题：
2
D
m a x V )(64m a x 22222
D
yxayx
在两个例题中,出现了一个相同的问题,
这个问题已被我们轻松地解决了,
什么问题?
目标函数中的变量必须满足一定的条件这就是对目标函数的约束应满足方程对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题,
例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题,长方体顶点必须位于球面上,其坐标
x 2 + y 2 + z 2 = a 2,
三,有约束极值 （条件极值）
有约束极值 (条件极值 )的定义
},0)(
,,0)(,|{ 1
nmX
XRXXL
m
n
设若
,0 LX?,)(U? 0XLX 有 )()( 0XfXf?
( 或,))()(
0XfXf?
则称 )(
0Xf
为函数 )(Xf 在约束条件,,0)(
1X? )}(,0)( nmXm
下的极大值 (或极小值 ).
这种极值通常简称为函数的条件极大 (小 )值,
这里的约束称为等式约束,
有约束极值带等式约束的极值带其它约束的极值无约束极值转化有约束极值的形式目标函数,nRXXfu,)(
表现形式,XXf )(m a x
,0)(1?X?,t,s
,
,0)(?Xm?min
有约束极值无约束极值拉格朗日乘数法变量替代法我们再举一例说明变量替代法例 6 现需用钢板制造容积为 2 m
3 的有盖的长方体水箱,问当长、宽、高各为多少时用料最省？
解 设长方体的长、宽、高分别为,x,y,z
则问题归结为下列有约束极值问题：
min,)(2 xzyzxyS
t.s,2?xyz
)0,,(?zyx
,2xyz?由约束条件,2?x yz
得 代入目标函数中,
使问题转化为下列无约束极值问题：
222m in?
yxxyS)0,(?yx
令
0
2
2
0
2
2
2
2
y
xS
x
yS
y
x
唯一的驻点
)2,2( 33
故当水箱的长、宽、高均为
3 2 )(m
时,用料最省,
就是已经讲过的方法,
拉格朗日乘数法问题,求函数 ),,( zyxfu? 在
0),,(?zyx? 下的极值,条件运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难 —— 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式,
自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法,
能由这里求得 z=z (x,y )
再作变量替代吗？
一般不能,但对满足隐函数存在定理条件的可微函数可行,
问题,求函数 ),,( zyxfu? 在
0),,(?zyx? 下的极值,条件拉格朗日乘数法分析与推导若函数 ),,( zyxf 在点 ),,(
000 zyx
处取得极值,
求 ),,( zyxfu? 在条件 0),,(?zyx? 下的极值,
则首先应有 0.),,( 000?zyx?
若 0),,(?zyx? 可确定隐函数 ),,( yxzz?
于是原问题转化为无约束极值问题：
求函数 )),(,,( yxzyxfu? 的极值,
则函数 )),(,,( yxzyxf 在 ),(
00 yx
处取极值,
(假设以下的各种运算均成立 )
对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有
),( 00 yxx
u 0)(
),( 00 yxxzx zff
),( 00 yxy
u
0)( ),( 00 yxyzy zff
由隐函数求导公式,得
z
x
xz?
z
y
yz?
对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有
),( 00 yxx
u 0)(
),( 00 yxxzx zff
),( 00 yxy
u
0)( ),( 00 yxyzy zff
由隐函数求导公式,得
z
x
xz?
z
y
yz?
代入对函数 )),(,,( yxzyxfu? 的无约束极值,有
),( 00 yxx
u 0)(
),( 00 yxxzx zff
),( 00 yxy
u
0)( ),( 00 yxyzy zff
由隐函数求导公式,得
z
x
xz?
z
y
yz?
代入
0)
),,(
),,(
),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyx
zyxfzyxf
z
y
zy?
0)
),,(
),,(),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyxzyxfzyxf
z
x
zx?
想想这一段要求函数满足什么条件？
0),,( 000?zyx?
0)
),,(
),,(),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyxzyxfzyxf
z
x
zx?
0)
),,(
),,(
),,(),,((
000
000
000000
zyx
zyx
zyxfzyxf
z
y
zy?
),,( zyxfu? 在条件 0),,(?zyx?函数 下,
于点 ),,(
000 zyx
处取得极值的必要条件是综上所述,
还有一个令?
),,(
),,(
000
000
zyx
zyxf
z
z
则上述的必要条件可写为
0),,( 000?zyx?
),,( 000 zyxf x 0),,( 000 zyxx
),,( 000 zyxf y 0),,( 000 zyxy
),,( 000 zyxf z 0),,( 000 zyxz
令?
),,(
),,(
000
000
zyx
zyxf
z
z
则上述的必要条件可写为
0),,( 000?zyx?
),,( 000 zyxf x 0),,( 000 zyxx
),,( 000 zyxf y 0),,( 000 zyxy
),,( 000 zyxf z 0),,( 000 zyxz
拉格朗日函数问题,求函数 ),,( zyxfu? 在条件
0),,(?zyx? 下的极值,
若,),,( zyxf,),,( 1Czyx 则称
),,,(?zyxL?),,( zyxf ),,( zyx
为该极值问题的拉格朗日函数,? 称为拉格朗日乘数,
转化为拉格朗日函数的无条件极值问题拉格朗日乘数法求解 nRXXf? )( m a x
0)(,t.s 1?X?
0)(?Xm?
构造拉格朗日函数
),,,( 1 mXL
)( Xf?)(11 X )( Xmm
由取极值的必要条件 0
1
x
L
0?
nx
L
0
1
L
0?
m
L
解方程组 驻点进行判别这部分确定隐函数关系这部分确定变量 xi 与
i 间的关系例 7 求函数 x y zzyxf?),,( 在条件
azyx
1111
下的极小值,并证明此时不等式成立：
3
1
111
3 x y z
zyx
其中,x,y,z,a > 0为实数,
解 作拉格朗日函数
),,,(?zyxL?xyz
azyx
1111?
令,0
2 xyzL x
,02
y
xzL y?
,02 zxyL z?
,01111
azyx
L?
由这一部分找出
zyx,,与? 间的关系。
代入此方程，求出拉格朗日函数的驻点由前三式得,
zyx
x y z 从而,zyx
将它代入最后一式,得到拉格朗日函数的驻点：
,3 azyx )3,3,3( aa
该驻点是否为原函数的极值点?
应该怎么进行判断?
01111
azyx
设方程 确定隐函数,),( yxzz?
则可令,),()),(,,(),( yxzxyyxzyxfyxF从而
xF xzxyyz,
2
x
yzyz
y
F
y
zxyxz
,2
y
xzxz
2
2
x
F
x
z
x
yz
x
yz
x
zy
2
2
2
,2 3
3
x
yz?
2
2
x
z
x
z
2
2
y
z
y
z
2
2
y
F,2
3
3
y
xz?
yx
F2,2 322
xy
z
x
z
y
zz
在点 ayx 3 处
H
2
2
x
F
2
2
y
F
yx
F
2
xy
F
2
)3,3(),( aayx?
aa
aa
63
36
,027 2 a,062
2
a
x
F又
aa
aa
63
36
故 Hessian 矩阵 H 正定,函数 F (x,y)在点 (3a,3a)
处取极小值,这等价于函数 f (x,y,z) 在 (3a,3a,3a)
取极小值,27)3,3,3( 3aaaaf?
请课后自己计算下面证明不等式,311113 x y z
zyx
由于点 (3a,3a,3a) 是可微函数 x y zzyxf?),,(
的唯一 (条件 )极小值点,故在
,)3( 3ax y z?
}0,0,0,1111|),,{(D zyx
azyx
zyx
中有 D),,(?zyx
即有,1113 31 x y z
zyx
D),,(?zyx
由 x,y,z,a > 0 的任意性,即可得
3
1
111
3 x y z
zyx
)0,0,0( zyx
证明已完成看看还有没有附带的产物由 x,y,z,a > 0 的任意性,即可得
3
1
111
3 x y z
zyx
)0,0,0( zyx
将上式稍加变形,即可得到一个重要的不等式：
zyxzyx
111
3
1111
3 )0,0,0( zyx
几何平均值 算术平均值
