1
§ 3.10时域抽样信号的傅立叶变换
时域抽样的傅立叶变换
–理想抽样
–矩形抽样
–时域抽样等效频域周期重复
频域抽样等效为时域周期重复
2
一、时域理想抽样的傅立叶变换
)(tf
0 t
)(?F
0?
1
)(tP
)1(
0 t 0
)(tfs 相乘 相卷
)( s?
s?s
s?s 00 t
sT
)(?sF
sT
1
FT
FT
FT
时域抽样频域周期重复
)()(
n sT
nTtt
n ss
np )()(
3
时域理想抽样的傅立叶变换
)(tf
)()(?
n
sT nTtt
)(?F
n
ss np )()(
)(
1
)( s
ns
s nFTF
FT
FT
相乘 相卷积
FT?2
1
4
周期矩形被冲激抽样的频谱
)(1 tf
E
2?2
1T1T? t
t
0
0 2?2
1T1T?
)(tfs
E
)(?sF
sTT
E
1
2
2
2?
sT
2
sT
2?
t
先重复后抽样
5
E
2?2 0
0 2?2
E
先抽样
t
时域抽样频域重复
1T?
t
1T
后重复
sT
2?
sT
2
时域重复频域抽样
2
2?
t
sT
1
1?
E
Ts
1
)(1 tf
6
非理想抽样信号的傅立叶变换
)(tf
0 t
)(tP
0 t
)(tfs
0
t
)(?F
0?
)(?P
0
0
sT
22?
s?s
s s?
2
2?
sE
sE
1
FT
FT
FT
乘卷
7
)(2)( s
n
n nPp
2
)(1 2
2
s
s
T
T
tjn
s
n
nSa
T
Edtetp
T
P
s
s
s
关于非理想抽样
)(*)(2 1)( pFF s?
)(
2
)( s
n
s
s
s nF
n
Sa
T
E
F
)(
1
)( s
ns
s nFTF
理想抽样 非理想抽样
8
)()()(
n sT
nTtttp )()( sn nTtGtp
n
ss np )()( )(2)(
s
n
n nPp
2 s
s
n
nSa
T
EP
s
n TP
1?
)(1)( s
ns
s nFTF
)(2)( s
n
s
s
s nF
nSa
T
EF
)(*)(2 1)( pFF s? )(*)(2 1)( pFF s?
9
二、频域抽样后的时间函数
)(?F
0?
)(
)1(
)(1?F
0?
相乘
)(tf
0 t
IFT
IFT 1
)(
tT
1
1?
)(tf
0 t
IFT
卷积 11?
1
1T1T?
0 t
1?1
1?01
10
)(?F
)()( 1?
n
n
)()()(1FF?
)(tf
IFT
)(1)( 1
1
n
nTtp?
IFT
)(1*)()(
1
1 ttftf T
n
nTtftf )(
1
)( 1
1
1?
IFT
11
时域和频域抽样定理的应用
)5c o s3c o s( c o s)( 151131120 ttttf E
)(21 0
1
tfT t
三角波乘对称方波)(tf
2?2
1
21T
21T?
例 1
对称方波f1 (t)三角波对称方波)(
1?F
12
4
)12(
)12(
)1(
)(
1
2
1
1
Tn
Sa
n
T
F
n
n
1?1
13?
15?
)(?F
1?1
13?
15?
)(?F 对称方波
13
例 2
ttA 00 co s)co s(
)()(
)( 0
)( 0
)(2 0
0?0
0?
0
)(?F )(2 0
)(2 0A
卷积
)(2 0 )(
2 0
)(2 0A
14
例 3
)]() [ c o sc o s( 00 nTtGttA
n
2?2
1)( nTtGn
TT?
2?
2?
T
2
)(?G
)( 0)( 0
0?0
tA 0co s
)(A
)( 0G)( 0G
0?0
)(?G
0
)(?AG
0
n
nTtGtA )()c o s( 0
15
)(2 0GA)(
2 0
GA
)(?F
0?0
0000
)( 002G )( 002G
0?0 0
0
)( 0)( 0
16
§ 3.11 抽样定理
（一）时域抽样定理 ——
一个频率有限信号 如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于 （其中 ），或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
mm )(tf
mf2
1
mm f 2?
mf2
ms 2?
17
不满足抽样定理时产生频率混叠现象
)(1?F
0
)(?sF
0?
)(tf
0
t
sT
1
0
t
s?
s?
)(tf
sT
sT
s
s
sT
1
m?m
)(1?F
0 s?
s
sT
1
ms 2?
18
（二）、由抽样信号恢复原连续信号
)(?F? 取主频带,
时域卷积定理：
)()()( HFF s?
)]([)(
)(*)()(
scs
n
c
s
nTtSanTf
thtftf
)()( tSath cc?
)()()(
n
sss nTtnTftf?
19
0 t
)(tfs )(?sF
m?m
s?
s
)(th
0 t
c?
c
)(?H
sT
1
c
)(tf
卷积 包络
sTs
T?
0
m?m
)(?F
相乘
0
0
t
20
（三）、频域抽样定理若信号 为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率间隔对的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。
)(tf
mm tt
mt2
1 )(tf
)(?F
)(1?F
21
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
)()(
m
m
n m t
n
tSa
t
n
FF
)]([)()( scs
n
c nTtSanTftf
偶函数变量置换
22
抽样定理小结
时域对 抽样等效于频域对 重复时域抽样间隔不大于 。
频域对 抽样等效于时域对 重复频域抽样间隔不大于 。
满足抽样定理，则不会产生混叠。
)(?F)(tf
)(tf)(?F
mt2
1
m?2
1
23
§ 3.12 相关 —（一）相关系数
若用 来近似,设有误差能量
使 最小
即 时误差能量最小
)(tay )(tx
2?
dttaytx 22 )]()([?
0)]()][()([2
2
dttytaytx
da
d?
dtty
dttytx
a
)(
)()(
2
24
dt
dtty
dttytx
tytx 2
2
2
m i n ]
)(
)()(
)()([?
归一化为相对误差能量
2
2
2
m i n 1
)(
xy
dttx
2
1
22
)(.)(
)()(
dttydttx
dttytx
xy
相关系数为
1?xy?
25
（二） 相关函数 —
时移信号的相关性
由相关系数 求两时移信号的相似性，
有如下相关函数，叫互相关函数。
或
还有另一定义
dttytxR xy )()()( *
dttxtyR yx )()()( *
xyr
dtytxR xy )()()( *
26
自相关函数和互相关函数的应用传感器
1
传感器
2
微血管红血球的流速测量
)(1 tx
0
t
)(2 tx
0
t120 tt
)(12?R
L
120 tt
0
12 tt
Lv
27
L
T1
T2
互相关漏电
)( 12 TTvL
脉冲发生器
)(1 tx )(
2 tx
)(?R
互相关法用于长电力传输线的故障检测
m a x)( 1?TR
m a x)( 2?TR
28
雷达微波
)(1 tf
)(2 tf
2
2
2112 )()()(
T
T
dttftfR
29
超声波无损探伤（例如大型发电机的机轴的材料质量要求很高 ）
被测模块内有沙眼和裂痕超声波阵列传感器测量损伤深度
30
（三）相关与卷积的关系
dthxthtx )()()(*)(
dtthtxR xh )()()(
dthxtR xh )()()(
变量互换
h (t)
h (-t)
)(*)()( thtxtR xh
没有反摺
31
)(?x
)(?h
反摺 不反摺位移相乘
l
M
M?
M
l
l Ml?
积分
M? l
卷积 相关
32
（五）相关定理
若已知则
证明
)()]([
)()]([
YtyFT
XtxFT
)().()]([ * YXRFT xy?
)()()()(
)()(
.)()()]([
**
*
*
YXdteYtx
dtdetytx
dedttytxRFT
tj
j
j
xy
33
自相关函数与幅度谱的平方是一对 FT
2* )()()()]([ XXXRFT
xx
若有 y(t)是实偶函数,也是实偶函数则此时相关定理就是卷积定理
)(?Y
)()()().(
])()([
*
*
YXYX
dttytxFT
去共轭 )( ty
dtyx )()(
变量互换
34
周期信号的自相关仍然同周期例,周期余弦 的自相关
tEtx 1c o s)(
对功率有限信号
2
2
)()(1lim)(
T
TT dttxtxTR
1
2
11
c o s
2
)](c o s [.c o slim
2
2
E
dttt
T
T
T
同周期 T取一个周期 T
35
§ 3.13 能量谱和功率谱
dttftfR )()()( * dttfR 2)()0(
deFR j.)(
2
1)( 2
dFR
2
)(
2
1)0(
dFdttfR
22 )(
2
1)()0(
帕斯瓦尔定理相关定理逆运算
36
能量谱 ——帕斯瓦尔定理
dttf
2
)(
0 t
dF 2)(21
0?
2)(tf
2)(?F
两块阴影的面积 相等能量有限信号
R(0)
37
平均功率功率有限信号 f(t)
2
2
0
)(
)(
T
T
T t
ttf
tf
)(tf
)(tfT
d
T
F
dttf
T
P
T
T
T
T
T
T
T
2
2
)(
lim
2
1
)(
1
lim
2
2
2
2
2T2T?
平均功率定义为功率谱 )(
Paseval定理
38
功率谱
T
F T
T
2
)(
lim)(
功率密度函数
dP )(
2
1
平均总功率
0?
)(
39
维纳 — 欣钦定理
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
l im
2
1
)()(
1
l im)(
2
2
)(
deR j)(2 1)(
deR j
)()(
一对傅立叶变换
40
维纳 — 欣钦定理证明
dttxtxTR T )()(1lim)( *
功率信号的相关相关定理
T
F
FF
T
RFT
TT
2
* )(l i m)()(1l i m)]([
T
F T
T
2
)(
lim)(
deR j
)()(
定义功率谱：
41
例：周期信号 的功率谱，周期为)(tf
1T
)(2)( 1 nFF
n
n
)2()( TT S aG
2
)(
)(*)
2
(
2
)(
1 TnSaFT
F
T
Sa
T
F
n
n
T
n
nT
T
T
Tn
SaFT
T
F
2
)(
lim
)(
lim)( 12
2
2
n
n nF )(2)( 1
2
截取一个周期利用频域卷积定理
)(lim)( 2 ktSakt
k?
42
例：求周期余弦的功率谱 和自相关)( )(?R
)(tf
)(
c o s)(
11
2
1
tjtjE ee
tEtf
)(?F
1?1
E )]()([)( 11 EF
1?1
)(
)()(2)( 112 E
)(?R
1
22
c o s
2
][
4
)(
2
1
)(
11
E
ee
E
deR
jj
j
t
n
n nF )(2)( 1
2
2
2E?
维纳钦欣定理
43
作业
旧版,3-47,3-52,3-53
新版,3-38,3-39,3-42
§ 3.10时域抽样信号的傅立叶变换
时域抽样的傅立叶变换
–理想抽样
–矩形抽样
–时域抽样等效频域周期重复
频域抽样等效为时域周期重复
2
一、时域理想抽样的傅立叶变换
)(tf
0 t
)(?F
0?
1
)(tP
)1(
0 t 0
)(tfs 相乘 相卷
)( s?
s?s
s?s 00 t
sT
)(?sF
sT
1
FT
FT
FT
时域抽样频域周期重复
)()(
n sT
nTtt
n ss
np )()(
3
时域理想抽样的傅立叶变换
)(tf
)()(?
n
sT nTtt
)(?F
n
ss np )()(
)(
1
)( s
ns
s nFTF
FT
FT
相乘 相卷积
FT?2
1
4
周期矩形被冲激抽样的频谱
)(1 tf
E
2?2
1T1T? t
t
0
0 2?2
1T1T?
)(tfs
E
)(?sF
sTT
E
1
2
2
2?
sT
2
sT
2?
t
先重复后抽样
5
E
2?2 0
0 2?2
E
先抽样
t
时域抽样频域重复
1T?
t
1T
后重复
sT
2?
sT
2
时域重复频域抽样
2
2?
t
sT
1
1?
E
Ts
1
)(1 tf
6
非理想抽样信号的傅立叶变换
)(tf
0 t
)(tP
0 t
)(tfs
0
t
)(?F
0?
)(?P
0
0
sT
22?
s?s
s s?
2
2?
sE
sE
1
FT
FT
FT
乘卷
7
)(2)( s
n
n nPp
2
)(1 2
2
s
s
T
T
tjn
s
n
nSa
T
Edtetp
T
P
s
s
s
关于非理想抽样
)(*)(2 1)( pFF s?
)(
2
)( s
n
s
s
s nF
n
Sa
T
E
F
)(
1
)( s
ns
s nFTF
理想抽样 非理想抽样
8
)()()(
n sT
nTtttp )()( sn nTtGtp
n
ss np )()( )(2)(
s
n
n nPp
2 s
s
n
nSa
T
EP
s
n TP
1?
)(1)( s
ns
s nFTF
)(2)( s
n
s
s
s nF
nSa
T
EF
)(*)(2 1)( pFF s? )(*)(2 1)( pFF s?
9
二、频域抽样后的时间函数
)(?F
0?
)(
)1(
)(1?F
0?
相乘
)(tf
0 t
IFT
IFT 1
)(
tT
1
1?
)(tf
0 t
IFT
卷积 11?
1
1T1T?
0 t
1?1
1?01
10
)(?F
)()( 1?
n
n
)()()(1FF?
)(tf
IFT
)(1)( 1
1
n
nTtp?
IFT
)(1*)()(
1
1 ttftf T
n
nTtftf )(
1
)( 1
1
1?
IFT
11
时域和频域抽样定理的应用
)5c o s3c o s( c o s)( 151131120 ttttf E
)(21 0
1
tfT t
三角波乘对称方波)(tf
2?2
1
21T
21T?
例 1
对称方波f1 (t)三角波对称方波)(
1?F
12
4
)12(
)12(
)1(
)(
1
2
1
1
Tn
Sa
n
T
F
n
n
1?1
13?
15?
)(?F
1?1
13?
15?
)(?F 对称方波
13
例 2
ttA 00 co s)co s(
)()(
)( 0
)( 0
)(2 0
0?0
0?
0
)(?F )(2 0
)(2 0A
卷积
)(2 0 )(
2 0
)(2 0A
14
例 3
)]() [ c o sc o s( 00 nTtGttA
n
2?2
1)( nTtGn
TT?
2?
2?
T
2
)(?G
)( 0)( 0
0?0
tA 0co s
)(A
)( 0G)( 0G
0?0
)(?G
0
)(?AG
0
n
nTtGtA )()c o s( 0
15
)(2 0GA)(
2 0
GA
)(?F
0?0
0000
)( 002G )( 002G
0?0 0
0
)( 0)( 0
16
§ 3.11 抽样定理
（一）时域抽样定理 ——
一个频率有限信号 如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于 （其中 ），或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
mm )(tf
mf2
1
mm f 2?
mf2
ms 2?
17
不满足抽样定理时产生频率混叠现象
)(1?F
0
)(?sF
0?
)(tf
0
t
sT
1
0
t
s?
s?
)(tf
sT
sT
s
s
sT
1
m?m
)(1?F
0 s?
s
sT
1
ms 2?
18
（二）、由抽样信号恢复原连续信号
)(?F? 取主频带,
时域卷积定理：
)()()( HFF s?
)]([)(
)(*)()(
scs
n
c
s
nTtSanTf
thtftf
)()( tSath cc?
)()()(
n
sss nTtnTftf?
19
0 t
)(tfs )(?sF
m?m
s?
s
)(th
0 t
c?
c
)(?H
sT
1
c
)(tf
卷积 包络
sTs
T?
0
m?m
)(?F
相乘
0
0
t
20
（三）、频域抽样定理若信号 为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率间隔对的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。
)(tf
mm tt
mt2
1 )(tf
)(?F
)(1?F
21
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
)()(
m
m
n m t
n
tSa
t
n
FF
)]([)()( scs
n
c nTtSanTftf
偶函数变量置换
22
抽样定理小结
时域对 抽样等效于频域对 重复时域抽样间隔不大于 。
频域对 抽样等效于时域对 重复频域抽样间隔不大于 。
满足抽样定理，则不会产生混叠。
)(?F)(tf
)(tf)(?F
mt2
1
m?2
1
23
§ 3.12 相关 —（一）相关系数
若用 来近似,设有误差能量
使 最小
即 时误差能量最小
)(tay )(tx
2?
dttaytx 22 )]()([?
0)]()][()([2
2
dttytaytx
da
d?
dtty
dttytx
a
)(
)()(
2
24
dt
dtty
dttytx
tytx 2
2
2
m i n ]
)(
)()(
)()([?
归一化为相对误差能量
2
2
2
m i n 1
)(
xy
dttx
2
1
22
)(.)(
)()(
dttydttx
dttytx
xy
相关系数为
1?xy?
25
（二） 相关函数 —
时移信号的相关性
由相关系数 求两时移信号的相似性，
有如下相关函数，叫互相关函数。
或
还有另一定义
dttytxR xy )()()( *
dttxtyR yx )()()( *
xyr
dtytxR xy )()()( *
26
自相关函数和互相关函数的应用传感器
1
传感器
2
微血管红血球的流速测量
)(1 tx
0
t
)(2 tx
0
t120 tt
)(12?R
L
120 tt
0
12 tt
Lv
27
L
T1
T2
互相关漏电
)( 12 TTvL
脉冲发生器
)(1 tx )(
2 tx
)(?R
互相关法用于长电力传输线的故障检测
m a x)( 1?TR
m a x)( 2?TR
28
雷达微波
)(1 tf
)(2 tf
2
2
2112 )()()(
T
T
dttftfR
29
超声波无损探伤（例如大型发电机的机轴的材料质量要求很高 ）
被测模块内有沙眼和裂痕超声波阵列传感器测量损伤深度
30
（三）相关与卷积的关系
dthxthtx )()()(*)(
dtthtxR xh )()()(
dthxtR xh )()()(
变量互换
h (t)
h (-t)
)(*)()( thtxtR xh
没有反摺
31
)(?x
)(?h
反摺 不反摺位移相乘
l
M
M?
M
l
l Ml?
积分
M? l
卷积 相关
32
（五）相关定理
若已知则
证明
)()]([
)()]([
YtyFT
XtxFT
)().()]([ * YXRFT xy?
)()()()(
)()(
.)()()]([
**
*
*
YXdteYtx
dtdetytx
dedttytxRFT
tj
j
j
xy
33
自相关函数与幅度谱的平方是一对 FT
2* )()()()]([ XXXRFT
xx
若有 y(t)是实偶函数,也是实偶函数则此时相关定理就是卷积定理
)(?Y
)()()().(
])()([
*
*
YXYX
dttytxFT
去共轭 )( ty
dtyx )()(
变量互换
34
周期信号的自相关仍然同周期例,周期余弦 的自相关
tEtx 1c o s)(
对功率有限信号
2
2
)()(1lim)(
T
TT dttxtxTR
1
2
11
c o s
2
)](c o s [.c o slim
2
2
E
dttt
T
T
T
同周期 T取一个周期 T
35
§ 3.13 能量谱和功率谱
dttftfR )()()( * dttfR 2)()0(
deFR j.)(
2
1)( 2
dFR
2
)(
2
1)0(
dFdttfR
22 )(
2
1)()0(
帕斯瓦尔定理相关定理逆运算
36
能量谱 ——帕斯瓦尔定理
dttf
2
)(
0 t
dF 2)(21
0?
2)(tf
2)(?F
两块阴影的面积 相等能量有限信号
R(0)
37
平均功率功率有限信号 f(t)
2
2
0
)(
)(
T
T
T t
ttf
tf
)(tf
)(tfT
d
T
F
dttf
T
P
T
T
T
T
T
T
T
2
2
)(
lim
2
1
)(
1
lim
2
2
2
2
2T2T?
平均功率定义为功率谱 )(
Paseval定理
38
功率谱
T
F T
T
2
)(
lim)(
功率密度函数
dP )(
2
1
平均总功率
0?
)(
39
维纳 — 欣钦定理
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
l im
2
1
)()(
1
l im)(
2
2
)(
deR j)(2 1)(
deR j
)()(
一对傅立叶变换
40
维纳 — 欣钦定理证明
dttxtxTR T )()(1lim)( *
功率信号的相关相关定理
T
F
FF
T
RFT
TT
2
* )(l i m)()(1l i m)]([
T
F T
T
2
)(
lim)(
deR j
)()(
定义功率谱：
41
例：周期信号 的功率谱，周期为)(tf
1T
)(2)( 1 nFF
n
n
)2()( TT S aG
2
)(
)(*)
2
(
2
)(
1 TnSaFT
F
T
Sa
T
F
n
n
T
n
nT
T
T
Tn
SaFT
T
F
2
)(
lim
)(
lim)( 12
2
2
n
n nF )(2)( 1
2
截取一个周期利用频域卷积定理
)(lim)( 2 ktSakt
k?
42
例：求周期余弦的功率谱 和自相关)( )(?R
)(tf
)(
c o s)(
11
2
1
tjtjE ee
tEtf
)(?F
1?1
E )]()([)( 11 EF
1?1
)(
)()(2)( 112 E
)(?R
1
22
c o s
2
][
4
)(
2
1
)(
11
E
ee
E
deR
jj
j
t
n
n nF )(2)( 1
2
2
2E?
维纳钦欣定理
43
作业
旧版,3-47,3-52,3-53
新版,3-38,3-39,3-42
