高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第七节 高阶偏导数多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似,
一般说来,在区域? 内,函数 z = f (x,y) 的偏导数
,xz yz 仍是变量 x,y 的多元函数,如果偏导数的二阶偏导数,
依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数,
仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数,xz yz
一般地,若函数 f (X) 的 m－ 1 阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数,
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数,
的二阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
x
z
x
y
x
z
x
x
z
y
y
z
x
y
y
z
x
y
z
y
xxx 2
yyy 2
2
2
x
z
yx
z
2
xy
z
2
2
2
y
z
例高阶偏导数还可使用下列记号
112
2
ffx z xx
222
2
ff
y
z
yy
12
2
ffyx z xy
21
2
ff
xy
z
yx
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
2
2
x
z
3
3
2
2
x
z
x
z
x?
yx
z
x
z
y
2
3
2
2
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 1
的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
2
2
y
z
xy
z
y
z
x
2
3
2
2
3
3
2
2
y
z
y
z
y?
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 2
的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
yx
z
2 xyx
z
yx
z
x
32
2
32
yx
z
yx
z
y
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 3
的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
xy
z
2
2
32
xy
z
xy
z
x
yxy
z
xy
z
y
32
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 4
共 23 = 8 项,的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
发现求高阶导数与求导顺序有关,
求 13 323 xyxyyxz 的二阶偏导数,
先求一阶偏导数：
,33 322 yyyxxz,92 23 xxyyxyz
再求二阶偏导数,xz
y
x
y
z
y
x
2
2
x
z
x
z
x )33(
322 yyyx
x
26xy?
2
2
y
z
y
z
y )92(
23 xxyyx
y
xyx 182 3
例解求 13 323 xyxyyxz 的二阶偏导数,
x
z
y
x
y
z
y
x
例解二阶混合偏导数：
yx
z
2 )33( 322 yyyx
y
196 22 yyx
xy
z
2 )92( 23 xxyyx
x
196 22 yyx
观察发现两个混合偏导数相等 一般性？
这里的两个混合偏导数均连续设
0,0
0,
)(
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yxxy
yxf
,)0,0(xyf?,)0,0(yxf?求需按定义求函数在点 (0,0) 处的偏导数,
)0,0(xf?
x
fxf
x
)0,0()0,(l i m
0
0
)0,0(yf?
y
fyf
y
)0,0(),0(lim
0
0
)0,0(xyf
y
fyf xx
y?
)0,0(),0(lim
0
1lim 0 y yy
)0,0(yxf
x
fxf yy
x?
)0,0()0,(lim
0 1lim 0
x
x
x
不相等例解这说明只有在一定的条件下求函数
),0,0( )0,0(,yxxy ff在该例中的高阶偏导数才与求导顺序无关,
定理若 ),( yxfz? 的二阶混合偏导数在
)),U ( ( 00 yx 内存在且在点 ),( 00 yx 处连续,
则必有 yx yxf ),( 00
2
,),( 00
2
xy
yxf
废话 ! 求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么,
有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续,懂吗 ！
令则内考虑式子在 )),U ( ( 00 yx
),(),(A 0000 yxxfyyxxf
),(),()( 00 yxfyyxfx
)()(A 00 xxx
连续、可导,由拉格朗日中值定理得
,1)(0,)(A 110 xxx
)),U ( ( )( 00 内在续性可知，函数由二阶混合偏导数的连 yxx?
证
),(),( 0000 yxfyyxf
即
xyxxfyyxxf xx )],(),([A 010010
关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理,得
yxyyxxf xy ),(A 2010 1),(0 21
同理,令
,),(),()( 00 yxfyxxfyh
则
)()(A 00 yhyyh
先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值定理,得
yxyyxxf yx ),(A 4030 1),(0 43
故
yxyyxxf xy ),(A 2010
yxyyxxf yx ),( 4030
由二阶混合偏导数连续性,取极限后,即得定理的结论,
),(),( 40302010 yyxxfyyxxf yxxy即有该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形,
现在问你,证明定理时为什么会想到用
),(),(A 0000 yxxfyyxxf
),( 00 yxf
),( 00 yyxf
),( 00 yxxf
),( 00 yyxxf
？
看 图课后再想
),(),( 0000 yxfyyxf
,
22
xy
f
yx
f
是依次将一个变量看成常数求导,
引入 记号：
)(Xf 在? 内有直到 k 阶的连续偏导数,
记为,)()( kCXf 。,2,1,0?k
)(),( nCyxf
时,则在求 n 阶及 n 阶以下的偏导数时,可大大减少运算次数,自变量的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项,当明显,
xz yxxye 22yz yxex 22
xzxx z2
2
x?
)2( 2 yxx y e yxeyxy 2)42( 22?
y
z
yy
z
2
2
y?
)( 22 yxex yxex 24
xy zyx z
22 yxeyxx 2)22( 3
x?
)( 22 yxex
例解
,2 的二阶偏导数求 yxez?
xu1f x zyx )(2f xxyz )( 21 fyzf
yx u
2
)( 21 fyzfy
11f?
y
zyx )(12f?
y
xyz )( 2fz?
yx y zfy zyxfyz )()( 2221
11f 12)( fzyx222 fxy z 2fz?
.,22 yx uxy u此时
,,,),(
2
2
yx
uCfx y zzyxfu
求且设例解
xu )( 222 zyxf x zyx )(
222
)(2 222 zyxfx
x?
))(2( 222 zyxfx
)(2 222 zyxf )(4 2222 zyxfx
yyx
u
2
))(2( 222 zyxfx )(4 222 zyxfxy
22xu
例解
,,,,)(
2
2
2
2222
yx
u
x
uCfzyxfu
求其中设
,,0 22x zxyze z 求设这是求隐函数的高阶偏导数,
则令,),,( x y zezyxF z
z
F
x
F
x
z
xye yzz xye yzz?
xzxx z2
2
xye
yz
x z 请自己计算例解
xzxx z2
2
xye
yz
x z
2)(
)(
xye
y
x
zeyzxye
x
zy
z
zz
3
2
)(
)()(
xye
xyeyyzeyzxyezy
z
zzz
3
2232
)(
22
xye
ezyzxyzey
z
zz
xye
yz
x
z
z
利用变量代换,atx atx 将方程
2
22
2
2
x
ua
t
u
化为关于变量,的方程,)( 2Cu?
令,),(uu?,atx atx
tu tu uaua tu
u tx
tutt u2
2
uaua
t
t
u
t
ua?
2
2
2
t
u
t
ua?
2
22
*u?
t
x
例解即
2
2
t
u
2
2
2
ua
2
2
2
ua
ua 222
同理可得
2
2
x
u
2
2
u
u22
2
2
u
将上述偏导数带入原方程,得到
,0
2
u
)( 2Cu?
利用算子可以方便地表示高阶微分泰勒公式高 阶 微 分
.dddd 2
2
1
1
n
n
xxuxxuxxuu
.dddd
2
2
2
1
1
2 ux
xxxxxu nn
若,),,( 11 Cxxfu n则它的全微分 存在,且ud
若,),,( 21 Cxxfu n则 d,d 1 的全微分故 uCu?
d )d ( d 2,且的二阶微分，记为存在，称为 ufu
),,( 1 阶的微分：有直到，则一般地，若 kfCxxfu kn
.)(ddd 1 uu kk
dddd 2
2
1
1
ux
x
x
x
x
x
u
k
n
n
k
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
…………
系数：
uy
y
x
x
u
2
2 ddd
uyyyxyxxx
2
2
22
2
2
2
ddd2d
2
2
22
2
2
2
ddd2d yy uyxyx uxx u
例解
,d ),( 22 uCyxfu,求设
uy
y
x
x
u
2
2 ddd
2
2
22
2
2
2
ddd2d yy uyxyx uxx u
y
x
y
u
xy
u
yx
u
x
u
yx
d
d
)d (d
2
22
2
2
2
称为二阶 Hessian 矩阵二阶微分的矩阵表示：
u3d uy
yxx
3
dd
3
3
3
d xxu 33
3
d yyuyxyx u dd3 22
3
2
2
3
dd3 yxyx u
又,6
3
3
xu,6
2
3
yx u,62
3
yx u 63
3
yu
故?u3d )ddd3dd3(d6 3223 yyxyxx
例解
,d )(3 333 uyxxyyxu,求设
泰勒公式与求多元函数的偏导数的方法类似,
我们想借助一元函数的泰勒公式来建立多元函数的泰勒公式,
首先,将一元函数的泰勒公式写成微分形式：
)(xf?)( 0xf xxf )( 0 nn xxf
n )(!
1
0
)( )(xRn
)( 0xf?)(d 0xf)(d
!
1
0xfn
n )(xRn
)( 0xf
)(d!1 0
1
xfk k
n
k
)(xRn
x 为自变量时
)(xf?)( 0xf
)(d
!
1
0
1
xf
k
k
n
k
)(xRn
)(xRn )(d
!)1(
1
0
1 xxf
n
n
)10(
运用点函数进行推广定理 (多元函数的泰勒公式 )
)( Xf?)( 0Xf
)(d!1 0
1
Xfk k
m
k
)( XRm
拉格朗日余项,
该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式
)U( ))( U ()( 001 内有，则在中，设在 XXCXfR mn
)10(,) (d! )1( 1)( 01 称为其中 XXfmXR mm
由多元函数高阶微分式：
dddd 2
2
1
1
uxxxxxxu
k
n
n
k
d
1
uxx
kn
i
i
i
)(d ii xx
多元函数的泰勒公式可写成一般形式：
)( Xf?)( 0Xf
)10(
)( XRm
,)(
!)1(
1
0
1
XXfx
xm
n
i
i
i
1?m
)(!1 0
11
Xfxxk
n
i
i
i
m
k
k
证明多元函数泰勒公式的思想方法是引入参变量，将多元函数的问题转化为相应的一元函数问题，选择参变量的特殊值，写出一元函数的泰勒公式，并按多元函数的求导法则求所需的各阶偏导数，即可完成多元函数的泰勒公式的证明,
于是由一元函数的泰勒公式
m
m R
m )0(!
1)0(
!2
1)0()0()1( )(
再按多元函数的求导法则求出各阶导数值,即可得到多元函数的泰勒公式,
取 X0= 0,泰勒公式即为马克劳林公式,
) ()( 0,则令 XtXft; )()0(,0 0Xft
,)()1(,1 0 XXft
n
i
i
i
xx XXXfXfXf
1
00
0
))(()()(?
即取 m = 0
由已知条件及 X0 的任意性,立即可得
.X )( 常数?Xf
例证若证明：设,)()(,1 CXfuR n
,,),,2,1 ( 0)( Xnix Xf
i
,)( 常数中则在 Xf
)U(,00 内在由泰勒公式,XX
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
第七节 高阶偏导数多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似,
一般说来,在区域? 内,函数 z = f (x,y) 的偏导数
,xz yz 仍是变量 x,y 的多元函数,如果偏导数的二阶偏导数,
依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数,
仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数,xz yz
一般地,若函数 f (X) 的 m－ 1 阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数,
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数,
的二阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
x
z
x
y
x
z
x
x
z
y
y
z
x
y
y
z
x
y
z
y
xxx 2
yyy 2
2
2
x
z
yx
z
2
xy
z
2
2
2
y
z
例高阶偏导数还可使用下列记号
112
2
ffx z xx
222
2
ff
y
z
yy
12
2
ffyx z xy
21
2
ff
xy
z
yx
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
2
2
x
z
3
3
2
2
x
z
x
z
x?
yx
z
x
z
y
2
3
2
2
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 1
的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
2
2
y
z
xy
z
y
z
x
2
3
2
2
3
3
2
2
y
z
y
z
y?
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 2
的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
yx
z
2 xyx
z
yx
z
x
32
2
32
yx
z
yx
z
y
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 3
的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
xy
z
2
2
32
xy
z
xy
z
x
yxy
z
xy
z
y
32
x
y2
2
x
z
2
2
y
z
yx
z
2
xy
z
2
例 4
共 23 = 8 项,的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz?
发现求高阶导数与求导顺序有关,
求 13 323 xyxyyxz 的二阶偏导数,
先求一阶偏导数：
,33 322 yyyxxz,92 23 xxyyxyz
再求二阶偏导数,xz
y
x
y
z
y
x
2
2
x
z
x
z
x )33(
322 yyyx
x
26xy?
2
2
y
z
y
z
y )92(
23 xxyyx
y
xyx 182 3
例解求 13 323 xyxyyxz 的二阶偏导数,
x
z
y
x
y
z
y
x
例解二阶混合偏导数：
yx
z
2 )33( 322 yyyx
y
196 22 yyx
xy
z
2 )92( 23 xxyyx
x
196 22 yyx
观察发现两个混合偏导数相等 一般性？
这里的两个混合偏导数均连续设
0,0
0,
)(
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yxxy
yxf
,)0,0(xyf?,)0,0(yxf?求需按定义求函数在点 (0,0) 处的偏导数,
)0,0(xf?
x
fxf
x
)0,0()0,(l i m
0
0
)0,0(yf?
y
fyf
y
)0,0(),0(lim
0
0
)0,0(xyf
y
fyf xx
y?
)0,0(),0(lim
0
1lim 0 y yy
)0,0(yxf
x
fxf yy
x?
)0,0()0,(lim
0 1lim 0
x
x
x
不相等例解这说明只有在一定的条件下求函数
),0,0( )0,0(,yxxy ff在该例中的高阶偏导数才与求导顺序无关,
定理若 ),( yxfz? 的二阶混合偏导数在
)),U ( ( 00 yx 内存在且在点 ),( 00 yx 处连续,
则必有 yx yxf ),( 00
2
,),( 00
2
xy
yxf
废话 ! 求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么,
有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续,懂吗 ！
令则内考虑式子在 )),U ( ( 00 yx
),(),(A 0000 yxxfyyxxf
),(),()( 00 yxfyyxfx
)()(A 00 xxx
连续、可导,由拉格朗日中值定理得
,1)(0,)(A 110 xxx
)),U ( ( )( 00 内在续性可知，函数由二阶混合偏导数的连 yxx?
证
),(),( 0000 yxfyyxf
即
xyxxfyyxxf xx )],(),([A 010010
关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理,得
yxyyxxf xy ),(A 2010 1),(0 21
同理,令
,),(),()( 00 yxfyxxfyh
则
)()(A 00 yhyyh
先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值定理,得
yxyyxxf yx ),(A 4030 1),(0 43
故
yxyyxxf xy ),(A 2010
yxyyxxf yx ),( 4030
由二阶混合偏导数连续性,取极限后,即得定理的结论,
),(),( 40302010 yyxxfyyxxf yxxy即有该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形,
现在问你,证明定理时为什么会想到用
),(),(A 0000 yxxfyyxxf
),( 00 yxf
),( 00 yyxf
),( 00 yxxf
),( 00 yyxxf
？
看 图课后再想
),(),( 0000 yxfyyxf
,
22
xy
f
yx
f
是依次将一个变量看成常数求导,
引入 记号：
)(Xf 在? 内有直到 k 阶的连续偏导数,
记为,)()( kCXf 。,2,1,0?k
)(),( nCyxf
时,则在求 n 阶及 n 阶以下的偏导数时,可大大减少运算次数,自变量的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项,当明显,
xz yxxye 22yz yxex 22
xzxx z2
2
x?
)2( 2 yxx y e yxeyxy 2)42( 22?
y
z
yy
z
2
2
y?
)( 22 yxex yxex 24
xy zyx z
22 yxeyxx 2)22( 3
x?
)( 22 yxex
例解
,2 的二阶偏导数求 yxez?
xu1f x zyx )(2f xxyz )( 21 fyzf
yx u
2
)( 21 fyzfy
11f?
y
zyx )(12f?
y
xyz )( 2fz?
yx y zfy zyxfyz )()( 2221
11f 12)( fzyx222 fxy z 2fz?
.,22 yx uxy u此时
,,,),(
2
2
yx
uCfx y zzyxfu
求且设例解
xu )( 222 zyxf x zyx )(
222
)(2 222 zyxfx
x?
))(2( 222 zyxfx
)(2 222 zyxf )(4 2222 zyxfx
yyx
u
2
))(2( 222 zyxfx )(4 222 zyxfxy
22xu
例解
,,,,)(
2
2
2
2222
yx
u
x
uCfzyxfu
求其中设
,,0 22x zxyze z 求设这是求隐函数的高阶偏导数,
则令,),,( x y zezyxF z
z
F
x
F
x
z
xye yzz xye yzz?
xzxx z2
2
xye
yz
x z 请自己计算例解
xzxx z2
2
xye
yz
x z
2)(
)(
xye
y
x
zeyzxye
x
zy
z
zz
3
2
)(
)()(
xye
xyeyyzeyzxyezy
z
zzz
3
2232
)(
22
xye
ezyzxyzey
z
zz
xye
yz
x
z
z
利用变量代换,atx atx 将方程
2
22
2
2
x
ua
t
u
化为关于变量,的方程,)( 2Cu?
令,),(uu?,atx atx
tu tu uaua tu
u tx
tutt u2
2
uaua
t
t
u
t
ua?
2
2
2
t
u
t
ua?
2
22
*u?
t
x
例解即
2
2
t
u
2
2
2
ua
2
2
2
ua
ua 222
同理可得
2
2
x
u
2
2
u
u22
2
2
u
将上述偏导数带入原方程,得到
,0
2
u
)( 2Cu?
利用算子可以方便地表示高阶微分泰勒公式高 阶 微 分
.dddd 2
2
1
1
n
n
xxuxxuxxuu
.dddd
2
2
2
1
1
2 ux
xxxxxu nn
若,),,( 11 Cxxfu n则它的全微分 存在,且ud
若,),,( 21 Cxxfu n则 d,d 1 的全微分故 uCu?
d )d ( d 2,且的二阶微分，记为存在，称为 ufu
),,( 1 阶的微分：有直到，则一般地，若 kfCxxfu kn
.)(ddd 1 uu kk
dddd 2
2
1
1
ux
x
x
x
x
x
u
k
n
n
k
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
…………
系数：
uy
y
x
x
u
2
2 ddd
uyyyxyxxx
2
2
22
2
2
2
ddd2d
2
2
22
2
2
2
ddd2d yy uyxyx uxx u
例解
,d ),( 22 uCyxfu,求设
uy
y
x
x
u
2
2 ddd
2
2
22
2
2
2
ddd2d yy uyxyx uxx u
y
x
y
u
xy
u
yx
u
x
u
yx
d
d
)d (d
2
22
2
2
2
称为二阶 Hessian 矩阵二阶微分的矩阵表示：
u3d uy
yxx
3
dd
3
3
3
d xxu 33
3
d yyuyxyx u dd3 22
3
2
2
3
dd3 yxyx u
又,6
3
3
xu,6
2
3
yx u,62
3
yx u 63
3
yu
故?u3d )ddd3dd3(d6 3223 yyxyxx
例解
,d )(3 333 uyxxyyxu,求设
泰勒公式与求多元函数的偏导数的方法类似,
我们想借助一元函数的泰勒公式来建立多元函数的泰勒公式,
首先,将一元函数的泰勒公式写成微分形式：
)(xf?)( 0xf xxf )( 0 nn xxf
n )(!
1
0
)( )(xRn
)( 0xf?)(d 0xf)(d
!
1
0xfn
n )(xRn
)( 0xf
)(d!1 0
1
xfk k
n
k
)(xRn
x 为自变量时
)(xf?)( 0xf
)(d
!
1
0
1
xf
k
k
n
k
)(xRn
)(xRn )(d
!)1(
1
0
1 xxf
n
n
)10(
运用点函数进行推广定理 (多元函数的泰勒公式 )
)( Xf?)( 0Xf
)(d!1 0
1
Xfk k
m
k
)( XRm
拉格朗日余项,
该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式
)U( ))( U ()( 001 内有，则在中，设在 XXCXfR mn
)10(,) (d! )1( 1)( 01 称为其中 XXfmXR mm
由多元函数高阶微分式：
dddd 2
2
1
1
uxxxxxxu
k
n
n
k
d
1
uxx
kn
i
i
i
)(d ii xx
多元函数的泰勒公式可写成一般形式：
)( Xf?)( 0Xf
)10(
)( XRm
,)(
!)1(
1
0
1
XXfx
xm
n
i
i
i
1?m
)(!1 0
11
Xfxxk
n
i
i
i
m
k
k
证明多元函数泰勒公式的思想方法是引入参变量，将多元函数的问题转化为相应的一元函数问题，选择参变量的特殊值，写出一元函数的泰勒公式，并按多元函数的求导法则求所需的各阶偏导数，即可完成多元函数的泰勒公式的证明,
于是由一元函数的泰勒公式
m
m R
m )0(!
1)0(
!2
1)0()0()1( )(
再按多元函数的求导法则求出各阶导数值,即可得到多元函数的泰勒公式,
取 X0= 0,泰勒公式即为马克劳林公式,
) ()( 0,则令 XtXft; )()0(,0 0Xft
,)()1(,1 0 XXft
n
i
i
i
xx XXXfXfXf
1
00
0
))(()()(?
即取 m = 0
由已知条件及 X0 的任意性,立即可得
.X )( 常数?Xf
例证若证明：设,)()(,1 CXfuR n
,,),,2,1 ( 0)( Xnix Xf
i
,)( 常数中则在 Xf
)U(,00 内在由泰勒公式,XX
