1
第七章 离散系统的时域分析
连续系统
微分方程
卷积积分
拉氏变换
连续傅立叶变换
卷积定理
离散系统
差分方程
卷积和
Z变换
离散傅立叶变换
卷积定理
2
§ 7.1 离散时间信号
单位样值信号（ Unit Sample)
)0(0
)0(1
)(
n
n
n?
)(0
)(1
)(
0
0
0 nn
nn
nn?
)(n?
0 n
)( 0nn
0 n0n
3
离散单位阶跃信号
离散矩形序列
)0(0
)0(1
)(
n
n
nu
1
.....43210 n
1
0210 n?
n)()(
)0(0
)10(1
)(
0
nnunu
Nnorn
Nn
nG
n
4
斜变序列
)()( nnunR?
.,,,,543210
n
1
2
3
4
5
0
)()( 2 nunnr?
.,,,,543210
n
4
0
9
16
25
5
指数序列 )()( nuanx n?
1?a 10 a
01 a 1a
6
正弦序列
tAtf 0s i n)(
)s i n (
)s i n ()(
0
0
nA
nTAnx s
t = nTs
s
s fTN
0
00
2
0co s)(?nAnx?
43210
n
1?N
0
2
为整数时，正弦序列才有周期
0
2
7
复指数序列
任意离散序列
)()](a r g [
00
0)()(
s inc o s)(
njnxj
enxenx
njBnAnx
m
mnmxnx )()()(?
加权表示
)(tx
m
mn )(?
)(nx
8
§ 7.2 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型
从常系数微分方程得到差分方程
已知网络结构建立离散系统数学模型
9
一,离散线性时不变系统
线性：
1。可加性：
2。均匀性：
时不变性
)(nxi )(nyi)(nh
M
i
i nx
0
)(?
M
i
i ny
0
)(
M
i
ii nxa
0
)(?
M
i
ii nya
0
)(
)( mnx i? )( mny i?
10
连续系统的数学模型
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
11
1
10
11
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
基本运算：各阶导数，系数乘，相加
11
二,离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合系数乘，相加，延时单元
),.,,,2(),1(),( nxnxnx
),.,,,2(),1(),( nynyny
M
r
r
N
k
k rnxbknyany
01
)()()(
12
)(nx
E1
)1(?nx
)(ny
E1
)1(?ny
延时加法器
)(nx
)1(?ny
)()1()( nxnyny
乘法器 )(nx
)()( naxny?
a
13
)1()()( naynxny
例 1：
)1(?ny
)(nx
E1
a
)(nx E1
a
)()()1( nxnayny
)]()1([1)( nxnyany
例 2：
后向差分方程多用于因果系统前向差分方程多用于状态方程
14
三,从常系数微分方程得到差分方程
在连续和离散之间作某种近似
)()( nyty?
)]()1([
1)(
nyny
Tdt
tdy
s
15
)(tx )(ty
)()()( txtydt tdyRC
取近似：
)()( nyty? )]()1([)( nyny
T
RC
dt
tdyRC
s
)()()]()1([ nxnynynyTRC
s
)()()1()1( nx
RC
Tny
RC
Tny ss
16
四,已知网络结构建立离散系统数学模型网络结构图,
)(nx
a
1?
)()1(1)( nxnyany
E1
)1(?ny
17
)(nx
1a?
)1()(
)1()(
10
1
nxbnxb
nyany
E1
E1
)1(?nx
0b
1b
)1(?ny
18
)(nx
1a?
)()2(
)1()(
2
1
nxnya
nyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny
2a?
19
)(nx
1a?
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny2
a?
E1
E1
0b
1b
2b
0a
)1(?nx
)2(?nx
20
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
0a
1b
2b
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
0b
21
§ 7.3常系数差分方程的求解
迭代法
时域经典法
离散卷积法：利用齐次解得零输入解，再利用卷积和求零状态解。
变换域法（ Z变换法）
状态变量分析法
22
一,迭代法
当差分方程阶次较低时常用此法
)()(
)()1()(
0.)2()1()2(2
0)1()0()1(1
1)(0)0()1()0(0
)()()()1()(
2
nuany
anxnaynynn
aaaxayyn
aaxayyn
nxayyn
nnxnxnayny
n
n
23
二,时域经典法
差分方程
特征根,有 N个特征根
齐次解：
– 非重根时的齐次解
– L次重根 时的齐次解
– 共轭根 时的齐次解
M
r
r
N
k
k rnxbknya
00
)()(
0)(
0
knya
N
k
k
n
k
N
k
kCny
1
)(
n
k
kl
l
k
l nCny?
1
)(
nn jCjC )()( 21
k?
24
特解：
– 自由项为 的多项式则特解为
– 自由项含有 且 不是 齐次根,则特解
– 自由项含有 且 是单次 齐次根，
则特解
– 自由项含有 且 是 K次重 齐次根则特解
kkk DnDnD110
kn
na nDa
na
a
a
na a
n
k
kk aDnDnD )(
1
1
21?
naDnD )( 21?
25
特解：
自由项为 正弦或余弦表达式则特解为
自由项 中的 n是齐次解 n的 m次 重根 时,则特解是
0201 co ss i n)( nDnDnD
mkkk nDnDnD )( 110
kn
26
完全解 =齐次解 +特解
代入边界条件求出待定系数,于是得到完全解的闭式
iC
27
例,)1()()1(2)( nxnxnyny
1)1()( 2 ynnx
解,2 nCny )2()(
1
齐次解
12)1( 22 nnnr i g h t
10)( DnDny
特解的形式代入差分方程
122)1(2 1010 nDnDDnD
9
1
3
2
)(
9
1
3
2
12233
10
010
nny
DD
nDDnD
特解
28
完全解 =齐次解 +特解
9
1
3
2)2()(
1 nCny
n
代入边界条件求出待定系数,
1C
9
8
1
9
1
)1(
3
2
)2()1(
1
1
1
C
Cy
得到完全解的闭式
9
1
3
2
)2(
9
8
)( nny n
29
例
0)1(,1)0(2s in)2(2)1(2)( yynnynyny?
)
4
s in
4
c o s(2)(
,21
21
4
2,1
n
A
n
Any
ej
n
j
齐次解
52512s in2c o s22s in2 211212 DDnnDDnDD
5
1
5
3,0)1(,1)0(
21 AAyy
2c o s522s i n514s i n514c o s532)( nnnnny n
2c o s2s i n)( 21
nDnDnD
2c o s522s in514s in4c o s2)( 21 nnnAnAny n
30
例
)1()()2(2)1(3)( nxnxnynyny
0)1(0)0( yy
解,此类问题要分区来考虑系统的初始状态,
)()2()(1
)()0(0
0)(0
nunxn
nxn
nxn
n
4)2(,2)1(
1)0(,0)1(
xx
xx
)0()1()1(2)0(3)1(
)1()0()2(2)1(3)0(
xxyyy
xxyyy
0)1(0)0( yy
4
5)2(
2
1)1( yy
31
nn CCny )2()1()( 21
0?n
0?n
4
5
)2()1()2(
2
1
)2()1()1(
2
2
2
1
1
2
1
1
CCy
CCy
3
2
2
1
C
C
同 n<0 一样
1?n
)()2()( nunx n nnDnD )2()( 1
11?D
nnn nBBny )2()2()1()( 21
2)2()1()2()0(2)1(3)2( yxxyyy
32
nnn
nn
nBB
CCny
)2()2()1(
)2()1()(
21
21
)1(])2)(2()1(2[
)(])2(3)1(2[)(
nun
nuny
nn
nn
33
例
4
3)1(,1)0()(.)2()1(2)( yynunnynyny
212,1 )(1 CnCny
21)()( DnDnDnnu
特解和齐次解相重，
升幂
2
21 )()( nDnDnD
1 是差分方程的 2 次重根
2
1
6
1
21 DD
23
21 2
1
6
1)( nnCnCny
23
2
1
6
11
12
11)( nnnny
0?n
34
0?n
4
9)1(,1)1()0(2)1( yyyy
2
7)2(,0)2()1(2)0( yyyy
特解为 0
21)( CnCny 1
4
5
21 CC
)()
2
1
6
1
1
12
11
(
)1()1
4
5
()(
23
nunnn
nunny
第七章 离散系统的时域分析
连续系统
微分方程
卷积积分
拉氏变换
连续傅立叶变换
卷积定理
离散系统
差分方程
卷积和
Z变换
离散傅立叶变换
卷积定理
2
§ 7.1 离散时间信号
单位样值信号（ Unit Sample)
)0(0
)0(1
)(
n
n
n?
)(0
)(1
)(
0
0
0 nn
nn
nn?
)(n?
0 n
)( 0nn
0 n0n
3
离散单位阶跃信号
离散矩形序列
)0(0
)0(1
)(
n
n
nu
1
.....43210 n
1
0210 n?
n)()(
)0(0
)10(1
)(
0
nnunu
Nnorn
Nn
nG
n
4
斜变序列
)()( nnunR?
.,,,,543210
n
1
2
3
4
5
0
)()( 2 nunnr?
.,,,,543210
n
4
0
9
16
25
5
指数序列 )()( nuanx n?
1?a 10 a
01 a 1a
6
正弦序列
tAtf 0s i n)(
)s i n (
)s i n ()(
0
0
nA
nTAnx s
t = nTs
s
s fTN
0
00
2
0co s)(?nAnx?
43210
n
1?N
0
2
为整数时，正弦序列才有周期
0
2
7
复指数序列
任意离散序列
)()](a r g [
00
0)()(
s inc o s)(
njnxj
enxenx
njBnAnx
m
mnmxnx )()()(?
加权表示
)(tx
m
mn )(?
)(nx
8
§ 7.2 离散时间系统数学模型
离散线性时不变系统
离散系统的数学模型
从常系数微分方程得到差分方程
已知网络结构建立离散系统数学模型
9
一,离散线性时不变系统
线性：
1。可加性：
2。均匀性：
时不变性
)(nxi )(nyi)(nh
M
i
i nx
0
)(?
M
i
i ny
0
)(
M
i
ii nxa
0
)(?
M
i
ii nya
0
)(
)( mnx i? )( mny i?
10
连续系统的数学模型
)(
)(
...
)()(
)(
)(
...
)()(
11
1
10
11
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
基本运算：各阶导数，系数乘，相加
11
二,离散系统的数学模型
输入是离散序列及其时移函数
输出是离散序列及其时移函数
系统模型是输入输出的线性组合系数乘，相加，延时单元
),.,,,2(),1(),( nxnxnx
),.,,,2(),1(),( nynyny
M
r
r
N
k
k rnxbknyany
01
)()()(
12
)(nx
E1
)1(?nx
)(ny
E1
)1(?ny
延时加法器
)(nx
)1(?ny
)()1()( nxnyny
乘法器 )(nx
)()( naxny?
a
13
)1()()( naynxny
例 1：
)1(?ny
)(nx
E1
a
)(nx E1
a
)()()1( nxnayny
)]()1([1)( nxnyany
例 2：
后向差分方程多用于因果系统前向差分方程多用于状态方程
14
三,从常系数微分方程得到差分方程
在连续和离散之间作某种近似
)()( nyty?
)]()1([
1)(
nyny
Tdt
tdy
s
15
)(tx )(ty
)()()( txtydt tdyRC
取近似：
)()( nyty? )]()1([)( nyny
T
RC
dt
tdyRC
s
)()()]()1([ nxnynynyTRC
s
)()()1()1( nx
RC
Tny
RC
Tny ss
16
四,已知网络结构建立离散系统数学模型网络结构图,
)(nx
a
1?
)()1(1)( nxnyany
E1
)1(?ny
17
)(nx
1a?
)1()(
)1()(
10
1
nxbnxb
nyany
E1
E1
)1(?nx
0b
1b
)1(?ny
18
)(nx
1a?
)()2(
)1()(
2
1
nxnya
nyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny
2a?
19
)(nx
1a?
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny2
a?
E1
E1
0b
1b
2b
0a
)1(?nx
)2(?nx
20
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
0a
1b
2b
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
0b
21
§ 7.3常系数差分方程的求解
迭代法
时域经典法
离散卷积法：利用齐次解得零输入解，再利用卷积和求零状态解。
变换域法（ Z变换法）
状态变量分析法
22
一,迭代法
当差分方程阶次较低时常用此法
)()(
)()1()(
0.)2()1()2(2
0)1()0()1(1
1)(0)0()1()0(0
)()()()1()(
2
nuany
anxnaynynn
aaaxayyn
aaxayyn
nxayyn
nnxnxnayny
n
n
23
二,时域经典法
差分方程
特征根,有 N个特征根
齐次解：
– 非重根时的齐次解
– L次重根 时的齐次解
– 共轭根 时的齐次解
M
r
r
N
k
k rnxbknya
00
)()(
0)(
0
knya
N
k
k
n
k
N
k
kCny
1
)(
n
k
kl
l
k
l nCny?
1
)(
nn jCjC )()( 21
k?
24
特解：
– 自由项为 的多项式则特解为
– 自由项含有 且 不是 齐次根,则特解
– 自由项含有 且 是单次 齐次根，
则特解
– 自由项含有 且 是 K次重 齐次根则特解
kkk DnDnD110
kn
na nDa
na
a
a
na a
n
k
kk aDnDnD )(
1
1
21?
naDnD )( 21?
25
特解：
自由项为 正弦或余弦表达式则特解为
自由项 中的 n是齐次解 n的 m次 重根 时,则特解是
0201 co ss i n)( nDnDnD
mkkk nDnDnD )( 110
kn
26
完全解 =齐次解 +特解
代入边界条件求出待定系数,于是得到完全解的闭式
iC
27
例,)1()()1(2)( nxnxnyny
1)1()( 2 ynnx
解,2 nCny )2()(
1
齐次解
12)1( 22 nnnr i g h t
10)( DnDny
特解的形式代入差分方程
122)1(2 1010 nDnDDnD
9
1
3
2
)(
9
1
3
2
12233
10
010
nny
DD
nDDnD
特解
28
完全解 =齐次解 +特解
9
1
3
2)2()(
1 nCny
n
代入边界条件求出待定系数,
1C
9
8
1
9
1
)1(
3
2
)2()1(
1
1
1
C
Cy
得到完全解的闭式
9
1
3
2
)2(
9
8
)( nny n
29
例
0)1(,1)0(2s in)2(2)1(2)( yynnynyny?
)
4
s in
4
c o s(2)(
,21
21
4
2,1
n
A
n
Any
ej
n
j
齐次解
52512s in2c o s22s in2 211212 DDnnDDnDD
5
1
5
3,0)1(,1)0(
21 AAyy
2c o s522s i n514s i n514c o s532)( nnnnny n
2c o s2s i n)( 21
nDnDnD
2c o s522s in514s in4c o s2)( 21 nnnAnAny n
30
例
)1()()2(2)1(3)( nxnxnynyny
0)1(0)0( yy
解,此类问题要分区来考虑系统的初始状态,
)()2()(1
)()0(0
0)(0
nunxn
nxn
nxn
n
4)2(,2)1(
1)0(,0)1(
xx
xx
)0()1()1(2)0(3)1(
)1()0()2(2)1(3)0(
xxyyy
xxyyy
0)1(0)0( yy
4
5)2(
2
1)1( yy
31
nn CCny )2()1()( 21
0?n
0?n
4
5
)2()1()2(
2
1
)2()1()1(
2
2
2
1
1
2
1
1
CCy
CCy
3
2
2
1
C
C
同 n<0 一样
1?n
)()2()( nunx n nnDnD )2()( 1
11?D
nnn nBBny )2()2()1()( 21
2)2()1()2()0(2)1(3)2( yxxyyy
32
nnn
nn
nBB
CCny
)2()2()1(
)2()1()(
21
21
)1(])2)(2()1(2[
)(])2(3)1(2[)(
nun
nuny
nn
nn
33
例
4
3)1(,1)0()(.)2()1(2)( yynunnynyny
212,1 )(1 CnCny
21)()( DnDnDnnu
特解和齐次解相重，
升幂
2
21 )()( nDnDnD
1 是差分方程的 2 次重根
2
1
6
1
21 DD
23
21 2
1
6
1)( nnCnCny
23
2
1
6
11
12
11)( nnnny
0?n
34
0?n
4
9)1(,1)1()0(2)1( yyyy
2
7)2(,0)2()1(2)0( yyyy
特解为 0
21)( CnCny 1
4
5
21 CC
)()
2
1
6
1
1
12
11
(
)1()1
4
5
()(
23
nunnn
nunny
