同
学
们
好
§ 3.3 运动的描述
一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
二, 质点运动的自然坐标描述
三, 圆周运动的角量描述
四, 刚体的运动
描述质点运动的基本物理量 小 结
位置,
)(,trr ??
位矢
位移
12 rrr
???
???
位置变化,
位置变化率,速度
t
r
v
d
d
?
?
?
速度变化率, 加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
v
a
??
?
??
中心
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
3.3.1； 3.3.2
ab
b
a
rrabr)(
???
???? d1
a
b
O
abs
ar
?
br
?
r??
1dr
?
2dr
?
3.3.1
ab
b
a
Sabr)( ??
?
?
?
d2
? ???
?b
a
ab rrabr)(
???
d3
参考解答,
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
d
)4(
0
d
d
)3(
?
?
t
v
t
v
?
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
?
?
t
r
t
r
?
－ 静止
静止
二, 质点运动的自然坐标描述
A
B
??
n?
n?
??
??
n?
自然坐标系 —— 坐标原点固接
于质点,坐标轴沿质点运动轨道
的切向和法向的坐标系，叫做
自然坐标系。切向以质点前进
方向为正，记做,法向以曲
线凹侧方向为正，记做 。
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
d
d
τ
t
s
τvv
????
??
o
s
?s
特点：不是固定坐标系, 而 是运动坐标系 。
*（ 4） 加速度,
A
B
Av
? Bv?
Av
?
v??
B
D
E
C
Av
?
Bv
?
v??
?v
??nv??
??
速度的改变为,
nvvv
??? ?????
?
limlimlim
n
000 t
v
t
v
t
v
a
ttt ?
?
?
?
?
?
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???
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A
B
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Bv
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E
B
D
C Av?
Bv
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v??
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?v
??
nv
?? v?
Av
? v??
第一项,
???
??
?
t
v
t
v
t
v
tt d
d
lim lim
00
?
?
?
?
?
?
????
l i ml i ml i m
n
000 t
v
t
v
t
v
a
ttt ?
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??????
???
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A
B
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E
B
D
C Av?
Bv
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nv
?? v?
Av
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第二项,
n
v
n
st
s
v
n
t
v
n
t
v
t
v
tt
?
?
??
?
?
?
??
2
d
d
d
d
d
d
l i m l i m
0
n
0
?
?
?
?
?
?
?
?
????
曲率半径
曲率 ??
s?
y
x
o
A
naan
v
t
v
a
?????
????? ?
?
?
2
d
d
??
??
t
v
a
d
d
?
切向加速度,
描述速度 大小 改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
??
?
2
?法向加速度,
描述速度 方向 改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
v均是速率，不是 速度，求解时，应代入速率求解
n
v
t
v
naaa n
?????
?
???
2
d
d
????
大小,
22
naaa ?? ?
?
方向,
?
?
a
a n
a r c t g?的夹角与 ?aa
??
总是指向曲线凹侧 a?
讨论
dt
d
d
d v
t
v ?
?
a? ?a?
?
Bv
?
v??
v?
Av
?
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
练习 1,判断下列说法是否正确？
1） 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
2） 作曲线运动的质点 不能为零。
3） 恒等于零的运动是匀速率运动。
4） 作变速率运动的质点 不能为零。
na
na
?a
?a
×
×
×
√
(1) a? 0 匀速率运动； a? 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动 ; an 0 曲线运动
小结,
?
? ?
?
恒
恒
教材第 41页例 5
例,设一质点在半径为 的圆周上以匀速率 运动,
写出自然坐标系中质点的速度和加速度。
0vr
解,建立如图坐标系
以 为自然坐标系的原点和计时起点 O?
??
???
0
0
d
d
d
d
v
t
s
v
t
s
v
??
?
O
O?
s
0v
?
r
n
r
v
aa
r
vv
a
t
s
t
v
a
naaa
n
n
n
???
???
2
0
2
0
2
2
2
0
d
d
d
d
??
??
???
??
因此，
?
?
?
?
O
O?
s
0v
?
r
O
O?
s x
y
?
0v
?
r
a?
0v
? 在直角坐标中重做，可发现
用自然坐标描述匀速率圆周
运动较直角坐标简便。
练习,一物体做抛体运动,已知 讨论,
?,0v
C
A
B
0v
?
?
g?g?g?
?sing?s ing? 0
?cosg ?cosgg
?cos
2
0
g
v
?cos
2
0
g
v
g
v ?220 co s
n?
n? n?
??
??
??
CA B
a?
?a
na
?
g?
g?g?
线量 —— 在 自然坐标系 下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在 极坐标系 下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1,角位置,
?
2,角位移 ??
单位,
rad
逆时针为正
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ? ?
参考
方向
??
三, 圆周运动的角量描述
3,角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向沿轴
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手螺旋法则
O
O'
r ?
R P
v?
??
旋转方向
?
??
复习 矢量的乘法
zzyyxx BABABABABA ??????? ?c o s
??
标积（点积）,
?s i n???? BABA ??
大小,
A?
B?
?
x
y
z
O
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
????
????
???
???
矢积（叉积）,
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
???
??
??
i?
j?
k?
方向：右手定则,
垂直于（ ）平面 BA ??,
BA ?? ?
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
d
lim
0 tttt
???
? ??
?
?
?
??
5,角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
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t
R
t
s
v
Rs
n
???
???
???
?
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ??
参考
方向
??
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方
程为
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速度和
加速度
)SI(343 ??? tt?
练习
-12 sr a d16423:s2 ?????? ?t
2sr ad1226 ??????
解, (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t
t
t
t
6
d
d43
d
d 2 ????? ????
)SI(343 ??? tt?
教材第 44页例 6
? ? ? ?
? ? 2.043
2.12.06
432.04.043
2
1
2
1
2
22
22
????
????
???????
tra
ttra
ttDrv
n
?
?
??
?
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
? ? )sm(8.92.043
)sm(2.1
)sm(4.1)43(2.0s1
22
2
1
?
?
?
?????
??
?????
n
a
a
vt
?
时，
?
??
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g
)sm(87.98.92.1
22222
???
??????
?
?
?
?
a
a
va
aaa
n
n
的夹角为与
此时总加速度的大小为
v?
a?
?a
?
na
??
o
P
作图表示 t=1s其位置、速度、加速度
?
4 5 6r a d8
:1
34
1
3
??
?
???
?
?
t
tt
四, 刚体的运动
1,基本形式
平动 —— 刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不
变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、
加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。
转动 —— 刚体上各质点都绕同一直线做圆周运动，叫做
刚体的转动。该直线叫刚体的 转轴 。
定轴转动,转轴为固定直线的转动叫做刚体的定轴转动。
一般运动 —— 平动与转动叠加。
2.刚体定轴转动
? 平面运动
? 圆周运动
圆心：转轴与转动平面的交点
定轴转动刚体上各质点的运动,
?
其运动平面
－ 转动平面
离转轴距离不同的点圆周运动的线量不同,角量相同 。
??
?转动平面垂直于转轴
??
?各点的角速度矢量 的方向均沿轴线
2,刚体定轴转动
* 简化为研究 转动平面 内的
运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量
均表示为 代数量
???? ?
如何简化？
O
v?
??
r?
R
?
转动
平面
v??
注意,
对于刚体定轴转动,
角速度的方向只有
两个,只需在轴上
选定正方向，用角
速度的 正、负 就可
表示其方向，不必
用矢量表示。
0??
0??
+
_
练习 4 一刚体以每分钟 60转速率绕 z 轴逆时针匀速
转动，设某时刻刚体上某点 P 的位矢为,
该时刻 P点的速度为,
-1
scm
4314
8181253
8181252
01 5 761 2 52941
?
?
??
???
???
单位均为
k.v.
j.i.v.
j.i.v.
k.j.i.v.
??
???
???
????
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv
?
Pr
?
定性分析：正确答案,2
cmk5j4i3r P
????
???
该时刻 P点的速度为,
543
200 ??
kji
rv
???
???
???
)scm(8.181.25 -1???? jiv ??? 正确答案,2
定量计算,
1sr a d2 ??? k?? ??
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv
?
Pr
?
??
cmk5j4i3r P ???? ???
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )
二,已知加速度 (或速度 )及初始条件，求质点任一时
刻的速度和运动方程 (积分法）。
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)(,)( ?? tavtr ??? ；
第一类问题
例题 1,已知粒子运动方程
)SI(593 23 ???? tttx
分析粒子的运动情况
1.其轨迹为一条直线
注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直
线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。
2
2
d
d
,
d
d
,,,,,
t
x
a
t
x
vxxavrr ?????
????
x
o
P v?
教材第 48页例 1
2,该粒子作一般变速直线运动
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
向 +x运动？
向 -x运动？
-1t;3
:0
??
?
t
v
31
:0
???
?
t
v
-1
-6
2 1 3
-12
o
(s)t
)sm( -1?v
-1
-6
2 1 3
-12
o
)sm( -2?a
(s)t
何时加速？
何时减速？
a,v同号
a,v异号
-1 < t < 3,粒子向 - x 运动；
-1< t < 1, 加速,
1< t < 3,减速
t > 3：粒子向 +x 加速运动
-1
-6
2 1 3
-12
o
(s)t
)sm( -1?v
-1
-6
2 1 3
-12
o
)sm( -2?a
(s)t
66,963,593 223 ????????? tattvtttx
转折性时刻,
12022:3
0126:1
695:0
333
111
000
?????
??????
??????
avxt
avxt
avxt
)m(x
o
0?t
5 0v
0a
-6
1?t
mv
01 ?a
3?t
-22
0?v
a
返回加速运动3?t
注意,由运动叠加原理，质点的一般曲线运动可以
归结为直线运动处理。
2,找一个实例
平面曲线运动
jajtiv ????? 10)1015(5 ?????
例题 2,已知,
)SI()515(5 2 jttitr ??? ???
1,质点做什么运动？
合运动：斜抛运动
jivrt ???? 155,0:0 00 ????
质点从原点出发，初速度为
0v
?
,5,0xxx v a?? 匀速直线运动
,1 5 1 0 1 0yyy v t a g? ? ? ? ? ? 为竖直上抛运动
3,求抛射角、轨道方程、射程、射高
?27a r c t g 3a r c t g
0
0
???
x
y
v
v
?
抛射角,jiv ??? 155
0 ??
m150 ?? Xy
射程,
m25.115.7 ?? Yx
射高,
5
3
2x
xy ??2
515
5
tty
tx
??
?
轨道方程,
o
X
y
x
Y
2/X
0v
?
?
4,求
:s1 ???? ??aat n时
? ? 2222 10155 tvvv yx ?????
10124
)32(10
d
d
2 ??
?
??
tt
t
t
v
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jajtiv ????? 10)1015(5 ?????
1-
1
-2
1
sm25
sm1.725:1
??
??????
v
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?
o
15
y
? ?mx
10
5
1v
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1a
?
1na
?
1?a
?
m1.725
sm1.725
1
2
1
1
-22
1
2
11
???
?????
n
n
a
v
aaa
?
?
2-
1
-1
1
-2
1
sm10
sm25sm1.725:1
???
????????
a
vat ?
注意,结果保留 2－ 3位有效数字
教材第 48页例 2
例题 4,.一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时
间的关系为
求, (1) 任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
(2)什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质
点已转了几圈？
? ?,SI
2
1 2
0 bttvs ??
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?
? ? ? ?
224
0
2
2
4
0
22
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
?????
?
???
???
?
??
?
?
加速度的大小为
速度，法向加速度和切向加任意时刻
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
n
?
?
??
2
0
a r c t ga r c t g
?
?
与切向轴的夹角为
?
?
?a
?
na
?
a?
? ?
b
v
tbRbbtv
R
a 02220
1
)2( ????? 解得时间，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
0
0
?
???
?
P
s
R
?
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
s
??
???
0
20
2
1
?
?
程为用角量表示质点运动方
Rb
v
n
??
?
42
2
0??转过的圈数为
?
P
s
R
?
20
2
1
bt
RR
tv
R
s
????
程为用角量表示质点运动方
代入运动方程，将
b
v
t 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000 ??
?
?
?
?
?
???
可得,
学
们
好
§ 3.3 运动的描述
一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
二, 质点运动的自然坐标描述
三, 圆周运动的角量描述
四, 刚体的运动
描述质点运动的基本物理量 小 结
位置,
)(,trr ??
位矢
位移
12 rrr
???
???
位置变化,
位置变化率,速度
t
r
v
d
d
?
?
?
速度变化率, 加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
v
a
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中心
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
3.3.1； 3.3.2
ab
b
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???
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3.3.1
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???
d3
参考解答,
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
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)4(
0
d
d
)3(
?
?
t
v
t
v
?
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
?
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t
r
t
r
?
－ 静止
静止
二, 质点运动的自然坐标描述
A
B
??
n?
n?
??
??
n?
自然坐标系 —— 坐标原点固接
于质点,坐标轴沿质点运动轨道
的切向和法向的坐标系，叫做
自然坐标系。切向以质点前进
方向为正，记做,法向以曲
线凹侧方向为正，记做 。
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
d
d
τ
t
s
τvv
????
??
o
s
?s
特点：不是固定坐标系, 而 是运动坐标系 。
*（ 4） 加速度,
A
B
Av
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Av
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B
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E
C
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Bv
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v??
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速度的改变为,
nvvv
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limlimlim
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第一项,
???
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l i ml i ml i m
n
000 t
v
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??
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第二项,
n
v
n
st
s
v
n
t
v
n
t
v
t
v
tt
?
?
??
?
?
?
??
2
d
d
d
d
d
d
l i m l i m
0
n
0
?
?
?
?
?
?
?
?
????
曲率半径
曲率 ??
s?
y
x
o
A
naan
v
t
v
a
?????
????? ?
?
?
2
d
d
??
??
t
v
a
d
d
?
切向加速度,
描述速度 大小 改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
??
?
2
?法向加速度,
描述速度 方向 改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
v均是速率，不是 速度，求解时，应代入速率求解
n
v
t
v
naaa n
?????
?
???
2
d
d
????
大小,
22
naaa ?? ?
?
方向,
?
?
a
a n
a r c t g?的夹角与 ?aa
??
总是指向曲线凹侧 a?
讨论
dt
d
d
d v
t
v ?
?
a? ?a?
?
Bv
?
v??
v?
Av
?
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
练习 1,判断下列说法是否正确？
1） 恒等于零的运动是匀速率直线运动。
2） 作曲线运动的质点 不能为零。
3） 恒等于零的运动是匀速率运动。
4） 作变速率运动的质点 不能为零。
na
na
?a
?a
×
×
×
√
(1) a? 0 匀速率运动； a? 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动 ; an 0 曲线运动
小结,
?
? ?
?
恒
恒
教材第 41页例 5
例,设一质点在半径为 的圆周上以匀速率 运动,
写出自然坐标系中质点的速度和加速度。
0vr
解,建立如图坐标系
以 为自然坐标系的原点和计时起点 O?
??
???
0
0
d
d
d
d
v
t
s
v
t
s
v
??
?
O
O?
s
0v
?
r
n
r
v
aa
r
vv
a
t
s
t
v
a
naaa
n
n
n
???
???
2
0
2
0
2
2
2
0
d
d
d
d
??
??
???
??
因此，
?
?
?
?
O
O?
s
0v
?
r
O
O?
s x
y
?
0v
?
r
a?
0v
? 在直角坐标中重做，可发现
用自然坐标描述匀速率圆周
运动较直角坐标简便。
练习,一物体做抛体运动,已知 讨论,
?,0v
C
A
B
0v
?
?
g?g?g?
?sing?s ing? 0
?cosg ?cosgg
?cos
2
0
g
v
?cos
2
0
g
v
g
v ?220 co s
n?
n? n?
??
??
??
CA B
a?
?a
na
?
g?
g?g?
线量 —— 在 自然坐标系 下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在 极坐标系 下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1,角位置,
?
2,角位移 ??
单位,
rad
逆时针为正
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ? ?
参考
方向
??
三, 圆周运动的角量描述
3,角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向沿轴
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手螺旋法则
O
O'
r ?
R P
v?
??
旋转方向
?
??
复习 矢量的乘法
zzyyxx BABABABABA ??????? ?c o s
??
标积（点积）,
?s i n???? BABA ??
大小,
A?
B?
?
x
y
z
O
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
????
????
???
???
矢积（叉积）,
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
???
??
??
i?
j?
k?
方向：右手定则,
垂直于（ ）平面 BA ??,
BA ?? ?
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
d
lim
0 tttt
???
? ??
?
?
?
??
5,角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
R
t
R
t
s
v
Rs
n
???
???
???
?
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ??
参考
方向
??
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方
程为
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速度和
加速度
)SI(343 ??? tt?
练习
-12 sr a d16423:s2 ?????? ?t
2sr ad1226 ??????
解, (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t
t
t
t
6
d
d43
d
d 2 ????? ????
)SI(343 ??? tt?
教材第 44页例 6
? ? ? ?
? ? 2.043
2.12.06
432.04.043
2
1
2
1
2
22
22
????
????
???????
tra
ttra
ttDrv
n
?
?
??
?
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
? ? )sm(8.92.043
)sm(2.1
)sm(4.1)43(2.0s1
22
2
1
?
?
?
?????
??
?????
n
a
a
vt
?
时，
?
??
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g
)sm(87.98.92.1
22222
???
??????
?
?
?
?
a
a
va
aaa
n
n
的夹角为与
此时总加速度的大小为
v?
a?
?a
?
na
??
o
P
作图表示 t=1s其位置、速度、加速度
?
4 5 6r a d8
:1
34
1
3
??
?
???
?
?
t
tt
四, 刚体的运动
1,基本形式
平动 —— 刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不
变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、
加速度、轨道均相同，可归结为质点运动。
转动 —— 刚体上各质点都绕同一直线做圆周运动，叫做
刚体的转动。该直线叫刚体的 转轴 。
定轴转动,转轴为固定直线的转动叫做刚体的定轴转动。
一般运动 —— 平动与转动叠加。
2.刚体定轴转动
? 平面运动
? 圆周运动
圆心：转轴与转动平面的交点
定轴转动刚体上各质点的运动,
?
其运动平面
－ 转动平面
离转轴距离不同的点圆周运动的线量不同,角量相同 。
??
?转动平面垂直于转轴
??
?各点的角速度矢量 的方向均沿轴线
2,刚体定轴转动
* 简化为研究 转动平面 内的
运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量
均表示为 代数量
???? ?
如何简化？
O
v?
??
r?
R
?
转动
平面
v??
注意,
对于刚体定轴转动,
角速度的方向只有
两个,只需在轴上
选定正方向，用角
速度的 正、负 就可
表示其方向，不必
用矢量表示。
0??
0??
+
_
练习 4 一刚体以每分钟 60转速率绕 z 轴逆时针匀速
转动，设某时刻刚体上某点 P 的位矢为,
该时刻 P点的速度为,
-1
scm
4314
8181253
8181252
01 5 761 2 52941
?
?
??
???
???
单位均为
k.v.
j.i.v.
j.i.v.
k.j.i.v.
??
???
???
????
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv
?
Pr
?
定性分析：正确答案,2
cmk5j4i3r P
????
???
该时刻 P点的速度为,
543
200 ??
kji
rv
???
???
???
)scm(8.181.25 -1???? jiv ??? 正确答案,2
定量计算,
1sr a d2 ??? k?? ??
3
4
5
x
y
z
P
o
Pv
?
Pr
?
??
cmk5j4i3r P ???? ???
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )
二,已知加速度 (或速度 )及初始条件，求质点任一时
刻的速度和运动方程 (积分法）。
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)(,)( ?? tavtr ??? ；
第一类问题
例题 1,已知粒子运动方程
)SI(593 23 ???? tttx
分析粒子的运动情况
1.其轨迹为一条直线
注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直
线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。
2
2
d
d
,
d
d
,,,,,
t
x
a
t
x
vxxavrr ?????
????
x
o
P v?
教材第 48页例 1
2,该粒子作一般变速直线运动
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
向 +x运动？
向 -x运动？
-1t;3
:0
??
?
t
v
31
:0
???
?
t
v
-1
-6
2 1 3
-12
o
(s)t
)sm( -1?v
-1
-6
2 1 3
-12
o
)sm( -2?a
(s)t
何时加速？
何时减速？
a,v同号
a,v异号
-1 < t < 3,粒子向 - x 运动；
-1< t < 1, 加速,
1< t < 3,减速
t > 3：粒子向 +x 加速运动
-1
-6
2 1 3
-12
o
(s)t
)sm( -1?v
-1
-6
2 1 3
-12
o
)sm( -2?a
(s)t
66,963,593 223 ????????? tattvtttx
转折性时刻,
12022:3
0126:1
695:0
333
111
000
?????
??????
??????
avxt
avxt
avxt
)m(x
o
0?t
5 0v
0a
-6
1?t
mv
01 ?a
3?t
-22
0?v
a
返回加速运动3?t
注意,由运动叠加原理，质点的一般曲线运动可以
归结为直线运动处理。
2,找一个实例
平面曲线运动
jajtiv ????? 10)1015(5 ?????
例题 2,已知,
)SI()515(5 2 jttitr ??? ???
1,质点做什么运动？
合运动：斜抛运动
jivrt ???? 155,0:0 00 ????
质点从原点出发，初速度为
0v
?
,5,0xxx v a?? 匀速直线运动
,1 5 1 0 1 0yyy v t a g? ? ? ? ? ? 为竖直上抛运动
3,求抛射角、轨道方程、射程、射高
?27a r c t g 3a r c t g
0
0
???
x
y
v
v
?
抛射角,jiv ??? 155
0 ??
m150 ?? Xy
射程,
m25.115.7 ?? Yx
射高,
5
3
2x
xy ??2
515
5
tty
tx
??
?
轨道方程,
o
X
y
x
Y
2/X
0v
?
?
4,求
:s1 ???? ??aat n时
? ? 2222 10155 tvvv yx ?????
10124
)32(10
d
d
2 ??
?
??
tt
t
t
v
a ?
jajtiv ????? 10)1015(5 ?????
1-
1
-2
1
sm25
sm1.725:1
??
??????
v
at
?
o
15
y
? ?mx
10
5
1v
?
1a
?
1na
?
1?a
?
m1.725
sm1.725
1
2
1
1
-22
1
2
11
???
?????
n
n
a
v
aaa
?
?
2-
1
-1
1
-2
1
sm10
sm25sm1.725:1
???
????????
a
vat ?
注意,结果保留 2－ 3位有效数字
教材第 48页例 2
例题 4,.一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时
间的关系为
求, (1) 任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
(2)什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质
点已转了几圈？
? ?,SI
2
1 2
0 bttvs ??
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?
? ? ? ?
224
0
2
2
4
0
22
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
?????
?
???
???
?
??
?
?
加速度的大小为
速度，法向加速度和切向加任意时刻
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
n
?
?
??
2
0
a r c t ga r c t g
?
?
与切向轴的夹角为
?
?
?a
?
na
?
a?
? ?
b
v
tbRbbtv
R
a 02220
1
)2( ????? 解得时间，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
0
0
?
???
?
P
s
R
?
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
s
??
???
0
20
2
1
?
?
程为用角量表示质点运动方
Rb
v
n
??
?
42
2
0??转过的圈数为
?
P
s
R
?
20
2
1
bt
RR
tv
R
s
????
程为用角量表示质点运动方
代入运动方程，将
b
v
t 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000 ??
?
?
?
?
?
???
可得,
