从十分复杂的实验中所引导出来的
一些对称性，有高度的单纯与美丽。这
些发展给了物理学工作者鼓励与启示。
他们渐渐了解到自然现象有着美妙的规
律，而且是他们可以希望了解的规律。
－－－ 杨振宁
同学们好！
第七章 对称性与守恒定律
对称性
概念
对称性
原理
对称性与
守恒定律
对称性的
自发破缺
结构框图
学时,2
既是对 4－ 6章的深化，又是过渡到相对论的桥梁。
由简单到复杂，由感性到理性，初步理解关于对称
性的基本概念，认识 对称性思想方法的重要意义。
对称性的概念最初来源于生活：动物、植物、建筑、
文学艺术 ……
何其相似！
C60分子结构 (巴基球 )
截角正 20面体，每个
顶点上一个 C原子，
构成笼状 32面体（ 20
个六边形,12个五边
形）。 1985年发现
（ 1996 诺贝尔化学
奖），开创有机化学
新篇章。
如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一个与之等
价的状态，即体系的状态在此操作下保持不变，则该体系对
这一操作 对称,这一操作称为该体系的一个 对称操作 。
被研究的对象 ——体系
对体系的描述 ——状态
体系从一个状态到另一个状态的过程 ——“变换, 或, 操
作,
变换前后体系状态相同 ——,等价,或,不变,
关于对称的基本概念
体系的所有对称操作的集合 ——对称群
一, 物理学中的对称性
空间对称性
1.空间旋转对称
对绕 O 轴旋
转任意角的操
作对称
对绕 O 轴旋
转 2? 整数倍
的操作对称
对绕 O 轴旋
转 ?/2 整数
倍 的操作对称
?o ?o o
o
?o 一次轴 2次轴
.o
3次轴 4次轴
,o
若体系绕某轴旋转 2? ? n 后恢复原状，
则称该体系具有 n 次对称轴。
是固体物理中研究晶体结构的重要概念。
物理定律的旋转对称性 ——空间各向同性
空间各方向对物理定律等价，没有哪一个方向
具有特别优越的地位。
实验仪器方位旋转，实验结果不变。
例如,实验仪器取向不同，
得出的单摆周期公式相同。
g
L
T ?2?
2.空间平移对称
无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平
移操作对称。
无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。
平面网格：对沿面内某些特定方向、移动特定步长
的平移操作 (不变元 )对称。
一个图形可以有很多不变元。
应用,晶体的很多性质，只决定于它的不变元的结构。两
个化学成分完全不一样的晶体，如果它们的不变元完全一
样，那么它们就具有许多相同的性质。
物理定律的平移对称性 ——空间均匀性
空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置
具有特别优越的地位。
物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。
例如,在地球、月球、
火星、河外星系 … 进行
实验，得出的引力定律
（万有引力定律、广义
相对论）相同。
3.空间反射对称（镜象对称、左右对称、宇称）
相应的操作是空间反射 (镜面反射 ) 。
动物在镜子面前的表现可以反映其智力高低。
令人意想不到的是,一面镜子竟然能够在拯救一个
物种中发挥作用,
红鹳因为其镜像而以为自己处在大群中，获得安
全感而繁殖。
左右对称与平移、旋转不同,
（例如手套、鞋）
物理定律的空间反射对称性,
如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律,
则支配该过程的物理规律具有空间反射对称性。
时间对称性
1.时间平移对称性
一个静止不动或匀速直线运动的体系对任何时间
间隔 ?t 的时间平移表现出不变性；
而周期性变化体系 (单摆、弹簧振子 )只对周期 T
及其整数倍的时间平移变换对称。
物理定律的时间平移对称性,
物理定律不随时间变化即为物理定律具有时间平移
对称性。
物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律不变。
2.时间反演对称性 （ t ? - t 的操作、时间倒流）
某些理想过程,无阻尼的单摆
自由落体 ……
时间反演不变
2
2
2
2
d
d
d
d
)t(
r
mF
t
r
mF
?
???
????
牛顿定律具有时间 反演对称性
但生活中的 许多现象不具有 时间反演不变性,
武打片动作的真实性：紧身衣 —真实，大袍 —不真实；
热功转换；扩散现象；生命现象 ……
非保守系统中的过程不具有时间反演对称性
实际宏观过程不具有时间反演对称性
其它对称性举例
图形对于标尺的涨缩具有不变性
1.标度变换对称性 ——放大或缩小
? 整个图形放大或缩小时，只需转过一定角度就
与原图重合。
对数螺线,
位矢与切线间的夹角
保持恒定
“虽然改变了，我还是和原来一样。”
——伯努利（瑞士,1700－ 1782）墓志铭
向日葵花上的对数螺线
? 分形结构：具有整体与部分的自相似性
绝缘体电击穿时的电子路径 三分法科赫曲线
曼德耳布罗特的
支气管树模型
2.置换对称性（联合变换）
“互斥即互补,
玻尔的族徽
荷兰画家 埃舍尔（ M.C.ESCHER） 的骑士图和猛兽
图对镜象反射加上黑白置换和必要的平移操作才构
成对称操作 。
二、对称性原理
对称性与自然规律之间是什么关系?
自然规律反映了事物之间的因果关系,
其对称性即,
等价的原因 ? 等价的结果
对称的原因 ? 对称的结果
对称性原理 (皮埃尔 ·居里 ),
? 结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原
因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多；
? 在不存在唯一性的情况下,原因中的对称性必反
映在全部可能的结果的集合中,即全部可能的结果
的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。
? 原因中的对称性必反映
在结果中，即结果中的对
称性至少有原因中的对称
性那样多；
例 1.根据对称性原理论证抛体运动为平面运动。
原因,重力和初速决定一个平面，无偏离该平面
的因素，对该平面镜像对称。
结果, 质点的运动不会偏离该平面，轨道一定在
该平面内。
gm?
v?
同理可论证在有心力场作用下,质点必做平面运动。
F?v?
L?
例 2.根据对称性原理解释足球场上的“香蕉球”
结果, 足球的运动偏离了重力和初速决定的平面,
原因,一定存在对重力和初速所决定的平面不对
称的因素，即球被踢出时是旋转的。
三、对称性与守恒定律
1、诺特尔 (德国,1883～ 1935)定理
运用于物理学,物理学中存在着许多守恒定律,
如能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒、
奇异数守恒、重子数守恒 …… 这些守恒定律的存在
并不是偶然的，它们是自然规律具有各种对称性的
结果。, 对称性, 是凌驾于物理规律之上的自然界
基本规律。
对称性 —— 守恒量 —— 守恒定律 对应 对应
严格的对称性 ——严格的守恒定律
近似的对称性 ——近似的守恒定律
教材 149页 表 7.2-1 对称性与守恒定律对应关系
时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
动量守恒定律
角动量守恒定律
能量守恒定律
练习,将守恒定律与其相关的时空对称性连接起来。
四, 对称性的自发破缺
原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，其对
称程度自发降低 —— 对称性自发破缺。
1,对称性的自发破缺
例 1.贝纳德对流
液体
均匀加热
T2
T1
T2 T1 >
,为您服务,,烧水时怎样能更快沸腾？
宇宙演化（物质及相互作用生成）简图
2.对称性破缺与自然界的进化
宇宙极早期（完全对称统一） ——体积膨胀，
温度降低（对称破缺），产生时空 ——粒子、原
子 ——物质。
对称性破缺的机制,
真空的性质？前沿课题。
时空、不同种类的粒子、不同
种类的相互作用、整个复杂纷纭的
自然界，包括人类自身，都是对称
性自发破缺的产物。
生命的起源,
无机物 — 有机物 — 光活性物质 — 原始生命
光活性物质：左右不对称（立体异构）分子
无生命世界：左右不对称的对映异构体等量存在
生物体,左手性和右手性分子不等量
DNA分子的双螺旋结构：
大部分为右旋的。
五,对称性思想方法的重要意义
1.对称性是科学理论必须具备的基本特征
现代物理：建立在“假说”基础上的理论体系
其正确性需要检验：证实或证伪
要求实验行为可以重复，实验结果可以再现,
不因地而异 ——空间平移、旋转对称性
不因时而异 ——时间平移对称性
不因人而异 ——相对论的对称性
参考系
2.对称性是现代物理中重要的思想方法
例,狄拉克从他的 Dirac 方程的对称性，预言了
正电子的存在 对 反粒子、反物质的探索。
爱因斯坦从物理定律对参考系的不变性出发，
建立狭义相对论和广义相对论。
?由数学变换（对称操作），猜测物理系统的对称性
预言相应的守恒量和守恒定律 实验检验。
?实验中发现守恒量 寻找 物理系统的对称性
建立理论。
Symmetry dictates interaction
对称原理决定相互作用,
这是从几十年来物理学发展中得出的基本经验，
通过对其内涵的新的了解，其地位愈加重要，在
以后三、五十年内会仍然重要。
3.对称性体现物理学简单、和谐、统一的审美原则
“我想知道上帝是如何创造这个世界的。我对诸种现
象并不感兴趣，我想知道的是他的思想,其它的都只
是细节问题。,
——爱因斯坦
开普勒的宇宙模型,
行星轨道在正多面体的外接、
内切球面上。
历史之旅
物理学中美的概念,现象之美
理论描述之美
理论结构之美
什么是上帝创造世界的原则?
自然的基本法则一定是简单的，自然的基本设计充
满对称。 ——对称性越高越美。
对称性指导着学科的交叉、渗透、整合。
美学在科学中的角色，是“纤细的筛子”，
成为阐明和误解之间、讯号与杂讯之间的仲裁。
-----彭加勒
参考书,1., 可怕的对称,
（美）阿 ?热 著 湖南科技出版社 1992年
2., 定性与半定量物理学,
赵凯华 著 高等教育出版社 1991年
3.,对称、不对称和粒子世界,
李政道著 科学出版社 1991年
4.,杨振宁文录,
杨振宁著 海南出版社 2002年
一些对称性，有高度的单纯与美丽。这
些发展给了物理学工作者鼓励与启示。
他们渐渐了解到自然现象有着美妙的规
律，而且是他们可以希望了解的规律。
－－－ 杨振宁
同学们好！
第七章 对称性与守恒定律
对称性
概念
对称性
原理
对称性与
守恒定律
对称性的
自发破缺
结构框图
学时,2
既是对 4－ 6章的深化，又是过渡到相对论的桥梁。
由简单到复杂，由感性到理性，初步理解关于对称
性的基本概念，认识 对称性思想方法的重要意义。
对称性的概念最初来源于生活：动物、植物、建筑、
文学艺术 ……
何其相似！
C60分子结构 (巴基球 )
截角正 20面体，每个
顶点上一个 C原子，
构成笼状 32面体（ 20
个六边形,12个五边
形）。 1985年发现
（ 1996 诺贝尔化学
奖），开创有机化学
新篇章。
如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一个与之等
价的状态，即体系的状态在此操作下保持不变，则该体系对
这一操作 对称,这一操作称为该体系的一个 对称操作 。
被研究的对象 ——体系
对体系的描述 ——状态
体系从一个状态到另一个状态的过程 ——“变换, 或, 操
作,
变换前后体系状态相同 ——,等价,或,不变,
关于对称的基本概念
体系的所有对称操作的集合 ——对称群
一, 物理学中的对称性
空间对称性
1.空间旋转对称
对绕 O 轴旋
转任意角的操
作对称
对绕 O 轴旋
转 2? 整数倍
的操作对称
对绕 O 轴旋
转 ?/2 整数
倍 的操作对称
?o ?o o
o
?o 一次轴 2次轴
.o
3次轴 4次轴
,o
若体系绕某轴旋转 2? ? n 后恢复原状，
则称该体系具有 n 次对称轴。
是固体物理中研究晶体结构的重要概念。
物理定律的旋转对称性 ——空间各向同性
空间各方向对物理定律等价，没有哪一个方向
具有特别优越的地位。
实验仪器方位旋转，实验结果不变。
例如,实验仪器取向不同，
得出的单摆周期公式相同。
g
L
T ?2?
2.空间平移对称
无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平
移操作对称。
无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。
平面网格：对沿面内某些特定方向、移动特定步长
的平移操作 (不变元 )对称。
一个图形可以有很多不变元。
应用,晶体的很多性质，只决定于它的不变元的结构。两
个化学成分完全不一样的晶体，如果它们的不变元完全一
样，那么它们就具有许多相同的性质。
物理定律的平移对称性 ——空间均匀性
空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置
具有特别优越的地位。
物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。
例如,在地球、月球、
火星、河外星系 … 进行
实验，得出的引力定律
（万有引力定律、广义
相对论）相同。
3.空间反射对称（镜象对称、左右对称、宇称）
相应的操作是空间反射 (镜面反射 ) 。
动物在镜子面前的表现可以反映其智力高低。
令人意想不到的是,一面镜子竟然能够在拯救一个
物种中发挥作用,
红鹳因为其镜像而以为自己处在大群中，获得安
全感而繁殖。
左右对称与平移、旋转不同,
（例如手套、鞋）
物理定律的空间反射对称性,
如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律,
则支配该过程的物理规律具有空间反射对称性。
时间对称性
1.时间平移对称性
一个静止不动或匀速直线运动的体系对任何时间
间隔 ?t 的时间平移表现出不变性；
而周期性变化体系 (单摆、弹簧振子 )只对周期 T
及其整数倍的时间平移变换对称。
物理定律的时间平移对称性,
物理定律不随时间变化即为物理定律具有时间平移
对称性。
物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律不变。
2.时间反演对称性 （ t ? - t 的操作、时间倒流）
某些理想过程,无阻尼的单摆
自由落体 ……
时间反演不变
2
2
2
2
d
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d
d
)t(
r
mF
t
r
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???
????
牛顿定律具有时间 反演对称性
但生活中的 许多现象不具有 时间反演不变性,
武打片动作的真实性：紧身衣 —真实，大袍 —不真实；
热功转换；扩散现象；生命现象 ……
非保守系统中的过程不具有时间反演对称性
实际宏观过程不具有时间反演对称性
其它对称性举例
图形对于标尺的涨缩具有不变性
1.标度变换对称性 ——放大或缩小
? 整个图形放大或缩小时，只需转过一定角度就
与原图重合。
对数螺线,
位矢与切线间的夹角
保持恒定
“虽然改变了，我还是和原来一样。”
——伯努利（瑞士,1700－ 1782）墓志铭
向日葵花上的对数螺线
? 分形结构：具有整体与部分的自相似性
绝缘体电击穿时的电子路径 三分法科赫曲线
曼德耳布罗特的
支气管树模型
2.置换对称性（联合变换）
“互斥即互补,
玻尔的族徽
荷兰画家 埃舍尔（ M.C.ESCHER） 的骑士图和猛兽
图对镜象反射加上黑白置换和必要的平移操作才构
成对称操作 。
二、对称性原理
对称性与自然规律之间是什么关系?
自然规律反映了事物之间的因果关系,
其对称性即,
等价的原因 ? 等价的结果
对称的原因 ? 对称的结果
对称性原理 (皮埃尔 ·居里 ),
? 结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原
因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多；
? 在不存在唯一性的情况下,原因中的对称性必反
映在全部可能的结果的集合中,即全部可能的结果
的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。
? 原因中的对称性必反映
在结果中，即结果中的对
称性至少有原因中的对称
性那样多；
例 1.根据对称性原理论证抛体运动为平面运动。
原因,重力和初速决定一个平面，无偏离该平面
的因素，对该平面镜像对称。
结果, 质点的运动不会偏离该平面，轨道一定在
该平面内。
gm?
v?
同理可论证在有心力场作用下,质点必做平面运动。
F?v?
L?
例 2.根据对称性原理解释足球场上的“香蕉球”
结果, 足球的运动偏离了重力和初速决定的平面,
原因,一定存在对重力和初速所决定的平面不对
称的因素，即球被踢出时是旋转的。
三、对称性与守恒定律
1、诺特尔 (德国,1883～ 1935)定理
运用于物理学,物理学中存在着许多守恒定律,
如能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒、
奇异数守恒、重子数守恒 …… 这些守恒定律的存在
并不是偶然的，它们是自然规律具有各种对称性的
结果。, 对称性, 是凌驾于物理规律之上的自然界
基本规律。
对称性 —— 守恒量 —— 守恒定律 对应 对应
严格的对称性 ——严格的守恒定律
近似的对称性 ——近似的守恒定律
教材 149页 表 7.2-1 对称性与守恒定律对应关系
时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
动量守恒定律
角动量守恒定律
能量守恒定律
练习,将守恒定律与其相关的时空对称性连接起来。
四, 对称性的自发破缺
原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，其对
称程度自发降低 —— 对称性自发破缺。
1,对称性的自发破缺
例 1.贝纳德对流
液体
均匀加热
T2
T1
T2 T1 >
,为您服务,,烧水时怎样能更快沸腾？
宇宙演化（物质及相互作用生成）简图
2.对称性破缺与自然界的进化
宇宙极早期（完全对称统一） ——体积膨胀，
温度降低（对称破缺），产生时空 ——粒子、原
子 ——物质。
对称性破缺的机制,
真空的性质？前沿课题。
时空、不同种类的粒子、不同
种类的相互作用、整个复杂纷纭的
自然界，包括人类自身，都是对称
性自发破缺的产物。
生命的起源,
无机物 — 有机物 — 光活性物质 — 原始生命
光活性物质：左右不对称（立体异构）分子
无生命世界：左右不对称的对映异构体等量存在
生物体,左手性和右手性分子不等量
DNA分子的双螺旋结构：
大部分为右旋的。
五,对称性思想方法的重要意义
1.对称性是科学理论必须具备的基本特征
现代物理：建立在“假说”基础上的理论体系
其正确性需要检验：证实或证伪
要求实验行为可以重复，实验结果可以再现,
不因地而异 ——空间平移、旋转对称性
不因时而异 ——时间平移对称性
不因人而异 ——相对论的对称性
参考系
2.对称性是现代物理中重要的思想方法
例,狄拉克从他的 Dirac 方程的对称性，预言了
正电子的存在 对 反粒子、反物质的探索。
爱因斯坦从物理定律对参考系的不变性出发，
建立狭义相对论和广义相对论。
?由数学变换（对称操作），猜测物理系统的对称性
预言相应的守恒量和守恒定律 实验检验。
?实验中发现守恒量 寻找 物理系统的对称性
建立理论。
Symmetry dictates interaction
对称原理决定相互作用,
这是从几十年来物理学发展中得出的基本经验，
通过对其内涵的新的了解，其地位愈加重要，在
以后三、五十年内会仍然重要。
3.对称性体现物理学简单、和谐、统一的审美原则
“我想知道上帝是如何创造这个世界的。我对诸种现
象并不感兴趣，我想知道的是他的思想,其它的都只
是细节问题。,
——爱因斯坦
开普勒的宇宙模型,
行星轨道在正多面体的外接、
内切球面上。
历史之旅
物理学中美的概念,现象之美
理论描述之美
理论结构之美
什么是上帝创造世界的原则?
自然的基本法则一定是简单的，自然的基本设计充
满对称。 ——对称性越高越美。
对称性指导着学科的交叉、渗透、整合。
美学在科学中的角色，是“纤细的筛子”，
成为阐明和误解之间、讯号与杂讯之间的仲裁。
-----彭加勒
参考书,1., 可怕的对称,
（美）阿 ?热 著 湖南科技出版社 1992年
2., 定性与半定量物理学,
赵凯华 著 高等教育出版社 1991年
3.,对称、不对称和粒子世界,
李政道著 科学出版社 1991年
4.,杨振宁文录,
杨振宁著 海南出版社 2002年
