同学们好 ！
h
m
M
二, 质点运动的自然坐标描述 A
B
??
n?
n?
??
—— 坐标原点固接于质点,坐标
轴沿质点运动轨道的切向和法
向的坐标系,
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
d
d
τ
t
s
τvv
????
??
o
s
?s
复习,
*（ 4） 加速度,
A
B
Av? B
v?
Av
?
v??
B
D
E
C
Av
?
Bv
?
v??
?v
??nv??
??
速度的改变为,
nvvv
??? ?????
?
limlimlim
n
000 t
v
t
v
t
v
a
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?
?
?
?
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??????
???
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naan
v
t
v
a
?????
????? ?
?
?
2
d
d
??
??
t
v
a
d
d
?
切向加速度,
描述速度 大小 改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
??
?
2
?法向加速度,
描述速度 方向 改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
v均是速率，不是 速度，求解时，应代入速率求解
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
d
)4(
0
d
d
)3(
?
?
t
v
t
v
?
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
?
?
t
r
t
r
?
－ 静止
静止
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
线量 —— 在 自然坐标系 下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在 极坐标系 下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1,角位置,
?
2,角位移 ??
单位,
rad
逆时针为正
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ? ?
参考
方向
??
三, 圆周运动的角量描述
3,角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向沿轴
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手螺旋法则
O
O'
r ?
R P
v?
??
旋转方向
?
??
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
d
lim
0 tttt
???
? ??
?
?
?
??
5,角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
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R
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Rv
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R
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v
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t
R
t
s
v
Rs
n
???
???
???
?
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ??
参考
方向
??
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )
二,已知加速度 (或速度 )及初始条件，求质点任一时
刻的速度和运动方程 (积分法）。
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)(,)( ?? tavtr ??? ；
例题 4,.一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时
间的关系为
求, (1) 任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
(2)什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质
点已转了几圈？
? ?,SI
2
1 2
0 bttvs ??
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?
? ? ? ?
224
0
2
2
4
0
22
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
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R
b
R
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aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
?????
?
???
???
?
??
?
?
加速度的大小为
速度，法向加速度和切向加任意时刻
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
n
?
?
??
2
0
a r c t ga r c t g
?
?
与切向轴的夹角为
?
?
?a
?
na
?
a?
? ?
b
v
tbRbbtv
R
a 02220
1
)2( ????? 解得时间，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
0
0
?
???
?
P
s
R
?
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
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??
???
0
20
2
1
?
?
程为用角量表示质点运动方
Rb
v
n
??
?
42
2
0??转过的圈数为
?
P
s
R
?
20
2
1
bt
RR
tv
R
s
????
程为用角量表示质点运动方
代入运动方程，将
b
v
t 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000 ??
?
?
?
?
?
???
可得,
第二类问题
例题 1,已知,质点沿直线运动,
00:0;)( vvxxttaa ???? 求,
)(,)( txtv
解,
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
?
?
??
??
??
?
?
?
*d
d
dd
dd
d
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0
0
0
0
0
0
?
?
??
??
??
?
?
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t
t
tx
x
tvxx
tvxx
tvx
tvx
t
x
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?????
x
x
x
x
v
v
xavv
xavv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
0
00
*d2
dd
d
d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
思考, 若加速度 a =恒量，上面三个 *式成为什么形式？
*d
00
tavv
t
???
*d
00 ?
??
t
tvxx
???
x
x
xavv
0
*d2202
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式
和 ? = 恒量 时的形式 思考
???
t
tvxx
00
d
???
x
x
xavv
0
d2202
tavv
t
d
00 ?
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t
t
d
00 ?
?? ???
???
t
t
00
d???
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????
0
d2202
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
?????
????
???
???
???
??
tt
t
例题 2.火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图
所示。求火箭在 t = 50s时燃料用完瞬间的速度和高度。
20 50
10
15
0
)ms( -2a
)s(t
解,写出 a (t) 表达式
?a
)5020()20(
6
1
10
)200(
2
1
????
??
tt
tt
1-50
20
20
00
sm475d)20(
6
110d
2
1 ??
??
?
??
? ????? ?? ttttvv
或曲线下的面积
???
t
tavv
00
d
00 ?v初始条件：
高度分两段算,前阶段的末状态即后阶段的初状态。
m76 6 6sm1 0 0:s20 -1,hvt ????
0;0
2
1
:s200
00
1
??
?
?
hv
ta
初始条件：
? ?
?
????
???
t t
t
ttttvhh
tttvv
0 0
32
101
0
2
01
12
1
d
4
1
d
4
1
d
2
1 20 50
10
15
0
)sm( -2?a
)(t s
m78 9 1 6
d
3
2 0 0
3
20
12
76 6 6d
50
20
50
20
2
22
.
t)
tt
(.tvhh
?
?????? ? ?
m7.6 6 6
sm1 0 0
3
20
6
)20(
6
1
10
:s5020
-1
2
?
??
?????
?
h
v
t
ta
初始条件：
3
2 0 0
3
20
12
d
3
20
6
1 0 0d
2
20 20
22 ????
?
?
?
?
?
????? ? ?
tt
t
t
tavv
t t
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
已知,x-t 曲线为如图所示抛物线
求,a-t,v-t 图，运动方程
)2 ?a
解,1) 质点作何种运动？
1
00tg:1
145tg:0
??
?
?
?
???
???
t
vv
a
vt
vt
ab
b
a
?
?
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
常数?? 2
2
d
d
t
xa
匀变速直线运动
? ?mx
? ?st
o
a
b
av
?
?45
1
3
2 2.5
例 3,教材 58页 3.7
)3 ?v? ?mx
??st
o
a
b
av
?
?45
1
3
2 2.5
tatvv a ???? 1
? ?-2sm ?a
? ?st
o
1?
? ?-1sm ?v
? ?st
o
1
1;
22
1
)4 0
2
2
0 ?????? x
t
tattvxx a
由
625.005.2 0 ??? xxt 得：时
? ?SI
2
1
8
5 2
ttx ????
运动方程
例题 4,一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其
加速度,式中 为常数，试证明关闭
发动机后又行驶 x 距离时，快艇速率为,
0v
2kva ?? k
kxevv ??
0
证明,
kx
v
v
x
evv
kx
v
v
xk
v
v
xk
v
v
kv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
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??
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??????
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0
0
0
2
ln
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
0
证毕
§ 3.5 相对运动
一,运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，选
择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系
中的描述
另一个坐标
系中的描述
变换
二,低速 下的变换 ()vc
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)( xyzoS ? )( zyxoS ??????
p
P
O
O?
x
y y?
x?
OPr ??
POr?
s s?
v?
OOOPPO rrr ?? ??
???
位置矢量
OOOPPO aaa
oo
?? ??
?
???
),( 间只有相对平动时当加速度矢量
DOCDBCABAO rrrrr
????? ????
推广,
DOCDBCABAO vvvvv
????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
?????
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量
A.绝对速度 (绝对加速度 )—— 将物体相对于静止
参考系的速度 (加速度 )称为绝对速度 (绝对加速度 )
B.相对速度 (相对加速度 )—— 将物体相对于运动参考
系的速度 (加速度 )称为相对速度 (相对加速度 )
C.牵连速度 —— 运动参照系相对于静止参考系的
速度
于是，相对运动的物理意义可以理解为,
绝对速度 =相对速度 +牵连速度
绝对加速度 =相对加速度 +牵连加速度
设 系相对于 系沿 方向以速率 运动，以 和
重合时为计时起点
SS? x u o o?
z z?y y?// //
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
三,变换参考系的运动学意义, 处理问题简便
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
例题,一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快
艇速率 v<V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某
点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
D
x ??
o
x
x
D
v?
V
?
船
Dy
Vtx
?
?
1
1
艇
?
?
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c o s
2
2
vty
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相遇,
21
21
yy
xx
?
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?
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c o s
vtD
vtxVt
?
??即
消去 t得,? ?
*
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v
DvVx ??
令
0
d
d ?
?
x 解出 代入 * 得 ? minx
o
x
x
D
v?
V
?
y
思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
A
B
Av
?
Bv
?
? ?
AB
AwB
wABwBA
vv
vv
vvv
??
??
???
??
???
??
解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
v??
Vvv ??? ???
Av
??
BAv
?
若 的延长线过,则, 相撞。
BAv
? A AB
o
x
D
V?
x
v?
V?
v??
?
Vvv ??? ???
艇出发时,
22D
D
s i n
x?
??
相遇条件,
最小时当 xm,???? ??
证毕。得：由,22m i n
22
vV
v
D
x
V
v
xD
D
???
?
有最大值：?Vv ?
V
v
m ??s im
? m?
例题,河水自西向东流动，速度为 10km?h-1 。一轮船
在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30?，相对
于河水的航速为 20km?h-1 。此时风向为由东向西，风
速为 10km?h-1。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕
的飘向 (设烟离开烟囱后很快获得与风相同的速度 )。
解析法,
建立如图所示坐标系,
由题意可知 风地v?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
)hkm(30c o s20
30s i n20
)hkm(10
)hkm(10
1
1
1
?
?
?
??
??
???
??
j
iv
iv
iv
?
??
??
??
?
?
船水
风地
水地
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北
y
x
东 O
根据相对速度公式,
)hkm(3.1710
10)30c o s2030s i n20()10(
1?
????
??????
???
????
ji
ijii
vvv
vvvvv
??
????
???
?????
??
）（
水地船水风地
水船地水风地风船烟船
.30hkm20
30
10
3.17
a r c t g
)hkm(20)3.17()10
1
122
飘去的速率向南偏西即在船上观察，烟以
（
烟船
?
?
?
?
?
??
??????
?
v
北 y
x
东
?
O
风船v
?
-10
-17.3
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
图解法,
根据相对速度公式,
)()(
船水水地风地
水船地水风地风船烟船
vvv
vvvvv
???
?????
?????
????
?
30
)hkm(20
1
?
??
?
?
烟船
v
.30
hkm20
1
飘去的速率向南偏西
即在船上观察，烟以
?
?
?
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北
y
x
东 O
风地v
?
水地v
??
船水v
??
风船v
? ??30
例,当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头,
偏角 300,当火车以 35m/s的速率沿水平直路行驶时，
发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角 450,假设雨滴相对
于地面的速度保持不变求 雨滴相对地的速度的大小。
解, v雨对地 = v雨对车 +v车对地
x方向 v雨对地 sin300= -v雨对车 sin450+35
y方向,v雨对地 cos300= v雨对车 cos450
解得,v雨对地 =25.6m/s。 雨对地 雨对车
车对地
450
300
x
y
矢量三角形如图 3-13所示。将上式向 x, y方向投影，有
v
v
v
练习,一飞机以速度 v0 水平飞行，并相对飞机以水平
速度 v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速
度的影响。则对站在地面上的观察者，炮弹的轨迹方
程是
,
对飞机上的观察者
其轨迹方程是 。 2
2
2v
gxy ?
2
0
2
)(2 vv
gx
y
?
?
2
0
2
1
)(
gty
tvvx
?
??对地面
2
2
1
gty
vtx
?
?对飞机
x
y
o
h
m
M
二, 质点运动的自然坐标描述 A
B
??
n?
n?
??
—— 坐标原点固接于质点,坐标
轴沿质点运动轨道的切向和法
向的坐标系,
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
d
d
τ
t
s
τvv
????
??
o
s
?s
复习,
*（ 4） 加速度,
A
B
Av? B
v?
Av
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B
D
E
C
Av
?
Bv
?
v??
?v
??nv??
??
速度的改变为,
nvvv
??? ?????
?
limlimlim
n
000 t
v
t
v
t
v
a
ttt ?
?
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???
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naan
v
t
v
a
?????
????? ?
?
?
2
d
d
??
??
t
v
a
d
d
?
切向加速度,
描述速度 大小 改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
??
?
2
?法向加速度,
描述速度 方向 改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
v均是速率，不是 速度，求解时，应代入速率求解
参考解答,3.3.2
圆周运动
0
d
d
)4(
0
d
d
)3(
?
?
t
v
t
v
?
－ 匀速率运动
－ 匀速直线运动
(含静止 )
0
d
d
)2(
0
d
d
)1(
?
?
t
r
t
r
?
－ 静止
静止
课堂练习,教材Ｐ 47 复习思考题
线量 —— 在 自然坐标系 下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在 极坐标系 下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1,角位置,
?
2,角位移 ??
单位,
rad
逆时针为正
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ? ?
参考
方向
??
三, 圆周运动的角量描述
3,角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向沿轴
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手螺旋法则
O
O'
r ?
R P
v?
??
旋转方向
?
??
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
d
lim
0 tttt
???
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?
?
??
5,角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
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?
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?
?
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?
?
R
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Rv
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R
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R
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v
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R
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R
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???
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???
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O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ??
参考
方向
??
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )
二,已知加速度 (或速度 )及初始条件，求质点任一时
刻的速度和运动方程 (积分法）。
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)(,)( ?? tavtr ??? ；
例题 4,.一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时
间的关系为
求, (1) 任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；
(2)什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时质
点已转了几圈？
? ?,SI
2
1 2
0 bttvs ??
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?
? ? ? ?
224
0
2
2
4
0
22
2
0
2
1
d
d
,
:)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
a
t
n
n
?????
?
???
???
?
??
?
?
加速度的大小为
速度，法向加速度和切向加任意时刻
解, 质点的速率
btv
t
s
v ??? 0
d
d
? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
n
?
?
??
2
0
a r c t ga r c t g
?
?
与切向轴的夹角为
?
?
?a
?
na
?
a?
? ?
b
v
tbRbbtv
R
a 02220
1
)2( ????? 解得时间，令加速度
。时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
0
0
0
?
???
?
P
s
R
?
R
bt
R
v
bt
RR
tv
R
s
??
???
0
20
2
1
?
?
程为用角量表示质点运动方
Rb
v
n
??
?
42
2
0??转过的圈数为
?
P
s
R
?
20
2
1
bt
RR
tv
R
s
????
程为用角量表示质点运动方
代入运动方程，将
b
v
t 0?
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
22
2
0
2
000 ??
?
?
?
?
?
???
可得,
第二类问题
例题 1,已知,质点沿直线运动,
00:0;)( vvxxttaa ???? 求,
)(,)( txtv
解,
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
?
?
??
??
??
?
?
?
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
?
?
??
??
??
?
?
?
t
t
tx
x
tvxx
tvxx
tvx
tvx
t
x
v
?
??
??
?????
x
x
x
x
v
v
xavv
xavv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
0
00
*d2
dd
d
d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
思考, 若加速度 a =恒量，上面三个 *式成为什么形式？
*d
00
tavv
t
???
*d
00 ?
??
t
tvxx
???
x
x
xavv
0
*d2202
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式
和 ? = 恒量 时的形式 思考
???
t
tvxx
00
d
???
x
x
xavv
0
d2202
tavv
t
d
00 ?
??
t
t
d
00 ?
?? ???
???
t
t
00
d???
???
?
?
????
0
d2202
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
?????
????
???
???
???
??
tt
t
例题 2.火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图
所示。求火箭在 t = 50s时燃料用完瞬间的速度和高度。
20 50
10
15
0
)ms( -2a
)s(t
解,写出 a (t) 表达式
?a
)5020()20(
6
1
10
)200(
2
1
????
??
tt
tt
1-50
20
20
00
sm475d)20(
6
110d
2
1 ??
??
?
??
? ????? ?? ttttvv
或曲线下的面积
???
t
tavv
00
d
00 ?v初始条件：
高度分两段算,前阶段的末状态即后阶段的初状态。
m76 6 6sm1 0 0:s20 -1,hvt ????
0;0
2
1
:s200
00
1
??
?
?
hv
ta
初始条件：
? ?
?
????
???
t t
t
ttttvhh
tttvv
0 0
32
101
0
2
01
12
1
d
4
1
d
4
1
d
2
1 20 50
10
15
0
)sm( -2?a
)(t s
m78 9 1 6
d
3
2 0 0
3
20
12
76 6 6d
50
20
50
20
2
22
.
t)
tt
(.tvhh
?
?????? ? ?
m7.6 6 6
sm1 0 0
3
20
6
)20(
6
1
10
:s5020
-1
2
?
??
?????
?
h
v
t
ta
初始条件：
3
2 0 0
3
20
12
d
3
20
6
1 0 0d
2
20 20
22 ????
?
?
?
?
?
????? ? ?
tt
t
t
tavv
t t
20 50
1
0
15
0
)sm( -2?a
)(t s
已知,x-t 曲线为如图所示抛物线
求,a-t,v-t 图，运动方程
)2 ?a
解,1) 质点作何种运动？
1
00tg:1
145tg:0
??
?
?
?
???
???
t
vv
a
vt
vt
ab
b
a
?
?
x-t 曲线为抛物线（二次曲线）
常数?? 2
2
d
d
t
xa
匀变速直线运动
? ?mx
? ?st
o
a
b
av
?
?45
1
3
2 2.5
例 3,教材 58页 3.7
)3 ?v? ?mx
??st
o
a
b
av
?
?45
1
3
2 2.5
tatvv a ???? 1
? ?-2sm ?a
? ?st
o
1?
? ?-1sm ?v
? ?st
o
1
1;
22
1
)4 0
2
2
0 ?????? x
t
tattvxx a
由
625.005.2 0 ??? xxt 得：时
? ?SI
2
1
8
5 2
ttx ????
运动方程
例题 4,一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其
加速度,式中 为常数，试证明关闭
发动机后又行驶 x 距离时，快艇速率为,
0v
2kva ?? k
kxevv ??
0
证明,
kx
v
v
x
evv
kx
v
v
xk
v
v
xk
v
v
kv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
?
?
??
??
??
??????
? ?
0
0
0
2
ln
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
0
证毕
§ 3.5 相对运动
一,运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，选
择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系
中的描述
另一个坐标
系中的描述
变换
二,低速 下的变换 ()vc
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)( xyzoS ? )( zyxoS ??????
p
P
O
O?
x
y y?
x?
OPr ??
POr?
s s?
v?
OOOPPO rrr ?? ??
???
位置矢量
OOOPPO aaa
oo
?? ??
?
???
),( 间只有相对平动时当加速度矢量
DOCDBCABAO rrrrr
????? ????
推广,
DOCDBCABAO vvvvv
????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
?????
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量
A.绝对速度 (绝对加速度 )—— 将物体相对于静止
参考系的速度 (加速度 )称为绝对速度 (绝对加速度 )
B.相对速度 (相对加速度 )—— 将物体相对于运动参考
系的速度 (加速度 )称为相对速度 (相对加速度 )
C.牵连速度 —— 运动参照系相对于静止参考系的
速度
于是，相对运动的物理意义可以理解为,
绝对速度 =相对速度 +牵连速度
绝对加速度 =相对加速度 +牵连加速度
设 系相对于 系沿 方向以速率 运动，以 和
重合时为计时起点
SS? x u o o?
z z?y y?// //
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
三,变换参考系的运动学意义, 处理问题简便
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
例题,一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快
艇速率 v<V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某
点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
D
x ??
o
x
x
D
v?
V
?
船
Dy
Vtx
?
?
1
1
艇
?
?
s i n
c o s
2
2
vty
vtxx
?
??
相遇,
21
21
yy
xx
?
?
?
?
s in
c o s
vtD
vtxVt
?
??即
消去 t得,? ?
*
s i n
c o s
?
?
v
DvVx ??
令
0
d
d ?
?
x 解出 代入 * 得 ? minx
o
x
x
D
v?
V
?
y
思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
A
B
Av
?
Bv
?
? ?
AB
AwB
wABwBA
vv
vv
vvv
??
??
???
??
???
??
解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
v??
Vvv ??? ???
Av
??
BAv
?
若 的延长线过,则, 相撞。
BAv
? A AB
o
x
D
V?
x
v?
V?
v??
?
Vvv ??? ???
艇出发时,
22D
D
s i n
x?
??
相遇条件,
最小时当 xm,???? ??
证毕。得：由,22m i n
22
vV
v
D
x
V
v
xD
D
???
?
有最大值：?Vv ?
V
v
m ??s im
? m?
例题,河水自西向东流动，速度为 10km?h-1 。一轮船
在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30?，相对
于河水的航速为 20km?h-1 。此时风向为由东向西，风
速为 10km?h-1。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕
的飘向 (设烟离开烟囱后很快获得与风相同的速度 )。
解析法,
建立如图所示坐标系,
由题意可知 风地v?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
)hkm(30c o s20
30s i n20
)hkm(10
)hkm(10
1
1
1
?
?
?
??
??
???
??
j
iv
iv
iv
?
??
??
??
?
?
船水
风地
水地
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北
y
x
东 O
根据相对速度公式,
)hkm(3.1710
10)30c o s2030s i n20()10(
1?
????
??????
???
????
ji
ijii
vvv
vvvvv
??
????
???
?????
??
）（
水地船水风地
水船地水风地风船烟船
.30hkm20
30
10
3.17
a r c t g
)hkm(20)3.17()10
1
122
飘去的速率向南偏西即在船上观察，烟以
（
烟船
?
?
?
?
?
??
??????
?
v
北 y
x
东
?
O
风船v
?
-10
-17.3
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
图解法,
根据相对速度公式,
)()(
船水水地风地
水船地水风地风船烟船
vvv
vvvvv
???
?????
?????
????
?
30
)hkm(20
1
?
??
?
?
烟船
v
.30
hkm20
1
飘去的速率向南偏西
即在船上观察，烟以
?
?
?
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北
y
x
东 O
风地v
?
水地v
??
船水v
??
风船v
? ??30
例,当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头,
偏角 300,当火车以 35m/s的速率沿水平直路行驶时，
发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角 450,假设雨滴相对
于地面的速度保持不变求 雨滴相对地的速度的大小。
解, v雨对地 = v雨对车 +v车对地
x方向 v雨对地 sin300= -v雨对车 sin450+35
y方向,v雨对地 cos300= v雨对车 cos450
解得,v雨对地 =25.6m/s。 雨对地 雨对车
车对地
450
300
x
y
矢量三角形如图 3-13所示。将上式向 x, y方向投影，有
v
v
v
练习,一飞机以速度 v0 水平飞行，并相对飞机以水平
速度 v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速
度的影响。则对站在地面上的观察者，炮弹的轨迹方
程是
,
对飞机上的观察者
其轨迹方程是 。 2
2
2v
gxy ?
2
0
2
)(2 vv
gx
y
?
?
2
0
2
1
)(
gty
tvvx
?
??对地面
2
2
1
gty
vtx
?
?对飞机
x
y
o
