第六章 能量 能量守恒定律
结构框图
动能 动能
定理
功能
原理
机械能
守恒
能量守恒与
时间平移对称性
动 能 变
化率
功
势能
基本内容
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的
特征；
2.质点、质点系、定轴刚体的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体
运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功
可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能
划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求
解。
1.功的概念
中学：恒力作功
SFSFA ?? ?????? co s
?
F?
s?
F?
一, 功 力对空间累积
① 功是标量（代数量）
A总 =A1+A2+……,
A > 0 力对物体做功
A < 0 物体反抗阻力做功
A = 0 力作用点无位移
力与位移相互垂直
② 功是过程量
与作用点的 位移 相关
一个力所做的功与参考系的选择
相关，是相对量
③ 一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零
力作用点的位移不一定相同
地面系
AG≠0
电梯系
AG=0
h v
mg
? 质点系内力做功的代数和不一定为零
? 一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系
的选择无关。 (证明见教材 118页 )
质点系内力做功的代数和不一定为零
0?? ?ff AA 0?? ?NN AA
N
c
N?
v
v m
c ff?
s
s?
M
什么条件下,一对内力做功为零?
? 作用点无相对位移
? 相互作用力与相对位移垂直
0?? 内对刚体,A
微元分析法,
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
2.变力的功
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
注
意 00 ?? ??
i
i
i
i IF 内内
??
00 ?? ??
i
i
i
i AM 内内
?
元功,
sF
rF
rFA
dc o s
c o sd
dd
??
????
??
?
??
zFyFxFrFA zyx ddddd ????? ??
总功,
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
??
??? ????? ddc o sd
? ?? ???
b
a
zyx zFyFxF ddd
直角坐标系,
kFjFiFF zyx ???? ???
kzjyixr ???? dddd ???
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
如图 M=2kg,k =200Nm-1,S=0.2m,g ≈ 10m·s -2
不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度,
缓慢下拉,则 AF =?
解, 用 F 将绳端下拉 0,2 m,物体
M将上升多高?
m2.0
m1.000
?
???
S
xMgkx?
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m
得
练习 1,
M
F k S
缓慢下拉,每时刻物体处于平衡态
F=
k x (0<x≤0.1m) 前 0.1m为变力
k x0 =Mg (0.1<x≤0.2m) 后 0.1m为恒力
? ?J3
||
dd
2.0
1.0
1.0
0
2
2
1
2.0
1.0
1.0
0
?
??
????
M g xkx
xMgxkxA
M
F k S
3,计算重力、弹力、引力的功
x
k m
o m
o
o
m
x
k
k x1
x2
x F?
F?
h
h2
h1 m
mg
o
共同特点,
① 做功与路径无关，只与起、末点位置有关
② 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数
在始末位置的值之差
o M
m F? r?
二、保守力 势能
1,保守力
?对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d ?? ?
L
rF ??
否则为非保守力（耗散力）
?做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
? ??? ??
b
a
b
a
rFrFA ?
???
dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
非保守力做功与路径有关，伴随能量的转换，称此
过程为 耗散过程,（四种基本相互作用力均是保守力）
2,势能,
凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相
对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我
们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
2
1 kx
r
mM
G?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
3,保守力与相关势能的关系,
① 凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守
力为该势能系统的内力。
② 保守力的功等于其相关势能增量的负值
? ? p2p1p1p2p EEEEEA ????????保
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势
点过程中保守力做的功。
③ 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd ?????
??
?
?
?
?
?
?
??
l
E
F
l
d
d
p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向
空间变化率
m
lF
l θ
F?
l?d
ppg r a d EEF ?????保
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? k
z
E
j
y
E
i
x
E ??? ppp
指向势能降低最快的方向
练习 2,
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动,
（ v ＜＜ c） 离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即 2R）。 试以 m,R、引力恒量 G,地球质量 M
表示出,
(1) 卫星的动能；
(2) 卫星在地球引力场中
的引力势能；
(3) 卫星的总机械能。
O
r
F
2R
R
M
m
解：,cv ?? 非相对论问题
? ?
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
??
?①
②
R
mM
Gr
r
mM
GE
R
3
d
3
2p
???? ?
?
③
R
G M m
EEE
6pk
????
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r
F
2R
R
M
m
a
b
aR
bR
思考,卫星对接问题
设飞船 a, b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追
上 b并与之对接，能否直接加速？
R
G M m
EEE pk
6
????
加速，发动机做功,ΔE＞ 0,
轨道半径 R增大,不能对接 ;
方法, a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道
加速 R
b轨道
a
b
aR
bR
c
cR
方法, a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道
加速 R
b轨道
三、动能定理
2,动能定理
KEAA ??? 内外
质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系
总动能的增量,
1,动能 （非相对论）
质点,
质点系,
定轴刚体,
2
2
1
k mvE ?
2
2
1
kk
2
2
1
k cc
i
ii MvEEvmE ?
?????
2
2
12
2
1
k ?JvmE
i
ii ???
3,功能原理
KEAAA ???? 非保内保内外
pE??
? ? EEEAA ?????? pK非保内外
质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系
总机械能的增量
四、机械能守恒
1,当各微元过程都满足 时,
,系统机械能守恒。
0dd ?? 非保内外 AA
恒量?? EE 0d
2,当过程满足 时,
系统初、末态机械能相等。
0?? 非保内外 AA 21 EE ?
动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
0 0 ??? pF ?? 外
0 0 ??? LM ?? 外
0dd ?? 非保内外 AA ?E = 0 时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
注意,
练习 3,
均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面。
用两种方法求出此过程中外力所做的功。
0.8 l
0.2 l
0?? m
x
1.用变力做功计算
2,用保守力做功与势能变化的关系计算
解一, 用变力做功计算
光滑平面,缓慢拉回,则拉力
与链下垂部分重力平衡,
设下重部长为 x,质量
以向下为正,l
xm ?
g
l
mx
G ?
50
dd
0
2.0
m g l
xx
l
mg
xFA
l
G ??????
50
m g l
AA
GF
???
0.8 l
0.2 l
0?? m
x
解二,
用保守力做功与势能变
化的关系计算
令桌面
初态,
末态,
重力做功,
外力功,
0p ?E
? ? 5010551p m g llmgcmg hE ?????
02p ?E
? ?
501p2pp
m g lEEEA ?????????
50
m g lAA ????
0.8 l
0.2 l
0?? m
质心 c
0p ?E
k m2
m1
L
A o
练习 4,
系统最初静止，在外力矩作用下绕竖直轴无摩擦转
动。当 m2 缓慢滑到端点 A时，系统角速度为
求,此过程中外力矩的功
?
请自行列式
杆长 L，质量 m1
已知,
环：,轻弹簧 k
2m
解,m1 + m2+k 系统非刚体,
缓慢滑动，不计 m2 沿杆径
向运动的动能。
kEAA ??? 内外
2
0
)(
2
1
d xkxkxAA
x
???????
?
弹内
? ? ? ? 222213121221 ?LmLmxkA ????外
Lmxk 22???
联立可解
k m2
m1
L
A o
练习 5,
4
3
m ax ??
如图所示,已知, M,L,m,,v0 ;击中 L 处
求,击中时 ; (只列方程 )
?
?
分两个阶段求解,各遵循什么规律?
① 相撞, 质点 定轴刚体
对 O 轴角动量守恒
② 摆动, M + m + 地球系统 E 守恒
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
撞后
? ? ?? 231243 ; MLLLmL Mm ????
? ? ????? 231169043 c o s LMmL m v
撞前
?
?
?
?
?
?
???? ?
?
2
s i n0430 L m vvmrL m
??
?c o s043 L m v?
0?ML
① 相撞, 质点 定轴刚体
对 O 轴角动量守恒
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
动能 Ek 势能增量 ΔEp
初态,
末态,
m,
M,
? ? 223116921 ?? LMm
0
? ???? c o s143 Lmg
? ???? c o s121 LMg
② 摆动, M + m + 地球系统 E 守恒
K2k1K
1p2pp
2p2k1p1K
EEE
EEE
EEEE
?????
????
????
? ?
? ? ? ??
?
c o s1
4
3
2
22
3
1
16
9
2
1
???
?
gLm
LMm
M
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
由此可解出所求值
? ? ? ? ? ??????? c o s1432223116 921 glmLMm M
? ? ?? 231169043 c o s LMmL m v ??
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
练习 6,P.134 （例 5） 如图所示,
已知,光滑桌面,m,M,k,l 0,l, 求,
Bv
?
0v
?
思考,
分几个阶段处
理？
各阶段分别遵
循什么规律？
m M A
B
M+m
o
M + m
+ 弹簧
只有弹力作功 机械能守恒
过程 研究对象 条件 原理
A
m与 M相撞
A B
A B M + m
各力力矩
都为零
0?外M?
角动量守恒
? ? ? ? ?s i n0 lvMmlvMm BA ???
由此可解出,?
BA vv
M + m
mg与 N平衡
弹簧为原长
动量守恒
? ? AvMmmv ??0
0?外F?
练习 7,质量为 2kg 的质点位于一维势场中（如图）
已知,
m7
ms2
kg2
0
1
0
?
??
?
?
x
iv
m
?
求,① m 运动范围
②何处 F>0
③ 何处 vmax=?
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
解：① 初态
? ?J420
2
1
0p0k0
??
??
mv
EEE
E 守恒,当 Ek=0时
? ? J40m a xp ?? EE
作曲线 知运动范围
J4p ?E 1?x
② 要
0
d
d
0
d
d pp
????
x
E
x
E
F
势能曲线斜率为负,
941 ??? xx
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p ?E
③ x = 4m 处,势能最小
动能最大,v 最大
? ? EmvE p ?? 2m a x
m in 2
1
? ?1m a x sm82.222 ????v
? ?
m in
2
m a x2
1
pEEmv ??
? ? ? ?J844 ????
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p ?E
1.碰撞的两个特点,
1） 在碰撞的短暂时间内相互作用很强,可不考虑
外界的影响,
2） 碰撞前后状态变化突然且明显,适合用守恒定
律研究运动状态的变化,
五、碰撞
2,对心碰撞（正碰撞）,指两球碰撞的速度在两
球的中心连线上，碰后的速度仍在这一连线上。
以两球系统为例，用 分别表示两球的质量，
碰前的速度为 ；碰后的速度是
21,mm
2010,vv
?? 21,vv ??
由动量守恒定律,
2211202101 vmvmvmvm
???? ???
令 x 轴与速度矢量平行，则,
2211202101 vmvmvmvm ???
?恢复系数
2010
12
vv
vve
?
??
碰后两球的分离速度 与碰前两球的接近速
度 成正比，比值由两球材料的性质决定。
)( 12 vv ?
)( 2010 vv ?
可得碰撞前后速度变换公式,
)()1( 2010
21
2
101 vvemm
mvv ???
?
??
)()1( 2010
21
1
202 vvemm
mvv ???
???
3,完全弹性碰撞
指碰撞前后系统机械能完全没有损失的碰撞，
也就是 的碰撞。 1?e
从 e＝ 1,101202 vvvv ???
)()( 10112022 vvmvvm ????
相乘得,2
202
2
101
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm ???
动量守恒,
碰撞后的速度,
20
21
2
10
21
21
1 )
2()( v
mm
mv
mm
mmv
?
?
?
??
20
21
12
10
21
1
2 )()
2( v
mm
mmv
mm
mv
?
??
??
讨论,
21 mm ?
●
102201,vvvv ??
即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是
最初处于静止的情况，即 去碰撞静止的,
结果 会突然 停止,接过 的速度前进。原
子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。
2m
1m
2m
1m
1m
2m
这时可得,
●
0:,2021 ??? vmm 且
0)
2
(
)(
10
21
1
2
1010
21
21
1
?
?
?
??
?
?
?
v
mm
m
v
vv
mm
mm
v这时可得,
气体分子与器壁的碰撞属于此类。
讨论,
这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球
102101 2,vvvv ??
这样的例子很多，请举之！
●
0:,2021 ??? vmm 且
这时可得,
4.完全非弹性碰撞
指两球碰撞后并不分开，以同一速度运动,
此过程中,
,,0 21 vve ??
21
202101
21 mm
vmvmvv
?
???
020 ?v当 的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是,
2
21
2
101 )(2
1
2
1 vmmvmE ????
2
101
21
2 )(
2
1 vm
mm
mE
?
??
令
2
1010 2
1 vmE ?
0
2
1
0
21
2
1
1
E
m
m
E
mm
m
E
?
?
?
??
若,则机械能完全损失；反之，若
，则机械能几乎不损失。
12 mm ??
12 mm ??
打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。
5,非弹性碰撞
指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。
碰撞中机械能的损失是,
2
2010
2
21
21 ))(1(
2
1 vve
mm
mmE ??
???
[例 ]如图所示的装置称为 冲击摆,
可用它来测定子弹的速度。质量为 M
的木块被悬挂在长度为 l的细绳下端,
一质量为 m的子弹沿水平方向以速度
v射中木块,并停留在其中。木块受
到冲击而向斜上方摆动,当到达最高
位置时,木块的水平位移为 s。试确定
子弹的速度。
s
?
?
M
l
v?
m
s
?
?
M
l
v?
m
解以上三方程的联立方程组得
)(2 22 sllgm Mmv --??
解,根据动量守恒定律得
uMmmv )( ??
根据机械能守恒定律得
ghMmuMm )()(21 2 ???
22 sllh --?
由图知
结构框图
动能 动能
定理
功能
原理
机械能
守恒
能量守恒与
时间平移对称性
动 能 变
化率
功
势能
基本内容
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的
特征；
2.质点、质点系、定轴刚体的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体
运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功
可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能
划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求
解。
1.功的概念
中学：恒力作功
SFSFA ?? ?????? co s
?
F?
s?
F?
一, 功 力对空间累积
① 功是标量（代数量）
A总 =A1+A2+……,
A > 0 力对物体做功
A < 0 物体反抗阻力做功
A = 0 力作用点无位移
力与位移相互垂直
② 功是过程量
与作用点的 位移 相关
一个力所做的功与参考系的选择
相关，是相对量
③ 一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零
力作用点的位移不一定相同
地面系
AG≠0
电梯系
AG=0
h v
mg
? 质点系内力做功的代数和不一定为零
? 一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系
的选择无关。 (证明见教材 118页 )
质点系内力做功的代数和不一定为零
0?? ?ff AA 0?? ?NN AA
N
c
N?
v
v m
c ff?
s
s?
M
什么条件下,一对内力做功为零?
? 作用点无相对位移
? 相互作用力与相对位移垂直
0?? 内对刚体,A
微元分析法,
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
2.变力的功
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
注
意 00 ?? ??
i
i
i
i IF 内内
??
00 ?? ??
i
i
i
i AM 内内
?
元功,
sF
rF
rFA
dc o s
c o sd
dd
??
????
??
?
??
zFyFxFrFA zyx ddddd ????? ??
总功,
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
??
??? ????? ddc o sd
? ?? ???
b
a
zyx zFyFxF ddd
直角坐标系,
kFjFiFF zyx ???? ???
kzjyixr ???? dddd ???
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
如图 M=2kg,k =200Nm-1,S=0.2m,g ≈ 10m·s -2
不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度,
缓慢下拉,则 AF =?
解, 用 F 将绳端下拉 0,2 m,物体
M将上升多高?
m2.0
m1.000
?
???
S
xMgkx?
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m
得
练习 1,
M
F k S
缓慢下拉,每时刻物体处于平衡态
F=
k x (0<x≤0.1m) 前 0.1m为变力
k x0 =Mg (0.1<x≤0.2m) 后 0.1m为恒力
? ?J3
||
dd
2.0
1.0
1.0
0
2
2
1
2.0
1.0
1.0
0
?
??
????
M g xkx
xMgxkxA
M
F k S
3,计算重力、弹力、引力的功
x
k m
o m
o
o
m
x
k
k x1
x2
x F?
F?
h
h2
h1 m
mg
o
共同特点,
① 做功与路径无关，只与起、末点位置有关
② 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数
在始末位置的值之差
o M
m F? r?
二、保守力 势能
1,保守力
?对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d ?? ?
L
rF ??
否则为非保守力（耗散力）
?做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
? ??? ??
b
a
b
a
rFrFA ?
???
dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
非保守力做功与路径有关，伴随能量的转换，称此
过程为 耗散过程,（四种基本相互作用力均是保守力）
2,势能,
凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相
对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我
们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
2
1 kx
r
mM
G?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
3,保守力与相关势能的关系,
① 凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守
力为该势能系统的内力。
② 保守力的功等于其相关势能增量的负值
? ? p2p1p1p2p EEEEEA ????????保
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势
点过程中保守力做的功。
③ 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd ?????
??
?
?
?
?
?
?
??
l
E
F
l
d
d
p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向
空间变化率
m
lF
l θ
F?
l?d
ppg r a d EEF ?????保
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? k
z
E
j
y
E
i
x
E ??? ppp
指向势能降低最快的方向
练习 2,
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动,
（ v ＜＜ c） 离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即 2R）。 试以 m,R、引力恒量 G,地球质量 M
表示出,
(1) 卫星的动能；
(2) 卫星在地球引力场中
的引力势能；
(3) 卫星的总机械能。
O
r
F
2R
R
M
m
解：,cv ?? 非相对论问题
? ?
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
??
?①
②
R
mM
Gr
r
mM
GE
R
3
d
3
2p
???? ?
?
③
R
G M m
EEE
6pk
????
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r
F
2R
R
M
m
a
b
aR
bR
思考,卫星对接问题
设飞船 a, b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追
上 b并与之对接，能否直接加速？
R
G M m
EEE pk
6
????
加速，发动机做功,ΔE＞ 0,
轨道半径 R增大,不能对接 ;
方法, a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道
加速 R
b轨道
a
b
aR
bR
c
cR
方法, a 减速
ΔE<0
R减小 R
C轨道
加速 R
b轨道
三、动能定理
2,动能定理
KEAA ??? 内外
质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系
总动能的增量,
1,动能 （非相对论）
质点,
质点系,
定轴刚体,
2
2
1
k mvE ?
2
2
1
kk
2
2
1
k cc
i
ii MvEEvmE ?
?????
2
2
12
2
1
k ?JvmE
i
ii ???
3,功能原理
KEAAA ???? 非保内保内外
pE??
? ? EEEAA ?????? pK非保内外
质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系
总机械能的增量
四、机械能守恒
1,当各微元过程都满足 时,
,系统机械能守恒。
0dd ?? 非保内外 AA
恒量?? EE 0d
2,当过程满足 时,
系统初、末态机械能相等。
0?? 非保内外 AA 21 EE ?
动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
0 0 ??? pF ?? 外
0 0 ??? LM ?? 外
0dd ?? 非保内外 AA ?E = 0 时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
注意,
练习 3,
均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面。
用两种方法求出此过程中外力所做的功。
0.8 l
0.2 l
0?? m
x
1.用变力做功计算
2,用保守力做功与势能变化的关系计算
解一, 用变力做功计算
光滑平面,缓慢拉回,则拉力
与链下垂部分重力平衡,
设下重部长为 x,质量
以向下为正,l
xm ?
g
l
mx
G ?
50
dd
0
2.0
m g l
xx
l
mg
xFA
l
G ??????
50
m g l
AA
GF
???
0.8 l
0.2 l
0?? m
x
解二,
用保守力做功与势能变
化的关系计算
令桌面
初态,
末态,
重力做功,
外力功,
0p ?E
? ? 5010551p m g llmgcmg hE ?????
02p ?E
? ?
501p2pp
m g lEEEA ?????????
50
m g lAA ????
0.8 l
0.2 l
0?? m
质心 c
0p ?E
k m2
m1
L
A o
练习 4,
系统最初静止，在外力矩作用下绕竖直轴无摩擦转
动。当 m2 缓慢滑到端点 A时，系统角速度为
求,此过程中外力矩的功
?
请自行列式
杆长 L，质量 m1
已知,
环：,轻弹簧 k
2m
解,m1 + m2+k 系统非刚体,
缓慢滑动，不计 m2 沿杆径
向运动的动能。
kEAA ??? 内外
2
0
)(
2
1
d xkxkxAA
x
???????
?
弹内
? ? ? ? 222213121221 ?LmLmxkA ????外
Lmxk 22???
联立可解
k m2
m1
L
A o
练习 5,
4
3
m ax ??
如图所示,已知, M,L,m,,v0 ;击中 L 处
求,击中时 ; (只列方程 )
?
?
分两个阶段求解,各遵循什么规律?
① 相撞, 质点 定轴刚体
对 O 轴角动量守恒
② 摆动, M + m + 地球系统 E 守恒
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
撞后
? ? ?? 231243 ; MLLLmL Mm ????
? ? ????? 231169043 c o s LMmL m v
撞前
?
?
?
?
?
?
???? ?
?
2
s i n0430 L m vvmrL m
??
?c o s043 L m v?
0?ML
① 相撞, 质点 定轴刚体
对 O 轴角动量守恒
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
动能 Ek 势能增量 ΔEp
初态,
末态,
m,
M,
? ? 223116921 ?? LMm
0
? ???? c o s143 Lmg
? ???? c o s121 LMg
② 摆动, M + m + 地球系统 E 守恒
K2k1K
1p2pp
2p2k1p1K
EEE
EEE
EEEE
?????
????
????
? ?
? ? ? ??
?
c o s1
4
3
2
22
3
1
16
9
2
1
???
?
gLm
LMm
M
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
由此可解出所求值
? ? ? ? ? ??????? c o s1432223116 921 glmLMm M
? ? ?? 231169043 c o s LMmL m v ??
o
M
c
?
?
L43
L41 m
0v
?
练习 6,P.134 （例 5） 如图所示,
已知,光滑桌面,m,M,k,l 0,l, 求,
Bv
?
0v
?
思考,
分几个阶段处
理？
各阶段分别遵
循什么规律？
m M A
B
M+m
o
M + m
+ 弹簧
只有弹力作功 机械能守恒
过程 研究对象 条件 原理
A
m与 M相撞
A B
A B M + m
各力力矩
都为零
0?外M?
角动量守恒
? ? ? ? ?s i n0 lvMmlvMm BA ???
由此可解出,?
BA vv
M + m
mg与 N平衡
弹簧为原长
动量守恒
? ? AvMmmv ??0
0?外F?
练习 7,质量为 2kg 的质点位于一维势场中（如图）
已知,
m7
ms2
kg2
0
1
0
?
??
?
?
x
iv
m
?
求,① m 运动范围
②何处 F>0
③ 何处 vmax=?
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
解：① 初态
? ?J420
2
1
0p0k0
??
??
mv
EEE
E 守恒,当 Ek=0时
? ? J40m a xp ?? EE
作曲线 知运动范围
J4p ?E 1?x
② 要
0
d
d
0
d
d pp
????
x
E
x
E
F
势能曲线斜率为负,
941 ??? xx
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p ?E
③ x = 4m 处,势能最小
动能最大,v 最大
? ? EmvE p ?? 2m a x
m in 2
1
? ?1m a x sm82.222 ????v
? ?
m in
2
m a x2
1
pEEmv ??
? ? ? ?J844 ????
x (m)
2
Ep(J)
4
-4
0 1 4 7 9
mv0?
J4p ?E
1.碰撞的两个特点,
1） 在碰撞的短暂时间内相互作用很强,可不考虑
外界的影响,
2） 碰撞前后状态变化突然且明显,适合用守恒定
律研究运动状态的变化,
五、碰撞
2,对心碰撞（正碰撞）,指两球碰撞的速度在两
球的中心连线上，碰后的速度仍在这一连线上。
以两球系统为例，用 分别表示两球的质量，
碰前的速度为 ；碰后的速度是
21,mm
2010,vv
?? 21,vv ??
由动量守恒定律,
2211202101 vmvmvmvm
???? ???
令 x 轴与速度矢量平行，则,
2211202101 vmvmvmvm ???
?恢复系数
2010
12
vv
vve
?
??
碰后两球的分离速度 与碰前两球的接近速
度 成正比，比值由两球材料的性质决定。
)( 12 vv ?
)( 2010 vv ?
可得碰撞前后速度变换公式,
)()1( 2010
21
2
101 vvemm
mvv ???
?
??
)()1( 2010
21
1
202 vvemm
mvv ???
???
3,完全弹性碰撞
指碰撞前后系统机械能完全没有损失的碰撞，
也就是 的碰撞。 1?e
从 e＝ 1,101202 vvvv ???
)()( 10112022 vvmvvm ????
相乘得,2
202
2
101
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm ???
动量守恒,
碰撞后的速度,
20
21
2
10
21
21
1 )
2()( v
mm
mv
mm
mmv
?
?
?
??
20
21
12
10
21
1
2 )()
2( v
mm
mmv
mm
mv
?
??
??
讨论,
21 mm ?
●
102201,vvvv ??
即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是
最初处于静止的情况，即 去碰撞静止的,
结果 会突然 停止,接过 的速度前进。原
子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。
2m
1m
2m
1m
1m
2m
这时可得,
●
0:,2021 ??? vmm 且
0)
2
(
)(
10
21
1
2
1010
21
21
1
?
?
?
??
?
?
?
v
mm
m
v
vv
mm
mm
v这时可得,
气体分子与器壁的碰撞属于此类。
讨论,
这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球
102101 2,vvvv ??
这样的例子很多，请举之！
●
0:,2021 ??? vmm 且
这时可得,
4.完全非弹性碰撞
指两球碰撞后并不分开，以同一速度运动,
此过程中,
,,0 21 vve ??
21
202101
21 mm
vmvmvv
?
???
020 ?v当 的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是,
2
21
2
101 )(2
1
2
1 vmmvmE ????
2
101
21
2 )(
2
1 vm
mm
mE
?
??
令
2
1010 2
1 vmE ?
0
2
1
0
21
2
1
1
E
m
m
E
mm
m
E
?
?
?
??
若,则机械能完全损失；反之，若
，则机械能几乎不损失。
12 mm ??
12 mm ??
打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。
5,非弹性碰撞
指小球碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞。
碰撞中机械能的损失是,
2
2010
2
21
21 ))(1(
2
1 vve
mm
mmE ??
???
[例 ]如图所示的装置称为 冲击摆,
可用它来测定子弹的速度。质量为 M
的木块被悬挂在长度为 l的细绳下端,
一质量为 m的子弹沿水平方向以速度
v射中木块,并停留在其中。木块受
到冲击而向斜上方摆动,当到达最高
位置时,木块的水平位移为 s。试确定
子弹的速度。
s
?
?
M
l
v?
m
s
?
?
M
l
v?
m
解以上三方程的联立方程组得
)(2 22 sllgm Mmv --??
解,根据动量守恒定律得
uMmmv )( ??
根据机械能守恒定律得
ghMmuMm )()(21 2 ???
22 sllh --?
由图知
