要点,1,电介质的极化及其描述,
2,介质中的高斯定理 矢量, D?
3,求解电介质中的的电场,
4,电容及其计算
§ 9.7 静电场中的电介质（绝缘体）
§ 9.7 静电场中的电介质
一, 电介质的极化及其描述
1.电介质的分类
物质结构中存在着正负电荷。
HH
HH
C
?
正、负电荷中心重合－无极分子电介质。例如,
正、负电荷中心不重合－ 有极分子 电介质。例如,
无
外
场
时
4CH 分子
OH2 分子
H H
o
?104
?
?
2.极化现象
无极分子 电介质
H
H
C
H
H
?
?
?
?
? ?
无外场 0?
ip
? 0??
i
ip
?
0E
?
ip
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
E??
外场中 (位移极化 ) 0?
ip
?
0??
i
ip
?
不一定与表面垂直
总
00 ???? EEE
???
被约束在分子内
出现束缚电荷和附加电场
有极分子 电介质
H H
o
?104
无外场 0?
ip
?
0??
i
ip
?
E??
+
+
+
0E
?
+ -
F?
F?
ip
?
外场中 (转向极化 )
0?ip? 0??
i
ip
?
出现束缚电荷和附加电场
位移极化和转向极化微观机制不同，宏观效果相同。
统一描述 0??
i
ip
?
出现束缚电荷 (面电荷、体电荷 )
实例,均匀介质球在均匀外场中的极化
极化电荷的附加电场,非均匀场，在介质球内与外场反向。
总电场,在介质球外可能与外场同向或反向。
在介质球内削弱外场。
3,金属导体和电介质比较
有大量的
自由电子
基本无自由电子，正负电荷
只能在分子范围内相对运动
金属导体
特征
电介质（绝缘体）
模型
与电场的
相互作用
宏观
效果
,电子气” 电偶极子
静电感应 有极分子电介质,
无极分子电介质,
转向极化
位移极化
静电平衡
导体内
导体表面
感应电荷
00 ?? ?,E?
E0?? ?
表面?E?
内部：分子偶极矩矢量和不
为零
出现束缚电荷（极化电荷）
0??
i
ip
?
4,极化现象的描述
1) 从分子偶极矩角度 V
p
P i
?
? ?
??
单位体积内分子偶极矩矢量和 —— 极化强度 。
LnqP ?? 1?
设 分子数密度,n
每个分子的 偶极矩, Lq ?
1
实验规律,
EP ?? 0???
介质
极化率 总场 EEE ??? ???
0
空间矢量函数
:? 由介质的性质决定，与 E无关。在各向同性均匀介质
中为常数。
lSd
n?
?
E?
+ 1q- + 1
q- q?d
2）从束缚电荷角度
作如图斜圆柱：底面平行于介质表面；母线平行
于外电场，长度为分子正、负电荷中心距离。
电介质表面出现厚度 l
的束缚电荷层
求移过面元 dS的电量，即如图斜圆柱内的束缚电
荷电量 dq'
?c o sdd SlV ?
SPSlnqVnqq dc o sc o sd dd 11 ?? ????
作如图斜圆柱
nPPS
q
??
?
?? ?? c o s
d
d
,' nP??
极化面电荷密度等于极化强度的外法线分量
介质非均匀极化时，出现极化 体电荷
lSd
n?
?
E?
+ 1q- +
1q-
q?d
?
Vd
S
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
S?d
SP
SPq
??
d
d c o sd
??
?? ?
移过面元 dS的电量
? ? ????s
s
qSP
内
??
d
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内
极化电荷代数和的 负 值
'dd
s
P S q q ?? ? ? ???? 内
移出封闭曲面 S的电量 ;
?
Vd
S
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
二, 电介质中的电场
2,介质中的高斯定理
静电场高斯定理
? ???? ???????
内内
内
s
s
s
s
SPqqqqSE )d(
1
)(
11
d 0
0
'
0
00
????
???
自由电荷
极化电荷
定义,电位移矢量 PED ??? ??
0?
自由电荷 ? ????s
s
qSPE
内
00 d)(
???
?
'
0 EEE
??? ???1.总场 =外场 +极化电荷附加电场
? ???s
s
qSD
内
0d
??
电介质中的高斯定理,
电位移矢量通过静电场中任
意封闭曲面的通量等于曲面
内自 由电荷 的代数和
? ?s SD,d ?? 穿过闭合曲面的 通量仅与 D
? ?
内s
q0 有关,◆
特例,真空 —— 特别介质
.0, 0' ?? Pq ?
EPED ???? 00 ?? ???
◆
与 均有关,
0 PED
??? ?? ?
'
0,qq电位移矢量 ◆
?? ??
)(
0
0
1
d
内S
s
qSE
?
??回到,
3,如何求解介质中电场？
(1) 各向同性电介质,
EEEPED
??????
)1(0000 ?????? ??????
令 r?? ??1 介质的相对电容率
EP ?? 0??? 为常数 ?
r
DD
E
??? 0
??
?
??
EED r ??? 0 ??? ??得 真空电容率
介质电容率,:
0
0
r???
?
?
式中,
各向同性电介质
分布具有某些对称性 'q,q0
才能选取到恰当高斯面使 积分能求出,
? ?s SD
??
d
(2) 分别具有某些对称性 '0,qq
步骤,对称性分析，选高斯面,
DqSD
S
s
???
??? ??
)(
0d
内
E
D
E
r
?
?
?
??
?? 0
0q注意,的对称性 —— 球对称、轴对称、面对称,
电介质
分布的
对称性
均匀无限大介质充满全场（ 246页例一）
介质分界面为等势面（ 246页例二）
介质分界面与等势面垂直（ 266页 9.35）
例,已知,平行板电容器 V300,00 ?? U?
充一半电介质,5?r?
求,
UED
ED
,,,
,,,
2022
'
11011
?
??
解,介质分界面 等势面,
未破坏各部分的面对称性,
选底面与带电平板平行的
圆柱面为高斯面。
?
20??10??
10?? 20??
'
1??
'
1??
U
r?
S
20??10??
10?? 20??
S?
'1??
'1??
r?
Sq
S(
????
?
10
)
0 ?
内
?? ? ? ?????????? 侧上 下 SDSDSDSDSDs 11111 dddd ????????
导体内 0?E? 0c os ??
由高斯定理
??? ??
?
)
01 d
内S(s
qSD
?? SSD ??? 101 ?
r
D
ED
??
?
0
1
1101 ; ???
选底面与带电平板平行
的 圆柱面为高斯面。
0
2
2202 ??
D
ED ??
同理,
r
D
ED
??
?
0
1
1101 ??
SSS ????? 02010
22
???电量不变,
UdEdE ?? 21
又,
0110 3
5 ?? ?? D
0220 3
1 ?? ?? D
0
0
21 3
1 ?
?
?? EE解得,
20??10??
10?? 20??
S?
'1??
'1??
r?
d
V3 0 0
0
0
00 ??? ddEU ?
?
V1 0 0
33
0
0
0
1 ????
UddEU
?
?
0
0
0
0
10111
'
1
3
4
3
)1(
cos
?
?
?
??
????
??????
??????
r
n
EPPP20??10??
10?? 20??
'1??
'1??
r?
d
n?
P?
0
0
0 V3 0 0 ?
?
? ?? DE
0??
0??
充介质前
V100
00 3
1
3
5 ???
03
4 ?? ??
01 3
5 ??D
02 3
1 ??D
0
0
21 3?
??? EE
?
??
充介质后
比较,
一,电容的计算
孤立导体电容 取决于本身形状，大小与其
是否带电无关。
C
§ 9.8 电容 电容器
孤立导体,周围无其他导体，电介质，带电体,
由电容定义,
RUQC 04 ????
则金属球电势,
R
QU
04 ??
?
0??U设其带电量为 Q
[例 1] 半径 R 的孤立金属球的电容
1R2R
L r?
[例 2] 推求圆柱型电容器，平行板电容器，球形电容器
公式，并总结求电容器电容的一般方法。
求,C已知,.,,,21 rRRL ?
作半径,高
的同轴圆柱面为高斯面,
h )( 21 RrRr ??
h
L
Q
rhDSD
s
????? ?2d
??
h rS
解,设极板带电量 Q
Q
Lr
QD
E
rr ????? 00 2
??
Lr
Q
D
?2
?
得,
?? ????
2
1
2
1
d
2
d
0
R
Rr
R
R r
r
L
Q
rEU
???
??
1
2
0
ln
2
R
R
L
Q
r???
?
1
2
0
ln
2
R
R
L
U
Q
C
r
???
?
?
?
由电容定义,
电容器两极板间电势差,
1R2R
L r?
h rS
Q
自学,p248 [例二 ],[例三 ]
o
2R
1R
r?
12
2104
RR
RR
C r
?
?
???
球形电容器
r?
S
d
平行板电容器
d
S
C r
?? 0
?
总结,求电容器电容的一般方法
2) 选高斯面，求 ?? ED
1) 设极板带电 Q
? ??? lEU ?? d
3) 求电容器两极板间电势差
U
QC
?
?4) 由电容定义
练习, 求两平行长直导线单位长度间的电容
（ 导线半径 a,轴线间距离 d）
??解,设单位长度带电
?E
)(22 00 xdx ?
?
??
?
??
?
0 （导体内）
（导体间）
a
ad
x)
xdx
(lEU
ad
a
d
o
?
?
?
????? ??
?
lnd
11
2
d
00 ??
?
??
???
a
d
a
adU
C
lnln
00 ????? ?
?
?
?
?
?? ?
E?
x
a a
x
o d
? ??
??
i iCC
11
串
??
i
iCC 并
三, 电容器的串并联
练习, 前 9-35 (2)
5?r?
21 CC
d
S
d
S
C rr
2
2 0
01
???? ??
d
S
d
S
C
2
2 0
02
?
? ??
00
0
21 32
1 )1(
2
CC
d
SCCC r
r ?
?????? ???
V1003 0 ?? UU不变 Q