1
§ 3.7 傅立叶变换的基本性质
对称性和叠加性
奇偶虚实性
尺度变换特性
时移特性和频移特性
微分和积分特性
卷积定理
Paseval定理
2
一、对称性
若已知
则
deFtf tj)(2 1)(
,)(2 1)(


deFtf tj
dtetFf tj )(2 1)(
)(2)( ftFFT
证明：
)()( tfFTF
)(2)( ftFFT
3
)(tf )(?F
22?22?
)(tf
)(?F
c?
2
c?
2?
2
c?
2
c
t
t
1?
2
c
1
0 0
0 0
4
若 f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
)(2
)(t?
1
1
1
)(tf
)(?F
)(?F

t t
5
atetf)(
FT
jaF
1)(
1)(1
jta
FTF?
对称性
aefF 2)(2)(
1
t 换成
0,1 ta
f 换成
1F
换成
t
6
二、线性（叠加性）
若则 )()(?ii FtfFT?



n
i
ii
n
i
ii FatfaFT
11
)()(?
7
求：
)(tf
的傅立叶变换
)(tf
2?2
1
2
t
)]()([)]()([)( 22 tututututf
)](2)2/([)( SaSaF
2
8
三,奇偶虚实性无论 f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立
)()]([ ** FtfFT
)()]([ **?FtfFT
)()]([?FtfFT?
)()]([ FtfFT
时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺
9
一,f(t)是实函数
t d ttfjt d ttfF s i n)(c o s)()(
)(?R )(?X
)()( RR
)()( XX
)()( * FF
偶函数 奇函数实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，
而相位谱为奇函数
)()]([
)()]([
*?
FtfFT
FtfFT


10
二,f(t) = jg(t)是虚函数
t d ttgjt d ttgF c o s)(s i n)()(
)(?R )(?X
)()( RR
)()( XX
)()( * FF
虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数相位谱仍为奇函数
)()]([
)()]([
*?
FtfFT
FtfFT


偶函数 奇函数
11
实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数
)()( tetf t?
22
2)(


F
0)(
f(t)
)(?F
0 t 0
12
实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数


)0(
)0()(
te
tetf
at
at
22
2)(


jF


)0(
2
)0(
2)(



f(t)
0
22
2)(


F
2
2
)(?F
)(?F
j
t
13
四、尺度变换特性
若
则
)()]([?FtfFT?
)(
1
)]([
a
F
a
atfFT
)(1)()]([0 1
a
F
a
dxexfatfFTa axja

)(1)(1)]([0
a
F
a
dxexf
a
atfFTa axj

14
时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
f(t/2)
0 t
)2(2?F
2


0
)2( tf
0 4/?4/ t
)2(21?F
2?
4
4?
压缩 扩展
1
1
0
15
等效脉宽与等效频带宽度
)0()(
)()(
Fdttf
dtetfF
tj


)( fF
)0(F
0
f
fB
等效带宽
fB
)0()(
)(
2
1
)(
fdffF
deFtf
tj



)(tf
)0(f
等效脉宽
t
1
)0().0(
)0().0(
f
f
B
fBF
Ff
16
求下列时域函数的频谱的带宽
1
1? 1
)(1 tf
t
1
)(2 tf
t2
1
2
)(3 tf
4
t
1).0(1fB f
1).0(2fB f
时移不影响带宽
1).0(3fB f
时域重复影响福频高度不影响频谱带宽
12121)0(F
1)0()0( 1fBF f
1
17
五、时移特性若则证明：

)()(
)()(
00
0
)(
0

Fedxexfe
dxexfxfFT
ttx
tjxjtj
txj






#)()( 00 FettfFT tj
)()(?FtfFT?
0)()( 0 tjeFttfFT
18
带有尺度变换的时移特性
a
tj
e
a
F
a
tatfFT
0
)(1)( 0


)(
1
)(
1
/)(
)(
1
0)()]([
0
0
0
)(
0
/)(
0
00
a
Fe
a
dxexfe
a
atxt
dxexf
a
tatx
adtetatftatfFT
a
t
j
tj
a
t
j
atxj
tj
a







若 a < 0,则有绝对值
19
例：求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为
)(0 tf
)2()(0 SaEF?
)()()()( 000 TtfTtftftf
)c o s21)(
2
(
)c o s21)((
)1)(()(
0
0
TSaE
TF
eeFF
TjTj







20
E
2
2?
E3
T
2
T
2?
2
2?
)(0?F
)(?F
t
21
六、频移特性
若
则
证明
同理
)()(?FtfFT?
)(])([ 00 FetfFT tj
)()(])([ 000

FdteetfetfFT tjtjtj
)(])([ 00 FetfFT tj
22
调幅信号的频谱（载波技术）
)(21c o s 000 tjtj eet
)]()([21]c o s)([ 000 FFttfFT
)(
2
1s in
00
0
tjtj ee
j
t
)]()([
2
1]s in)([
000 FFjttfFT
求：
ttf 0c o s)(?
的频谱？
23
)(
2
1c o s
00
0
tjtj eet
)(tf tje 02
1? )(tftje 021
)(21 0F )(21 0F
)]()([21 00 FF
载波频率
0?
24
]co s)([ 0 ttfFT?
)]()([21 0000 FF
)()]([ 0?FtfFT? ])[(
2
1 00 tjtj eetf
0
)(0?F
)(021?F
)(?F
0?0
频移特性
)(021?F
25
调幅信号都可看成乘积信号
矩形调幅
指数衰减振荡
三角调幅
ttf 0c o s)(?
ttG 0c o s)(?
te at 0c o s
t
t
0c o s
2
1?


求它们的频谱 =？（略）
26
七、微分特性
若
则
)()]([?FtfFT?
)(
)(
Fj
dt
tdf
FT

)()(
)(
Fj
dt
tfd
FT n
n
n

27
)(tf
2?2 0
t
dt
tdf )(
E2
E2?
2?
2
E2?
E2
E4?
2?2
)(?F
E2
4
4?
2
2 )(
dt
tfd
t
t
0
0
0
三角脉冲
28
三角脉冲 的频谱
方法一：代入定义计算（如前面所述）
方法二：利用二阶导数的 FT

)(0
)()1(
)(
2
2
2
t
ttE
tf
)(2)()(2)( 2222 tttEdt tfd
)
4
(
24
s in
8
)2(
2
)()(
2
2
2
2 22



Sa
EE
ee
E
Fj
jj



)
4
(
2
)( 2 SaEF?
FT
29
八、积分特性（一）
若
则
)()]([?FtfFT?
0)0()(,0 ForF


j
F
dfFT
t )(
)(



30
八、积分特性（二）
若
则
)()]([?FtfFT?
0)0(?F
)()0()()(
F
j
FdfFT t




31
积分特性的证明
dfty )()(
)()( tfdt tdy?
)()( FYj?

j
FdfFT )()(?




令
两边求导
FT 微分特性
FT 积分特性
32
斜平信号 的频谱看成高,宽 的矩形脉冲 的积分

)(0
)0(1
)0(0
)(
0
0
0
t
ttf

)(1
)0(
)0(0
)(
0
0
0
t
t
t
tty
t dfty )()(
0
1t 0t )(?f
)()
2
(
1
)()0()(
1
)]([)(
20
0




t
j
e
t
Sa
j
FF
j
tyFTY
F(0)不为 0
1
0t
0t
0
1t
)(?f
33
t dfty )()(
0
0t
1
t
)()( tfdt tdy?
1
0t0
t
FT
)(?F
0
2
t
0
2
t

0t
0
20
0
)
2
()(
tj
etSaF

FT 1)0(?F
FT
)()
2
(
1
)()0()(
1
)]([)(
20
0




t
j
e
t
Sa
j
FF
j
tyFTY
20t
34
用 FT积分特性求阶跃的 FT
t dtuty )()()(
)()(f
)(1)]([)(

j
tuFTY
00 t?
01)0(1)]([ FFT
)()
2
(1 20
0

tj
etSa
j
1?
t
35
第三章作业（ 3）
旧版 3-23,3-27,3-28
新版 3-17,3-22,3-28