1
§ 6.6 物理可实现性 — 佩利维纳准则
（ 1） 时域 —— 因果性
（ 2）频域有界能量可积有限频带内不能为零
0)(,0 tht
djH 21 )(ln
djH
2
)(
0)(jH
限制了衰减速度
2
L
C CLR?)(1 tv )(2 tv?)(?th
22
2
3
2
2
3
3
2
)(
c
c
c
c
j
jH
)0()2 3s i n (
3
2)]([)( 21 ttejHFTth
c
tc c
)(th
c?
c?
2
由实际电路组成从 t>=0
开始，物理可实现例：
3
高斯幅频特性是否物理可实现？
2)( ejH?
2
l im2(2l im
l im
1
1
1
11
)l n (
1
)(ln
1
1
2
2
2
22
2
BBtgB
tgd
dd
e
d
jH
BB
B
B
B
发散的，物理不可实现
4
§ 6.7可实现的典型滤波函数巴特沃兹逼近 (与切比雪夫逼近 )
0
1
1
0
1
1
.,,
.,,
)(
)()(
bsbsb
asasa
sB
sAsH
n
n
n
n
m
m
m
m
滤波器特性取决于系数 a,b
取决于分母多项式的阶次 n
n 与元器件的数目有关
5
一,巴特沃兹逼近
(Butterworth)
)()(
1
1
)(
2
0
2
jHjH
jH
n
0)(
2
1
)(
1m a x)0(0
00
jH
jH
jH
通带内最平坦滤波器
2
1
1
0 0?
6
为什么“巴特沃兹滤波器”最大平坦 —— 二项式定理
......
128
35
16
5
8
3
2
1
1
1)(
8
0
6
0
4
0
2
0
2/1
2
0
nnnn
n
jH
在 点,它的前 阶导数都为零，所以说在 点附近一段范围内最平。
0 12?n
0
7
巴特沃兹滤波器的极零点分布
n
n
j
s
n
s
sH
2
0
2
0
2
)1(1
1
1
1
)(
o d dneS n
kj
k
,22
0
evenneS n
kj
k
,2 )12(
0
e v e nn
oddns n
1
12
0
8
40 1
1)(1,2
ssHn
47454341,,,jjjj
k eeeeS?
)()()( 2 sHsHsH
41je?43je
45je?47je
取左半平面极点给 H(s)
12
1
))((
1
)(
1
)(
2
4
5
4
3
2
ss
eses
sB
sH
jj
)(
1)(
sB
sH
n
对于 n 阶参见 P506表 6-1
9
巴特沃兹低通滤波器的设计
Low Pass Analogical Filter(AF)
)( p
)( s
p? s?
0
)( p
)( s
p?
s?
通带最大衰减阻带最小衰减通带截止频率阻带下限频率
22
2
)(
1lg10
)(
)(
lg10)(
jHjY
jX
)1(?
p
por 0
10
）22 )(1l g (10
)(
1lg10)(
jK
jH
n
jK
2
0
10
)(
2 110)(
110 10
)(2
0
pnp?
110 10
)(2
0
s
n
s
n
s
p
s
p
n
lg
110
110
lg
10
)(
10
)(
)()(
1
1
)(
2
0
2
jHjH
jH
n
11
例：按下列技术指标设计一个模拟低通滤波器
dbsr a dk
dbsr a dkL P A F
ss
pp
30/10
3/5:
设计：
03 pp db
5
2
1
lg
32lg
lg
110
110
lg
10
)(
10
)(
s
p
s
p
n
)()(
1
1
)(
52
2
jHjH
jH
p
12
55
kj
pk eSo d dn o d dneS
n
kj
k
,22
0
1S
2S3S
4S
5S
6S
7S 8S
9S
7,6,5,4,3?kta k e
))()()()((
)(
5
7
5
6
5
5
5
4
5
3
5
j
p
j
p
j
p
j
p
j
p
p
ejejejejej
jH
)()(
1
1
)(
52
2
jHjH
jH
p
0S
13
巴特沃兹 高 通滤波器置换
0?
0
0 10
0
10 10
10
0
0
0
0000
1
11)(
111)(
ssss
njH 2
0
2
1
1
)(
njH 2
0
2
1
1
)(
14
巴特沃兹 带通 滤波器
0 10
0
10
312
1? 3?
sl? sh?
低通带通
2
13
2
2
02
2
0
13
2
2
2
13
2
13
2
2
2
2
2
22
2
)(
)(
15
013
2
2
2
)(?
nnjH 22
0
2
1
1
1
1
)(
n
nn
jH
2
13
2
2
2
22
0
2
)(
1
1
1
1
1
1
)(
变量置换得到带通
16
巴特沃兹 带阻 滤波器
n
nn
jH
2
2
2
2
13
22
0
2
)(
1
1
1
1
1
1
)(
频率取倒数为带阻
17
二,切比雪夫逼近 (Chebyshev)
（简要介绍）
通带等起伏（等纹波）特性滤波器
0
221
1
)(
nT
jH
纹波系数
)1()(
)1()( c o sc o s ()(
1
1
xxn c hch
xxnxT
n
n=4
n=5
11
21
1
0?
1
0
p
18
作业
设计一个巴特沃兹低通滤波器，技术要求如下：
dbsr a dk
dbsr a dkL P A F
ss
pp
35/15
3/6:
§ 6.6 物理可实现性 — 佩利维纳准则
（ 1） 时域 —— 因果性
（ 2）频域有界能量可积有限频带内不能为零
0)(,0 tht
djH 21 )(ln
djH
2
)(
0)(jH
限制了衰减速度
2
L
C CLR?)(1 tv )(2 tv?)(?th
22
2
3
2
2
3
3
2
)(
c
c
c
c
j
jH
)0()2 3s i n (
3
2)]([)( 21 ttejHFTth
c
tc c
)(th
c?
c?
2
由实际电路组成从 t>=0
开始，物理可实现例：
3
高斯幅频特性是否物理可实现？
2)( ejH?
2
l im2(2l im
l im
1
1
1
11
)l n (
1
)(ln
1
1
2
2
2
22
2
BBtgB
tgd
dd
e
d
jH
BB
B
B
B
发散的，物理不可实现
4
§ 6.7可实现的典型滤波函数巴特沃兹逼近 (与切比雪夫逼近 )
0
1
1
0
1
1
.,,
.,,
)(
)()(
bsbsb
asasa
sB
sAsH
n
n
n
n
m
m
m
m
滤波器特性取决于系数 a,b
取决于分母多项式的阶次 n
n 与元器件的数目有关
5
一,巴特沃兹逼近
(Butterworth)
)()(
1
1
)(
2
0
2
jHjH
jH
n
0)(
2
1
)(
1m a x)0(0
00
jH
jH
jH
通带内最平坦滤波器
2
1
1
0 0?
6
为什么“巴特沃兹滤波器”最大平坦 —— 二项式定理
......
128
35
16
5
8
3
2
1
1
1)(
8
0
6
0
4
0
2
0
2/1
2
0
nnnn
n
jH
在 点,它的前 阶导数都为零，所以说在 点附近一段范围内最平。
0 12?n
0
7
巴特沃兹滤波器的极零点分布
n
n
j
s
n
s
sH
2
0
2
0
2
)1(1
1
1
1
)(
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kj
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,22
0
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kj
k
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0
e v e nn
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1
12
0
8
40 1
1)(1,2
ssHn
47454341,,,jjjj
k eeeeS?
)()()( 2 sHsHsH
41je?43je
45je?47je
取左半平面极点给 H(s)
12
1
))((
1
)(
1
)(
2
4
5
4
3
2
ss
eses
sB
sH
jj
)(
1)(
sB
sH
n
对于 n 阶参见 P506表 6-1
9
巴特沃兹低通滤波器的设计
Low Pass Analogical Filter(AF)
)( p
)( s
p? s?
0
)( p
)( s
p?
s?
通带最大衰减阻带最小衰减通带截止频率阻带下限频率
22
2
)(
1lg10
)(
)(
lg10)(
jHjY
jX
)1(?
p
por 0
10
）22 )(1l g (10
)(
1lg10)(
jK
jH
n
jK
2
0
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2 110)(
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1
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2
jHjH
jH
n
11
例：按下列技术指标设计一个模拟低通滤波器
dbsr a dk
dbsr a dkL P A F
ss
pp
30/10
3/5:
设计：
03 pp db
5
2
1
lg
32lg
lg
110
110
lg
10
)(
10
)(
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n
)()(
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12
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7,6,5,4,3?kta k e
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1
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52
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13
巴特沃兹 高 通滤波器置换
0?
0
0 10
0
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1
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111)(
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njH 2
0
2
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1
)(
14
巴特沃兹 带通 滤波器
0 10
0
10
312
1? 3?
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低通带通
2
13
2
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0
2
)(
1
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1
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1
)(
变量置换得到带通
16
巴特沃兹 带阻 滤波器
n
nn
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2
2
2
2
13
22
0
2
)(
1
1
1
1
1
1
)(
频率取倒数为带阻
17
二,切比雪夫逼近 (Chebyshev)
（简要介绍）
通带等起伏（等纹波）特性滤波器
0
221
1
)(
nT
jH
纹波系数
)1()(
)1()( c o sc o s ()(
1
1
xxn c hch
xxnxT
n
n=4
n=5
11
21
1
0?
1
0
p
18
作业
设计一个巴特沃兹低通滤波器，技术要求如下：
dbsr a dk
dbsr a dkL P A F
ss
pp
35/15
3/6:
