高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第二章多元函数积分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一节 黎曼积分 (续 )
黎曼积分的性质设? 为 R3 中的可度量的几何形体，
,)()( RXf 则
)(limd)(
10
n
i
iifXf
黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，
性质 1
若,1)( XXf 则 。||d)(
Xf
其中,||? 为区域? 的度量值。
回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时质量 = 密度 × 几何形体的度量值就可以理解这个性质。
二重积分：相当于以 D为底，
高为 1 的平顶柱体体积 V= |D|。
定积分 abxb
a d
(区间 [a,b]的长度 )
二重积分 |D|d
D
(平面区域 D 的面积 )
(R3 中立体? 的体积 )||d
v三重积分曲线积分 ||d Ls
L
(平面曲线 L 的弧长 )
曲面积分 ||d
S (曲面 ∑的面积 )
例 1
计算,d4
D
。}4|),{(D 22 yxyx
解 这相当于质量问题中的 4 (均匀分布 )
故
D
d4 )2(4 216
D
d4
D
d4 )2(4 216
常数因子提出来？ 极限中有这个性质没有？
比较一下：
以 D 为底高为 4 的平顶柱体体积例 2
性质 2 (线性性质 )
若,)( Xf,)()( RXg,为实数，
则,)()()( RXGXf 且
d)()( XgXf
d)(d)( XgXf
该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
,)( Xf由函数,)()( RXg 对区域? 和函数 f (X),g (X) 进行分割,代替,求和,取极限得
,I)(lim
10
fi
n
i
if
由极限的运算法则，有
n
i
iii gf
10
)]()([lim
gf II
d)( Xf
d)( Xg,I)(lim
10
gi
n
i
ig
i
n
i
if
10
)(lim
i
n
i
ig
10
)(lim
证性质 3 (对积分区域的可加性 )
定积分的这个性质大家十分熟悉，现在看看二重积分的情形：
D
d),(?yxf 表示以 D 为底，以 ),( yxf 为顶的曲顶柱体的体积。现在将 D 分成两部分 D1和
D2，相应地曲顶柱体也被分成两个柱体,这两个柱体体积之和等于原柱体的体积吗？应不应该有什么限制条件？
观察，比较这两个图形，看将
D 分成 D1+ D2 时应满足什么条件？
2D1D
1D
2D
叙述性质 3
设,)()( RXf 将? 任意分成可度量的两个部分：,
21 1 与 2?
除边界外无其它公共部分,则,)()(
1 RXf,)()( 2 RXf
且
21
d)(d)(d)( XfXfXf
1?
2?
想一想,? 分成下面的 1? 与 2? 行不行？将行！
可以将性质 3中的?
任意分成有限个只有公共边界的部分：
21 n
性质 4 (保号性 )
在一元函数中我们讲过函数极限的保号性和连续函数的保号性（它实际上也是函数极限的保号性）。
黎曼积分是经过分割 — 代替 — 求和 —
取极限来定义的，它的定义式也是一个极限式，所以极限的保号性性质也会在黎曼积分中反映出来。例如，定积分中就讲过这个性质。
叙述性质 4
设,)()( RXf
,0)(?Xf,X
则
0d)(
Xf
性质 4的推论 1
设,)()(,)( RxgXh
,)()( XgXh?,X
则
d)(d)( XgXh
)()()( xgXhXf
性质 4
0)(?Xf
0d)(
Xf
推论 1
)()( XgXh?
d)(d)( XgXh
推论 2
绝对值不等式
|)(|)(|)(| XfXfXf
d|)(||d)(| XfXf
推论 1 和推论 2 的详细叙述和证明请看书。
f(X)＝ h (X)－ g(X)
看就看看就看估值定理极值，有界性性质 5 (估值定理 )
设,)()( RXf 且,)( MXfmX
则有
。||d)(||
MXfm,
.二维空间 两个圆柱 体之间若,)()( CXf? 是有界闭区域,则函数
)( Xf 在? 上必取到它的最大值和最小值各一次。
设,)(m a x XfM
)(m in Xfm则
||d)(||
MXfm
即
d)(
||
1 MXfm
由这个式子，你能得到一个什么样的结论？
若,)()( CXf? 是有界闭区域,则函数
)( Xf 在? 上必取到它的最大值和最小值各一次。
设,)(m a x XfM
)(m in Xfm则
||d)(||
MXfm
即
d)(
||
1 MXfm
由这个式子，你能得到一个什么样的结论？
连续函数的介值定理看看你得到的结论是不是下面叙述的形式。
性质 6 (积分中值定理 )
若,)()( CXf? 是有界闭区域,则至少存在一点, 使得
||)(d)(d)(
ffXf
现在看这里如果,0)(f 会有什么结果出现？
0||)(d)(
fXf
性质 6 (积分中值定理 )
若,)()( CXf? 是有界闭区域,则至少存在一点, 使得
||)(d)(d)(
ffXf
现在看这里如果,0)(f 会有什么结果出现？
0||)(d)(
fXf
是有界闭区域,则至少现在看这里需要什么条件来保证 0)(f
0)(?Xf /
能不能确保中值定理中的
？0)(f
如果在区域上恒有
0)(?Xf
则可保证 0)(f
还不能
)()( CXf
存在 U( X0 ),使得
f (X)>0。
保号性行了至少存在一点 X0,
使得 f (X)>0。
0)(?Xf
性质 6的推论 1
若,)()( CXf? 是有界闭区域,且有
,0)(?Xf,X 但,0)(?Xf / 则
0d)(
Xf
你能根据刚才的分析证明这个推论吗？
证 由于 0)(?Xf 及,0)(?Xf /
所以,
0 X
使 。0)(?Xf
,)()( CXf而故由连续函数的保号性可知,)(U
0X
使
0)(?Xf )(U 0XX
令,)(U
01 X
,)(U
02 X
则,
21
且
0)(?Xf,1X 0)(?Xf,2X
用积分的保号性性质,≥0 用积分中值定理,>0
自己在纸上画一下? 的图形从而
,0d)(
1
Xf 0d)(
2
Xf
由积分对区域的可加性 (性质 3),得
d)( Xf
1
d)( Xf?
2
d)( Xf 0?
现在由这个推论反过去想,如果函数在?的任意一个小区域上的积分均为零，
则函数在?上应是什么形式？
从而
,0d)(
1
Xf 0d)(
2
Xf
由积分对区域的可加性 (性质 3),得
d)( Xf
1
d)( Xf?
2
d)( Xf 0?
现在由这个推论反过去想,如果函数在?的任意一个小区域上的积分均为零，
则函数在?上应是什么形式？ 0)(?Xf
啊！
性质 6的推论 2
设 。)()( CXf 若, 有
0d)(
Xf
则,0)(?Xf 。?X
运用反证法：设,0)(?Xf / 则至少有一点 X0，
使,)0(0)(Xf 由推论 1 便可得出矛盾。
实践出真知 学生自己做性质 6的推论 2
设 。)()( CXf 若, 有
0d)(
Xf
则,0)(?Xf 。?X
运用反证法：设,0)(?Xf / 则至少有一点 X0，
使,)0(0)(Xf 由推论 1 便可得出矛盾。
实践出真知 学生自己做
。)()(F
0d)(?
XF
,0)(?XF
令 )()()( XgXfXF
什么结果？
性质 6的推论 3
设 。)()(,)( CXgXf 若, 有
0d)]()([
XgXf
则,)()( XgXf? 。?X
d)(d)(
XgXf
估计积分值：,dd)94(
D
22 yxyx
其中,。}4|),({D 22 yxyx
解 记 94),( 22 yxyxf
令
x
f 02?x
y
f 08?y
解方程组得驻点：,)0,0( 此时 。9)0,0(?f
例 3
而
4
22
D 22)94(),( yxyxyxf
2313 y
其中，,40 222 yxy
故 25),(13 yxf D),(yx
从而 25}25,13,9m a x {),(m a x
Dyxf
9}25,13,9m a x {),(m i nDyxf
又
D
d|D|4?
故
D
22 dd)94( yxyx 100254 9436
||d)(||
MXfm
再 见学习顺利 身体健康 心情愉快
（三）
多元微积分学第二章多元函数积分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一节 黎曼积分 (续 )
黎曼积分的性质设? 为 R3 中的可度量的几何形体，
,)()( RXf 则
)(limd)(
10
n
i
iifXf
黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，
性质 1
若,1)( XXf 则 。||d)(
Xf
其中,||? 为区域? 的度量值。
回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时质量 = 密度 × 几何形体的度量值就可以理解这个性质。
二重积分：相当于以 D为底，
高为 1 的平顶柱体体积 V= |D|。
定积分 abxb
a d
(区间 [a,b]的长度 )
二重积分 |D|d
D
(平面区域 D 的面积 )
(R3 中立体? 的体积 )||d
v三重积分曲线积分 ||d Ls
L
(平面曲线 L 的弧长 )
曲面积分 ||d
S (曲面 ∑的面积 )
例 1
计算,d4
D
。}4|),{(D 22 yxyx
解 这相当于质量问题中的 4 (均匀分布 )
故
D
d4 )2(4 216
D
d4
D
d4 )2(4 216
常数因子提出来？ 极限中有这个性质没有？
比较一下：
以 D 为底高为 4 的平顶柱体体积例 2
性质 2 (线性性质 )
若,)( Xf,)()( RXg,为实数，
则,)()()( RXGXf 且
d)()( XgXf
d)(d)( XgXf
该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
,)( Xf由函数,)()( RXg 对区域? 和函数 f (X),g (X) 进行分割,代替,求和,取极限得
,I)(lim
10
fi
n
i
if
由极限的运算法则，有
n
i
iii gf
10
)]()([lim
gf II
d)( Xf
d)( Xg,I)(lim
10
gi
n
i
ig
i
n
i
if
10
)(lim
i
n
i
ig
10
)(lim
证性质 3 (对积分区域的可加性 )
定积分的这个性质大家十分熟悉，现在看看二重积分的情形：
D
d),(?yxf 表示以 D 为底，以 ),( yxf 为顶的曲顶柱体的体积。现在将 D 分成两部分 D1和
D2，相应地曲顶柱体也被分成两个柱体,这两个柱体体积之和等于原柱体的体积吗？应不应该有什么限制条件？
观察，比较这两个图形，看将
D 分成 D1+ D2 时应满足什么条件？
2D1D
1D
2D
叙述性质 3
设,)()( RXf 将? 任意分成可度量的两个部分：,
21 1 与 2?
除边界外无其它公共部分,则,)()(
1 RXf,)()( 2 RXf
且
21
d)(d)(d)( XfXfXf
1?
2?
想一想,? 分成下面的 1? 与 2? 行不行？将行！
可以将性质 3中的?
任意分成有限个只有公共边界的部分：
21 n
性质 4 (保号性 )
在一元函数中我们讲过函数极限的保号性和连续函数的保号性（它实际上也是函数极限的保号性）。
黎曼积分是经过分割 — 代替 — 求和 —
取极限来定义的，它的定义式也是一个极限式，所以极限的保号性性质也会在黎曼积分中反映出来。例如，定积分中就讲过这个性质。
叙述性质 4
设,)()( RXf
,0)(?Xf,X
则
0d)(
Xf
性质 4的推论 1
设,)()(,)( RxgXh
,)()( XgXh?,X
则
d)(d)( XgXh
)()()( xgXhXf
性质 4
0)(?Xf
0d)(
Xf
推论 1
)()( XgXh?
d)(d)( XgXh
推论 2
绝对值不等式
|)(|)(|)(| XfXfXf
d|)(||d)(| XfXf
推论 1 和推论 2 的详细叙述和证明请看书。
f(X)＝ h (X)－ g(X)
看就看看就看估值定理极值，有界性性质 5 (估值定理 )
设,)()( RXf 且,)( MXfmX
则有
。||d)(||
MXfm,
.二维空间 两个圆柱 体之间若,)()( CXf? 是有界闭区域,则函数
)( Xf 在? 上必取到它的最大值和最小值各一次。
设,)(m a x XfM
)(m in Xfm则
||d)(||
MXfm
即
d)(
||
1 MXfm
由这个式子，你能得到一个什么样的结论？
若,)()( CXf? 是有界闭区域,则函数
)( Xf 在? 上必取到它的最大值和最小值各一次。
设,)(m a x XfM
)(m in Xfm则
||d)(||
MXfm
即
d)(
||
1 MXfm
由这个式子，你能得到一个什么样的结论？
连续函数的介值定理看看你得到的结论是不是下面叙述的形式。
性质 6 (积分中值定理 )
若,)()( CXf? 是有界闭区域,则至少存在一点, 使得
||)(d)(d)(
ffXf
现在看这里如果,0)(f 会有什么结果出现？
0||)(d)(
fXf
性质 6 (积分中值定理 )
若,)()( CXf? 是有界闭区域,则至少存在一点, 使得
||)(d)(d)(
ffXf
现在看这里如果,0)(f 会有什么结果出现？
0||)(d)(
fXf
是有界闭区域,则至少现在看这里需要什么条件来保证 0)(f
0)(?Xf /
能不能确保中值定理中的
？0)(f
如果在区域上恒有
0)(?Xf
则可保证 0)(f
还不能
)()( CXf
存在 U( X0 ),使得
f (X)>0。
保号性行了至少存在一点 X0,
使得 f (X)>0。
0)(?Xf
性质 6的推论 1
若,)()( CXf? 是有界闭区域,且有
,0)(?Xf,X 但,0)(?Xf / 则
0d)(
Xf
你能根据刚才的分析证明这个推论吗？
证 由于 0)(?Xf 及,0)(?Xf /
所以,
0 X
使 。0)(?Xf
,)()( CXf而故由连续函数的保号性可知,)(U
0X
使
0)(?Xf )(U 0XX
令,)(U
01 X
,)(U
02 X
则,
21
且
0)(?Xf,1X 0)(?Xf,2X
用积分的保号性性质,≥0 用积分中值定理,>0
自己在纸上画一下? 的图形从而
,0d)(
1
Xf 0d)(
2
Xf
由积分对区域的可加性 (性质 3),得
d)( Xf
1
d)( Xf?
2
d)( Xf 0?
现在由这个推论反过去想,如果函数在?的任意一个小区域上的积分均为零，
则函数在?上应是什么形式？
从而
,0d)(
1
Xf 0d)(
2
Xf
由积分对区域的可加性 (性质 3),得
d)( Xf
1
d)( Xf?
2
d)( Xf 0?
现在由这个推论反过去想,如果函数在?的任意一个小区域上的积分均为零，
则函数在?上应是什么形式？ 0)(?Xf
啊！
性质 6的推论 2
设 。)()( CXf 若, 有
0d)(
Xf
则,0)(?Xf 。?X
运用反证法：设,0)(?Xf / 则至少有一点 X0，
使,)0(0)(Xf 由推论 1 便可得出矛盾。
实践出真知 学生自己做性质 6的推论 2
设 。)()( CXf 若, 有
0d)(
Xf
则,0)(?Xf 。?X
运用反证法：设,0)(?Xf / 则至少有一点 X0，
使,)0(0)(Xf 由推论 1 便可得出矛盾。
实践出真知 学生自己做
。)()(F
0d)(?
XF
,0)(?XF
令 )()()( XgXfXF
什么结果？
性质 6的推论 3
设 。)()(,)( CXgXf 若, 有
0d)]()([
XgXf
则,)()( XgXf? 。?X
d)(d)(
XgXf
估计积分值：,dd)94(
D
22 yxyx
其中,。}4|),({D 22 yxyx
解 记 94),( 22 yxyxf
令
x
f 02?x
y
f 08?y
解方程组得驻点：,)0,0( 此时 。9)0,0(?f
例 3
而
4
22
D 22)94(),( yxyxyxf
2313 y
其中，,40 222 yxy
故 25),(13 yxf D),(yx
从而 25}25,13,9m a x {),(m a x
Dyxf
9}25,13,9m a x {),(m i nDyxf
又
D
d|D|4?
故
D
22 dd)94( yxyx 100254 9436
||d)(||
MXfm
再 见学习顺利 身体健康 心情愉快
