1
§ 8.7 用单边 Z变换解差分方程解差分方程的方法：
（ 1）时域经典法
（ 2）卷积和解法
（ 3） Z变换解法
2
（一）复习 Z变换的位移特性若 x(n)分别是双边序列、双边左移序列、
双边右移序列时，它们的双边和单边 Z变换是不同的：
（ 1）双边序列的双边 Z变换 (p79-p83)
)()]([
)()]([
)()()]([
zXzmnxZT
zXzmnxZT
znxzXnxZT
m
m
n
n
3
（ 2）双边左移序列的单边 Z变换
n
n
znunxzX?
0
)()()(
1
0
0
1
0
0
)(
0
)()(
)()(
)()(
)()]()([
m
k
km
k
m
k
kkm
mk
km
n
mnm
n
n
zkxzXz
zkxzkxz
zkxzzmnxz
zmnxnumnxZT
4
（ 3）双边右移序列的单边 Z变换
n
n
znunxzX?
0
)()()(
1
0
1
0
)(
0
)()(
)()(
)()(
)()]()([
mk
km
k mk
kkm
mk
km
n
mnm
n
n
zkxzXz
zkxzkxz
zkxzzmnxz
zmnxnumnxZT
因果序列是右移序列
5
（ 4）对于因果序列 x(n)
)()]()([ zXznumnxZT m
0)(
1
mk
kzkx?
1
0
)()()]()([
m
k
km zkxzXznumnxZT
6
（二）用单边 Z变换解差分方程的步骤和思路
x(n-r),y(n-k)均为右移序列
两边取单边 Z变换
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
M
r rm
mr
r
N
k kl
lk
k zmxzXzbzlyzYza
0
1
0
1
])()([])()([
初始状态若因果信号此项为零
7
例：
)(2)1()()(
)()1()(
nyynuanx
nxnbyny
n
bz
bz
bz
bz
az
az
ba
bz
byzX
zY
byzXzYbz
zXzyzYbzzY
21
1
)1()(
)(
)1()()(]1[
)()]1()([)(
1
1
1
)(2)(1)]([)( 1111 nubbabazYZTny nnn?
完全解里面已含有初始条件
8
例：
)(6)2(4)1(
)(10)2(02.0)1(1.0)(
nyyy
nunynyny
1
10)]1()2()([02.0)]1()([1.0)( 221
z
zzyyzzYzzyzYzzY
28.008.0110)()02.01.01( 121 zz zzYzz
111 1.01
2.0
02.01
66.0
1
26.9)(
zzzzY
)(])1.0(2.0)2.0(66.026.9[)( nuny nn
完全解
9
§ 8.8 离散系统的系统函数一、定义：
（ 1）系统零状态响应的 Z变换与输入的 Z
变换之比
（ 2）系统单位样值响应 h(n)的 Z变换
N
k
k
M
r
r
zp
zz
G
zX
zY
zH
1
1
1
1
)1(
)1(
)(
)(
)(
0
)()(
n
nznhzH
10
（ 1）定义一：系统零状态响应的
Z变换与输入的 Z变换之比
若 x(n)是因果序列,则在系统零状态下：
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
N
k
k
k
M
r
r
r
M
r
r
r
N
k
k
k
za
zb
zX
zY
zH
zbzXzazY
0
0
00
)(
)(
)(
)()( 请注意这里与解差分有何不同？
因果！
零状态
11
（ 2）定义二：系统单位样值响应 h(n)
的 Z变换
激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应
由卷积定理
)(*)()( nhnxny?
)()()( zHzXzY?
)(
)()(
zX
zYzH?
0
)()(
n
nznhzH
12
二、对系统特性的影响
由极点分布决定系统单位样值响应
由极点分布决定系统稳定性
由零极点分布决定系统决定系统频率特性（ § 8.9)
13
（ 1）由极点分布决定系统单位样值响应
)()()(
)1(
)1(
)]([)(
1
0
1
0
1
1
1
1
1
11
nupAnA
pz
zA
AFT
zp
zz
GFTzHFTnh
n
N
k
kk
N
k k
k
N
k
k
M
r
r
一般 为复数它在 平面的分布位置决定了系统 特性
kp
Z
)(nh
14
极点分布对 h(n)的影响
]Re[z
]Im [zj
113?p
15
（ 2）由极点分布决定系统稳定性
系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：
因果稳定 系统的充要条件为,h(n)是单边的而且是有界的。即：
因果稳定
n
nh )(
n
nh
nunhnh
)(
)()()(
非因果也可以稳定
16
)(nx
)(nh
k
knxkhnhnxny )()()(*)()(
Mnx )(
kk
khMknxkhny )()()()(
k
kh )(
离散系统稳定的充是要条件为 h(n)绝对可和
17
0 0
)()()(1
n n
n nhznhzHzfo r
对稳定的因果系统收敛域为：
1?z
全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内 。
18
例：已知因果系统的系统函数如下：
试说明该系统是否稳定？
解：
21
1
1
1)(
zz
zzH
))((
)1()(
2
3
2
1
2
3
2
1 jzjz
zzzH
12,12 32122 3211 pjpjp
临界稳定
19
例：已知系统函数如下，试说明分别在（ 1）
（ 2）两种情况下系统的稳定性：
（ 1）
（ 2）
解：（ 1） 因果系统，右边序列
z10
105.0 z
z10
)10)(5.0(
5.9)(
zz
zzH
10
10
5.0
5.0)(
zz
zH
)(])10()5.0[()( 11 nunh nn
1105.0 221 zzz
因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散
20
（ 2） 非因果系统，
右序 左序有界所以，该 非 因果系统，但是，是 稳定的
)1()10()()5.0()( 11 nununh nn
105.0 z
10
21
作业
旧版,8-21（ 4）,8-23（ 3），
8-24（ 2）
新版：同上
22
§ 8.8 离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？
定义一：单位样值响应的傅立叶变换定义二：离散系统在正弦序列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定
23
定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：
由 S_Z的映射来看，当,则,
于是相当于自变量沿着 z=1单位圆周变化，
则：
0js?
jTTjsT eeez 1
)()()()( j
n
nj
n
n eXenxznxzX
n
njj enxeX )()(
序列的傅立叶正变换
0
24
序列的傅立叶反变换
deeXnx
edeeeX
j
dzzzX
j
nx
jnj
j
z
jjnj
z
n
)(
2
1
)(
)()(
2
1
)(
2
1
)(
1
1
1
序列的傅立叶逆变换
25
连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较
连续? 离散
dtetxjX tj )())(
dejXtx tj )(2 1)(
n
njj enxeX )()(
deeXnx njj )(2 1)(
26
定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换
当 h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，
是以 h(n) 为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。
n
njj enheH )()(
)(?jeH
)(n? )(nh )()()(*)( nhnrnhn
27
系统的激励是 时，它的频谱覆盖了的 范围
于是系统的单位样值响应 可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果
)(n?
)(nh
)()( nnx )(?jeX
1
n?
)(nh )(?jeH
)()( jj eHeY?反映了系统对整个频带的滤波作用
28
定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比
)](s i n [)( 1 nAnx
)(nh
)](s i n [)( 2 nBny ss
)](s i n [)( 1 nAnx
)](s i n [)( 2 nBny ss
12?
29
)()()()(
)()(
12
)]()([)(
12
A
B
eH
e
A
B
eeHeH
j
jjjj
)(
)(
)(
j
j
j
eX
eY
eH?
je因为 是周期的，所以 也是周期的，
其周期为重复频率 。
)(?jeH
Ts
2?
30
定义二的物理意义把 看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是,且对信号有相移作用 。
)(?jeH
)(?jeH
)()()( 12
31
0
s?
2
s?
LP
BP
HP
BS
AP
32
二、系统的频率响应的几何确定
)(
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
jj
N
k
k
j
M
r
r
j
N
k
k
M
r
r
eeH
pe
ze
pz
zz
zH?
kr jkkjjrrj eBpeeAze
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
33
系统的频率响应的几何确定法
]Re[z
]Im [zj
1p
2p
je
1z
2z
1?1?
2? 2?
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
)()()( jj eeHzH?
34
由几何法可以看出：
（ 1） z=0处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有影响
（ 2）当 旋转某个极点 附近时，
例如在同一半径上时,较短，则在该点应当出现一个峰值,越短，
附近越尖锐。若 落在单位圆上，则
，则 处的峰值趋于无穷大。
（ 3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反 。
jez?
ip
iB
iB
)(?jeH
)(?jeH
ip
ip
0?iB ip
35
1p
je
低通
1p 1z
je
高通
)(?jeH
)(?jeH
0 0
36
1p
2p
带通
)(?jeH
0
1p
2p
1z
je
je
)(jeH
0
带阻
37
1p
2p
r
r
r
1
r
1
1z
2z
)(?jeH
全通
T
2
T
2
0
)(?jeH
je?je
靠近单位圆周的极点附近有尖峰
38
例：（ 8-34）
)(nx
1?z 1?z 1?z?
)co s( 2N
1?
)c o s(2 2N?
)(ny
)()4()3(
)()2(?)()1(
j
rk eHzp
zHnh
解
)2()1()c o s (2
)1()c o s ()()(
2
2
nyny
nxnxny
N
N
39
))((
)]c o s ([
)c o s (21
)]c o s ([
)c o s (21
)c o s (1
)(
22
2
212
2
212
12
NN
jj
N
N
N
N
N
ezez
zz
zz
zz
zz
z
zH
)(co s)( 2 nunh N n
NN jj
N
epep
zz
22
21
2
21 )c o s (0
1z 2z ]Re[z
]Im [zj
)(?jeH
0?2?
N?2
IIR D F
40
例,(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳定?
因果系统的极点必须在单位圆内
328
2)()1(
2
zz
zsH
解
)34)(12(
2)(
zz
zsH 4
3
2
1
21 pp
极点在单位圆内,系统稳定。
4321 21 pp
Re[z]
jIm[z]
1
41
21
21
252
)1(8)()2(
zz
zzsH
解
)2)(12(
)1(8)( 2
zz
zzsH
221 21 pp
有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。
jIm[z]
2
12
12 pp
Re[z]1
42
21
1
1
1)()3(
zz
zsH
解
)
2
31
)(
2
31
(
)1(
1
)1(
)( 2
j
z
j
z
zz
zz
zz
sH
2
31
2,1
jp
有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。
jIm[z]
Re[z]
1p
2p
1
43
例：（ 8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应
)1()()( naynxny
jnenx
nunx
)()2(
)()()1(
解
)(1)1(1 11)( az zaaz zaz zaz zzY
1
)()1(
)(
)()1)((
1
z
z
zX
az
z
zH
zXazzY
已知：
)(11)(1)( nuanuaa any n
暂态解 稳态解
44
jnenx?)()2(?jez
zzX
)(
j
j
jj ez
e
az
az
eaez
z
az
zzY 1
)()(
)(
)()()( nueea enuaea any njj
j
n
j
暂态解 稳态解
45
例：（ 8-31）已知系统函数如下：
kz
zzH
)(
求：（ 1）写出对应的差分方程；
（ 2）画出系统结构图
（ 3）求系统的频率响应，并画出 k=0,0.5,1 三种情况下系统的幅度响应和相位响应解
)()1()( nxnkyny
)(1 1)()()()( 1 zXkzzXkz zzXzHzY
)(nx
1?z
)(ny?
k
46
1)(
1)(0)1(
jeH
zHk
5.0
)(
5.0)2(
j
j
j
e
eeH
k
1
)(
1)3(
j
j
j
e
e
eH
k
H
H
H
)(
)(
47
§ 8.10 数字滤波器的基本原理和构成
)()()( jjj eHeXeY?
)(?jeX
)(?jeH
)(?jX
)(1)(?
k
s
s
j kX
T
eX
k
s
j
s
kXeHG
T
Y )()()(1)(
周期频谱连续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗
48
)(?X
)(?jeX
)(?jeH s?
m?m
c?c
)(?G1
k
s
j
s
kXeHGTY )()()(1)(
)(?jeY
m?m
m m?
49
数字滤波器的构成
一般差分方程
系统函数
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zX
zY
zH
1
0
1
)(
)(
)(
)()()(1
01
0 rnxbknyanya
M
r
r
N
k
k
50
(1)递归式数字滤波器 (IIR)
(a)直接式
)(nx
1a?
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny2
a?
E1
E1
0b
1b
2b
0a
)1(?nx
)2(?nx
)(ny
51
（ b）简化直接式
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
0a
1b
2b
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
0b
)(ny
52
简化直接式的证明：
M
r
r
r
N
k
k
k
M
r
r
rN
k
k
k
zb
zW
zY
zH
za
zX
zW
zH
zHzHzb
za
zH
0
2
1
1
21
0
1
)(
)(
)(
1
1
)(
)(
)(
)()(][
1
1
)(
)()()( 1 zXzHzW?
)()()( 2 zWzHzY?
53
)()()(
1
knwanxnw
N
k
k
M
r
r rnwbny
0
)()(
1a?
E1
E1
2a?
0a
1b
2b
0b
)(ny)(nx
)(nw
)1(?nw
)2(?nw
54
1a?
2a?
0a
1b
2b
0b
)(zW
1)(?zzW
1?z
1?z
2)(?zzW
)(zX )(zY
)(
1
1
)()()(
1
1
zX
za
zXzHzW
k
k
k?
M
r
r
r zbzW
zWzHzY
0
2
)(
)()()(
55
(c)级联形式?
k
i
i zHAzH
1
0 )()(
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1)(
1
1)(
zaza
zbzbzH
za
zbzH
ii
ii
i
i
i
i
1?z
ia1? ib1
1?z
ia1?
ib1
1?z
ia2? ib2
)(1 zH )(2 zH?
56
(d)并联形式?
k
i
i zHCzH
1
)()(
2
2
1
1
1
10
1
1
0
1
)(
1
)(
zaza
zbbzH
za
bzH
ii
ii
i
i
i
i
1?z
ia1?
ib0
1?z
ia1?
ib1
1?z
ia2?
ib0
)(1 zH
)(2 zH?
57
(2)非递归数字滤波器 (FIR)
)()(
0
rnxbny
M
r
r
M
r
r
r zbzH
0
)(
1?z 1?z 1?z 1?z
)(nx
)1(?nx
)2(?nx
)( Mnx?
0b 1
b
2b M
b
)(ny
梳形滤波器
58
例：由下列差分方程求出网络结构，并求其系统函数 H(z) 和单位样制值响应 h(n)
)3(8)1(5)()()1( nxnxnxny
解
)(nx
1?z
1?z
1?z
1
5?
8
)(ny
)()851()( 31 zXzzzY
31 851)( zzzH
)3(8)1(5)()( nnnnh
59
)()3()2(3)1(3)()2( nxnynynyny
解
)(nx
1?z
1?z
1?z
)(ny?
3?
3
1?
)()()331( 321 zXzYzzz
31 )1(
1)(
zzH
)()2)(1(21)( nunnnh
60
数字滤波器的设计方法：
冲激不变法
Tp
i
iez
zHpssH 11 1)(1)(
kps
sH 1)( tp iesHLTth )]([)( 1
nTp
nTt iethnh)()(
Tp
n
n
iez
znhzH 1
0 1
1)()(
在抽样点上冲激不变以后可以直接采用
61
用冲激不变法设计数字滤波器举例已知二阶巴特沃兹低通滤波器的系统函数如下,试设计该低通的数字滤波器
12
1)(
2 sssH
2
1
)
11
(
1
)(
2,1
2112
j
p
pspspp
sH
)(
1
1
1
11
)(
21 11
12
j
ez
TpTp
eH
ezezpp
zH
j
62
作业
8-25
8-26（ 5）
8-28
8-37
§ 8.7 用单边 Z变换解差分方程解差分方程的方法：
（ 1）时域经典法
（ 2）卷积和解法
（ 3） Z变换解法
2
（一）复习 Z变换的位移特性若 x(n)分别是双边序列、双边左移序列、
双边右移序列时，它们的双边和单边 Z变换是不同的：
（ 1）双边序列的双边 Z变换 (p79-p83)
)()]([
)()]([
)()()]([
zXzmnxZT
zXzmnxZT
znxzXnxZT
m
m
n
n
3
（ 2）双边左移序列的单边 Z变换
n
n
znunxzX?
0
)()()(
1
0
0
1
0
0
)(
0
)()(
)()(
)()(
)()]()([
m
k
km
k
m
k
kkm
mk
km
n
mnm
n
n
zkxzXz
zkxzkxz
zkxzzmnxz
zmnxnumnxZT
4
（ 3）双边右移序列的单边 Z变换
n
n
znunxzX?
0
)()()(
1
0
1
0
)(
0
)()(
)()(
)()(
)()]()([
mk
km
k mk
kkm
mk
km
n
mnm
n
n
zkxzXz
zkxzkxz
zkxzzmnxz
zmnxnumnxZT
因果序列是右移序列
5
（ 4）对于因果序列 x(n)
)()]()([ zXznumnxZT m
0)(
1
mk
kzkx?
1
0
)()()]()([
m
k
km zkxzXznumnxZT
6
（二）用单边 Z变换解差分方程的步骤和思路
x(n-r),y(n-k)均为右移序列
两边取单边 Z变换
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
M
r rm
mr
r
N
k kl
lk
k zmxzXzbzlyzYza
0
1
0
1
])()([])()([
初始状态若因果信号此项为零
7
例：
)(2)1()()(
)()1()(
nyynuanx
nxnbyny
n
bz
bz
bz
bz
az
az
ba
bz
byzX
zY
byzXzYbz
zXzyzYbzzY
21
1
)1()(
)(
)1()()(]1[
)()]1()([)(
1
1
1
)(2)(1)]([)( 1111 nubbabazYZTny nnn?
完全解里面已含有初始条件
8
例：
)(6)2(4)1(
)(10)2(02.0)1(1.0)(
nyyy
nunynyny
1
10)]1()2()([02.0)]1()([1.0)( 221
z
zzyyzzYzzyzYzzY
28.008.0110)()02.01.01( 121 zz zzYzz
111 1.01
2.0
02.01
66.0
1
26.9)(
zzzzY
)(])1.0(2.0)2.0(66.026.9[)( nuny nn
完全解
9
§ 8.8 离散系统的系统函数一、定义：
（ 1）系统零状态响应的 Z变换与输入的 Z
变换之比
（ 2）系统单位样值响应 h(n)的 Z变换
N
k
k
M
r
r
zp
zz
G
zX
zY
zH
1
1
1
1
)1(
)1(
)(
)(
)(
0
)()(
n
nznhzH
10
（ 1）定义一：系统零状态响应的
Z变换与输入的 Z变换之比
若 x(n)是因果序列,则在系统零状态下：
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
N
k
k
k
M
r
r
r
M
r
r
r
N
k
k
k
za
zb
zX
zY
zH
zbzXzazY
0
0
00
)(
)(
)(
)()( 请注意这里与解差分有何不同？
因果！
零状态
11
（ 2）定义二：系统单位样值响应 h(n)
的 Z变换
激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应
由卷积定理
)(*)()( nhnxny?
)()()( zHzXzY?
)(
)()(
zX
zYzH?
0
)()(
n
nznhzH
12
二、对系统特性的影响
由极点分布决定系统单位样值响应
由极点分布决定系统稳定性
由零极点分布决定系统决定系统频率特性（ § 8.9)
13
（ 1）由极点分布决定系统单位样值响应
)()()(
)1(
)1(
)]([)(
1
0
1
0
1
1
1
1
1
11
nupAnA
pz
zA
AFT
zp
zz
GFTzHFTnh
n
N
k
kk
N
k k
k
N
k
k
M
r
r
一般 为复数它在 平面的分布位置决定了系统 特性
kp
Z
)(nh
14
极点分布对 h(n)的影响
]Re[z
]Im [zj
113?p
15
（ 2）由极点分布决定系统稳定性
系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：
因果稳定 系统的充要条件为,h(n)是单边的而且是有界的。即：
因果稳定
n
nh )(
n
nh
nunhnh
)(
)()()(
非因果也可以稳定
16
)(nx
)(nh
k
knxkhnhnxny )()()(*)()(
Mnx )(
kk
khMknxkhny )()()()(
k
kh )(
离散系统稳定的充是要条件为 h(n)绝对可和
17
0 0
)()()(1
n n
n nhznhzHzfo r
对稳定的因果系统收敛域为：
1?z
全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内 。
18
例：已知因果系统的系统函数如下：
试说明该系统是否稳定？
解：
21
1
1
1)(
zz
zzH
))((
)1()(
2
3
2
1
2
3
2
1 jzjz
zzzH
12,12 32122 3211 pjpjp
临界稳定
19
例：已知系统函数如下，试说明分别在（ 1）
（ 2）两种情况下系统的稳定性：
（ 1）
（ 2）
解：（ 1） 因果系统，右边序列
z10
105.0 z
z10
)10)(5.0(
5.9)(
zz
zzH
10
10
5.0
5.0)(
zz
zH
)(])10()5.0[()( 11 nunh nn
1105.0 221 zzz
因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散
20
（ 2） 非因果系统，
右序 左序有界所以，该 非 因果系统，但是，是 稳定的
)1()10()()5.0()( 11 nununh nn
105.0 z
10
21
作业
旧版,8-21（ 4）,8-23（ 3），
8-24（ 2）
新版：同上
22
§ 8.8 离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？
定义一：单位样值响应的傅立叶变换定义二：离散系统在正弦序列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定
23
定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：
由 S_Z的映射来看，当,则,
于是相当于自变量沿着 z=1单位圆周变化，
则：
0js?
jTTjsT eeez 1
)()()()( j
n
nj
n
n eXenxznxzX
n
njj enxeX )()(
序列的傅立叶正变换
0
24
序列的傅立叶反变换
deeXnx
edeeeX
j
dzzzX
j
nx
jnj
j
z
jjnj
z
n
)(
2
1
)(
)()(
2
1
)(
2
1
)(
1
1
1
序列的傅立叶逆变换
25
连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较
连续? 离散
dtetxjX tj )())(
dejXtx tj )(2 1)(
n
njj enxeX )()(
deeXnx njj )(2 1)(
26
定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换
当 h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，
是以 h(n) 为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。
n
njj enheH )()(
)(?jeH
)(n? )(nh )()()(*)( nhnrnhn
27
系统的激励是 时，它的频谱覆盖了的 范围
于是系统的单位样值响应 可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果
)(n?
)(nh
)()( nnx )(?jeX
1
n?
)(nh )(?jeH
)()( jj eHeY?反映了系统对整个频带的滤波作用
28
定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比
)](s i n [)( 1 nAnx
)(nh
)](s i n [)( 2 nBny ss
)](s i n [)( 1 nAnx
)](s i n [)( 2 nBny ss
12?
29
)()()()(
)()(
12
)]()([)(
12
A
B
eH
e
A
B
eeHeH
j
jjjj
)(
)(
)(
j
j
j
eX
eY
eH?
je因为 是周期的，所以 也是周期的，
其周期为重复频率 。
)(?jeH
Ts
2?
30
定义二的物理意义把 看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是,且对信号有相移作用 。
)(?jeH
)(?jeH
)()()( 12
31
0
s?
2
s?
LP
BP
HP
BS
AP
32
二、系统的频率响应的几何确定
)(
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
jj
N
k
k
j
M
r
r
j
N
k
k
M
r
r
eeH
pe
ze
pz
zz
zH?
kr jkkjjrrj eBpeeAze
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
33
系统的频率响应的几何确定法
]Re[z
]Im [zj
1p
2p
je
1z
2z
1?1?
2? 2?
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
)()()( jj eeHzH?
34
由几何法可以看出：
（ 1） z=0处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有影响
（ 2）当 旋转某个极点 附近时，
例如在同一半径上时,较短，则在该点应当出现一个峰值,越短，
附近越尖锐。若 落在单位圆上，则
，则 处的峰值趋于无穷大。
（ 3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反 。
jez?
ip
iB
iB
)(?jeH
)(?jeH
ip
ip
0?iB ip
35
1p
je
低通
1p 1z
je
高通
)(?jeH
)(?jeH
0 0
36
1p
2p
带通
)(?jeH
0
1p
2p
1z
je
je
)(jeH
0
带阻
37
1p
2p
r
r
r
1
r
1
1z
2z
)(?jeH
全通
T
2
T
2
0
)(?jeH
je?je
靠近单位圆周的极点附近有尖峰
38
例：（ 8-34）
)(nx
1?z 1?z 1?z?
)co s( 2N
1?
)c o s(2 2N?
)(ny
)()4()3(
)()2(?)()1(
j
rk eHzp
zHnh
解
)2()1()c o s (2
)1()c o s ()()(
2
2
nyny
nxnxny
N
N
39
))((
)]c o s ([
)c o s (21
)]c o s ([
)c o s (21
)c o s (1
)(
22
2
212
2
212
12
NN
jj
N
N
N
N
N
ezez
zz
zz
zz
zz
z
zH
)(co s)( 2 nunh N n
NN jj
N
epep
zz
22
21
2
21 )c o s (0
1z 2z ]Re[z
]Im [zj
)(?jeH
0?2?
N?2
IIR D F
40
例,(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳定?
因果系统的极点必须在单位圆内
328
2)()1(
2
zz
zsH
解
)34)(12(
2)(
zz
zsH 4
3
2
1
21 pp
极点在单位圆内,系统稳定。
4321 21 pp
Re[z]
jIm[z]
1
41
21
21
252
)1(8)()2(
zz
zzsH
解
)2)(12(
)1(8)( 2
zz
zzsH
221 21 pp
有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。
jIm[z]
2
12
12 pp
Re[z]1
42
21
1
1
1)()3(
zz
zsH
解
)
2
31
)(
2
31
(
)1(
1
)1(
)( 2
j
z
j
z
zz
zz
zz
sH
2
31
2,1
jp
有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。
jIm[z]
Re[z]
1p
2p
1
43
例：（ 8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应
)1()()( naynxny
jnenx
nunx
)()2(
)()()1(
解
)(1)1(1 11)( az zaaz zaz zaz zzY
1
)()1(
)(
)()1)((
1
z
z
zX
az
z
zH
zXazzY
已知：
)(11)(1)( nuanuaa any n
暂态解 稳态解
44
jnenx?)()2(?jez
zzX
)(
j
j
jj ez
e
az
az
eaez
z
az
zzY 1
)()(
)(
)()()( nueea enuaea any njj
j
n
j
暂态解 稳态解
45
例：（ 8-31）已知系统函数如下：
kz
zzH
)(
求：（ 1）写出对应的差分方程；
（ 2）画出系统结构图
（ 3）求系统的频率响应，并画出 k=0,0.5,1 三种情况下系统的幅度响应和相位响应解
)()1()( nxnkyny
)(1 1)()()()( 1 zXkzzXkz zzXzHzY
)(nx
1?z
)(ny?
k
46
1)(
1)(0)1(
jeH
zHk
5.0
)(
5.0)2(
j
j
j
e
eeH
k
1
)(
1)3(
j
j
j
e
e
eH
k
H
H
H
)(
)(
47
§ 8.10 数字滤波器的基本原理和构成
)()()( jjj eHeXeY?
)(?jeX
)(?jeH
)(?jX
)(1)(?
k
s
s
j kX
T
eX
k
s
j
s
kXeHG
T
Y )()()(1)(
周期频谱连续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗
48
)(?X
)(?jeX
)(?jeH s?
m?m
c?c
)(?G1
k
s
j
s
kXeHGTY )()()(1)(
)(?jeY
m?m
m m?
49
数字滤波器的构成
一般差分方程
系统函数
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zX
zY
zH
1
0
1
)(
)(
)(
)()()(1
01
0 rnxbknyanya
M
r
r
N
k
k
50
(1)递归式数字滤波器 (IIR)
(a)直接式
)(nx
1a?
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
E1
E1
)1(?ny
)2(?ny2
a?
E1
E1
0b
1b
2b
0a
)1(?nx
)2(?nx
)(ny
51
（ b）简化直接式
)(nx
1a?
E1
E1
2a?
0a
1b
2b
)2()1()(
)2()1()(
210
21
nxbnxbnxb
nyanyany
0b
)(ny
52
简化直接式的证明：
M
r
r
r
N
k
k
k
M
r
r
rN
k
k
k
zb
zW
zY
zH
za
zX
zW
zH
zHzHzb
za
zH
0
2
1
1
21
0
1
)(
)(
)(
1
1
)(
)(
)(
)()(][
1
1
)(
)()()( 1 zXzHzW?
)()()( 2 zWzHzY?
53
)()()(
1
knwanxnw
N
k
k
M
r
r rnwbny
0
)()(
1a?
E1
E1
2a?
0a
1b
2b
0b
)(ny)(nx
)(nw
)1(?nw
)2(?nw
54
1a?
2a?
0a
1b
2b
0b
)(zW
1)(?zzW
1?z
1?z
2)(?zzW
)(zX )(zY
)(
1
1
)()()(
1
1
zX
za
zXzHzW
k
k
k?
M
r
r
r zbzW
zWzHzY
0
2
)(
)()()(
55
(c)级联形式?
k
i
i zHAzH
1
0 )()(
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1)(
1
1)(
zaza
zbzbzH
za
zbzH
ii
ii
i
i
i
i
1?z
ia1? ib1
1?z
ia1?
ib1
1?z
ia2? ib2
)(1 zH )(2 zH?
56
(d)并联形式?
k
i
i zHCzH
1
)()(
2
2
1
1
1
10
1
1
0
1
)(
1
)(
zaza
zbbzH
za
bzH
ii
ii
i
i
i
i
1?z
ia1?
ib0
1?z
ia1?
ib1
1?z
ia2?
ib0
)(1 zH
)(2 zH?
57
(2)非递归数字滤波器 (FIR)
)()(
0
rnxbny
M
r
r
M
r
r
r zbzH
0
)(
1?z 1?z 1?z 1?z
)(nx
)1(?nx
)2(?nx
)( Mnx?
0b 1
b
2b M
b
)(ny
梳形滤波器
58
例：由下列差分方程求出网络结构，并求其系统函数 H(z) 和单位样制值响应 h(n)
)3(8)1(5)()()1( nxnxnxny
解
)(nx
1?z
1?z
1?z
1
5?
8
)(ny
)()851()( 31 zXzzzY
31 851)( zzzH
)3(8)1(5)()( nnnnh
59
)()3()2(3)1(3)()2( nxnynynyny
解
)(nx
1?z
1?z
1?z
)(ny?
3?
3
1?
)()()331( 321 zXzYzzz
31 )1(
1)(
zzH
)()2)(1(21)( nunnnh
60
数字滤波器的设计方法：
冲激不变法
Tp
i
iez
zHpssH 11 1)(1)(
kps
sH 1)( tp iesHLTth )]([)( 1
nTp
nTt iethnh)()(
Tp
n
n
iez
znhzH 1
0 1
1)()(
在抽样点上冲激不变以后可以直接采用
61
用冲激不变法设计数字滤波器举例已知二阶巴特沃兹低通滤波器的系统函数如下,试设计该低通的数字滤波器
12
1)(
2 sssH
2
1
)
11
(
1
)(
2,1
2112
j
p
pspspp
sH
)(
1
1
1
11
)(
21 11
12
j
ez
TpTp
eH
ezezpp
zH
j
62
作业
8-25
8-26（ 5）
8-28
8-37
