1
第六章 连续系统的傅立叶分析
周期和非周期激励下的频率响应
无失真传输和理想低通滤波器
巴特沃兹逼近滤波
切比雪夫逼近 *
希尔伯特变换 *
调制与解调 *
2
§ 6.1 频域系统函数
时域
S域
频域（傅立叶变换域）
)(te
)(th
)(*)()( thtetr?
)(sE
)(sH
)()()( sHsEsR?
)(?jH)(?jE
)()()( jHjEjR?
3
)(?jH)(?jE )()()( jHjEjR?
)(?jE
)(?jH
)(?jR
)( je
)( j
)( jr
各分量被加权各分量被相移
4
上面的处理提出几个问题？
如何保证信号经过系统不会失真？
如何根据要求设计系统函数？
什么系统函数是理想函数？
如何将设计的理想的系统函数变为物理可实现的？
信号在经过系统前后能量有何变化？
关键是有什么样的系统频率特性
)()()( jjejHjH?
5
的求解方法？
方法一,h(t)的傅立叶变换
方法二,系统微分方程两边求傅立叶变换
方法三：利用输入为 时的系统响应
)()()( jjejHjH?
tjete)(
)()( jHetr tj?
6
方法一,h(t)的傅立叶变换
)]([)( thFTjH
)(th)()( tte
系统零状态响应
7
方法二,系统微分方程两边求傅立叶变换
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
11
1
10
11
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
)()()( Fj
dt
tfdFT n
n
n
)(
)(
)(
jE
jR
jH?
8
方法三：
利用输入为 时的系统响应 tjete)(
)(
)()(
)()()(*)()(
)(
jHe
dheedhe
dhtethtetr
tj
jtjtj
tje
trjH
)()(?
输入为时的响应 tje?
9
例：
)()(2)(3)( '" tetrtrtr
tj
tj
tj
ejAtr
ejAtr
Aetr
2
)()("
)(3)('3
2)(2
tjtj eejjA ]2)(3)[( 2
2)(3)()( 2
jj
etr tj
2)(3)(
1)(
)( 2
jje
tr
jH tj
可求出 A
特解
10
§ 6.2 非周期信号激励下的系统响应
)(?jH)(?jE
)()()( jHjEjR?
)]([)( 1?jRFTtr
11
R
C
+
U1
_
+
U2
_
j
RC
sRCU
UjH
js1
1.1)(
1
2
例
1
)(1 tv
)
2
()1(1)( 21
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j
jV jj
)
2
(
2
22
12
)2/(
)()()(
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jVjHjV
12
)1()1(
)1()(
2
jj
j
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j
E
e
j
E
e
j
E
j
jV
)()1()()1()( )(2 tueEtueEtv tt
)(2 tv
t
13
§ 6.3 周期信号激励下的系统响应
正弦周期信号的激励
非正弦周期信号的激励
14
正弦周期信号的激励
tttv 01 s i n)(?
)]()([)( 001 jjV
0?
00
)(1?jjV
15
)()()( jjejHjH?
0
)(
00
)(
00
0
0
)()(
)()(
jj
jj
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)( 0 jH?
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0
)(1?jjV )(
0 jH
)]()([)(
)]()()[()(
00
)(
002
jjejHj
jHjjV
)]([ s i n ()()( 0002 jtjHtv
16
非正弦周期信号的激励
第一个周期
傅立叶级数系数
傅立叶变换式
系统频率特性
系统频域响应
系统时域响应
)(11?jV
1
)(1 11 nn jVTF
n
n nFjV )(2)( 11
)(?jH
)()()( 12 jVjHjV?
)]([)( 212?jVFTtv
17
例 周期信号经过线性系统
R
C
)(1 tv )(2 tv
)1()(:1 11 jejEjVS te p )1(1:2 1
1
jnn e
jn
E
TFS te p
)(2)(:3 11 nFjVS te p
n
n
jjHS te p)(:4
)()1(
2
)()()(:5
1
11
12
1
ne
jn
E
jnT
jVjHjVS t e p
jn
n
)]([)(:6 212?jVFTtvS t ep
18
§ 6.4 无失真传输
全通网络，信号幅度不失真
信号放大、时延，
波形不失真
线性相位，波形不失真
K
)(?jH
)(tf )( 0ttKf?
0t
t
)()( 0ttKetr
0)()( tjejKEjR
)(?jE )( j
)( j
19
例,tEtEte
1211 2s i ns i n)(
)]
2
(2s in [ ()](s in [
)2s in ()s in ()(
1
2
12
1
1
11
212111
tEtE
tEtEtr
c o n s te n tt 0
1
2
1
1
2?
nnn
1
1
11
dtjdtj 00 )()(
)( j
0t?
20
从系统函数的意义上讲：输出仅是输入的线性放大和延时，则系统不使输出波形失真
)(th
)(t? )()( 0ttKtr
常用冲激信号作为测试系统保真度的信号
21
希望产生特定波形
)(t? )(?jH
)()( jHjR?
例如：要求产生一个底为 的升余弦脉冲
)(0
)()c o s1(
2)( 22
2
o t h e r
ttEtr
2
2
1
1
)
2
(
2
)()(
Sa
E
jRjH
实际用窄矩形脉冲
22
§ 6.5 理想低通滤波器及其冲激响应低通 高通带通 带阻
23
理想低通滤波器
o th e r
e
ejHjH c
tj
jj
0
.1
)()(
0
)(
1)(jH
c?c
c?
c
0)( tj
24
理想低通滤波器的冲激响应
)()( tte )()( trth?
)]([
.1
2
1
)]([)(
0
)(1 0
ttSa
dejHFTth
c
c
ttj
)(th
0t
c
0
25
理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系
c?c
c?c
)(th
0t
c
0
)(th
0t?
0
0t
1 )( 0tt
26
§ 6.5 理想低通滤波器的阶跃响应
)()( tute?
)(tr
je
jjEjHjR
)1)(()()()(
dtt
deejjRFTtr tjtj
)(sin
2
1
2
1
)1)((21)]([)(
0
1 0
t0
27
dxttddttdxttx
0
00
1,)(),(
)(1
2
1s i n1
2
1)( ySidx
x
xtr
2
x
xsin
2
)(
s i n
2
)(,
2
)(,
ySi
x
x
ySit
ySit
主瓣宽度 上升
28
d
tt
ttySi
0
0
0
)(
)](s in [)(
)(tu
)(tr
1
21
1 是前面波形的延迟
0t
29
例：理想低通滤波器对矩形方波的响应
)1)(()1(1)( jj eejjE
0)1](1)([)( tjj ee
jjR
)]([)([
1
)(
2
1
)(
00
ttSittSi
dejRtr
tj
30
例：理想低通对 的响应
可以证明理想低通对 和对 的响应是一样的
)( xSa
)(t
c
t t
c
c
sin
证：
)()( tte
c
)]([)( 0ttSath c)()( tte
)]([)()(
0
ttSathtr
c
t
tte
c
c
sin)(? 对偶性
)(?jE
31
和 有完全一样的形状，相乘的结果还是,反变换回去还是与 e(t),只是多了相移，因为 是有线性相位的
)(?jE )(?jH
)(?jE
)(?jH
)(?jE
)(?jH
)( j
)(
)(s in)(
0
0
tt
tttr
0t
)(tr
32
理想带通滤波器的冲激响应
0? c0c0
0
c 0c 0
)(
)(s in
)(
00
00
tt
tt
eth ctjc
33
作业
旧版,6-3,6-11（ 1）（ 2）,6-13
34
§ 6.6 物理可实现性 — 佩利维纳准则
（ 1） 时域 —— 因果性
（ 2）频域有界能量可积频带内不为零
0)(,0 tht
djH
21
)(ln
djH
2
)(?
0)(jH限制了衰 减速度
35
L
C CLR?)(1 tv )(2 tv?)(?th
22
2
3
2
2
3
3
2
)(
c
c
c
c
j
jH
)0()2 3s i n (
3
2)]([)( 21 ttejHFTth
c
tc c
)(th
c?
c?
2
由实际电路组成从 t>=0
开始，物理可实现例：
36
高斯幅频特性是否物理可实现？
2)( ejH?
)
2
(lim2)(2lim
lim
1
1
1
11
)l n (
1
)(ln
1
1
2
2
2
2
2
2
BBtgB
tgd
dd
e
d
jH
BB
B
B
B
发散的，物理不可实现
37
例：
延时 T?
T1
t dt)(
)(ty
)(tx
TTT,,?)(?ty
)]()(
)()()()()([
1
)(
)1(
1
11
)1)(()(
)1(
1
)(
)()()(
)(
2
TtuTt
Ttuttutttu
T
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Ts
sT
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s
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tututx
TssTs
sT
s
38
T
)()()()1( tutttu
T
)()()()()2( TtuTtTtuTt
)2()1()(ty
T
T?
T
T
T
1
T
1
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1
T
1
T
1
T
T
T
第六章 连续系统的傅立叶分析
周期和非周期激励下的频率响应
无失真传输和理想低通滤波器
巴特沃兹逼近滤波
切比雪夫逼近 *
希尔伯特变换 *
调制与解调 *
2
§ 6.1 频域系统函数
时域
S域
频域（傅立叶变换域）
)(te
)(th
)(*)()( thtetr?
)(sE
)(sH
)()()( sHsEsR?
)(?jH)(?jE
)()()( jHjEjR?
3
)(?jH)(?jE )()()( jHjEjR?
)(?jE
)(?jH
)(?jR
)( je
)( j
)( jr
各分量被加权各分量被相移
4
上面的处理提出几个问题？
如何保证信号经过系统不会失真？
如何根据要求设计系统函数？
什么系统函数是理想函数？
如何将设计的理想的系统函数变为物理可实现的？
信号在经过系统前后能量有何变化？
关键是有什么样的系统频率特性
)()()( jjejHjH?
5
的求解方法？
方法一,h(t)的傅立叶变换
方法二,系统微分方程两边求傅立叶变换
方法三：利用输入为 时的系统响应
)()()( jjejHjH?
tjete)(
)()( jHetr tj?
6
方法一,h(t)的傅立叶变换
)]([)( thFTjH
)(th)()( tte
系统零状态响应
7
方法二,系统微分方程两边求傅立叶变换
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
11
1
10
11
1
10
teE
dt
tde
E
dt
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E
dt
ted
E
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tdr
C
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trd
C
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m
m
nnn
n
n
n
)()()( Fj
dt
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n
n
)(
)(
)(
jE
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8
方法三：
利用输入为 时的系统响应 tjete)(
)(
)()(
)()()(*)()(
)(
jHe
dheedhe
dhtethtetr
tj
jtjtj
tje
trjH
)()(?
输入为时的响应 tje?
9
例：
)()(2)(3)( '" tetrtrtr
tj
tj
tj
ejAtr
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Aetr
2
)()("
)(3)('3
2)(2
tjtj eejjA ]2)(3)[( 2
2)(3)()( 2
jj
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2)(3)(
1)(
)( 2
jje
tr
jH tj
可求出 A
特解
10
§ 6.2 非周期信号激励下的系统响应
)(?jH)(?jE
)()()( jHjEjR?
)]([)( 1?jRFTtr
11
R
C
+
U1
_
+
U2
_
j
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sRCU
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1.1)(
1
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例
1
)(1 tv
)
2
()1(1)( 21
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(
2
22
12
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)()()(
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eSaE
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)1()(
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j
jV
)()1()()1()( )(2 tueEtueEtv tt
)(2 tv
t
13
§ 6.3 周期信号激励下的系统响应
正弦周期信号的激励
非正弦周期信号的激励
14
正弦周期信号的激励
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)]()([)( 001 jjV
0?
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15
)()()( jjejHjH?
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)()(
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)(1?jjV )(
0 jH
)]()([)(
)]()()[()(
00
)(
002
jjejHj
jHjjV
)]([ s i n ()()( 0002 jtjHtv
16
非正弦周期信号的激励
第一个周期
傅立叶级数系数
傅立叶变换式
系统频率特性
系统频域响应
系统时域响应
)(11?jV
1
)(1 11 nn jVTF
n
n nFjV )(2)( 11
)(?jH
)()()( 12 jVjHjV?
)]([)( 212?jVFTtv
17
例 周期信号经过线性系统
R
C
)(1 tv )(2 tv
)1()(:1 11 jejEjVS te p )1(1:2 1
1
jnn e
jn
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TFS te p
)(2)(:3 11 nFjVS te p
n
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1
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1
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jVjHjVS t e p
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18
§ 6.4 无失真传输
全通网络，信号幅度不失真
信号放大、时延，
波形不失真
线性相位，波形不失真
K
)(?jH
)(tf )( 0ttKf?
0t
t
)()( 0ttKetr
0)()( tjejKEjR
)(?jE )( j
)( j
19
例,tEtEte
1211 2s i ns i n)(
)]
2
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)2s in ()s in ()(
1
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1
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1
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1
1
11
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)( j
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20
从系统函数的意义上讲：输出仅是输入的线性放大和延时，则系统不使输出波形失真
)(th
)(t? )()( 0ttKtr
常用冲激信号作为测试系统保真度的信号
21
希望产生特定波形
)(t? )(?jH
)()( jHjR?
例如：要求产生一个底为 的升余弦脉冲
)(0
)()c o s1(
2)( 22
2
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2
2
1
1
)
2
(
2
)()(
Sa
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实际用窄矩形脉冲
22
§ 6.5 理想低通滤波器及其冲激响应低通 高通带通 带阻
23
理想低通滤波器
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0
.1
)()(
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24
理想低通滤波器的冲激响应
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)]([
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)]([)(
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c
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25
理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系
c?c
c?c
)(th
0t
c
0
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0
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1 )( 0tt
26
§ 6.5 理想低通滤波器的阶跃响应
)()( tute?
)(tr
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)1)(()()()(
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deejjRFTtr tjtj
)(sin
2
1
2
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)1)((21)]([)(
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27
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)(1
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ySit
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主瓣宽度 上升
28
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1
21
1 是前面波形的延迟
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29
例：理想低通滤波器对矩形方波的响应
)1)(()1(1)( jj eejjE
0)1](1)([)( tjj ee
jjR
)]([)([
1
)(
2
1
)(
00
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dejRtr
tj
30
例：理想低通对 的响应
可以证明理想低通对 和对 的响应是一样的
)( xSa
)(t
c
t t
c
c
sin
证：
)()( tte
c
)]([)( 0ttSath c)()( tte
)]([)()(
0
ttSathtr
c
t
tte
c
c
sin)(? 对偶性
)(?jE
31
和 有完全一样的形状，相乘的结果还是,反变换回去还是与 e(t),只是多了相移，因为 是有线性相位的
)(?jE )(?jH
)(?jE
)(?jH
)(?jE
)(?jH
)( j
)(
)(s in)(
0
0
tt
tttr
0t
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32
理想带通滤波器的冲激响应
0? c0c0
0
c 0c 0
)(
)(s in
)(
00
00
tt
tt
eth ctjc
33
作业
旧版,6-3,6-11（ 1）（ 2）,6-13
34
§ 6.6 物理可实现性 — 佩利维纳准则
（ 1） 时域 —— 因果性
（ 2）频域有界能量可积频带内不为零
0)(,0 tht
djH
21
)(ln
djH
2
)(?
0)(jH限制了衰 减速度
35
L
C CLR?)(1 tv )(2 tv?)(?th
22
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2
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3
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)(
c
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)0()2 3s i n (
3
2)]([)( 21 ttejHFTth
c
tc c
)(th
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c?
2
由实际电路组成从 t>=0
开始，物理可实现例：
36
高斯幅频特性是否物理可实现？
2)( ejH?
)
2
(lim2)(2lim
lim
1
1
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11
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1
)(ln
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2
BBtgB
tgd
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jH
BB
B
B
B
发散的，物理不可实现
37
例：
延时 T?
T1
t dt)(
)(ty
)(tx
TTT,,?)(?ty
)]()(
)()()()()([
1
)(
)1(
1
11
)1)(()(
)1(
1
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38
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