高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
● 在几何方面的应用
● 在优化方面的应用
● 在几何方面的应用第二节空间曲面的切平面一个钢球放在一块平整光滑的钢板上平面 球面相切
？
由前面讲过的解析几何知识可知,
面方程为
0)()()( 000 zzCyyBxxA
),,( 000 zyxP上点若已知曲面 处切平面的法向量为 ),,( CBAn,则曲面在该点的切平法线方程为
C
zz
B
yy
A
xx 000
行分析,看看有什么结果,
下面对曲面及其上的曲线的关系进实际上,到现在为止我们还不知道曲面的切平面的准确定义,
设曲面的方程为 0),,(?zyxF
任取一条过点 P 的曲线 L，设其方程为
,)( txx?,)( tyy?,)( tzz?
此时有 0))(),(),((?tztytxF
设
0tt?
对应于点,),,(
000 zyxP 则上式在 t0
处的全导数
)(),,( 0000 txzyxF x )(),,( 0000 tyzyxF y
0)(),,( 0000 tzzyxF z
,在曲面上向量的数量积记 )),,(),,,(),,,((
000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
))(),(),(( 000 tztytx
则由上面的全导数可知,,0n 即,n
由此得到曲面的切平面的定义和切平面的方程这说明曲面上任一条过点 P 的曲线在点 P
处的切线与向量 垂直,因此这些切线位于同一平面上,该平面即曲面在点 P 处的切平面,
即是切平面的法向量,
n?
n?
曲面的切平面的概念若过空间曲面?上点 M(x,y,z) 处的平面,
上，则称该平面为曲面? 在点 M 处的切处的切线均存在,且都位于同一个平面任意一条完全位于曲面上的曲线在点 M
定理设 R3 中曲面? 的方程为 。0),,(?zyxF
若函数 ),,( zyxF 在点),,(
0000 zyxX
处可微,且函数 ),,( zyxF 在点
0X
导数不全为零,则曲面? 在点
0X
在，其方程为
0))(())(())(( 000000 zzXFyyXFxxXF zyx
处的各一阶偏有切平面存
(切平面存在定理 )
曲面的法线的概念若过空间曲面?上点 M(x,y,z) 且与曲面在点 M 处的切平面垂直的直线,称为曲面?在点 M 处的法线。
法线的方程如何写?
切平面的法向量可作为法线的方向向量定理设 R3 中曲面? 的方程为 。0),,(?zyxF
若函数 ),,( zyxF 在点),,(
0000 zyxX
处可微,且函数 ),,( zyxF 在点
0X
导数不全为零,则曲面? 在点
0X
为处的各一阶偏的法线方程
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx?
例 5?3
2x
1
27
2
z
求椭球面
12
2y 在点
)3,2,1(0X
处的切平面和法线方程,
解 令
1
27123
),,(
222
zyxzyxF
则
)3,2,1(xF?
13
2
x
x
3
2
3
1)3,2,1(
yF
9
2)3,2,1(
zF
)2,3,6(
9
1?n?
)2,3,6(?n?取切平面方程 0)3(2)2(3)1(6 zyx
即 018236 zyx
法线方程
2
3
3
2
6
1 zyx
)2,3,6(?n?
例 6
求 122 yxz 在点 )4,1,2(
0X
处的切平面和法线方程,
解 令
1),,( 22 zyxzyxF
则
42)4,1,2( 2xx xF 22)4,1,2( 1yy yF
1)4,1,2(zF )1,2,4(n?
切平面方程,0)4()1(2)2(4 zyx
法线方程,
1
4
2
1
4
2
zyx
0624 zyx
由例 6 可知曲面方程为 ),( yxfz?
令 ),(),,( yxfzzyxF则
)1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx?
时，
例 7
证明：曲面 azyx )0(?a 上,
任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.
证 令 ),,( azyxzyxF,则
,
2
1),,(
x
zyxF x,
2
1),,(
y
zyxF y,2 1),,( zzyxF z
故曲面上任意一点 ),,(
0000 zyxX
处的切平面的法向量可取为 1,1,1
000
zyx
n
例 7
于是，切平面方程为
0)(1)(1)(1 0
0
0
0
0
0
zz
z
yy
y
xx
x
000 z
z
y
y
x
x
000 zyx
由于点 ),,(
0000 zyxX
在曲面上，故切平面方程可化为
a?
证明：曲面 azyx )0(?a 上,
任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.
例 7
1
000
za
z
ya
y
xa
x
这是平面截距式方程从而，切平面在各坐标轴上的截距之和为
)( 000 aaazyxa
截距证明：曲面 azyx )0(?a 上,
任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.
参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
),(),( 00 vuvu? 对应于曲面上的点 。),,( 0000 zyxX
隐函数先看书,再想一想,可否用不同于书中的方法做？
曲面方程为 ),( yxfz?
令 ),(),,( yxfzzyxF则
)1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx?
时，
回忆一下前面讲过的例 6 的结论你打算怎么做?
.,yzxz设法求参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx 由此找出 u,v 与
x,y 的关系代入
)),(),,(( yxvyxuzz?
产生若 方程组
),(
),(
vuyy
vuxx 可确定函数组,),( yxuu?
,),( yxvv? 且满足,),( 000 yxuu?,),( 000 yxvv?
代入 ),( vuzz? 中得,)),(),,(( yxvyxuzz? 且有
。)),(),,(( 00000 yxvyxuzz?
利用隐函数求导法求 ),( vuzz? 对 u,v 的偏导数：
u
x
x
z
u
z
u
y
y
z
v
x
x
z
v
z
v
y
y
z
就是说,z是 x
和 y 的函数
z=z(x,y)
当 0
),(
),(
0
Xvu
yx 时,由克莱满法则解得
0
0
),(
),(
),(
),(
X
X
vu
yx
vu
zy
x
z
0
0
),(
),(
),(
),(
X
X
vu
yx
vu
xz
y
z
由曲面方程 ),( yxzz? 可知曲面在点 ),,(
0000 zyxX
处切平面的法向量为
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
0X
vu
yx
vu
xz
vu
zy
n
)1,,( yx zzn?
设曲面由参数方程给出：
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
在点 ),(
00 vu 可微,则,),( vux,),( vuy ),( vuz
曲面在点 处切平面的法向量为0X
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
0X
vu
yx
vu
xz
vu
zy
n
结论
0 X对应于点求球面
c o s
s i ns i n
s i nc o s
z
y
x 在对应于
4
处的切平面方程和法线方程,
解
4
),(
),(
yx
4
c o ss ins inc o s
c o sc o ss ins in
2
1?
4
2
),(
),(
4
zy
4
2
),(
),(
4
xz
故
)2,1,1(42n?
)2,1,1(?n?取例 8
2
2
,
2
1
,
2
1
),,( 000 zyx 4
切平面方程,0
2
22
2
1
2
1?
zyx
即 022 zyx
法线方程,
2
2
2
1
2
1
2
1
zyx
二元函数全微分的几何意义请课后自己看书又要看书，
烦人 !读书人不看书？！
（三）
多元微积分学第一章多元函数微分学曾金平教案编写：刘楚中曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：
1,理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2,知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
3,理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
4,熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。
了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5,理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
6,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的一阶、二阶偏数。
7,知道二元函数的泰勒公式形式。
8,知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
9,熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
10,了解空间 (平面 )曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11,了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12,理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。
13,掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
多元微分学的应用
● 在几何方面的应用
● 在优化方面的应用
● 在几何方面的应用第二节空间曲面的切平面一个钢球放在一块平整光滑的钢板上平面 球面相切
？
由前面讲过的解析几何知识可知,
面方程为
0)()()( 000 zzCyyBxxA
),,( 000 zyxP上点若已知曲面 处切平面的法向量为 ),,( CBAn,则曲面在该点的切平法线方程为
C
zz
B
yy
A
xx 000
行分析,看看有什么结果,
下面对曲面及其上的曲线的关系进实际上,到现在为止我们还不知道曲面的切平面的准确定义,
设曲面的方程为 0),,(?zyxF
任取一条过点 P 的曲线 L，设其方程为
,)( txx?,)( tyy?,)( tzz?
此时有 0))(),(),((?tztytxF
设
0tt?
对应于点,),,(
000 zyxP 则上式在 t0
处的全导数
)(),,( 0000 txzyxF x )(),,( 0000 tyzyxF y
0)(),,( 0000 tzzyxF z
,在曲面上向量的数量积记 )),,(),,,(),,,((
000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
))(),(),(( 000 tztytx
则由上面的全导数可知,,0n 即,n
由此得到曲面的切平面的定义和切平面的方程这说明曲面上任一条过点 P 的曲线在点 P
处的切线与向量 垂直,因此这些切线位于同一平面上,该平面即曲面在点 P 处的切平面,
即是切平面的法向量,
n?
n?
曲面的切平面的概念若过空间曲面?上点 M(x,y,z) 处的平面,
上，则称该平面为曲面? 在点 M 处的切处的切线均存在,且都位于同一个平面任意一条完全位于曲面上的曲线在点 M
定理设 R3 中曲面? 的方程为 。0),,(?zyxF
若函数 ),,( zyxF 在点),,(
0000 zyxX
处可微,且函数 ),,( zyxF 在点
0X
导数不全为零,则曲面? 在点
0X
在，其方程为
0))(())(())(( 000000 zzXFyyXFxxXF zyx
处的各一阶偏有切平面存
(切平面存在定理 )
曲面的法线的概念若过空间曲面?上点 M(x,y,z) 且与曲面在点 M 处的切平面垂直的直线,称为曲面?在点 M 处的法线。
法线的方程如何写?
切平面的法向量可作为法线的方向向量定理设 R3 中曲面? 的方程为 。0),,(?zyxF
若函数 ),,( zyxF 在点),,(
0000 zyxX
处可微,且函数 ),,( zyxF 在点
0X
导数不全为零,则曲面? 在点
0X
为处的各一阶偏的法线方程
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx?
例 5?3
2x
1
27
2
z
求椭球面
12
2y 在点
)3,2,1(0X
处的切平面和法线方程,
解 令
1
27123
),,(
222
zyxzyxF
则
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13
2
x
x
3
2
3
1)3,2,1(
yF
9
2)3,2,1(
zF
)2,3,6(
9
1?n?
)2,3,6(?n?取切平面方程 0)3(2)2(3)1(6 zyx
即 018236 zyx
法线方程
2
3
3
2
6
1 zyx
)2,3,6(?n?
例 6
求 122 yxz 在点 )4,1,2(
0X
处的切平面和法线方程,
解 令
1),,( 22 zyxzyxF
则
42)4,1,2( 2xx xF 22)4,1,2( 1yy yF
1)4,1,2(zF )1,2,4(n?
切平面方程,0)4()1(2)2(4 zyx
法线方程,
1
4
2
1
4
2
zyx
0624 zyx
由例 6 可知曲面方程为 ),( yxfz?
令 ),(),,( yxfzzyxF则
)1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx?
时，
例 7
证明：曲面 azyx )0(?a 上,
任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.
证 令 ),,( azyxzyxF,则
,
2
1),,(
x
zyxF x,
2
1),,(
y
zyxF y,2 1),,( zzyxF z
故曲面上任意一点 ),,(
0000 zyxX
处的切平面的法向量可取为 1,1,1
000
zyx
n
例 7
于是，切平面方程为
0)(1)(1)(1 0
0
0
0
0
0
zz
z
yy
y
xx
x
000 z
z
y
y
x
x
000 zyx
由于点 ),,(
0000 zyxX
在曲面上，故切平面方程可化为
a?
证明：曲面 azyx )0(?a 上,
任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.
例 7
1
000
za
z
ya
y
xa
x
这是平面截距式方程从而，切平面在各坐标轴上的截距之和为
)( 000 aaazyxa
截距证明：曲面 azyx )0(?a 上,
任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a.
参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
),(),( 00 vuvu? 对应于曲面上的点 。),,( 0000 zyxX
隐函数先看书,再想一想,可否用不同于书中的方法做？
曲面方程为 ),( yxfz?
令 ),(),,( yxfzzyxF则
)1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx?
时，
回忆一下前面讲过的例 6 的结论你打算怎么做?
.,yzxz设法求参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx 由此找出 u,v 与
x,y 的关系代入
)),(),,(( yxvyxuzz?
产生若 方程组
),(
),(
vuyy
vuxx 可确定函数组,),( yxuu?
,),( yxvv? 且满足,),( 000 yxuu?,),( 000 yxvv?
代入 ),( vuzz? 中得,)),(),,(( yxvyxuzz? 且有
。)),(),,(( 00000 yxvyxuzz?
利用隐函数求导法求 ),( vuzz? 对 u,v 的偏导数：
u
x
x
z
u
z
u
y
y
z
v
x
x
z
v
z
v
y
y
z
就是说,z是 x
和 y 的函数
z=z(x,y)
当 0
),(
),(
0
Xvu
yx 时,由克莱满法则解得
0
0
),(
),(
),(
),(
X
X
vu
yx
vu
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x
z
0
0
),(
),(
),(
),(
X
X
vu
yx
vu
xz
y
z
由曲面方程 ),( yxzz? 可知曲面在点 ),,(
0000 zyxX
处切平面的法向量为
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
0X
vu
yx
vu
xz
vu
zy
n
)1,,( yx zzn?
设曲面由参数方程给出：
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
在点 ),(
00 vu 可微,则,),( vux,),( vuy ),( vuz
曲面在点 处切平面的法向量为0X
),(
),(
,
),(
),(
,
),(
),(
0X
vu
yx
vu
xz
vu
zy
n
结论
0 X对应于点求球面
c o s
s i ns i n
s i nc o s
z
y
x 在对应于
4
处的切平面方程和法线方程,
解
4
),(
),(
yx
4
c o ss ins inc o s
c o sc o ss ins in
2
1?
4
2
),(
),(
4
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4
2
),(
),(
4
xz
故
)2,1,1(42n?
)2,1,1(?n?取例 8
2
2
,
2
1
,
2
1
),,( 000 zyx 4
切平面方程,0
2
22
2
1
2
1?
zyx
即 022 zyx
法线方程,
2
2
2
1
2
1
2
1
zyx
二元函数全微分的几何意义请课后自己看书又要看书，
烦人 !读书人不看书？！
