同学们好！
第五章 角动量 角动量守恒定律
刚体定轴转动定律
角动量
转动
惯量
角动量
变化率
力矩
角动量
定理
角动量守
恒定律
空间旋转
对称性
重要性,中学未接触的新内容
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征；
角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
学时,6
§ 5.1 角动量 转动惯量 力矩
一、角动量
问题,将一绕通过质心的固定轴转动的圆
盘视为一个质点系，系统总动量为多少？
C ?
M
0?? CvMp ?? 总
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，
系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量 对应的角量 —— 角动量（动量矩） p? L?
动量对参考点（或轴）求矩
1,质点的角动量
vmrprL ????
?
????
m
o
p?
r?
?
?p
?r
?? ??? prprmvrL ?s i n
大小,
方向,右手螺旋法则
服从右手定则。
组成的平面，和垂直于 pr ?? y
z
m ?
r?
p?
o
?r
L?
?p
??
?
???
?
Lppr
Lo
Lo
m
，大小相同，则：、若
为参考点：以
为参考点：以
作直线运动设
0
0
?
?
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
o
o?
r?
r??
p?
?
m ?p
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
? ? ? ?????
i i i
iiiiii vmrprLL
??????
?
ip
?
o
1r
?
ir
?
im
2r
?
1p
?
2p
?
?
ip
?
cr
?
ir
?
i
ir
??
c
?
?
?
???
???
ici
ici
vvv
rrr
???
???
?
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? ?
ii
i
ici
i i
iiic
ici
i i
iiic
ii
i
ic
vmrvmrvmr
vvmrvmr
vmrrL
?????????
???????
????
?? ?
? ?
?
??????
?????
????
?
2,质点系角动量
系统内所有质点对 同一参考点 角动量的矢量和
有 '：对质心
无 '：对参考点
由
0?
?
????
??
?
M
rm
r
M
vm
vmM i
ii
c
i
ii
c
i
i
?
?
?
?
第一项,
? ???
i
cciic vMrvmr
????
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，
该质点对参考点的角动量
轨道L
?描述质点系整体绕参考点的旋转运动,
第二项,
0????????? ?? ccc
i
iici
i
i vrMvrmvmr
??????
质心对自己的位矢
于是
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
自旋L
?
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关,
描述系统的内禀性质,
第三项,
ii
i
i vmr
?? ????
各质点相对于质心角动量的矢量和
自旋L
?
轨道L
?
L?
轨道L
?
自旋L
?
3,定轴转动刚体的角动量
?
?
? ??
?
?
?
?
?
方向：沿
大小,2iiiiiio
io
rmvmrL
L
??? 2iiio rmL ?
即
o
转轴 角速度
刚体上任一质点
转轴与其转动平面交点
绕 圆周运动半径为
??
im
z
im o ir i
v?
im
o
r?
??转动
平面
z
i
对 的角动量,
im
iiiio vmrL
??? ??o
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动；
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义,质点 对 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。 im
o
2
i z i i i i
L r m v m r ?? ? ?
刚体对 z 轴的总角动量为,
??? JmrmrLL
i
iii
i
i
i
izz ??? ????
22
式中
??
i
ii mrJ
2
刚体对轴的转动惯量
vmrL o ??
?
dd ??
?2ddd mrvmrL z ???
??
刚体对 z轴的总角动量为,
??? JmrmrLL zz ???? ??? ddd 22
v?
md
o r
?
?
z对质量连续分布的刚体,
式中
mrJ d2??
刚体对轴的转动惯量
二、刚体对轴的转动惯量
1,定义
??
i
ii mrJ
2
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该
质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
mrJ d2??
mrJ d2??
积分元选取,
?md
l,l dd 线元：线密度,??
S,S dd 面元：面密度,??
V,V dd 体元：体密度,??
md
md
m d
2,计算
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关
与转轴的位置有关
练习
1,由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系
对过 A垂直于纸面的轴的转动惯量
l
ll
l
A
m m2 m3
m4
m5
2
222
32
)2)(54()2(32
ml
lmmlmmlJ
?
????
??
i
ii mrJ
2
2,一长为 的细杆，质量 均匀分布,求该杆对垂
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
L m
o
解,(1) 轴过中点
x
md x
2L2
L?
2
2
3
1
ddd
32
2
222
L
L
x
L
m
x
L
m
xmxmrJ
L
L
?
???? ?? ?
?
2
33
12
1
883
1
mL
LL
L
m
???
?
?
??
?
?
??
(2) 轴过一端端点
L
md
o
x
x
23
0
222
3
1
03
1
ddd
mL
L
x
L
m
x
L
m
xmxmrJ
L
??
???
? ? ?
3,求质量 m,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
解,取离轴线距离相等的点的
集合为积分元
24 R
m
?
? ?
???? ds in2d2d RRlrs ???
??? ds i n
2
1dd msm ??
? ? ??? ds i n
2
1ds i ndd 3222 mRmRmrJ ???
? ? ???
?
??
0
232
3
2
ds i n
2
1
d mRmRJJ
o
r
R
ld
?
?d
m
md
4,求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解,以距中心,厚 的球壳
为积分元
r rd
rrV d4d 2??
3
3
4
R
m
?
? ?
Vm dd ??
3
4
2 d2d
3
2d
R
rmrrmJ ???
2
3
4
0
5
2d2
d mR
R
rmr
JJ
R
??? ??
o
r
rdR
m
注意,对同轴的转动惯量才具有可加减性。
o
r1 r2
m1
m2
同轴圆柱
22
2
11
2
22
12
rmrm
JJJ z
??
??
22
2
11
2
22
12
rmrm
JJJ z
??
??
r1
r2
m1 m2
空心圆盘 z
平行轴定理
CD
d
m
2mdJJ
CD ??
正交轴定理
yxz JJJ ??
对平面刚体
y
x
z
o
证明见教材 92页
教材 P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
练习
C
A
4L
m B
o
z
L
求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
2
43
4
22
48
7
dd mLll
L
m
mlJ
L
L
z ??? ??
?
解一,
解二,
2
22
48
7
4
3
4
3
3
1
443
1
mL
LmLm
JJJ oBoAz ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
解三,
2
2
2
2
48
7
412
1
4
mL
L
mmL
L
mJJ Cz ??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
三、角动量的时间变化率 力矩
1、质点角动量的时间变化率
t
p
rp
t
r
pr
tt
L
d
d
d
d
)(
d
d
d
d
?
??
?
??
?
??????
prL ??
?
??
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
??
?
?
?
?????
?
?
?????
??????
d
d
d
d
0
d
d
质点位矢 合力
r?
m
F?
M?
r?
FrM ??? ??
服从右手螺旋法则
组成的平面和垂直于方向：
大小：
Fr
FrFd
??
?s i n?
定义,
2,力矩
1) 对参考点的力矩
大小,
Fr
t
L ??
?
??
d
d
FdrFFr ??? ?s i n
??
方向,服从右手螺旋法则
r?
F?
?
o
d
m
2) 对轴的力矩
FrM ??? ??
第一项
//1 FrM
??? ??
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
与轴承约束力矩平衡。
第二项
??? FrM z
???
方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，
称为力对轴的矩，表为代数量,
???? FrM z
??
F?
r?
o m
z
?
?
????
???
FrFr
FFr
????
???
//
//
)(
//F
?
?F
?
zM
d
xyz yFxFM ??
即,
? ? ? ? ? ?
xyzxyz
zyx
yFxFkxFzFjzFyFi
FFF
zyx
kji
FrM
??????
???
???
???
???
:?F?
力在转动平面内的分量
???? FrM z
??
轴与转动平面的交点 o到力作用点的位矢,r?
力对 o 点 的力矩在 z轴方向的分量
1,力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
???? ??? ooo MMM 21
???? zzz MMM 21
矢量和
代数和
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
F?
F?
o
o
F? F?
2,
思考, 合力为零时，其合力矩是否一定为零？
合力矩为零时，合力是否一定为零？
不
一
定
3、质点系角动量的时间变化率
对 个质点 组成的质点系，由 N
Nmmm,,,21 ?
t
L
FrM
d
d
?
???
???
可得
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
两边求和得
? ?
?
??
?
i i
ii
i
i
MM
t
L
L
t
内外
??
?
?
d
d
d
d
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
L
L
t 内外
??
?
?
d
d
d
d
注意,合外力矩 是质点系所受各外力矩
的矢量和，而非合力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r
?
2r
?
d
o
[例 ] 质量为,长为 的细杆在水平粗糙桌面
上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系
数为,求摩擦力矩。
1) 杆的质量均匀分布
2) 杆的密度与离轴距离成正比
m L
?
o
md
?
f?d
z
r?
解 1）
r
L
m
m dd ?
mgf dd ??
frM dd ??
m g Lrg
L
m
rMM
L
??
2
1
dd
0
????? ??
rkrrm ddd ?? ?
解 2） 设杆的线密度 kr??
2
2
0
2
2
1
dd
L
m
k
kLrkrmm
L
?
??? ??
得
由
rr
L
mg
mgf d
2
dd 2
?
? ??
frM dd ??
m g Lrr
L
mg
MM
L
?
?
3
2
d
2
d
0
2
2
????? ??
o
md
?
f?d
z
r?
实际意义
f
?
f ?
?
r
R
o
半径 R,质量 m
的匀质圆盘，与桌
面间摩擦系数 μ，
求摩擦力矩
等效
kr??
简化模型,
长 R,线密度
总质量 m 的细杆
o
md
f?d
z
r?
?
?
本讲内容：三个基本概念
1.角动量
vmrprL ????? ????质点
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
质点系
定轴刚体
?? JmrL
i
iiz ? ??
2
2,转动惯量
??
i
ii mrJ
2 mrJ d2??
3.力矩
FrM ??? ??
???? FrM z
??
0??
i
iM 内
?
第五章 角动量 角动量守恒定律
刚体定轴转动定律
角动量
转动
惯量
角动量
变化率
力矩
角动量
定理
角动量守
恒定律
空间旋转
对称性
重要性,中学未接触的新内容
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征；
角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
学时,6
§ 5.1 角动量 转动惯量 力矩
一、角动量
问题,将一绕通过质心的固定轴转动的圆
盘视为一个质点系，系统总动量为多少？
C ?
M
0?? CvMp ?? 总
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，
系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量 对应的角量 —— 角动量（动量矩） p? L?
动量对参考点（或轴）求矩
1,质点的角动量
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?
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大小,
方向,右手螺旋法则
服从右手定则。
组成的平面，和垂直于 pr ?? y
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，大小相同，则：、若
为参考点：以
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0
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?
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
o
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*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
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2,质点系角动量
系统内所有质点对 同一参考点 角动量的矢量和
有 '：对质心
无 '：对参考点
由
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M
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ii
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第一项,
? ???
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????
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，
该质点对参考点的角动量
轨道L
?描述质点系整体绕参考点的旋转运动,
第二项,
0????????? ?? ccc
i
iici
i
i vrMvrmvmr
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质心对自己的位矢
于是
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
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自旋L
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反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关,
描述系统的内禀性质,
第三项,
ii
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各质点相对于质心角动量的矢量和
自旋L
?
轨道L
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L?
轨道L
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自旋L
?
3,定轴转动刚体的角动量
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方向：沿
大小,2iiiiiio
io
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L
??? 2iiio rmL ?
即
o
转轴 角速度
刚体上任一质点
转轴与其转动平面交点
绕 圆周运动半径为
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??转动
平面
z
i
对 的角动量,
im
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??? ??o
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动；
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义,质点 对 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。 im
o
2
i z i i i i
L r m v m r ?? ? ?
刚体对 z 轴的总角动量为,
??? JmrmrLL
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22
式中
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i
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2
刚体对轴的转动惯量
vmrL o ??
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?2ddd mrvmrL z ???
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刚体对 z轴的总角动量为,
??? JmrmrLL zz ???? ??? ddd 22
v?
md
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z对质量连续分布的刚体,
式中
mrJ d2??
刚体对轴的转动惯量
二、刚体对轴的转动惯量
1,定义
??
i
ii mrJ
2
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该
质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
mrJ d2??
mrJ d2??
积分元选取,
?md
l,l dd 线元：线密度,??
S,S dd 面元：面密度,??
V,V dd 体元：体密度,??
md
md
m d
2,计算
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关
与转轴的位置有关
练习
1,由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系
对过 A垂直于纸面的轴的转动惯量
l
ll
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A
m m2 m3
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2
222
32
)2)(54()2(32
ml
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2
2,一长为 的细杆，质量 均匀分布,求该杆对垂
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
L m
o
解,(1) 轴过中点
x
md x
2L2
L?
2
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3
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32
2
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L
L
x
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(2) 轴过一端端点
L
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1
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mL
L
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L
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L
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???
? ? ?
3,求质量 m,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
解,取离轴线距离相等的点的
集合为积分元
24 R
m
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???? ds in2d2d RRlrs ???
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2
1dd msm ??
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2
1ds i ndd 3222 mRmRmrJ ???
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3
2
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2
1
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r
R
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m
md
4,求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解,以距中心,厚 的球壳
为积分元
r rd
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3
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注意,对同轴的转动惯量才具有可加减性。
o
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同轴圆柱
22
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空心圆盘 z
平行轴定理
CD
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CD ??
正交轴定理
yxz JJJ ??
对平面刚体
y
x
z
o
证明见教材 92页
教材 P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
练习
C
A
4L
m B
o
z
L
求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
2
43
4
22
48
7
dd mLll
L
m
mlJ
L
L
z ??? ??
?
解一,
解二,
2
22
48
7
4
3
4
3
3
1
443
1
mL
LmLm
JJJ oBoAz ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
解三,
2
2
2
2
48
7
412
1
4
mL
L
mmL
L
mJJ Cz ??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
三、角动量的时间变化率 力矩
1、质点角动量的时间变化率
t
p
rp
t
r
pr
tt
L
d
d
d
d
)(
d
d
d
d
?
??
?
??
?
??????
prL ??
?
??
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
??
?
?
?
?????
?
?
?????
??????
d
d
d
d
0
d
d
质点位矢 合力
r?
m
F?
M?
r?
FrM ??? ??
服从右手螺旋法则
组成的平面和垂直于方向：
大小：
Fr
FrFd
??
?s i n?
定义,
2,力矩
1) 对参考点的力矩
大小,
Fr
t
L ??
?
??
d
d
FdrFFr ??? ?s i n
??
方向,服从右手螺旋法则
r?
F?
?
o
d
m
2) 对轴的力矩
FrM ??? ??
第一项
//1 FrM
??? ??
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
与轴承约束力矩平衡。
第二项
??? FrM z
???
方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，
称为力对轴的矩，表为代数量,
???? FrM z
??
F?
r?
o m
z
?
?
????
???
FrFr
FFr
????
???
//
//
)(
//F
?
?F
?
zM
d
xyz yFxFM ??
即,
? ? ? ? ? ?
xyzxyz
zyx
yFxFkxFzFjzFyFi
FFF
zyx
kji
FrM
??????
???
???
???
???
:?F?
力在转动平面内的分量
???? FrM z
??
轴与转动平面的交点 o到力作用点的位矢,r?
力对 o 点 的力矩在 z轴方向的分量
1,力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
???? ??? ooo MMM 21
???? zzz MMM 21
矢量和
代数和
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
F?
F?
o
o
F? F?
2,
思考, 合力为零时，其合力矩是否一定为零？
合力矩为零时，合力是否一定为零？
不
一
定
3、质点系角动量的时间变化率
对 个质点 组成的质点系，由 N
Nmmm,,,21 ?
t
L
FrM
d
d
?
???
???
可得
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
两边求和得
? ?
?
??
?
i i
ii
i
i
MM
t
L
L
t
内外
??
?
?
d
d
d
d
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
L
L
t 内外
??
?
?
d
d
d
d
注意,合外力矩 是质点系所受各外力矩
的矢量和，而非合力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r
?
2r
?
d
o
[例 ] 质量为,长为 的细杆在水平粗糙桌面
上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系
数为,求摩擦力矩。
1) 杆的质量均匀分布
2) 杆的密度与离轴距离成正比
m L
?
o
md
?
f?d
z
r?
解 1）
r
L
m
m dd ?
mgf dd ??
frM dd ??
m g Lrg
L
m
rMM
L
??
2
1
dd
0
????? ??
rkrrm ddd ?? ?
解 2） 设杆的线密度 kr??
2
2
0
2
2
1
dd
L
m
k
kLrkrmm
L
?
??? ??
得
由
rr
L
mg
mgf d
2
dd 2
?
? ??
frM dd ??
m g Lrr
L
mg
MM
L
?
?
3
2
d
2
d
0
2
2
????? ??
o
md
?
f?d
z
r?
实际意义
f
?
f ?
?
r
R
o
半径 R,质量 m
的匀质圆盘，与桌
面间摩擦系数 μ，
求摩擦力矩
等效
kr??
简化模型,
长 R,线密度
总质量 m 的细杆
o
md
f?d
z
r?
?
?
本讲内容：三个基本概念
1.角动量
vmrprL ????? ????质点
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
质点系
定轴刚体
?? JmrL
i
iiz ? ??
2
2,转动惯量
??
i
ii mrJ
2 mrJ d2??
3.力矩
FrM ??? ??
???? FrM z
??
0??
i
iM 内
?
