高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
隐函数的微分法第六节与一元函数的情形类似,
多元函数也有隐函数,
如果在方程式 0),,(?zyxF 中,
2),( Ryx 时,相应地总有满足该方程的唯一的 z 值存在,则称该方程在?内确定隐函数,),( yxfz?
注意,隐函数不一定都能显化,
隐函数 (二元 )的概念如果在方程式
0),(?uXF 中,
nRX
时,相应地总有满足该在? 内确定隐函数,)( Xfu?
方程的唯一的 u 值存在,则称该方程
),,( 1 nxxX
将概念推广到一般情形一,一元函数的隐函数的求导法利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式设 0),(?yxF 确定隐函数,)( xfy?
两边关于 x 求导,得若,),( 1CyxF? 则对方程 0),(?yxF
0dd xyyFxF
从而得到一元隐函数求导公式
)0(
d
d
y
F
y
F
x
F
x
y
设,022 yxxy 求,ddxy
令,22),( yxxyyxF 则
xF?
y
F 2ln2 yx?
故
xydd?
y
F
x
F
2ln2
2ln2
y
x
x
y
)02ln2( yx
2ln2 xy?,
例解多元隐函数的导数一个方程确定的隐函数方程组确定的隐函数二,由一个方程确定的隐函数的求导法定理 (隐函数存在定理 )
设 1,;)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF?
2,;0),,(
000?zyxF
3,
,0),,( 000 zyxF z
则方程 0),,(?zyxF 在 )),U ( (
00 yx
内唯一确定一个函数
)),( U (),( 001 yxCyxfz
且,),(
000 yxfz?,0)),(,,(?yxfyxF
隐函数存在的条件隐函数存在定理只是告诉我们在一定的条件下隐函数存在、唯一、可导,但没有告诉我们求隐函数偏导数的方法,怎么求隐函数的导数呢?
由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法,
0?
y
z
z
F
y
F
因为
,)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF?,0),,( 000 zyxF z
由连续函数性质
,)),U ( ( 00 yx? 在其中,0),,( zyxF z
0 xzzFxF
,
故
z
F
x
F
x
z
,
z
F
y
F
y
z
,
对方程 F(x,y,z) = 0 两边关于 x,y 求偏导,得公式函数 ),( yxzz? 的偏导数,
求方程 所确定的 xye 0?ze?z2
z2令?),,( zyxF xye,ze 则
xF,
xyye
y
F,xyxezF,2 ze
故
z
F
x
F
x
z
z
xy
e
ye
2 2?
z
xy
e
ye )02(ze
例解函数 ),( yxzz? 的偏导数,
求方程 所确定的 xye 0?ze?z2
z2令?),,( zyxF xye,ze 则
xF,
xyye
y
F,xyxezF,2 ze
故 )02(ze
z
F
y
F
y
z
z
xy
e
xe
2 2
z
xy
e
xe
例解设
0),( xyzzyxF
确定 ),,( yxzz?
求
,xz,
y
z
其中,.
1CF?
xF,21 FyzF
y
F,21 FxzF
z
F,21 FxyF
xz 21 FyzF
21 FxyF
yz 21 FxzF
21 FxyF
故
)0( 21 FxyF
例解请同学们运用点函数,将上面的隐函数存在定理推广至一般的 n 元函数情形,
现在对答案
30 秒完成,追加 30 秒,
定理 (隐函数存在定理 )
设 1,；)),( U (),( 001 uXCuXF?
2,；0)(
0?XF
3.,0),(
00 uXF u
则方程
0),(?uXF
在
))U( ( 0X 内唯一确定函数
))U(()( 01 XCXfu
且
,)( 00 Xfu?,0))(,(?XfXF
求导公式？
定理 (隐函数存在定理 )
设 1,；)),( U (),( 001 uXCuXF?
2,；0)(
0?XF
3.,0),(
00 uXF u
则方程
0),(?uXF
在
))U( ( 0X 内唯一确定函数
))U(()( 01 XCXfu
且
,)( 00 Xfu?,0))(,(?XfXF
),,2,1( ni
u
F
x
F
x
u
i
i
求导公式三,由方程组确定的隐函数的求导法为了将一个方程确定的隐函数的求导方法推广至由方程组确定的隐函数的情形,我们首先要介绍雅可比行列式,
雅可比行列式
),,,(
),,,(
21
21
n
n
xxx
uuuJ
),,,(
),,,(
21
21
n
n
xxx
FFF
1
1
x
F
2
1
x
F
nx
F
1
1
2
x
F
2
2
x
F
nx
F
2
1x
Fn
n
n
x
F
2x
Fn
),2,1( ),(),,,( 121 niCxxxFu nii设雅可比行列式记号当所出现的函数均有一阶连续偏导时,
雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1.,1
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21?
n
n
n
n
uuu
xxx
xxx
uuu
2.
.
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21
21
21
n
n
n
n
n
n
ttt
xxx
xxx
uuu
ttt
uuu
复合函数情形问 题 1
设
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
确定函数,)( xzz?
求
,dd xy 。xzdd
,)( xyy?
想想,怎么做？？
方程组,,1CGF?
方程组中每个方程两边关于 x 求导：
x
F
xyyF dd 0dd xzzF
xG?
x
y
y
G
d
d 0
d
d?
x
z
z
G
移项,得
x
y
y
F
d
d
xzzF dd xF
xyyG dd
x
z
z
G
d
d
x
G
运用克莱满法则解此二元一次方程组当
0),( ),( zy GF
时,方程组有唯一解：
xydd?
),(
),(
zx
GF
),(
),(
zy
GF
xzdd?
),(
),(
xy
GF
),(
),(
zy
GF
,.
z
G
y
G
z
F
y
F
zy
GF
),(
),(
其中
z
G
x
G
z
F
x
F
zx
GF
),(
),(,
x
G
y
G
x
F
y
F
xy
GF
),(
),(,
我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式 (之一 ).
问 题 2
设
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
确定函数求方程组想想,怎么做？？
,),( yxuu?,),( yxvv?
,xu,
y
u
,
x
v
。
y
v
,,1CGF?
想想,怎么做？
利用问题 1 的结论,你可能已经知道应该怎么做了,
分别将 x 或 y 看成常数依葫芦画瓢哦 ！
问 题 2
想想,怎么做？
请自己动手做问 题 2
问 题 2
对方程组中的每个方程关于变量 x 求导,然后解关于
x
v
x
u
和的二元一次方程组,
将 y 看成常数问 题 2
将 y 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
问 题 2
将 y 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
问 题 2
将 x 看成常数对方程组中的每个方程关于变量 y 求导,然后解关于
y
v
y
u
和的二元一次方程组,
问 题 2
将 x 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
问 题 2
将 x 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
y
v
例 4 设
0
0{
2
2
yvu
xvu 确定函数 ),,( yxuu?
),,( yxvv? 求,
x
u
,
y
u
,
x
v
。
y
v
解 令,),,,( 2 xvuvuyxF
,),,,( 2 yvuvuyxG
则
),(
),(
vu
GF
v
u
21
12?
14 uv
),(
),(
vx
GF
v20
11?
v2
x
u
14?uv
v2
同理可得
),(
),(
xu
GF
01
12 u? 1
),(
),(
vy
GF
v21
10
1
),(
),(
yu
GF
11
02
u
u2
14
1
uvx
v
14
1
uvy
u
14
2
uv
u
y
v
在实际求解时,我们往往按照前面分析的过程,对方程组中的每一个方程两边关于某一个变量求导,然后解关于相应的偏导数的代数方程组,
更一般的情形,
问题 1 和问题 2
的方法可以推广到定理设,)),( U (),(
001 YXCYXF i? ；mi,,2,1
1.
,0),( 00?YXF i2,；mi,,2,1
3.
0),(
),,,(
),,,(
0021
21?
YXyyy
FFF
m
m
其中,,),,,(
21 nxxxX,),,,( 21 myyyY
则方程组
0),(,,0),(1 YXFYXF m?
在
)U( 0X
内唯一确定一组函数 ))( U ()(
01 XCXy Ii
且
,0))(,),(,( 1?XXXF mi,),,2,1( mi
。))(,),(( 0010 XXY m
(隐函数存在定理 )
注 意 !
关于隐函数求导,关键在于理解建立公式的过程,而不是死记求导公式,
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
隐函数的微分法第六节与一元函数的情形类似,
多元函数也有隐函数,
如果在方程式 0),,(?zyxF 中,
2),( Ryx 时,相应地总有满足该方程的唯一的 z 值存在,则称该方程在?内确定隐函数,),( yxfz?
注意,隐函数不一定都能显化,
隐函数 (二元 )的概念如果在方程式
0),(?uXF 中,
nRX
时,相应地总有满足该在? 内确定隐函数,)( Xfu?
方程的唯一的 u 值存在,则称该方程
),,( 1 nxxX
将概念推广到一般情形一,一元函数的隐函数的求导法利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式设 0),(?yxF 确定隐函数,)( xfy?
两边关于 x 求导,得若,),( 1CyxF? 则对方程 0),(?yxF
0dd xyyFxF
从而得到一元隐函数求导公式
)0(
d
d
y
F
y
F
x
F
x
y
设,022 yxxy 求,ddxy
令,22),( yxxyyxF 则
xF?
y
F 2ln2 yx?
故
xydd?
y
F
x
F
2ln2
2ln2
y
x
x
y
)02ln2( yx
2ln2 xy?,
例解多元隐函数的导数一个方程确定的隐函数方程组确定的隐函数二,由一个方程确定的隐函数的求导法定理 (隐函数存在定理 )
设 1,;)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF?
2,;0),,(
000?zyxF
3,
,0),,( 000 zyxF z
则方程 0),,(?zyxF 在 )),U ( (
00 yx
内唯一确定一个函数
)),( U (),( 001 yxCyxfz
且,),(
000 yxfz?,0)),(,,(?yxfyxF
隐函数存在的条件隐函数存在定理只是告诉我们在一定的条件下隐函数存在、唯一、可导,但没有告诉我们求隐函数偏导数的方法,怎么求隐函数的导数呢?
由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法,
0?
y
z
z
F
y
F
因为
,)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF?,0),,( 000 zyxF z
由连续函数性质
,)),U ( ( 00 yx? 在其中,0),,( zyxF z
0 xzzFxF
,
故
z
F
x
F
x
z
,
z
F
y
F
y
z
,
对方程 F(x,y,z) = 0 两边关于 x,y 求偏导,得公式函数 ),( yxzz? 的偏导数,
求方程 所确定的 xye 0?ze?z2
z2令?),,( zyxF xye,ze 则
xF,
xyye
y
F,xyxezF,2 ze
故
z
F
x
F
x
z
z
xy
e
ye
2 2?
z
xy
e
ye )02(ze
例解函数 ),( yxzz? 的偏导数,
求方程 所确定的 xye 0?ze?z2
z2令?),,( zyxF xye,ze 则
xF,
xyye
y
F,xyxezF,2 ze
故 )02(ze
z
F
y
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2 2
z
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例解设
0),( xyzzyxF
确定 ),,( yxzz?
求
,xz,
y
z
其中,.
1CF?
xF,21 FyzF
y
F,21 FxzF
z
F,21 FxyF
xz 21 FyzF
21 FxyF
yz 21 FxzF
21 FxyF
故
)0( 21 FxyF
例解请同学们运用点函数,将上面的隐函数存在定理推广至一般的 n 元函数情形,
现在对答案
30 秒完成,追加 30 秒,
定理 (隐函数存在定理 )
设 1,；)),( U (),( 001 uXCuXF?
2,；0)(
0?XF
3.,0),(
00 uXF u
则方程
0),(?uXF
在
))U( ( 0X 内唯一确定函数
))U(()( 01 XCXfu
且
,)( 00 Xfu?,0))(,(?XfXF
求导公式？
定理 (隐函数存在定理 )
设 1,；)),( U (),( 001 uXCuXF?
2,；0)(
0?XF
3.,0),(
00 uXF u
则方程
0),(?uXF
在
))U( ( 0X 内唯一确定函数
))U(()( 01 XCXfu
且
,)( 00 Xfu?,0))(,(?XfXF
),,2,1( ni
u
F
x
F
x
u
i
i
求导公式三,由方程组确定的隐函数的求导法为了将一个方程确定的隐函数的求导方法推广至由方程组确定的隐函数的情形,我们首先要介绍雅可比行列式,
雅可比行列式
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),,,(
21
21
n
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1
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x
F
2x
Fn
),2,1( ),(),,,( 121 niCxxxFu nii设雅可比行列式记号当所出现的函数均有一阶连续偏导时,
雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1.,1
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21?
n
n
n
n
uuu
xxx
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.
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n
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ttt
xxx
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uuu
复合函数情形问 题 1
设
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
确定函数,)( xzz?
求
,dd xy 。xzdd
,)( xyy?
想想,怎么做？？
方程组,,1CGF?
方程组中每个方程两边关于 x 求导：
x
F
xyyF dd 0dd xzzF
xG?
x
y
y
G
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d 0
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x
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G
运用克莱满法则解此二元一次方程组当
0),( ),( zy GF
时,方程组有唯一解：
xydd?
),(
),(
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),(
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其中
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),(,
x
G
y
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x
F
y
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GF
),(
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我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式 (之一 ).
问 题 2
设
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
确定函数求方程组想想,怎么做？？
,),( yxuu?,),( yxvv?
,xu,
y
u
,
x
v
。
y
v
,,1CGF?
想想,怎么做？
利用问题 1 的结论,你可能已经知道应该怎么做了,
分别将 x 或 y 看成常数依葫芦画瓢哦 ！
问 题 2
想想,怎么做？
请自己动手做问 题 2
问 题 2
对方程组中的每个方程关于变量 x 求导,然后解关于
x
v
x
u
和的二元一次方程组,
将 y 看成常数问 题 2
将 y 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
问 题 2
将 y 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
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xu
GF
x
v
问 题 2
将 x 看成常数对方程组中的每个方程关于变量 y 求导,然后解关于
y
v
y
u
和的二元一次方程组,
问 题 2
将 x 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
问 题 2
将 x 看成常数
,0),( ),( 时当 vu GF
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),(
),(
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GF
yu
GF
y
v
例 4 设
0
0{
2
2
yvu
xvu 确定函数 ),,( yxuu?
),,( yxvv? 求,
x
u
,
y
u
,
x
v
。
y
v
解 令,),,,( 2 xvuvuyxF
,),,,( 2 yvuvuyxG
则
),(
),(
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v
u
21
12?
14 uv
),(
),(
vx
GF
v20
11?
v2
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u
14?uv
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同理可得
),(
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12 u? 1
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v
14
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u
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2
uv
u
y
v
在实际求解时,我们往往按照前面分析的过程,对方程组中的每一个方程两边关于某一个变量求导,然后解关于相应的偏导数的代数方程组,
更一般的情形,
问题 1 和问题 2
的方法可以推广到定理设,)),( U (),(
001 YXCYXF i? ；mi,,2,1
1.
,0),( 00?YXF i2,；mi,,2,1
3.
0),(
),,,(
),,,(
0021
21?
YXyyy
FFF
m
m
其中,,),,,(
21 nxxxX,),,,( 21 myyyY
则方程组
0),(,,0),(1 YXFYXF m?
在
)U( 0X
内唯一确定一组函数 ))( U ()(
01 XCXy Ii
且
,0))(,),(,( 1?XXXF mi,),,2,1( mi
。))(,),(( 0010 XXY m
(隐函数存在定理 )
注 意 !
关于隐函数求导,关键在于理解建立公式的过程,而不是死记求导公式,
