1
§ 9.4 离散傅立叶变换的性质
线性
圆周位移、时移特性和频移特性
时域圆周卷积和频域圆周卷积定理
奇偶虚实性
相关特性
帕斯瓦尔定理
（只讲圆周卷积，其它类似拉氏变换的性质）
2
圆周位移的概念
有限长序列
周期延拓
线性位移
加窗
得到圆周位移序列
)(nx
Nnx ))((
10 Nn
Nmnx ))((?
)())(( nGmnx NN?
)(nx
Nnx ))((
Nmnx ))((?
)(nGN
)())(( nGmnx NN?
0 1?N
n
n
n
n
m
m
3
时移特性
若
则
时域序列的圆周位移的 为原来的乘以一个因子
)())(()(
)()]([
nGmnxny
kXnxD F T
NN
)()]([ kXWnyD F T mk?
DFT
DFT mkW
4
频移特性
若
则
在 Z域的频移 l，则 IDFT在时域 x(n)乘以一个
)())(()(
)()]([
nGlkXkY
kXnxD F T
NN
nlWnxkYI D F T )()]([
nlW?
5
时域圆周卷积定理
若
则
)()()( kHkXkY?


1
0
)())(()()()(
)()()(
N
m
NN nGmnhmxnhnx
nhnxny
定义为圆周卷积

1
0
)())(()()()(
N
m
NN nGmnxmhnhnx
)()( nhnx
N
N点的圆周卷积
x(n)和 h(n)都需是 N点
6
频域圆周卷积定理
若
则
)()()( nhnxny?


1
0
1
0
)())(()(
1
)())(()(
1
)]([)(
N
l
NN
N
l
NN
kGlkXlH
N
kGlkHlX
N
nyD F TkY
7
§ 9.5 DFT与 Z变换的关系有限长序列的 Z变换的抽样
)()]([)(
)()()(
1
0
1
0
1
0
2
2
22
kXnxD F TWnx
enxznxzX
nk
N
n
eW
knj
N
nez
N
n
n
ez N
j
N
N
k
N
jk
N
j






x(n)的 Z变换在单位圆上均匀抽样即为它的 DFT
N
2
Z平面
)()( 2 kXzX k
Njez
8
§ 9.6 快速傅立叶变换（ FFT）
因子的周期性和半周期性
rW
r
N
r
N
mN
N
jj
N
rNr
N
r
N
mNr
N
mN
NN
N
NN
WW
WeeW
WWWW
WWWW
N
NN
N
N






2
22
2
2
1,1
][
1,1,1
)(
*
00
9
基 -2算法的 FFT的基本思路
以 为例的 DFT42 2N

14
0
4)()(
n
knWnxkX
9
4
6
4
3
4
0
4
6
4
4
4
2
4
0
4
3
4
2
4
1
4
0
4
0
4
0
4
0
4
0
4
)3()2()1()0()3(3
)3()2()1()0()2(2
)3()2()1()0()1(1
)3()2()1()0()0(0
WxWxWxWxXk
WxWxWxWxXk
WxWxWxWxXk
WxWxWxWxXk




)3(
)2(
)1(
)0(
)3(
)2(
)1(
)0(
9
4
6
4
3
4
0
4
6
4
4
4
2
4
0
4
3
4
2
4
1
4
0
4
0
4
0
4
0
4
0
4
x
x
x
x
WWWW
WWWW
WWWW
WWWW
X
X
X
X
10
)3(
)2(
)1(
)0(
1
11
1
1111
)3(
)2(
)1(
)0(
9
4
6
4
3
4
6
4
2
4
3
4
2
4
1
4
x
x
x
x
WWW
WW
WWW
X
X
X
X
1
10
mN
N
N
W
W
1)( 2 NmNNW

)3(
)2(
)1(
)0(
11
1111
11
1111
)3(
)2(
)1(
)0(
9
4
3
4
3
4
1
4
x
x
x
x
WW
WW
X
X
X
X
11
r
N
r
N WW
N )( 2



)3(
)2(
)1(
)0(
11
1111
11
1111
)3(
)2(
)1(
)0(
1
4
1
4
1
4
1
4
x
x
x
x
WW
WW
X
X
X
X



)3(
)1(
)2(
)0(
11
1111
11
1111
)3(
)2(
)1(
)0(
1
4
1
4
1
4
1
4
x
x
x
x
WW
WW
X
X
X
X
第二行和第三行互换第二列和第三列互换
x(1)和 x(2)
互换矩阵等式不变只和 有关)2(),0( xx
只和 有关)3(),1( xx
12
N点的 DFT是否可以分成两组 N/2点的 DFT?
1...2,1,0)()(
)12()2(
)12()2(
)()]([)(
2
1
0
1
0
1
0
)12(
1
0
2
1
0
2
2
2
2
22






Nk
N
r
rkk
N
r
rk
r
kr
N
r
rk
N
N
n
nk
NN
kkHWkG
WrxWWrx
WrxWrx
WnxnxD F TkX
N
N
N
N
NN
N/2点的 DFT N/2点的 DFT 主值周期只有 N/2点 X(k)
13
)1...2,1,0()()()( 22 NKNN kkHWkGkX
另外主值周期还有 N/2点的 X(k)
)()
2
(
)()
2
(
kH
N
kH
kG
N
kG


kNkNNkn WWWW NN 22 )(
14
N=4为例 DFT分组
)0(x
)2(x
)1(x
)3(x
N/2 点的 DFT
(n 为偶数）
N/2 点的 DFT
(n 为奇数）
)0(X
)1(X
)2(X
)3(X
N点的
DFT
15
N=4为例 DFT的信号流图
)0(x
02)2( Wx
)1(x
1
2)3( Wx
)0(G
)1(G
)0(H
)1(H
)0(X
)1(X
)2(X
)3(X
04W
14W
1?
1?
1?
1?
16
FFT算法的特点
（ 1）基本运算单元为一个蝶形，第 m级的蝶形上节点下节点
每一蝶形是独立的
每一级中有 N/2个蝶形
的任意情况时有 M 级的蝶形
每级可分成 组
)( pxm
)(qxm rNW 1?
)(1 pxm?
)(1 qxm?
MN 2?
12?m
N
17
（ 2）码位倒置：输入倒序，则输出正序按奇偶分组：
第 0次分组时序号,0 1 2 3 4 5 6 7
第 1次分组时序号,0 2 4 6 1 3 5 7
第 2次分组时序号,0 4 2 6 1 5 3 7
若用二进制数，正好最后一次分组后的序号和第 0次分组时的二进制序号是码位倒置的。例如：（ 011） —— （ 110）
（ 100） —— （ 001）
18
（ 3）同址运算：输出所用的单元数等于输入所用的单元数，所以可以公用同一个单元地址。
（ 4）逆变换 IFFT可以公用一个程序，只需某个形式参量代入不同的实际值。

1
0
)(1)(
N
k
nk
NWkXNnx
)s in ()c o s (
)s in ()c o s (
22
22
2
2
nkjnkeW
nkjnkeW
NN
nkjnk
N
NN
nkjnk
N
N
N





19
82 3N
)7()7()7()7(
)6()6()6()6(
)5()5()5()5(
)4()4()4()4(
)3()3()3()3(
)2()2()2()2(
)1()1()1()1(
)0()0()0()0(
3210
3210
3210
3210
3210
3210
3210
3210
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
08W
18W
28W
38W
1?
1?
1?
1?
04W
14W
04W
14W
1?
1?
1?
1?
1?
1?
1?
1?
20
FFT应用中的注意事项
信号离散时，采样率要满足奈奎斯特频率
N一定是 2的整数次幂，若不是，要补若干个零，凑成 2的整数次幂。
数据长度要取得足够长是数据的实际长度是频率分辨率
sNT
2
1
sNT
1