1
第九章离散傅立叶变换及其快速算法
傅立叶变换的离散性和周期性
从离散傅立叶级数 (DFS)到离散傅立叶变换 (DFT)
离散傅立叶变换 (DFT)的性质
离散傅立叶变换 (DFT)与 Z 变换的关系
快速傅立叶变换 (FFT)
离散傅立叶变换 (DFT)的应用
2
§ 9.2傅立叶变换的离散性和周期性对称关系时域周期性 —— 频域离散性
（时域重复 —— 频域抽样）
时域离散性 —— 频域周期性
（时域抽样 —— 频域重复）
时域非周期 —— 频域连续性
（频域取包络 ）
时域连续性 —— 频域非周期
（傅立叶变换的对偶性）
nn FTF 10 1)(
3
四种物理存在信号的傅立叶变换
（ 1）连续周期信号的
（ 2）连续非周期信号的
（ 3）离散非周期序列的
（ 4）离散周期序列的
FT
FT
FT
FT
4
（ 1）连续周期信号的傅立叶变换 ——从 FS到 FT
时域单脉冲周期重复，等于频域抽样
)(2)]([ 1 nFtfFT
n
n

2
21
1
1
1)(
1 T
T
tjn
n dtetfTF
5
例 1：周期矩形脉冲的 FS和 FT
0
1T1T?
E
)(tf
1T
E?
1E
)(?F
nF
t
FS
FT
周期重复
)(2 111 nnSaE
n


)(2)]([ 1 nFtfFT
n
n

2).(1 1
1
2
21
1
1
1 nSa
T
Edtetf
TF
T
T
tjn
n
6
连续周期信号的 FT
—— 时域单脉冲周期重复，等于频域抽样例 2
2)(0 SaEFnn FTF 10 1)(
)(2)]([ 1 nFtfFT
n
n

)(
2 1
1
1

n
n
SaE
n



7
dtetfF tj )()(
（ 2）连续非周期信号的傅立叶变换 ——从傅立叶积分得到
E
)(0 tf
0
2
2

t
E
)(0?F

2
2? 0
FT
例 1：

2
)(

SaEF
8
例 2：从周期信号取单脉冲得到
1T1T?
E
)(tf
t
nF
E
)(0 tf
0
2
2

t
110 )( nn TFF

2
2? 0
FT
2)(1 1
1
2
21
1
1
1 nSa
T
Edtetf
TF
T
T
tjn
n
2)( SaEF
E
9


n
njj enxeX )()(
（ 3）离散非周期序列的傅立叶变换
从 Z变换的变量置换得到
从非周期信号的抽样得到
从离散周期信号取单周期得到
10
例 1：从 Z变换的变量置换得到例 1
)(
)()(
1
j
ez
n
eX
znxzX
j

jez?
11
例 2：从非周期信号抽样得到离散非周期序列
)(tf
0 t
)(?F
0?
1
)(tP
)1(
0 t
0?
)(tfs 相乘相卷
)( s?
s?s
s?s 0
0 t
sT
)(?sF
sT
1
FT
FT
FT
频域周期重复
)()(


n sT
nTtt
n ss np )()(
时域抽样
)(1 s
ns
nFT

12
例 4：从离散周期信号取单周期得到
t0
2?2
1T1T?
)(nfp
0 2?2
)(0 nf
sT
E2
2
2?
sT
2
sT
2?
t
)(22 s
ns
nSaT E



13
（ 4）离散周期序列的傅立叶变换
从连续周期信号的抽样得到
从离散周期序列的 DFS得到
从离散非周期信号的周期重复得到

1
0
)()()]([
N
k
p LNkkXnTxFT
14
从连续周期信号的抽样得到
1T1T?
E )(tf
t
1E
)(?F
FT
sT
E 1
2
2?
sT
2
sT
2?
t
)(
2
1
11 nnSa
T
E
ns


1
15
例 4：离散周期矩形序列的傅立叶变换
t0 2?2
1T1T?
)(nfp
E
)(?pF
sTT
E
1
2
2
2?
sT
2
sT
2?
t
2?2
0 t
后重复
)(1 tf
先抽样
0 2?2
)(0 nf
离散非周期信号的周期重复
1
1
2
T

16
§ 9.3 从离散傅立叶级数 (DFS)到离散傅立叶变换 (DFT)
效仿连续周期信号有傅立叶级数，记作：
离散周期序列也有傅立叶级数，记作：
dtetx
T
FeFtx
T
T
tjn
pn
n
tjn
np

2
2
11 )(
1)(
)(
1
)(
1
)(
1
0
1
0
2
22
kX
N
enx
N
a
eaeanx
p
N
n
knj
pk
knj
N
k
k
knj
k
kp
N
NN





周期性以 N为周期
17
1...2,1,0)(
1
)(
1...2,1,0)()(
2
2
1
0
1
0


NkekX
N
nx
NnenxkX
knj
N
k
pp
N
n
knj
pp
N
N
离散周期序列的傅立叶级数 (DFS)的正负运算对周期序列的基频是
是 K次谐波分量，谐波系数是
谐波成分中只有 N个是独立的
,是周期的
nj Ne )( 2?
)(kX p
)()()( 22 Nknjnkj NN ee
nkj Ne )( 2?
)(kX p
18
)(nxp
n
N
0 N2
N?
)(kX p
0 N N2
N? k
19
有限长序列是周期序列的一个周期
有限长序列
x(n)只有的 N个值
x(n)可看成是周期序列的主值序列，记作
周期序列
当 叫做的主值周期，
记作
有限长序列的以 N 为周期的周期延拓


)(0
)10()()(
o th e r
Nnnxnx


)(0
)10()()(
o th e r
Nnnxnx p
1...2,1,0 Nn 1...2,1,0 Nn
)(nxp
Np nxnx ))(()(?
)()()( nGnxnx Np?
)()()( nGnxnx Np?
20
的主值序列
也是周期性的，相当于有限长序列周期延拓
当 时，其主值序列相当于一个有限长序列
)(kX p
10 Nk
)(kX p
Np kXkX ))(()(?
)()()( kGkXkX Np?
21
和 都取主值周期，得到离散傅立叶变换 (DFT)对
1.,,2,1,0
)(
1
)(
1
)(
1.,,2,1,0
)()()(
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
2






Nk
WkX
N
ekX
N
nx
eWh e r eNn
WnxenxkX
nk
N
k
nkj
N
k
j
N
n
nk
N
n
knj
N
N
N
)(kX )(nx
22
Nj
N eW
2?
Nj
N eW
2
2
2

1
0
)()]([
N
n
nk
NN WnxnxD F T


12
0
12
0
22
2)()()]([
N
n
n
N
N
n
nk
NN
kWnxWnxnxD F T
周期为 N和周期为 2N的不同
当主值周期为 0—N-1时，
点的 DFT为
当主值周期为 0—2N-1时，
2N DFT
（接下页）
23

21
2
1
0
1
0
12
)(
2
1
0
2
12
0
222
])1(1[
)()(
)()(
)()]([)(
22
k
N
k
kN
N
N
n
n
N
N
n
n
N
N
Nn
Nnk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
NNN
X
WWnxWnx
WNnxWnx
WnxnxD F TkX
kk






24
小结
是 的主值序列
是严格按傅立叶分析的概念得来的
只是一种借用形式，一种算法
用 计算信号的频谱时，
– 采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率
– 对周期信号要取一个整周期
DFT DFS
DFS
DFT
DFT
DFT
25
)(nxp
n
N0 N2N?
)(kX p
0 2N N
2N?
k
N0
N0
n
k
)(nx
)(kX
DFS
DF
T
26
FS
FT
DFS
FT
)(2)]([ 1 nFtfFT
n
n


1
0
2)(1)(1 N
n
knj
ppk
Nenx
NkXNa

2
21
1
1
1)(1
T
T
tjn
n dtetfTF
)()(
)()(
12
)(
2
)]([
1
0



LNkkX
nkX
NT
na
T
tfFT
N
n
n
p
s
n
k
s






n
tjn
np eFtx
1)(? knjN
k
kp
Neanx
2
1
0
)(?
所以知道 DFT=X(k)就可以求得离散周期信号的 FT,也就可以找到其他三种的 FT
27
例 #：已知 N 的 x(n)序列的 DFT如图所示，求下图 x1,x2，
x3,,x4的 FT
N0 N0
n
k
)(nx
)(kX
)(1 nxx p?
n
0 N
)(2 txx p?
TNT s?
0 2N N
2N?
)(kX?
0 2N
2N?
)(2 kXN?
k
k
1
N
2
28
TNT s? 0 2?N
2?N?
k
)(12)( kXNkXT s
)(3 0 txx?
N0
n
)(nx
0 2?N
2?N?
k?N
)(kX
sT
1
29
作业
9-5
9-6
补充题：把例 #自己重作一遍