1
第八章,Z变换和离散时间系统的 Z域分析本章要点
Z变换的基本概念和基本性质
利用 Z变换解差分方程
离散系统的系统函数
离散系统的频率响应
数字滤波器
2
§ 8.1 Z变换的定义 — 由拉氏变换引出 Z变换
有抽样信号
单边拉氏变换?
0
)()()(
n
s nTtnTxtx?
s n T
n
st
n
st
n
s
enTx
dtenTtnTx
dtenTtnTxsX
0
0
0
0
0
)(
)()(
)()()(
3
令,其中 z 为一个复变量
则
广义上讲 T=1
sTez?
0
)()(
n
nznTxzX
0
)()(
n
nznxzX
单边 Z变换
4
§ 8.2 Z变换的收敛域
2
0
)2()1(
)0()()(
z
x
z
x
xznxzX
n
n
收敛域：当 为有界时，令上述级数收敛的 的所有可取的值的集合称为收敛域
1）比值判别法
2) 根值判别法
)(nx z
n
n
n a
a 1
l i m
1
1
1
n
nn al im
5
例：
)()( nuanx n?
0
1
0
)()(
n
n
n
nn azzazX
11lim az
a
a
n
n
n
za
za
za
11l i m azazn n
n
6
几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列
21
2
1
)()( nnnznxzX
n
nn
n
收敛域为除了 0和 的整个 平面? z
]Re[z
]Im[zj
)(nx
7
（ 1）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
1nn?
)(nx
nnznxzX
nn
n
1
1
)()(
1
1
)(l i m
1)(l i m
x
x
n
n
n
n
n
Rz
zRnx
znx
收敛半径圆外为收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
8
（ 1）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
2nn?
)(nx
2
2
)()( nnznxzX
n
n
n
22
)()()(
nn
n
mn
nm
m
nm
znxzmxzX
2
)(l i m
1
)(l i m
1)(l i m
1
x
n
n
n
n
n
n
n
R
nx
z
znx
znx
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点
02?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
9
（ 1）双边序列：只在 区间内，
有非零的有限值的序列
n
)(nx
nznxzX
n
n)()(
0
1
)()()(
n
n
n
n znxznxzX
圆内收敛圆 外 收敛
12 xx RR?
12 xx RR?
有环状收敛域没有收敛域
12 xx RR?
]Im[zj
]Re[z
10
例：
)(
3
1)()1( nunx n
右边序列
3
1
3
1
1
1
3
1
)(
10
1
z
z
z
zzX
n
n
3
1
1
xR
3
1 z
3
1
1
xR
31
]Im[zj
]Re[z
11
例：
)1(
3
1)()2(
nunx
n左边序列
3
131
1
1)3(1
3
1
3
1
)(
1
0
1
1
1
1
z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
001
3
1
1)3(lim
2
2
zn
Rz
z
x
n
n
n
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点
02?n
2xR
31
]Im[zj
]Re[z
12
例：
)]8()([
3
1)()3(
nununx
n 有限长序列
)(
)(
1
1)(
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
18
0
1
zz
z
z
zzzX
n
n
收敛域为除了 0 和的整个 平面
z
]Re[z
]Im[zj
3
1
3
1
28
3
18
0
)(
8
2
z
z
ez
ez
K
j
kj
8个零点
7阶极点一阶极点
13
例：
n
nx?
3
1)()4(
双边序列
))(3(
3
1
1
3
3
1
3
1
)(
3
1
3
8
1
0
1
zz
z
z
z
z
zzzX
n n
n
n
n
]Im[zj
3
3
1 z
]Re[z
14
§ 8.3 典型序列的 Z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
正弦余弦序列
15
)0(1)()]([)1(
0
zznnZT
n
n
)0,0(
),00(
)(
)()]([)2(
)(
0
zm
zm
zzr
zmnmnZT
m
mr
mr
n
n
)0(
0
)1()1()]1([)3(
1
0
1
z
zz
znznnZT
n
n
n
n
16
)1(
11
1)()]([
1
0
z
z
z
z
znunuZT
n
n
2
0
21 )1()1(
1)()]([
z
z
z
znnunnuZT
n
n
)(
1
1)]([
1
0
az
az
z
az
zanuaZT n
n
nn?
)1(?z
17
1c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)[(][ c o s
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
余弦序列的 Z 变换,
18
正弦序列的 Z 变换,
1c o s2
s i n
2/)(
]2/)[(][ s i n
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
z
l
ez
z
ez
z
jeeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
19
)(
c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)([]c o s[
][
][
2
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
z
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnjnn
j
njn
j
njn
例
20
§ 8.4 Z变换的逆变换
（ 1）留数法
（ 2）幂级数展开法（略）
（ 3）部分分式法
21
（ 1）留数法
假设有一固定的围线 C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈,两边乘以,
然后沿着围线积分，得到：
0
)()(
n
nznxzX
C C n n C
mnnmm dzznxdzznxzdzzXz
0 0
111 )()()(
)(zX 1?mz
22
由复变函数中的柯西定理
只有右边的 即 一项，
于是
逆变换
00
021
k
kj
dzz
C
k?
11 mn mn?
C
n
C
n
dzzzX
j
nx
njxdzzzX
1
1
)(
2
1
)(
)(2)(
23
n
zz
n
C
n
m
zzXs
dzzzX
j
nx
])([Re
)(
2
1
)(
1
1
用留数求围线积分
mm zz
n
mzz
n zzXzzzzXs
])()[(])([Re 11
一阶极点：
S 阶极点：
mzz
s
m
n
s
s
zzzzX
dz
d
s
])()([
)!1(
1 1
1
1
24
例
)()1(
)5.0)(1(
12)( 23
nxz
zzZ
zzzX
)(1 nxz
解 必然是因果序列，右边序列
m
m
zz
n
n
zz
n
z
zzz
zz
s
zzXsnx
1
23
1
)5.0)(1(
12
Re
])([Re)(
0,5.0,1,1
0,5.0,1,0
5.0,1,2
321
4,321
21
zzzn
zzzn
zzn
25
n
z
n
z
n
z
zz
z
z
zz
znxn
)5.0(138
1
12
5.0
12
)(2)1( 5.0
23
2
1
23
2
11386
)5.0(138
)5.0)(1(
12
)(0)2(
0
02
23
z
zzz
zz
nxn
5.3)5.0(1382
)5.0(138
)5.0)(1(
12
)(1)3(
1
0
23
z
zzz
zz
nxn
26
（ 2）部分分式法
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaa
zbzbzbb
zX
1
110
1
110)(
0
0
0 a
bArk
k
m m
m
pz
zAAzX
1
0)(
00 Ark?
k
m m
m
zp
AzX
1
11)(
k
m m
m
pz
A
z
zX
1
)(
Am 是 在
Pm 处的留数
z
zX )(
只有一阶极点
27
mm pz
m
pz
m pzz
zX
z
zX
sA
)()()(Re
)()()( 0
1
nAnupAnx nm
k
m
m
)( Rz?
)( Rz? )()1()( 0
1
nAnupAnx nm
k
m
m
28
含有 M个一阶
S个高阶极点
S
j j
j
M
m m
m
z
zB
pz
zAAzX
11
0)(?
jz
s
jjs
js
j z
zX
z
dz
d
js
B
)(
)(
)!(
1
S
j
j
j
j
j
M
m m
m
z
zC
pz
zAAzX
11
0 )()(?
部分分式为另一种形式
jz
S
j
j zXz
z
C
)(
29
例双边序列
)()231(23 5)( 2 nxzzz zzX
2
3
1
)(
z
z
z
z
zX
简单的可用公式或查下册第 75页的表 8-2,8-3,8-4：
左边序列 右边序列
)1(2)()()( 31 nununx nn
30
§ 8.5 Z变换的基本性质
（自学 77-93页）
线性和位移性
序列线性加权（ Z 域微分）
序列指数加权（ Z 域尺度变换）
初值定理和终值定理
时域卷积和 Z 域卷积定理
帕斯瓦尔定理参见下册的 P-93表 8-5
31
作业
旧版,8-1(5),8-3(1),8-11(3)
新版,8-1(5),8-3(1),8-10(3)
32
§ 8.6 Z变换与拉氏变换的关系
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系
（三）连续信号的拉氏变换与 Z变换的关系
33
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
TjTjTTj
sT
ezeeez
js
ez
)(
34
1
0)1(
Tez
js
1
0)2(
z
js
10)3( z?
0)4( c o n s te n t?
0)5( c o n s te n t?
11?
1 Rz
1 rz
R
r ]Re[z
]Im [zj
35
s0)6(
0)7( c o n s te n t
21)8(
0?
1?
2?
]Re[z
]Im [zj
T
)9(
T
k 20)10(
多圈
36
j
S
]Re[z
]Im [zj
1
2
3
12 1? 2?
1?j
2?j
3?j
4?j?
5?j?
2
TT 322
TT 2354
1
3
1?
2?3?
4?
5?
2e
1?e
2?e
1e
Z
37
（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系
n
Ts nTtnTxttxtx )()()()()(
sT
n
s n T
T eetLT?
1
1)]([
0
dp
e
pX
j
txtLTsX
j
j TpsTs?
)(
1
1)(
2
1)]()([)(
38
ippi
Tpss e
pXssX
)(
1
)(Re)(
i i
i
pp
ApX )(
i
i
i
i
ppi
Tps
i
ppi
iTps
i
i
s e
App
epp
AsX
)()(
1
)(
1
1)(
T
kjsp
k
2
kjTpsTps eee 2)()( 101
or
39
（三）连续信号的拉氏变换与其 Z
变换的关系
抽样信号的拉氏变换与 Z 变换的关系
连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系
)()( sXzX sez sT
)(
1
)(
Re
1
)(
Re)(
1
)(
zX
ez
pX
s
e
pX
ssX
i
i
ppi
pT
ppi
Tpss
40
连续信号的拉氏变换与 Z 变换的关系若 只含一阶极点则 i ii pp
ApX )()( pX
i
Tp
i
iez
A
zX
11
)(
第八章,Z变换和离散时间系统的 Z域分析本章要点
Z变换的基本概念和基本性质
利用 Z变换解差分方程
离散系统的系统函数
离散系统的频率响应
数字滤波器
2
§ 8.1 Z变换的定义 — 由拉氏变换引出 Z变换
有抽样信号
单边拉氏变换?
0
)()()(
n
s nTtnTxtx?
s n T
n
st
n
st
n
s
enTx
dtenTtnTx
dtenTtnTxsX
0
0
0
0
0
)(
)()(
)()()(
3
令,其中 z 为一个复变量
则
广义上讲 T=1
sTez?
0
)()(
n
nznTxzX
0
)()(
n
nznxzX
单边 Z变换
4
§ 8.2 Z变换的收敛域
2
0
)2()1(
)0()()(
z
x
z
x
xznxzX
n
n
收敛域：当 为有界时，令上述级数收敛的 的所有可取的值的集合称为收敛域
1）比值判别法
2) 根值判别法
)(nx z
n
n
n a
a 1
l i m
1
1
1
n
nn al im
5
例：
)()( nuanx n?
0
1
0
)()(
n
n
n
nn azzazX
11lim az
a
a
n
n
n
za
za
za
11l i m azazn n
n
6
几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列
21
2
1
)()( nnnznxzX
n
nn
n
收敛域为除了 0和 的整个 平面? z
]Re[z
]Im[zj
)(nx
7
（ 1）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
1nn?
)(nx
nnznxzX
nn
n
1
1
)()(
1
1
)(l i m
1)(l i m
x
x
n
n
n
n
n
Rz
zRnx
znx
收敛半径圆外为收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
8
（ 1）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
2nn?
)(nx
2
2
)()( nnznxzX
n
n
n
22
)()()(
nn
n
mn
nm
m
nm
znxzmxzX
2
)(l i m
1
)(l i m
1)(l i m
1
x
n
n
n
n
n
n
n
R
nx
z
znx
znx
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点
02?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
9
（ 1）双边序列：只在 区间内，
有非零的有限值的序列
n
)(nx
nznxzX
n
n)()(
0
1
)()()(
n
n
n
n znxznxzX
圆内收敛圆 外 收敛
12 xx RR?
12 xx RR?
有环状收敛域没有收敛域
12 xx RR?
]Im[zj
]Re[z
10
例：
)(
3
1)()1( nunx n
右边序列
3
1
3
1
1
1
3
1
)(
10
1
z
z
z
zzX
n
n
3
1
1
xR
3
1 z
3
1
1
xR
31
]Im[zj
]Re[z
11
例：
)1(
3
1)()2(
nunx
n左边序列
3
131
1
1)3(1
3
1
3
1
)(
1
0
1
1
1
1
z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
001
3
1
1)3(lim
2
2
zn
Rz
z
x
n
n
n
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点
02?n
2xR
31
]Im[zj
]Re[z
12
例：
)]8()([
3
1)()3(
nununx
n 有限长序列
)(
)(
1
1)(
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
18
0
1
zz
z
z
zzzX
n
n
收敛域为除了 0 和的整个 平面
z
]Re[z
]Im[zj
3
1
3
1
28
3
18
0
)(
8
2
z
z
ez
ez
K
j
kj
8个零点
7阶极点一阶极点
13
例：
n
nx?
3
1)()4(
双边序列
))(3(
3
1
1
3
3
1
3
1
)(
3
1
3
8
1
0
1
zz
z
z
z
z
zzzX
n n
n
n
n
]Im[zj
3
3
1 z
]Re[z
14
§ 8.3 典型序列的 Z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
正弦余弦序列
15
)0(1)()]([)1(
0
zznnZT
n
n
)0,0(
),00(
)(
)()]([)2(
)(
0
zm
zm
zzr
zmnmnZT
m
mr
mr
n
n
)0(
0
)1()1()]1([)3(
1
0
1
z
zz
znznnZT
n
n
n
n
16
)1(
11
1)()]([
1
0
z
z
z
z
znunuZT
n
n
2
0
21 )1()1(
1)()]([
z
z
z
znnunnuZT
n
n
)(
1
1)]([
1
0
az
az
z
az
zanuaZT n
n
nn?
)1(?z
17
1c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)[(][ c o s
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
余弦序列的 Z 变换,
18
正弦序列的 Z 变换,
1c o s2
s i n
2/)(
]2/)[(][ s i n
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
z
l
ez
z
ez
z
jeeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
19
)(
c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)([]c o s[
][
][
2
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
z
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnjnn
j
njn
j
njn
例
20
§ 8.4 Z变换的逆变换
（ 1）留数法
（ 2）幂级数展开法（略）
（ 3）部分分式法
21
（ 1）留数法
假设有一固定的围线 C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈,两边乘以,
然后沿着围线积分，得到：
0
)()(
n
nznxzX
C C n n C
mnnmm dzznxdzznxzdzzXz
0 0
111 )()()(
)(zX 1?mz
22
由复变函数中的柯西定理
只有右边的 即 一项，
于是
逆变换
00
021
k
kj
dzz
C
k?
11 mn mn?
C
n
C
n
dzzzX
j
nx
njxdzzzX
1
1
)(
2
1
)(
)(2)(
23
n
zz
n
C
n
m
zzXs
dzzzX
j
nx
])([Re
)(
2
1
)(
1
1
用留数求围线积分
mm zz
n
mzz
n zzXzzzzXs
])()[(])([Re 11
一阶极点：
S 阶极点：
mzz
s
m
n
s
s
zzzzX
dz
d
s
])()([
)!1(
1 1
1
1
24
例
)()1(
)5.0)(1(
12)( 23
nxz
zzZ
zzzX
)(1 nxz
解 必然是因果序列，右边序列
m
m
zz
n
n
zz
n
z
zzz
zz
s
zzXsnx
1
23
1
)5.0)(1(
12
Re
])([Re)(
0,5.0,1,1
0,5.0,1,0
5.0,1,2
321
4,321
21
zzzn
zzzn
zzn
25
n
z
n
z
n
z
zz
z
z
zz
znxn
)5.0(138
1
12
5.0
12
)(2)1( 5.0
23
2
1
23
2
11386
)5.0(138
)5.0)(1(
12
)(0)2(
0
02
23
z
zzz
zz
nxn
5.3)5.0(1382
)5.0(138
)5.0)(1(
12
)(1)3(
1
0
23
z
zzz
zz
nxn
26
（ 2）部分分式法
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaa
zbzbzbb
zX
1
110
1
110)(
0
0
0 a
bArk
k
m m
m
pz
zAAzX
1
0)(
00 Ark?
k
m m
m
zp
AzX
1
11)(
k
m m
m
pz
A
z
zX
1
)(
Am 是 在
Pm 处的留数
z
zX )(
只有一阶极点
27
mm pz
m
pz
m pzz
zX
z
zX
sA
)()()(Re
)()()( 0
1
nAnupAnx nm
k
m
m
)( Rz?
)( Rz? )()1()( 0
1
nAnupAnx nm
k
m
m
28
含有 M个一阶
S个高阶极点
S
j j
j
M
m m
m
z
zB
pz
zAAzX
11
0)(?
jz
s
jjs
js
j z
zX
z
dz
d
js
B
)(
)(
)!(
1
S
j
j
j
j
j
M
m m
m
z
zC
pz
zAAzX
11
0 )()(?
部分分式为另一种形式
jz
S
j
j zXz
z
C
)(
29
例双边序列
)()231(23 5)( 2 nxzzz zzX
2
3
1
)(
z
z
z
z
zX
简单的可用公式或查下册第 75页的表 8-2,8-3,8-4：
左边序列 右边序列
)1(2)()()( 31 nununx nn
30
§ 8.5 Z变换的基本性质
（自学 77-93页）
线性和位移性
序列线性加权（ Z 域微分）
序列指数加权（ Z 域尺度变换）
初值定理和终值定理
时域卷积和 Z 域卷积定理
帕斯瓦尔定理参见下册的 P-93表 8-5
31
作业
旧版,8-1(5),8-3(1),8-11(3)
新版,8-1(5),8-3(1),8-10(3)
32
§ 8.6 Z变换与拉氏变换的关系
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系
（三）连续信号的拉氏变换与 Z变换的关系
33
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
TjTjTTj
sT
ezeeez
js
ez
)(
34
1
0)1(
Tez
js
1
0)2(
z
js
10)3( z?
0)4( c o n s te n t?
0)5( c o n s te n t?
11?
1 Rz
1 rz
R
r ]Re[z
]Im [zj
35
s0)6(
0)7( c o n s te n t
21)8(
0?
1?
2?
]Re[z
]Im [zj
T
)9(
T
k 20)10(
多圈
36
j
S
]Re[z
]Im [zj
1
2
3
12 1? 2?
1?j
2?j
3?j
4?j?
5?j?
2
TT 322
TT 2354
1
3
1?
2?3?
4?
5?
2e
1?e
2?e
1e
Z
37
（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系
n
Ts nTtnTxttxtx )()()()()(
sT
n
s n T
T eetLT?
1
1)]([
0
dp
e
pX
j
txtLTsX
j
j TpsTs?
)(
1
1)(
2
1)]()([)(
38
ippi
Tpss e
pXssX
)(
1
)(Re)(
i i
i
pp
ApX )(
i
i
i
i
ppi
Tps
i
ppi
iTps
i
i
s e
App
epp
AsX
)()(
1
)(
1
1)(
T
kjsp
k
2
kjTpsTps eee 2)()( 101
or
39
（三）连续信号的拉氏变换与其 Z
变换的关系
抽样信号的拉氏变换与 Z 变换的关系
连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系
)()( sXzX sez sT
)(
1
)(
Re
1
)(
Re)(
1
)(
zX
ez
pX
s
e
pX
ssX
i
i
ppi
pT
ppi
Tpss
40
连续信号的拉氏变换与 Z 变换的关系若 只含一阶极点则 i ii pp
ApX )()( pX
i
Tp
i
iez
A
zX
11
)(
