高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第二章多元函数积分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中中 )3(?nR n第一节黎曼积分的概念
)3(?nR n 空间中与分割 -近似 -求和 -取极限有关的一类数学模型我们运用分割 — 代替 — 求和 — 取极限的方法建立了一元函数的定积分,
解决了变力作功,液体压力,平行截面面积为已知的几何体的体积,非均匀分布,线段,的质量,
曲边梯形面积等一系列物理,力学和数学问题,
下面我们系列地讨论一下有关物体的非均匀分布质量问题,
非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题,
.,A B x
y
O a b
)( x
bxxxxxxa nnii 1110分割：
1?ix ix
..
非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题,
.,A B x
y
O a b
)( x
bxxxxxxa nnii 1110分割：
1?ix ix
..
均匀分布时：
质量 =密度 × 长度
1?ix ix
.
i?
)( i
.,A B
x
y
O a b
)( x
............................
)(m iii x
n
i
ii x
1
)(m
i?
代替：
求和：
)(m iii x
对每一个小区间
n
i
ii x
1
0
)(limm
令
,}{m a x
1 ini
x
取极限得这就是定积分
n
i
b
a
ii xxx
1
0
d)()(limm
n
i
ii x
1
0
)(limm
令
,}{m a x
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取极限得这就是定积分
n
i
b
a
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1
0
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n
i
ii xxx
1 I0
d)()(limm
一般记为非均匀分布时“曲线段”质量问题
n
i
ii xxx
1 I
0
d)()(limm
A B.,............................i?
.,............................
A
B
)(m iii x
n
i
ii xxx
1 I
0
d)()(limm
A B.,............................i?
.,............................
A
),( ii B
)(m iii x ),(m iiii s
？
平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题
n
i
ii xxx
1 I
0
d)()(limm
A B.,............................i?
.,............................
A
),( ii B
)(m iii x ),(m iiii s
n
i L
iii syxs
1
0
d),(),(limm
？
平面曲线均匀分布时：
质量 =密度 × 弧长非均匀分布时“曲线段”质量问题设平面曲线 L 上非均匀地分布着质量,其分布密度为将曲线 L 任意分割成 n 个小段,
iL
每小段的弧长记为,is?
),( ii,iL 则每小段上的质量可近似地表示为
im,),( iii s
令
,}{m a x
1 ini
s
求和并取极限便得曲线 L
的质量为
n
i
iii s
10
),(limm
L
syx d),(?
).,( yx
,D ),( yx
iD
),,2,1( ni
,i
iiii ),(m
iii D),(
}{m a x
1 ini
..,.,,.
.
.,
...,,.
.,.,
非均匀分布时平面薄板质量问题均匀分布时：
质量 =密度 × 面积
),( yx
),,2,1( ni
,i
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iii D),(
}{m a x
1 ini
),(limm
1
0
i
n
i
ii d),(
D
yx
,D
iD..,.
.,..
.,
...,,.
.,.,
在直角坐标系中,用平行于坐标轴的坐标网格进行分割,则,ddd yx
非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量,其分
.),( yx布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D
i
每小块的面积记为,i
),( ii,Di 则每小块上的质量可近似地表示为
im,),( iii
令
,}{m a x
1 ini
求和并取极限便得薄板 D
的质量为
),(limm
1
0
i
n
i
ii d),(
D
yx
非均匀分布时“立体”质量问题均匀分布时：
质量 =密度 × 体积我们已经连续解决了三个这类型的问题,所用方法相同,
分割 — 代替 — 求和 — 取极限这个问题由同学自己解决,
首先根据前面的做法,
想一想这里应怎么做,
然后看看书中,关于求立体质量的一段,
非均匀分布时“立体”质量问题非均匀分布时“曲面”质量问题均匀分布时：
质量 =密度 × 曲面面积
,? ),,( zyx
i?
),,2,1( ni
,iS? iiii ),,(
iiiii S ),,(m
}{m a x
1 ini
S
i
n
i
iii S
1
0
),,(limm
Szyx d),,(?
..,
.
.
.
.
..,
.
.
非均匀分布时“曲面”质量问题在以上所讨论的几个求质量的问题中,都涉及到了两个任意性,想想这与极限存在有无关系？
在以上的讨论中,所作的“和式”与谁有关？
如果抽掉以上各质量问题的物理背景,从纯粹数学的观点来看,你能否由此得出有关定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、
对面积的曲面积分的概念？
试试看！ 试试看！
以上讨论的几个问题的共同点：
对自变量的取值范围作任意分割,
形式相同的和式：
n
i
Q
1
(函数在某点的值 )× (小几何体的度量值 )
形式相同的极限,Q
0limI
m ax {分割后小几何体的度量值 }
具有任意性看成均匀变化时,所求量可表示为两个量的乘积,
所求量对区域具有可加性,
黎曼积分的定义设? 为空间 nR )3(?n 中可度量的几何形体，
)( Xf 式定义在? 上的有界函数,? 任意分割为 m 个可度量的小几何形体
i?,),,2,1( mi
它们的度量值记为 。
i
记 。}{m a x
1 imi
ii,),,2,1( mi
作和式,)(
1
m
i
iif?
称此和式为函数 )( Xf 在? 上的黎曼和。
若极限?
m
i
iif
10
)(limI?
存在，且与对?
的分割方式及点
i?
的选择方式无关,则称此极限将值 I 为函数 )( Xf 在? 上的黎曼积分，
此时称函数在? 上是黎曼可积的,记为记为
)(limd)(I
10
m
i
iifXf
)()( RXf
其中,? —— 积分号； )( Xf —— 被积函数；
—— 积分区域；?d —— 积分元素。
非均匀分布时“直线段”质量问题
d)(I Xf? b
a
xxf d)(
定积分 Rba ],[
非均匀分布时平面薄板质量问题
D
d),(?yxf
d)(I Xf
D
dd),( yxyxf
d)(I Xf
直角坐标系二重积分 2D R
非均匀分布时“立体”质量问题
d)(I Xf
vzyxf d),,(
d)(I Xf
zyxzyxf ddd),,(
直角坐标系三重积分 3R
非均匀分布时“曲线段”质量问题
d)(I Xf?
L
syxf d),(
对弧长的曲线积分 2RLL
d)(I Xf?
L
syxf d),(
L 为封闭曲线平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题
d)(I Xf?
szyxf d),,(
对弧长的曲线积分 3R
d)(I Xf?
szyxf d),,(
为封闭曲线空间曲线非均匀分布时“曲面”质量问题
d)(I Xf
Szyxf d),,(
对面积的曲面积分 3R
d)(I Xf
Szyxf d),,(
∑为封闭曲面空间中曲顶柱体体积问题一元函数 )( xfy? 的图形在二维空间中画出，
故定积分在几何上可解释为相应的曲边梯形面积的代数和。二元函数 ),( yxfz? 的图形在三维空间中画出，那么关于二元函数的二重积分也应该有几何解释。对三元及三元以上的函数，已不能画出直观的几何图形，所以也就不谈及其几何意义。
二重积分的几何意义与曲顶柱体体积有关。
x
y
z
O
),( yxfz?
对 D 进行分割：
i ),,2,1( ni
iD
小曲顶柱体
,Di
i
曲顶柱体的体积
D
iD i
(底面积 )
(高 )
小曲顶柱体的体积
.
),( iifz
.
iii D),(
小平顶柱体体积为：
iiii fV ),( ii VV
近似代替
x
y
z
O
0),( yxfz
D
曲顶柱体的体积
i
n
i
iifV
1
0
),(lim
iiii fV ),(
比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量小曲顶柱体 平面薄板小块
iDiD
i i
),( iif ),( ii
iiii fV ),( iiiim ),(
(底 )
(高 ) (密度 )
(面积 ) (面积 )
D
d),( yxm
D
d),(?yxfV
(小块 )
想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？
利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法
x
y
z
O
0),( yxfz
D
)(1 xy )(2 xy
.x
x x
曲顶柱体的体积
) (2? x
a
b
),( yfz? x
) (1? x
yyxfxS x
x
d),()( )(
)(
2
1?
x
y
z
O
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曲顶柱体的体积
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1
b
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b
a
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),( yfz? x
) (1? x
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x
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)(
2
1?
综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到
ba xx xyyxf dd),()( )(21
D
d),(?yxfV
就是说，二重积分可以通过两次定积分来计算。
由此想想，其它的几种积分是不是也可通过定积分来计算？ 例如，对于曲线积分有关系式
222 ddd yxs （弧微分）。
课后好好想一想！
如果你的定积分已经忘记了，请赶快复习一下，不然会给你带来麻烦哦。
什么样的函数可积 (黎曼可积 )
根据黎曼积分的定义可以得出：
若,)()( CXf 则 。)()( RXf
若 )( Xf 在? 内有界，且在除去? 中有限个低于? 所在空间维数的几何形体外连续,
则 。)()( RXf
（三）
多元微积分学第二章多元函数积分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中中 )3(?nR n第一节黎曼积分的概念
)3(?nR n 空间中与分割 -近似 -求和 -取极限有关的一类数学模型我们运用分割 — 代替 — 求和 — 取极限的方法建立了一元函数的定积分,
解决了变力作功,液体压力,平行截面面积为已知的几何体的体积,非均匀分布,线段,的质量,
曲边梯形面积等一系列物理,力学和数学问题,
下面我们系列地讨论一下有关物体的非均匀分布质量问题,
非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题,
.,A B x
y
O a b
)( x
bxxxxxxa nnii 1110分割：
1?ix ix
..
非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题,
.,A B x
y
O a b
)( x
bxxxxxxa nnii 1110分割：
1?ix ix
..
均匀分布时：
质量 =密度 × 长度
1?ix ix
.
i?
)( i
.,A B
x
y
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)( x
............................
)(m iii x
n
i
ii x
1
)(m
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代替：
求和：
)(m iii x
对每一个小区间
n
i
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1
0
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令
,}{m a x
1 ini
x
取极限得这就是定积分
n
i
b
a
ii xxx
1
0
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n
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取极限得这就是定积分
n
i
b
a
ii xxx
1
0
d)()(limm
n
i
ii xxx
1 I0
d)()(limm
一般记为非均匀分布时“曲线段”质量问题
n
i
ii xxx
1 I
0
d)()(limm
A B.,............................i?
.,............................
A
B
)(m iii x
n
i
ii xxx
1 I
0
d)()(limm
A B.,............................i?
.,............................
A
),( ii B
)(m iii x ),(m iiii s
？
平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题
n
i
ii xxx
1 I
0
d)()(limm
A B.,............................i?
.,............................
A
),( ii B
)(m iii x ),(m iiii s
n
i L
iii syxs
1
0
d),(),(limm
？
平面曲线均匀分布时：
质量 =密度 × 弧长非均匀分布时“曲线段”质量问题设平面曲线 L 上非均匀地分布着质量,其分布密度为将曲线 L 任意分割成 n 个小段,
iL
每小段的弧长记为,is?
),( ii,iL 则每小段上的质量可近似地表示为
im,),( iii s
令
,}{m a x
1 ini
s
求和并取极限便得曲线 L
的质量为
n
i
iii s
10
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L
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.
.,
...,,.
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非均匀分布时平面薄板质量问题均匀分布时：
质量 =密度 × 面积
),( yx
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1 ini
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1
0
i
n
i
ii d),(
D
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.,..
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...,,.
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在直角坐标系中,用平行于坐标轴的坐标网格进行分割,则,ddd yx
非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量,其分
.),( yx布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D
i
每小块的面积记为,i
),( ii,Di 则每小块上的质量可近似地表示为
im,),( iii
令
,}{m a x
1 ini
求和并取极限便得薄板 D
的质量为
),(limm
1
0
i
n
i
ii d),(
D
yx
非均匀分布时“立体”质量问题均匀分布时：
质量 =密度 × 体积我们已经连续解决了三个这类型的问题,所用方法相同,
分割 — 代替 — 求和 — 取极限这个问题由同学自己解决,
首先根据前面的做法,
想一想这里应怎么做,
然后看看书中,关于求立体质量的一段,
非均匀分布时“立体”质量问题非均匀分布时“曲面”质量问题均匀分布时：
质量 =密度 × 曲面面积
,? ),,( zyx
i?
),,2,1( ni
,iS? iiii ),,(
iiiii S ),,(m
}{m a x
1 ini
S
i
n
i
iii S
1
0
),,(limm
Szyx d),,(?
..,
.
.
.
.
..,
.
.
非均匀分布时“曲面”质量问题在以上所讨论的几个求质量的问题中,都涉及到了两个任意性,想想这与极限存在有无关系？
在以上的讨论中,所作的“和式”与谁有关？
如果抽掉以上各质量问题的物理背景,从纯粹数学的观点来看,你能否由此得出有关定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、
对面积的曲面积分的概念？
试试看！ 试试看！
以上讨论的几个问题的共同点：
对自变量的取值范围作任意分割,
形式相同的和式：
n
i
Q
1
(函数在某点的值 )× (小几何体的度量值 )
形式相同的极限,Q
0limI
m ax {分割后小几何体的度量值 }
具有任意性看成均匀变化时,所求量可表示为两个量的乘积,
所求量对区域具有可加性,
黎曼积分的定义设? 为空间 nR )3(?n 中可度量的几何形体，
)( Xf 式定义在? 上的有界函数,? 任意分割为 m 个可度量的小几何形体
i?,),,2,1( mi
它们的度量值记为 。
i
记 。}{m a x
1 imi
ii,),,2,1( mi
作和式,)(
1
m
i
iif?
称此和式为函数 )( Xf 在? 上的黎曼和。
若极限?
m
i
iif
10
)(limI?
存在，且与对?
的分割方式及点
i?
的选择方式无关,则称此极限将值 I 为函数 )( Xf 在? 上的黎曼积分，
此时称函数在? 上是黎曼可积的,记为记为
)(limd)(I
10
m
i
iifXf
)()( RXf
其中,? —— 积分号； )( Xf —— 被积函数；
—— 积分区域；?d —— 积分元素。
非均匀分布时“直线段”质量问题
d)(I Xf? b
a
xxf d)(
定积分 Rba ],[
非均匀分布时平面薄板质量问题
D
d),(?yxf
d)(I Xf
D
dd),( yxyxf
d)(I Xf
直角坐标系二重积分 2D R
非均匀分布时“立体”质量问题
d)(I Xf
vzyxf d),,(
d)(I Xf
zyxzyxf ddd),,(
直角坐标系三重积分 3R
非均匀分布时“曲线段”质量问题
d)(I Xf?
L
syxf d),(
对弧长的曲线积分 2RLL
d)(I Xf?
L
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L 为封闭曲线平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题
d)(I Xf?
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对弧长的曲线积分 3R
d)(I Xf?
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为封闭曲线空间曲线非均匀分布时“曲面”质量问题
d)(I Xf
Szyxf d),,(
对面积的曲面积分 3R
d)(I Xf
Szyxf d),,(
∑为封闭曲面空间中曲顶柱体体积问题一元函数 )( xfy? 的图形在二维空间中画出，
故定积分在几何上可解释为相应的曲边梯形面积的代数和。二元函数 ),( yxfz? 的图形在三维空间中画出，那么关于二元函数的二重积分也应该有几何解释。对三元及三元以上的函数，已不能画出直观的几何图形，所以也就不谈及其几何意义。
二重积分的几何意义与曲顶柱体体积有关。
x
y
z
O
),( yxfz?
对 D 进行分割：
i ),,2,1( ni
iD
小曲顶柱体
,Di
i
曲顶柱体的体积
D
iD i
(底面积 )
(高 )
小曲顶柱体的体积
.
),( iifz
.
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小平顶柱体体积为：
iiii fV ),( ii VV
近似代替
x
y
z
O
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曲顶柱体的体积
i
n
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1
0
),(lim
iiii fV ),(
比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量小曲顶柱体 平面薄板小块
iDiD
i i
),( iif ),( ii
iiii fV ),( iiiim ),(
(底 )
(高 ) (密度 )
(面积 ) (面积 )
D
d),( yxm
D
d),(?yxfV
(小块 )
想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？
利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法
x
y
z
O
0),( yxfz
D
)(1 xy )(2 xy
.x
x x
曲顶柱体的体积
) (2? x
a
b
),( yfz? x
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)(
2
1?
x
y
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)(1 xy )(2 xy
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曲顶柱体的体积
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2
1
b
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x
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b
a
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),( yfz? x
) (1? x
yyxfxS x
x
d),()( )(
)(
2
1?
综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到
ba xx xyyxf dd),()( )(21
D
d),(?yxfV
就是说，二重积分可以通过两次定积分来计算。
由此想想，其它的几种积分是不是也可通过定积分来计算？ 例如，对于曲线积分有关系式
222 ddd yxs （弧微分）。
课后好好想一想！
如果你的定积分已经忘记了，请赶快复习一下，不然会给你带来麻烦哦。
什么样的函数可积 (黎曼可积 )
根据黎曼积分的定义可以得出：
若,)()( CXf 则 。)()( RXf
若 )( Xf 在? 内有界，且在除去? 中有限个低于? 所在空间维数的几何形体外连续,
则 。)()( RXf
