同
学
们
好
上讲内容：三个基本概念
1.角动量
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自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
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质点系
定轴刚体
?? JmrL
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2,转动惯量
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3.力矩
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i
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§ 5.2 角动量定理
一、角动量定理的微分形式
1.质点
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
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0
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和。
内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，
不影响总角动量。
2.质点系
外外 ii FrMt
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由
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得
刚体定轴转
动定律
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?? －矢量式
－标量式
J 是物体转动惯性的量度。
是物体平动惯性的量度。
改变物体平动状态的原因
改变物体绕轴转动状态的原因
m
F?
zM
?JM z ?
刚体定轴转动定律
例, 一定滑轮的质量为,半径为,一轻绳
两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角
速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
1m 2m
r
2m
1m
r
m
已知,0
021 ??,r,m,m,m
求,? ?
t ??
思路,质点平动与刚体定轴转
动关联问题，隔离法，分别列
方程，先求角加速度,再
?? ?
解,在地面参考系中，分别以
为研究对象，用隔离法，分别以 牛顿第二定律
和 刚体定轴转动定律 建立方程。
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1T
1a
?
gm1
以向下为正方向
2a
?
2T
gm 2
以向上为正方向
思考,
2121 TTaa ??
1 1 1 1 1,( 1 )m m g T m a??
2 2 2 2 2,( 2 )m T m g m a??
× 因为重滑轮加速转动
r
+
1T
2T
N
mg
以顺时针方向为正方向
四个未知数,
三个方程？
?,,,2121 TTaaa ??
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)4(?ra ?
解得,
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1
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如图示，两物体质量分别为 和,滑轮质量
为,半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系
数为,求 下落的加速度和两段绳中的张力。
1m
m
2m
r
2m
? 1m
2m
1m
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解,在地面参考系中，选取, 和滑轮为研究对
象，分别运用 牛顿定律 和 刚体定轴转动定律 得,
1m 2m
练习
2m 2
T
a
gm2
gm 2?
N
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a
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2T
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列方程如下,
1 1 1
2 2 2
2
12
1
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?可求解
例, 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的
固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的
匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求
当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。
解,在地面参考系中，建立如图 x 坐
标，设滑轮半径为 r 有,
o
x1
x2
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用隔离法列方程, (以逆时针方向为正 )
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2
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角动量定理的微分形式
1.质点
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2.质点系
外＝由,Mt
L ?
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t
JJM
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轴由：
tMJ dd 轴得,??
3.定轴刚体
二、角动量定理的积分形式
积分形式
（有限时间过程）
微分形式
(瞬时效应 )
质点
质点系
定轴刚体
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L
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注意,
1,力矩对时间的积累,角冲量（冲量矩）
定义,
?
2
1
d
t
t
tM
? 效果,改变角动量
3,同一式中,等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
????,,,JLM
p? 一定时间过程的变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
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时间变化率与 对应 F?2.比较,
L? 一定时间过程的变化量与 对应
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2
1
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t
t
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时间变化率与 对应 M?
三、角动量定理的应用举例 —— 旋进
1、陀螺
（ 1）当陀螺不转动，即 时,
在重力矩 作用下,
陀螺将绕垂直于板面的轴转动,
即倒地。
0?L?
gmrc ?? ?
（ 2）当陀螺自转，即 时,0?L?
由于重力矩,将不改变 的大小,
只改变 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转 — 旋进
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最终效果：陀螺绕竖直轴旋转 —— 旋进
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2、炮弹的旋进（录像）
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3、旋进现象在自然界广泛存在,
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；
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上讲内容：三个基本概念
1.角动量
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自旋轨道 LLvmrvMrL ii
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质点系
定轴刚体
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3.力矩
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§ 5.2 角动量定理
一、角动量定理的微分形式
1.质点
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不影响总角动量。
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是物体平动惯性的量度。
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例, 一定滑轮的质量为,半径为,一轻绳
两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角
速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
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为研究对象，用隔离法，分别以 牛顿第二定律
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1,力矩对时间的积累,角冲量（冲量矩）
定义,
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3,同一式中,等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
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三、角动量定理的应用举例 —— 旋进
1、陀螺
（ 1）当陀螺不转动，即 时,
在重力矩 作用下,
陀螺将绕垂直于板面的轴转动,
即倒地。
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由于重力矩,将不改变 的大小,
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