同学们好 !
§ 8.4 狭义相对论动力学基础
一,改造经典力学的两条原则
改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式
1,狭义相对性原理(对称性思想)的要求
2,对应原理的要求
新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确
的旧理论,并在极限条件下过渡到旧理论。
即,
相对论力学定律 经典力学定律 cu ??
相对论力学量 经典力学量 cu ??
思路,重新定义质量、动量、能量,使相应的守恒
定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系
设在相对论中,质量与时间、长度一样,与
惯性系的选择有关。
静系中,动系中,
0m
)(um
理想实验,全同粒子的完全非弹性碰撞
s?
u
s?
xv?
A
A B
B
s
u
s
xv
A
A
B
B
固接于粒子 A的 系 s?固接于粒子 B的 系 s
在两坐标系中,粒子系统质量守恒、动量守恒。
质量守恒,
动量守恒,
)()(0 xvMumm ??
xx vvMuum )()( ?
固接于粒子 B的 系 s
s
u
s
xv
A
A
B
B
)(
)(
0 umm
uum
v x
?
?
解得,
质量守恒,
动量守恒,
)()(0 xvMumm ???
xx vvMuum ???? )()(
固接于粒子 A的 系 s?
s?
u
s?
xv?
A
A B
B
)(
)(
0 umm
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v x
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???
)(
)(
0 umm
uum
v x
?
???;
)(
)(
0 umm
uum
v x
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?
代入洛仑兹速度变换,
2
1
c
uv
uv
v
x
x
x
?
?
??
0
2
2
0
1
)( m
c
u
m
um ??
?
?得质速关系,
0)( mum ?
cu ??
满足对应原理的要求,
实验验证,
测高速电子的荷质比
经典情况(质谱仪),
常数??
?
BR
u
m
e
R
mu
e u B
2
??????
m
e
u
m
e
c
u
m
e
m
e
时:;当
0
2
2
0
1
?
相对论情况,
c
u
m
0m
o
1.0
考夫曼实验结果:电子质量随速度变化
三,质能关系
)
8
3
2
1
1()1()(
4
4
2
2
00
2
1
2
2
0 ????????
?
c
u
c
u
mm
c
u
mum ?
将质速关系按幂级数展开,得
两边同乘以 得
)
4
3
1(
2
1
2
2
2
0
2
0
2 ?????
c
u
umcmmc
2c
2
0
2
0
cmmc
EEE k
??
??相对论动能
cu ??
2
02
1
umE k ?
定义,
2mcE ?
2
00 cmE ?
总能量
静能量
质能关系
实验验证,
核嬗变,由参加反应各原子质量,反应前后能量
损失计算出的光速与实验值相符。
-182 sm1098.2 ??????? cmcE
正负电子对湮灭,由质能关系计算出的辐射波
长与实验值相符。
21 ?? ???
?? ee
质能关系的意义,
1) 质量概念进一步深化
相对论总能 包含了物体的全部能量(机械能、电
磁能、原子能等),解决了经典物理未能解决的物体总
能问题;
质量是约束能量的形式,是能量的载体。质量、能
量不可分割,没有脱离质量的能量,也没有无能量的质
量。无论物质如何运动,二者只由常数 相联系。
E
2c
2) 质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。
在经典物理中二者互相独立,在相对论中二者
关联,平行进行。在孤立系统内,
静质量 动质量
静能 动能 总质量、总能量不变
3) 质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
mcE ??? 2
裂变:重核分裂为中等
质量的核
聚变:轻核聚合为中等
质量的核
质量亏损,释放结合能
应用:原子弹、氢弹,
核电站 ……
四、能量与动量的关系
于是
2
2
2
2
0
2
2
0
1)(1 p
E
c
cm
c
v
cm
E
?
?
?
?
1,相对论动量 vmvvmp ???
0)( ???
满足对应原理。vmpcv ?? 01 ???? ?
2,能量与动量的关系
由
2mcE ?
vmp ?? ?
消去 得 m
2
2
4
2
2
p
E
c
vp
E
c
v ???
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42
0
222 cmcpE ??
42
0
222 cmcpE ??
E
2
0cm
pc当 时
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讨论,
? ?
2
0
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2
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EEE
EEEE
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k
k
k
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???
??
???
??
?
0
2
2 m
p
E
k
?
满足对应原理
五,相对论动力学基本方程
从相对论角度审视经典力学的基本定律,
1,惯性定律保持不变,在相对论中成立。
2,牛顿第二定律
由,
vmvmp ??? 0???
)(
d
d
d
d
0 vmtt
p
F
?
??
???
相对论动力学
基本方程 得,
am
t
v
mFcv
?
??
00 d
d
1 ????? ?
满足对应原理
x
x
x
v
c
u
vF
c
u
F
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?????
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2
2
1
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2 x
y
y
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?
)1(
2 x
z
z
v
c
u
F
F
??
?
?
?
第 10章引入磁场时将运用相对论力的变换式,
3,确立“场”的实在地位,牛顿第三定律失去意义,
牛顿第三定律建立在超距作用和绝对时空观基础
之上,而相对论认为场是传递相互作用的媒介,
是物质存在的形式,
牛顿第三定律被动量守恒定律取代。
粒子 粒子 场
小结:相对论动力学的三个主要关系
0
22
0 1)( mcumum ????
质速关系,
能量与动量的关系,42
0
222 cmcpE ??
质能关系,
2
0
2
0 cmmcEEE k ????
动能
mcE ??? 2
2
00 cmE ?
总能
静能
2mcE ?
练习 1 用相对论讨论光子的基本属性
1,光子的能量
2mchE ?? ?
2,光子的质量
2
2
0
1
c
u
m
m
?
?
由 可知
才能为有限值,只有时当 mmcu 0,0 ??
一切以光速运动的微观粒子,其静止质量必为零。
即:光子在任何参考系中均以光速运动,找不到与
光子相对静止的参考系。
?
?
c
h
c
h
c
E
m ??? 22光子
光子的质量,
又由
0; 0420222 ??? mcmcpE
可知
?
? h
c
h
c
E
p ???光子
3,光子的动量
太阳辐射能流,
-23 mW1036.1 ??
产生光压,
-26 mN105.4 ?? ?
例如
一个静质量为 的粒子,以 的速
率运动,并与静质量为 的静止粒子发生对心碰
撞以后粘在一起,求合成粒子的静止质量。
cv 8.0?0m
03m
练习 2
问题,合成粒子的静止质量是 吗?
04m
解,设合成粒子的运动质量为,速率为,
由动量守恒和能量守恒,
M u
)2(3
)1(
222
0 Mcmccm
Mumv
??
?
思路,动量守恒
能量守恒
M( u)=?
u=?
M0=?
非弹性碰撞,为什么能量守恒? --总能守恒
再代入 (1) 式得
c
m
c
m
M
mv
u
7
2
3
14
8.0
6.0
0
0
?
?
??
又由
2
2
1
c
u
M
M o
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? 得
0
2
02
2
0 47.47
2
1
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1 mm
c
u
MM ??
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?
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?
?????
由于
6.08.01/1
0
2
0
22
mm
cv
m
m o ?
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?
?
代入 (2) 式得
0
0
0 3
14
6.0
3 m
m
mM ???
解,(1) 由题意
2
)(1
1
20
0
0
?
?
???
c
vvm
vm
p
p
?
?
可得,ccv 86 6.0
2
3
??
在什么速度下,粒子的动量等于其非相对论
动量的两倍?又在什么速度下,粒子的动能等于其
非相对论动能的两倍?
练习 3
(2) 由题意
2
2
1
)1(
2
0
2
0
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vm
cm
E
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k
k
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于是 2
2
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)(1
1
c
v
c
v
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?
得 ccv 7 86.0
2
15
?
?
?
已知,一个电子的静能为,经同步
加速器加速后,能量增量为,
求,该电子质量与其静质量之比。
M e V5 1 1.0
M e V00.20
解,由题意
M e V00.20202 ???? cmmcE
可得
1.40
51 1.0
2051 1.0
2
0
2
0
2
0
2
0
?
?
?
??
??
cm
Ecm
cm
mc
m
m
练习 4
练习 5 观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动,
甲携带长 L,截面积 S,质量为 m 的棒,棒沿运动方
向安放,求乙和甲测定的棒的密度之比。
解,棒相对于甲静止,甲测定的密度为,
LS
m??
棒相对于乙运动,设乙测定的 质量为 m ?,
长度为 L’,截面积为 S’,有,
SSLcvL
cv
m
m ??????
?
??,1,
1
22
22
乙测定的密度为,
??
?
?
? 2
1
??
??
?
??
? LS
m
SL
m
78.2
9
25
8.01
1
2
2 ??
?
??
?
? ?
?
?
§ 8.5 狭义相对论的 意义和局限
一,相对论把对称性思想提高到作为构建物理理论的
出发点的高度
1,表面的相对性蕴藏着内在的绝对性
长度、时间、质量等的相对性来自具有绝
对性的基本原理,
物理定律的数学形式
真空中的光速 不随参考系变化
2,揭示出一些物理量的关联,建立起新的不变量,
更深刻地反映了自然界的对称性。
四维时空,质能关系,能量、动量关系 ……
3,相对论不变性成为约束其它理论的原则之一,用以
排除、改造不符合相对性原理的规律。
“爱因斯坦把方法倒了过来,他不是从已知的方程组
出发去证明协变性是存在的,而是把协变性应当存在
这一点作为假设提出来,并且用它演绎出方程组应有
的形式。,
——— 洛仑兹
爱因斯坦式的工作程序,
科学观念 原理 逻辑结论和可观测事实 实验检验
二,相对论改变了人类的观念和生活
1,宇宙观的发展
地球是宇宙的中心
地球(太阳系、银河系)是宇宙中特别优越的惯性系
一切惯性系等价,宇宙无中心,取消地球的特殊地位
人类以崭新观念探讨人与宇宙的关系,建立人与自
然和谐发展的新自然观
? 揭示出时间、空间彼此关联,并与物质、运动密不
可分,形成四维时空概念:不是“时间 + 空间”,而
是“时间 — 空间”统一体。
? 不同惯性系中的观察者有各自不同的时空观念,
不存在对所有观察者都相同的绝对时间和绝对空间。
? 由洛仑兹变换给出不同惯性系中观察者时空观念
的关联。
2,时空观、物质观的深化
? 质量是约束能量的形式,是能量的载体。无论物
质如何运动,二者只由常数 相联系。
2c
? 确定了“场”的实在地位,场是物质存在的
基本形式之一。
3,科学观的革新
人们用于描述客体属性的概念并不完全是客体自
身的实在性质,而是反映了客体与观察者的某种
关系,均要受到人类认识手段和思维方式的限制,
人类对自然的探索是永无止境的。
4,扩大了人类实践活动的领域
低速 高速
宇观
微观
打开核能利用的大门
三,相对论不是终极理论
1,未包容非惯性系和引力定律,对称性尚不完善
2,受决定论思想方法支配,未包容微观世界规律
3,未能揭示时间箭头的物理意义
相对论只是物理理论发展中的一个台阶,它不能
穷尽各层次事物间的相互联系和作用方式,相对
论不是终极理论。
四,广义相对论的建立
目标,实现惯性系和非惯性系的平权;
改造引力理论
四,闵可夫斯基四维时空 世界线 (只要求了解)
1.时空间隔
寻找洛仑兹变换下不变量
oo ?、
0??? tt
重合,
由两原点向 P发出
光信号
时
O z x
y
O’ z’ x’
y’ ? P S S?
u
ctr ?
tcr ???
022222222 ???????? tczyxctzyxr
022222222 ????????????????? tczyxtczyxr
2222222222 tczyxtczyx ???????????
22222
22222
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)()()()(
tczyx
tczyx
????????????
???????或:
定义,洛仑兹变换下的基本不变量 ——时空间隔
222222 )()()()()( tczyxS ?????????
类空间隔(不能由信号关联) 0)()( 22 ????? SS
类时间隔(可由信号关联) 0)()( 22 ????? SS
类光间隔(由光信号关联) 0)()( 22 ????? SS
2,四维时空 洛仑兹变换的几何化
坐标变量,
中的符号差异量纲一致,并反映与 Szyx ?,,,
wi ctzyx ?,,,
时空间隔,22222 )()()()()( wzyxS ?????????
投影。在四维时空坐标轴上的
是 Swzyx ?????,,,
?
?
P
x
x?
w
w?
o
S?不同惯性系间的变换关系,即
洛仑兹变换 ——对应四维时空的
转动操作(投影变化,但时空
间隔不变)
3,光锥 世界线
四维时空中的一点 —— 事件 ——, 世界点”
四维时空中的线 —— 事件的进程 ——, 世界线”
A
B
C
x
ct
?45
例,A —— 静止的人
B —— 向右散步,坐下休息,
向左散步
C —— 向右传的光信号
光锥:离开和到达某世界点的所有世界线组成的三维曲面
光锥把 xy — ct 曲面分成了四个区,
类时区
类空区
x
y
ict
O
光锥
(类光区)
未来
过去
真空中光速不变 —— 所有光锥倾斜程度相同
狭义相对论承认时间与空间的相对性与统一性,承认
它们与物质的运动有关,但时间和空间的性质不因物
质的多少和分布情况而改变,即时空是平直的。
狭义相对论时空连续区
(平直欧氏空间)
§ 8.4 狭义相对论动力学基础
一,改造经典力学的两条原则
改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式
1,狭义相对性原理(对称性思想)的要求
2,对应原理的要求
新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确
的旧理论,并在极限条件下过渡到旧理论。
即,
相对论力学定律 经典力学定律 cu ??
相对论力学量 经典力学量 cu ??
思路,重新定义质量、动量、能量,使相应的守恒
定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系
设在相对论中,质量与时间、长度一样,与
惯性系的选择有关。
静系中,动系中,
0m
)(um
理想实验,全同粒子的完全非弹性碰撞
s?
u
s?
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A
A B
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s
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在两坐标系中,粒子系统质量守恒、动量守恒。
质量守恒,
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固接于粒子 B的 系 s
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A
A
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解得,
质量守恒,
动量守恒,
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A
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满足对应原理的要求,
实验验证,
测高速电子的荷质比
经典情况(质谱仪),
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相对论情况,
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o
1.0
考夫曼实验结果:电子质量随速度变化
三,质能关系
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定义,
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总能量
静能量
质能关系
实验验证,
核嬗变,由参加反应各原子质量,反应前后能量
损失计算出的光速与实验值相符。
-182 sm1098.2 ??????? cmcE
正负电子对湮灭,由质能关系计算出的辐射波
长与实验值相符。
21 ?? ???
?? ee
质能关系的意义,
1) 质量概念进一步深化
相对论总能 包含了物体的全部能量(机械能、电
磁能、原子能等),解决了经典物理未能解决的物体总
能问题;
质量是约束能量的形式,是能量的载体。质量、能
量不可分割,没有脱离质量的能量,也没有无能量的质
量。无论物质如何运动,二者只由常数 相联系。
E
2c
2) 质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。
在经典物理中二者互相独立,在相对论中二者
关联,平行进行。在孤立系统内,
静质量 动质量
静能 动能 总质量、总能量不变
3) 质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
mcE ??? 2
裂变:重核分裂为中等
质量的核
聚变:轻核聚合为中等
质量的核
质量亏损,释放结合能
应用:原子弹、氢弹,
核电站 ……
四、能量与动量的关系
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1,相对论动量 vmvvmp ???
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满足对应原理。vmpcv ?? 01 ???? ?
2,能量与动量的关系
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满足对应原理
五,相对论动力学基本方程
从相对论角度审视经典力学的基本定律,
1,惯性定律保持不变,在相对论中成立。
2,牛顿第二定律
由,
vmvmp ??? 0???
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相对论动力学
基本方程 得,
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第 10章引入磁场时将运用相对论力的变换式,
3,确立“场”的实在地位,牛顿第三定律失去意义,
牛顿第三定律建立在超距作用和绝对时空观基础
之上,而相对论认为场是传递相互作用的媒介,
是物质存在的形式,
牛顿第三定律被动量守恒定律取代。
粒子 粒子 场
小结:相对论动力学的三个主要关系
0
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质速关系,
能量与动量的关系,42
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动能
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练习 1 用相对论讨论光子的基本属性
1,光子的能量
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2,光子的质量
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由 可知
才能为有限值,只有时当 mmcu 0,0 ??
一切以光速运动的微观粒子,其静止质量必为零。
即:光子在任何参考系中均以光速运动,找不到与
光子相对静止的参考系。
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p ???光子
3,光子的动量
太阳辐射能流,
-23 mW1036.1 ??
产生光压,
-26 mN105.4 ?? ?
例如
一个静质量为 的粒子,以 的速
率运动,并与静质量为 的静止粒子发生对心碰
撞以后粘在一起,求合成粒子的静止质量。
cv 8.0?0m
03m
练习 2
问题,合成粒子的静止质量是 吗?
04m
解,设合成粒子的运动质量为,速率为,
由动量守恒和能量守恒,
M u
)2(3
)1(
222
0 Mcmccm
Mumv
??
?
思路,动量守恒
能量守恒
M( u)=?
u=?
M0=?
非弹性碰撞,为什么能量守恒? --总能守恒
再代入 (1) 式得
c
m
c
m
M
mv
u
7
2
3
14
8.0
6.0
0
0
?
?
??
又由
2
2
1
c
u
M
M o
?
? 得
0
2
02
2
0 47.47
2
1
3
14
1 mm
c
u
MM ??
?
?
?
?
?????
由于
6.08.01/1
0
2
0
22
mm
cv
m
m o ?
?
?
?
?
代入 (2) 式得
0
0
0 3
14
6.0
3 m
m
mM ???
解,(1) 由题意
2
)(1
1
20
0
0
?
?
???
c
vvm
vm
p
p
?
?
可得,ccv 86 6.0
2
3
??
在什么速度下,粒子的动量等于其非相对论
动量的两倍?又在什么速度下,粒子的动能等于其
非相对论动能的两倍?
练习 3
(2) 由题意
2
2
1
)1(
2
0
2
0
0
?
?
?
vm
cm
E
E
k
k
?
于是 2
2
2
1
)(1
1
c
v
c
v
??
?
得 ccv 7 86.0
2
15
?
?
?
已知,一个电子的静能为,经同步
加速器加速后,能量增量为,
求,该电子质量与其静质量之比。
M e V5 1 1.0
M e V00.20
解,由题意
M e V00.20202 ???? cmmcE
可得
1.40
51 1.0
2051 1.0
2
0
2
0
2
0
2
0
?
?
?
??
??
cm
Ecm
cm
mc
m
m
练习 4
练习 5 观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动,
甲携带长 L,截面积 S,质量为 m 的棒,棒沿运动方
向安放,求乙和甲测定的棒的密度之比。
解,棒相对于甲静止,甲测定的密度为,
LS
m??
棒相对于乙运动,设乙测定的 质量为 m ?,
长度为 L’,截面积为 S’,有,
SSLcvL
cv
m
m ??????
?
??,1,
1
22
22
乙测定的密度为,
??
?
?
? 2
1
??
??
?
??
? LS
m
SL
m
78.2
9
25
8.01
1
2
2 ??
?
??
?
? ?
?
?
§ 8.5 狭义相对论的 意义和局限
一,相对论把对称性思想提高到作为构建物理理论的
出发点的高度
1,表面的相对性蕴藏着内在的绝对性
长度、时间、质量等的相对性来自具有绝
对性的基本原理,
物理定律的数学形式
真空中的光速 不随参考系变化
2,揭示出一些物理量的关联,建立起新的不变量,
更深刻地反映了自然界的对称性。
四维时空,质能关系,能量、动量关系 ……
3,相对论不变性成为约束其它理论的原则之一,用以
排除、改造不符合相对性原理的规律。
“爱因斯坦把方法倒了过来,他不是从已知的方程组
出发去证明协变性是存在的,而是把协变性应当存在
这一点作为假设提出来,并且用它演绎出方程组应有
的形式。,
——— 洛仑兹
爱因斯坦式的工作程序,
科学观念 原理 逻辑结论和可观测事实 实验检验
二,相对论改变了人类的观念和生活
1,宇宙观的发展
地球是宇宙的中心
地球(太阳系、银河系)是宇宙中特别优越的惯性系
一切惯性系等价,宇宙无中心,取消地球的特殊地位
人类以崭新观念探讨人与宇宙的关系,建立人与自
然和谐发展的新自然观
? 揭示出时间、空间彼此关联,并与物质、运动密不
可分,形成四维时空概念:不是“时间 + 空间”,而
是“时间 — 空间”统一体。
? 不同惯性系中的观察者有各自不同的时空观念,
不存在对所有观察者都相同的绝对时间和绝对空间。
? 由洛仑兹变换给出不同惯性系中观察者时空观念
的关联。
2,时空观、物质观的深化
? 质量是约束能量的形式,是能量的载体。无论物
质如何运动,二者只由常数 相联系。
2c
? 确定了“场”的实在地位,场是物质存在的
基本形式之一。
3,科学观的革新
人们用于描述客体属性的概念并不完全是客体自
身的实在性质,而是反映了客体与观察者的某种
关系,均要受到人类认识手段和思维方式的限制,
人类对自然的探索是永无止境的。
4,扩大了人类实践活动的领域
低速 高速
宇观
微观
打开核能利用的大门
三,相对论不是终极理论
1,未包容非惯性系和引力定律,对称性尚不完善
2,受决定论思想方法支配,未包容微观世界规律
3,未能揭示时间箭头的物理意义
相对论只是物理理论发展中的一个台阶,它不能
穷尽各层次事物间的相互联系和作用方式,相对
论不是终极理论。
四,广义相对论的建立
目标,实现惯性系和非惯性系的平权;
改造引力理论
四,闵可夫斯基四维时空 世界线 (只要求了解)
1.时空间隔
寻找洛仑兹变换下不变量
oo ?、
0??? tt
重合,
由两原点向 P发出
光信号
时
O z x
y
O’ z’ x’
y’ ? P S S?
u
ctr ?
tcr ???
022222222 ???????? tczyxctzyxr
022222222 ????????????????? tczyxtczyxr
2222222222 tczyxtczyx ???????????
22222
22222
)()()()(
)()()()(
tczyx
tczyx
????????????
???????或:
定义,洛仑兹变换下的基本不变量 ——时空间隔
222222 )()()()()( tczyxS ?????????
类空间隔(不能由信号关联) 0)()( 22 ????? SS
类时间隔(可由信号关联) 0)()( 22 ????? SS
类光间隔(由光信号关联) 0)()( 22 ????? SS
2,四维时空 洛仑兹变换的几何化
坐标变量,
中的符号差异量纲一致,并反映与 Szyx ?,,,
wi ctzyx ?,,,
时空间隔,22222 )()()()()( wzyxS ?????????
投影。在四维时空坐标轴上的
是 Swzyx ?????,,,
?
?
P
x
x?
w
w?
o
S?不同惯性系间的变换关系,即
洛仑兹变换 ——对应四维时空的
转动操作(投影变化,但时空
间隔不变)
3,光锥 世界线
四维时空中的一点 —— 事件 ——, 世界点”
四维时空中的线 —— 事件的进程 ——, 世界线”
A
B
C
x
ct
?45
例,A —— 静止的人
B —— 向右散步,坐下休息,
向左散步
C —— 向右传的光信号
光锥:离开和到达某世界点的所有世界线组成的三维曲面
光锥把 xy — ct 曲面分成了四个区,
类时区
类空区
x
y
ict
O
光锥
(类光区)
未来
过去
真空中光速不变 —— 所有光锥倾斜程度相同
狭义相对论承认时间与空间的相对性与统一性,承认
它们与物质的运动有关,但时间和空间的性质不因物
质的多少和分布情况而改变,即时空是平直的。
狭义相对论时空连续区
(平直欧氏空间)