1
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理
描述空间
矢量场一般方法
用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的
基本性质
一, 磁场高斯定理
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1.磁感应线
B?
B?
特点 闭合,或两端伸向无穷远； 与载流回路互相套联；
互不相交。
2
2,磁通量
通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
? B?S?d
Sd
SBSBBSm
??
ddc o sd ???? ? ??
微元分析法 （ 以平代曲，以不变代变 ）
SBSm
??
d????
0?m?
对封闭曲面，规定外法向为正
0?m?
进入的磁感应线
穿出的磁感应线
n?
n?
? B?
?
B?
3
0d ??? SBS
??
n?
n?
? B?
?
B?
3,磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,0d ??? SB
S
??
磁场是无源场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单
极，将改写电磁理论。
4
练习 已知,I,a,b,l
求,
解,
m?
?? 方向：
r
I
B
?
?
2
0
SBm ?? dd ???
rlS dd ?
a
ba
ln
22
d
d 00
?
???? ??
?
?
?
?
?
?
Il
r
rIl
SB
ba
aS
m
??
I
o r?
a
b
l
Sd
5
0d ??? SB
S
??
?? ?? 内qSE
S
0
1
d
?
??
磁场的高斯定理,
静电场的高斯定理,
性质 1,
磁场是无源场
性质 1,
静电场是有源场
6
? ??L lE 0d
??
静电场环路定理,
性质 2,
静电场是保守场
稳恒磁场,
??? lB
L
??
d
类似的环路定理表达式？
揭示出磁场具有怎样的性质？
7
本讲主要内容,
§ 9.3 安培环路定理
一,安培环路定理的表述
（一） 1.以无限长直电流的磁场为例验证,
推广到任意稳恒电流磁场 ;
二,安培环路定理的应用
（二） 定理的意义及 正确理解需注意的问题。
（一） 几种典型问题的求解；
（从特殊到一般）
（二） 总结归纳用该定理求磁场分布的方法。
2,
8
一,安培环路定理的表述
以无限长直电流的磁场为例分 6步验证
Il
r
I
l
r
I
lB
r
LL
0
2
0
0
0
d
2
c o s 0d
2
d
?
?
?
?
?
?
???
?? ??? ?
?
??
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交
点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
B?
I
ro
L
1)
（一）
9
Il
r
I
l
r
I
lB
r
r
L
0
2
0
0
2
0
0
d
2
c o sd
2
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??? ?
??
B?
I
r
o
L
2) 若电流反向（包围电流的圆周路径 ）,L
螺旋关系时,电流为正 ;反之为负,
规定,当电流流向与积分路径的绕行方向成
右手
IlB
L 0
????
??
d
10
? ? 0)(
2
)dd(
2
ddd
0
21
0
21
????
????
? ??? ??? ?
??
?
?
??
?
?
I
I
lBlBlB
LL
LLL
?????? 闭合路径不包围电流 4） I 2L 1LQP?
在垂直于导线平面内围绕电流的 任意闭合路径
B?
?
?d
l?d
r?
L
I
3)
I
I
I
r
r
I
lBlB
LLL
0
0
2
0
0
0
d
2
d
2
dc o sd
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?? ??? ?
若电流反向，则为
??
11
)ddd // ???? ????? lBlBlB
LLL
??????
I L
'L Ld
〃Ld
〃Ld ?
Ld '
OO
0??? ? //d lB
L
??
?
?
?
?
0
0
I?
)( LI 穿过
)( LI 不穿过
L5)如果闭合回路 不在垂直于电流的平面内,
任意形状的空间曲线,
而是
12
??
? ???? ??? ??
???? ??? ?
)(
0
21
21
ddd
d)(d
内L
i
L nLL
nLL
I
lBlBlB
lBBBlB
?
??
?
????
??
?
????
6) 推广,
由磁场叠加原理 空间存在若干个闭合稳恒电流时,
任意形状的稳恒电流 长直电流
穿过 的电流：对 和 均有贡献 L B?
lBL ?? d??
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
B?LL
lBL ?? d??
13
2.表述,稳恒磁场的安培环路定理
????
)(
0
d
L
iL
IlB
穿过
?
??
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线
积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与
真空磁导率的乘积。
B?
（二）１,安培环路定理的 意义
2)反映了磁感应线与电流的互相套联。
磁场是非保守场
1)表征了 对任意闭合曲线的环流不恒等于零； B?
磁场是涡旋场
14
0d ???
S
SB
??
无源场
?? ?? 内qSE
S
0
1
d
?
??
有源场
高斯定理
0d ???
L
lE
??
保守场、有势场
?? ??
）（穿过 L
iL IlB 0d ?
??
环路定理 比较
静电场
稳恒
磁场 非保守场、无势场
（涡旋场）
15
２,正确理解安培环路定理需 注意的问题,
１, 上各点的 应是空间中所有闭合稳恒电流在该处产 L
B?
生的 的矢量和,B? （ 类似高斯定理中的 ） E?
４,安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场,
随时间变化的磁场
一段电流的磁场 均不适用,
螺旋关系 时,电流为正 ;反之为负,
3.规定,当电流流向与积分路径的绕行方向成
右手
2.电流 是指闭合路径所包围并穿过的 的代数和, I
I
（是指以 为边界的任意曲面内的闭合稳恒电流） L
16
L
与 绕向成右旋关系
与 绕向成左旋关系
L 0?iI
0?iI
规定,
1I
L
lBL ??d??
4I
I L
例如,
321
)(
IIII
L
i ????
穿过
IIII
L
i 23
)(
?????
穿过
17
二,安培环路定理的应用
求解具有某些 对称 性的磁场分布
求解具有某些 对称 分布的静电场 ?? ??
内qSE
s 0
1
?
??
d
????
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
求解条件,电流分布 (磁场分布 )具有某些对称性,
以便可以找到 恰当 的安培环路 L，使 能积
出，从而方便地求解 。
lBL ?? d??
B?
适用条件,闭合稳恒电流的磁场
18
o r P?
I R
在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路，逆时针绕向为正,
B?
LroI?
L
L
+
无限长均匀载流圆柱体 内外磁场, ? ?RI,
对称性分析,
?
?
'dI
Id
ro P
L
[例一 ]
B?d
'dB?
L
19
?????? 内IrBlBL 0 2d ??
??
'dB?
?
? B?d
'dI
Id r
o PL L
rr
I
B
1
2
0 ??
?
?
外
:Rr ?
II ?? 内
:Rr ?
2
2
2
2
R
Ir
r
R
I
I ???? ?
?
内
r
R
Ir
B ??
2
0
2 ?
?
内
I方向与 指向满足右旋关系 B?
B
o R r
r
1?
r?
20 方向与 指向满足右旋关系
外B
? I
B
o R
r
0?内B
r
I
B
?
?
2
0?
外
无限长均匀载流直圆筒 r~B思考,曲线？
21
练习,P.253 9 - 14
无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过
（ ）的磁通量, hR,2S
IR,
2 2
0
R
Ir
B
?
?
?内
2
0
r
I
B
?
?
?外
解,磁场分布
SBSBs
S
m dd 内
内
? ????
??
?
SB
S
d
外外
??
rh
R
IrR
d
20 2
0??
?
? )2ln21(
4
d
2
02 0 ??? ?
?
?
?
? Ihrh
r
IR
R
I
S
B??
,
h
R R
Sd Sd
微元分析法：取 rhS dd ?
方向相同与且 BS ??d
22
??
????????????????????
????????????????????????????????????
B?
21I M
[例二 ] 无限长直载流螺线管内磁场（ 线密绕）,, nI
单位长度上
的匝数
螺距
为零
解,对 称性分析
线密绕 0?外B?
等价，关于 M 镜像对称
无限长, 1, 2 面上对应点
//? 轴任一直线上各点 B?
大小相等，方向沿轴
23
??
????????????????????
????????????????????????????????????
d
B?
c
ab
21I
? ??? ??? ??? ? ??? addccbL ba lBlBlBlBlB
??????????
ddddd
abBabB ?????? 000 c o s ?
abnII ??? 内
作矩形安培环路如图,
规定,+
24
??
????????????????????
????????????????????????????????????
d
B?
c
ab
21I
nIB 0??
无限长直螺线管内为均匀磁场
管外磁场几乎为零
abnIabB 0????由 安培环路定律,
25
R??
解,nIB
0??等效于长直螺线管 单位长度上电流
?nI
?
?
??
2
2 ??? RnI
??? R0?
nIB 0??
练习,半径 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
??,,R
已知,
?B?求,内部
R
26
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ） I.N.R.R 21
?
?
??
?
?
?
????
? ??
??
??
?????
??
?
???
??
??
??
?? ? ???????
???
?
?
1R L
I
N
L
2R
r
r
o
r
对称性分析,
环上各点 方向,切向 B?
同心圆环 大小相等的点的集合,B?
以中心,半径 的圆环为安培环路 o r +
27
?????? 内IrBlBL 0 2d ??
??
r
1?
r1Ro
B
2R
0?外B:,
21 RrRr ??
0?? 内I
:21 RrR ?? r
NI
B
?
?
2
0?
内
NII ?? 内
?
?
??
?
?
?
????
? ??
??
??
?????
??
?
???
??
??
??
?? ? ???????
???
?
?
1R L
I
N
L
2R
r
r
o
r
28
rRRrhS )d(dd 12 ???
练习,若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的
磁通量。
rRR
r
NI
SB
m
)d(
2
dd
12
0 ??
?
?
?
?
内
?? ???
2
1
d)(
2
d 120
R
Rmm r
rRRNI
?
???
1
2
12
0 ln)(
2
R
R
RR
NI
??
?
?
I I
Sd
12 RRh ??
1R2R
解,
29
B?求,分布
解一, 用叠加原理
xjI dd ?
r
IB
?
?
2
dd 0?
????????????????????
z
z
x
o
j?
Id
B?d
'dI
'dB?r'r
?
?
练习,P,253 9-11无限大导体平板在
xyy?电流沿
平面内,
密度 方向，线 j (x方 向单位长度上的电流 )。
由对称性,
0d ?? ? zz BB
?? xBB d
r
z
r
xjB ?
???? ?
??
2
d c o sd 0
?
?
?? ?
? 220 d
2 zx
xzj
?
?
z
x
z
zj a r c t g1
2
0 ??
?
?
?
?? 2
0 j??
30
解二, 用安培环路定理
jllBlB
L 0
2d ?????
??
2
0
j
B
?
?
得,
由,
20
j?
2
0 j??
x
B
o
z
???????????????????? xj?
L
选如图安培环路 ?
在对称性分析的基础上
l
31
如有两块面积很大,彼此相距很近的金属薄板,
两板上都有均匀分布的电流流过,但电流的流向相反,
单位长度的电流密度为
j
，则 磁感应强度
jB 0??
0?B板外
II
板内
练习,
32
例五,P.254 9-12
半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个
半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面
内均匀分布，方向平行于轴线，求,
doo ' ?r
R
I
1,圆柱轴线上磁感应强度
2,空心部分中任一点的磁感应强度
OB
?R
r?
d
I?
p
'oo
?
部分电流与原柱体部分的
电流 构成实心圆柱电流,
方向,
?
1I?I
用补偿法, 解,即在空心部分中补上与实体
具有相同的电流密度的电流 和
这等价于原来的空心部分。
B?
33
原磁场为,21 BBB ??? ??
电流密度 22
rR
Ij
?? ?
? 21 RjI ??
2
2 rjI ??
电流
d
I
B O
?
?
2
20
2 ?
1) 对圆柱轴线上任一点,由安培环路定理,
01 ?OB
)(2 22
2
0
21
rRd
Ir
BBB ooo
?
???
?
?
R
r?d
I?
p
'oo
原电流分布等效于,
实心圆柱电流
空腔部分反向电流
?
1I
2I
1B
?
2B
?
?
34
2) 对空腔内任一点 P 设,1rOP ? 2rPO ' ?
1r
? ?
1B
?
2r
2B
?
x2L
1I
o 'o
2I
1L
y
d?
P
由安培环路定理,
2
10
1
jr
B
?
?
2
20
2
jr
B
?
?
2
10
11
2
1
rj
rB
lB
L
??
?
?
?
?
?
??
d
得,同理可得,
35
1r
1B
?
2r
2B
?
xo
'o
y
d?
P
1? 2?
1?
2?
B?
2211
?? s i ns i n BBB
x
??
)s i ns i n( 22110
2
??
?
rrj ??
0?
2211 ?? c o sc o s BBB y ??
)c o sc o s( 22110
2
??? rrj ??
jd0
2
1
??
d?空腔内为垂直于
)(2 22
0
rR
Id
B
?
?
?
?
的均匀磁场,
36
小结,形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
亥姆霍兹圈
无限大载流平面上、下
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
……
37
小结,
1.熟悉典型问题结果
运动点电荷，无限长直电流，圆电流轴线上,
长直载流螺线管，螺绕环,.,
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
? 由 求 。
???? 内IlBL 0 d ?
?? B
?
? 对称性分析
? 选环路 L并规定绕向
§ 10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理
描述空间
矢量场一般方法
用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的
基本性质
一, 磁场高斯定理
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1.磁感应线
B?
B?
特点 闭合,或两端伸向无穷远； 与载流回路互相套联；
互不相交。
2
2,磁通量
通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
? B?S?d
Sd
SBSBBSm
??
ddc o sd ???? ? ??
微元分析法 （ 以平代曲，以不变代变 ）
SBSm
??
d????
0?m?
对封闭曲面，规定外法向为正
0?m?
进入的磁感应线
穿出的磁感应线
n?
n?
? B?
?
B?
3
0d ??? SBS
??
n?
n?
? B?
?
B?
3,磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,0d ??? SB
S
??
磁场是无源场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单
极，将改写电磁理论。
4
练习 已知,I,a,b,l
求,
解,
m?
?? 方向：
r
I
B
?
?
2
0
SBm ?? dd ???
rlS dd ?
a
ba
ln
22
d
d 00
?
???? ??
?
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?
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Il
r
rIl
SB
ba
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m
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I
o r?
a
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S
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S
0
1
d
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??
磁场的高斯定理,
静电场的高斯定理,
性质 1,
磁场是无源场
性质 1,
静电场是有源场
6
? ??L lE 0d
??
静电场环路定理,
性质 2,
静电场是保守场
稳恒磁场,
??? lB
L
??
d
类似的环路定理表达式？
揭示出磁场具有怎样的性质？
7
本讲主要内容,
§ 9.3 安培环路定理
一,安培环路定理的表述
（一） 1.以无限长直电流的磁场为例验证,
推广到任意稳恒电流磁场 ;
二,安培环路定理的应用
（二） 定理的意义及 正确理解需注意的问题。
（一） 几种典型问题的求解；
（从特殊到一般）
（二） 总结归纳用该定理求磁场分布的方法。
2,
8
一,安培环路定理的表述
以无限长直电流的磁场为例分 6步验证
Il
r
I
l
r
I
lB
r
LL
0
2
0
0
0
d
2
c o s 0d
2
d
?
?
?
?
?
?
???
?? ??? ?
?
??
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交
点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
B?
I
ro
L
1)
（一）
9
Il
r
I
l
r
I
lB
r
r
L
0
2
0
0
2
0
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2
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?
?
?
?
?
?
?????
??? ?
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B?
I
r
o
L
2) 若电流反向（包围电流的圆周路径 ）,L
螺旋关系时,电流为正 ;反之为负,
规定,当电流流向与积分路径的绕行方向成
右手
IlB
L 0
????
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d
10
? ? 0)(
2
)dd(
2
ddd
0
21
0
21
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I
I
lBlBlB
LL
LLL
?????? 闭合路径不包围电流 4） I 2L 1LQP?
在垂直于导线平面内围绕电流的 任意闭合路径
B?
?
?d
l?d
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L
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???
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若电流反向，则为
??
11
)ddd // ???? ????? lBlBlB
LLL
??????
I L
'L Ld
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〃Ld ?
Ld '
OO
0??? ? //d lB
L
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?
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0
0
I?
)( LI 穿过
)( LI 不穿过
L5)如果闭合回路 不在垂直于电流的平面内,
任意形状的空间曲线,
而是
12
??
? ???? ??? ??
???? ??? ?
)(
0
21
21
ddd
d)(d
内L
i
L nLL
nLL
I
lBlBlB
lBBBlB
?
??
?
????
??
?
????
6) 推广,
由磁场叠加原理 空间存在若干个闭合稳恒电流时,
任意形状的稳恒电流 长直电流
穿过 的电流：对 和 均有贡献 L B?
lBL ?? d??
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
B?LL
lBL ?? d??
13
2.表述,稳恒磁场的安培环路定理
????
)(
0
d
L
iL
IlB
穿过
?
??
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线
积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与
真空磁导率的乘积。
B?
（二）１,安培环路定理的 意义
2)反映了磁感应线与电流的互相套联。
磁场是非保守场
1)表征了 对任意闭合曲线的环流不恒等于零； B?
磁场是涡旋场
14
0d ???
S
SB
??
无源场
?? ?? 内qSE
S
0
1
d
?
??
有源场
高斯定理
0d ???
L
lE
??
保守场、有势场
?? ??
）（穿过 L
iL IlB 0d ?
??
环路定理 比较
静电场
稳恒
磁场 非保守场、无势场
（涡旋场）
15
２,正确理解安培环路定理需 注意的问题,
１, 上各点的 应是空间中所有闭合稳恒电流在该处产 L
B?
生的 的矢量和,B? （ 类似高斯定理中的 ） E?
４,安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场,
随时间变化的磁场
一段电流的磁场 均不适用,
螺旋关系 时,电流为正 ;反之为负,
3.规定,当电流流向与积分路径的绕行方向成
右手
2.电流 是指闭合路径所包围并穿过的 的代数和, I
I
（是指以 为边界的任意曲面内的闭合稳恒电流） L
16
L
与 绕向成右旋关系
与 绕向成左旋关系
L 0?iI
0?iI
规定,
1I
L
lBL ??d??
4I
I L
例如,
321
)(
IIII
L
i ????
穿过
IIII
L
i 23
)(
?????
穿过
17
二,安培环路定理的应用
求解具有某些 对称 性的磁场分布
求解具有某些 对称 分布的静电场 ?? ??
内qSE
s 0
1
?
??
d
????
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
求解条件,电流分布 (磁场分布 )具有某些对称性,
以便可以找到 恰当 的安培环路 L，使 能积
出，从而方便地求解 。
lBL ?? d??
B?
适用条件,闭合稳恒电流的磁场
18
o r P?
I R
在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路，逆时针绕向为正,
B?
LroI?
L
L
+
无限长均匀载流圆柱体 内外磁场, ? ?RI,
对称性分析,
?
?
'dI
Id
ro P
L
[例一 ]
B?d
'dB?
L
19
?????? 内IrBlBL 0 2d ??
??
'dB?
?
? B?d
'dI
Id r
o PL L
rr
I
B
1
2
0 ??
?
?
外
:Rr ?
II ?? 内
:Rr ?
2
2
2
2
R
Ir
r
R
I
I ???? ?
?
内
r
R
Ir
B ??
2
0
2 ?
?
内
I方向与 指向满足右旋关系 B?
B
o R r
r
1?
r?
20 方向与 指向满足右旋关系
外B
? I
B
o R
r
0?内B
r
I
B
?
?
2
0?
外
无限长均匀载流直圆筒 r~B思考,曲线？
21
练习,P.253 9 - 14
无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过
（ ）的磁通量, hR,2S
IR,
2 2
0
R
Ir
B
?
?
?内
2
0
r
I
B
?
?
?外
解,磁场分布
SBSBs
S
m dd 内
内
? ????
??
?
SB
S
d
外外
??
rh
R
IrR
d
20 2
0??
?
? )2ln21(
4
d
2
02 0 ??? ?
?
?
?
? Ihrh
r
IR
R
I
S
B??
,
h
R R
Sd Sd
微元分析法：取 rhS dd ?
方向相同与且 BS ??d
22
??
????????????????????
????????????????????????????????????
B?
21I M
[例二 ] 无限长直载流螺线管内磁场（ 线密绕）,, nI
单位长度上
的匝数
螺距
为零
解,对 称性分析
线密绕 0?外B?
等价，关于 M 镜像对称
无限长, 1, 2 面上对应点
//? 轴任一直线上各点 B?
大小相等，方向沿轴
23
??
????????????????????
????????????????????????????????????
d
B?
c
ab
21I
? ??? ??? ??? ? ??? addccbL ba lBlBlBlBlB
??????????
ddddd
abBabB ?????? 000 c o s ?
abnII ??? 内
作矩形安培环路如图,
规定,+
24
??
????????????????????
????????????????????????????????????
d
B?
c
ab
21I
nIB 0??
无限长直螺线管内为均匀磁场
管外磁场几乎为零
abnIabB 0????由 安培环路定律,
25
R??
解,nIB
0??等效于长直螺线管 单位长度上电流
?nI
?
?
??
2
2 ??? RnI
??? R0?
nIB 0??
练习,半径 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
??,,R
已知,
?B?求,内部
R
26
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ） I.N.R.R 21
?
?
??
?
?
?
????
? ??
??
??
?????
??
?
???
??
??
??
?? ? ???????
???
?
?
1R L
I
N
L
2R
r
r
o
r
对称性分析,
环上各点 方向,切向 B?
同心圆环 大小相等的点的集合,B?
以中心,半径 的圆环为安培环路 o r +
27
?????? 内IrBlBL 0 2d ??
??
r
1?
r1Ro
B
2R
0?外B:,
21 RrRr ??
0?? 内I
:21 RrR ?? r
NI
B
?
?
2
0?
内
NII ?? 内
?
?
??
?
?
?
????
? ??
??
??
?????
??
?
???
??
??
??
?? ? ???????
???
?
?
1R L
I
N
L
2R
r
r
o
r
28
rRRrhS )d(dd 12 ???
练习,若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的
磁通量。
rRR
r
NI
SB
m
)d(
2
dd
12
0 ??
?
?
?
?
内
?? ???
2
1
d)(
2
d 120
R
Rmm r
rRRNI
?
???
1
2
12
0 ln)(
2
R
R
RR
NI
??
?
?
I I
Sd
12 RRh ??
1R2R
解,
29
B?求,分布
解一, 用叠加原理
xjI dd ?
r
IB
?
?
2
dd 0?
????????????????????
z
z
x
o
j?
Id
B?d
'dI
'dB?r'r
?
?
练习,P,253 9-11无限大导体平板在
xyy?电流沿
平面内,
密度 方向，线 j (x方 向单位长度上的电流 )。
由对称性,
0d ?? ? zz BB
?? xBB d
r
z
r
xjB ?
???? ?
??
2
d c o sd 0
?
?
?? ?
? 220 d
2 zx
xzj
?
?
z
x
z
zj a r c t g1
2
0 ??
?
?
?
?? 2
0 j??
30
解二, 用安培环路定理
jllBlB
L 0
2d ?????
??
2
0
j
B
?
?
得,
由,
20
j?
2
0 j??
x
B
o
z
???????????????????? xj?
L
选如图安培环路 ?
在对称性分析的基础上
l
31
如有两块面积很大,彼此相距很近的金属薄板,
两板上都有均匀分布的电流流过,但电流的流向相反,
单位长度的电流密度为
j
，则 磁感应强度
jB 0??
0?B板外
II
板内
练习,
32
例五,P.254 9-12
半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个
半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面
内均匀分布，方向平行于轴线，求,
doo ' ?r
R
I
1,圆柱轴线上磁感应强度
2,空心部分中任一点的磁感应强度
OB
?R
r?
d
I?
p
'oo
?
部分电流与原柱体部分的
电流 构成实心圆柱电流,
方向,
?
1I?I
用补偿法, 解,即在空心部分中补上与实体
具有相同的电流密度的电流 和
这等价于原来的空心部分。
B?
33
原磁场为,21 BBB ??? ??
电流密度 22
rR
Ij
?? ?
? 21 RjI ??
2
2 rjI ??
电流
d
I
B O
?
?
2
20
2 ?
1) 对圆柱轴线上任一点,由安培环路定理,
01 ?OB
)(2 22
2
0
21
rRd
Ir
BBB ooo
?
???
?
?
R
r?d
I?
p
'oo
原电流分布等效于,
实心圆柱电流
空腔部分反向电流
?
1I
2I
1B
?
2B
?
?
34
2) 对空腔内任一点 P 设,1rOP ? 2rPO ' ?
1r
? ?
1B
?
2r
2B
?
x2L
1I
o 'o
2I
1L
y
d?
P
由安培环路定理,
2
10
1
jr
B
?
?
2
20
2
jr
B
?
?
2
10
11
2
1
rj
rB
lB
L
??
?
?
?
?
?
??
d
得,同理可得,
35
1r
1B
?
2r
2B
?
xo
'o
y
d?
P
1? 2?
1?
2?
B?
2211
?? s i ns i n BBB
x
??
)s i ns i n( 22110
2
??
?
rrj ??
0?
2211 ?? c o sc o s BBB y ??
)c o sc o s( 22110
2
??? rrj ??
jd0
2
1
??
d?空腔内为垂直于
)(2 22
0
rR
Id
B
?
?
?
?
的均匀磁场,
36
小结,形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
亥姆霍兹圈
无限大载流平面上、下
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
……
37
小结,
1.熟悉典型问题结果
运动点电荷，无限长直电流，圆电流轴线上,
长直载流螺线管，螺绕环,.,
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
? 由 求 。
???? 内IlBL 0 d ?
?? B
?
? 对称性分析
? 选环路 L并规定绕向
