同
学
们
好
§ 9.3 高斯定理
一,电场线
, 空间矢量函数
定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数
定性描述电场整体分布：电场线方法
E?
? ?rE?
引入场线（力线）求空间矢量的 通量 和 环流 是描述
空间矢量场的一般方法。
其上每点切向, 该点 方向 E?电
场
线 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比,
E?
有限长均匀带电
直线的电场线
q?
实例,
电偶极子的电场线
?+
-
法拉第,在空间寻找力的载体，提出场的概念,
并设想空间贯穿着力线，来描述场。
麦克斯韦,总结出法拉第力线描述的数学形式,
建立严密的电磁场方程,
二, 电通量
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面的电通量。
面积元矢量,ndd ?? SS ?
面积元范围内 视为均匀 E?
微元分析法：以平代曲；
以不变代变。
1) 通过面元的电通量,
SESESEe ?? d)c o sd(dd ???? ? ??
?
S?d
Sd
E?
S
?? ??? ss ee SE
??
dd ??2) 通过曲面 的电通量 S
?
S?d
Sd
E?
S
1) 通过面元的电通量,
SESESEe ?? d)c o sd(dd ???? ? ??
0d
2
0d
2
0d
2
??
??
??
e
e
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3) 通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE
??
d?
通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE ?? d?
规定,封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
?
?
练习 1,空间有点电荷 q, 求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
E?
n? n?
n?
S
1) 曲面为以电荷为中心的球面
0?q
S
E?
r
0:0 ?? eq ?
0:0 ?? eq ?
? ? ? ??
?
???
0
2
0
3
0
d
44
d
d
?????
?
q
S
r
q
r
Srq
SEe
??
??
与 r
无关
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到,
由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线
不中断、不增加。
?
?
0?q
S
E?
r
q
S
E?
S?
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
S?
q
S
E?
0?
??
q
esse ???
0:0 ?? eq ?
0:0 ?? eq ?
S??
q
E?
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
0???se?
结论,
? ??? se SE
??
d?
? ?
? ?外在
内在
Sq
Sqq
0
0?
思考,1）是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？
高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的
带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存在 q在 S外、
在 S内，或一部分在 S外，一部分在 S内的情况，而没有 q
恰好在 S上的情况。
2）上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得
到穿过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以
高斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。
练习,空间有点电荷系, 求穿过空
间任意封闭曲面 S 的电通量
nqqq,..,21
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S 内,S 外，所有电荷的贡献。
穿过 S 的电通量,
?
?? ??
?????
?????????
内
q
SESESESE
enee
n
s
e
0
21
21
1
dddd
?
???
?
?
??
?
??????
只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献。
练习 3,请总结穿过静电场中任意封闭曲面的
电通量与空间电荷分布的关系。
1q
2q
nq
S
1.式中各项的含义
高斯面,封闭曲面,S
真空电容率,0?
内的 净 电荷
Sq,内?
通过 S的电通量,只有 S内电荷有贡献
,es?
上各点的总场,内外所有电荷均有贡献, S:E? S
三,高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量
等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍,01 ?
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??
2,揭示了静电场中“场”和“源”的关系
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”,
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。
4,利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场
成立条件,静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 中的 能够
以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d
?? E
?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
[例一 ] 求均匀带电球体（ q,R ） 的电场分布
对
称
性
分
析
以 O 为中心,r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
大小相等
方向沿径向 E?
E?
以 O 为中心的球面 S 上各点
R o
q
r
P
E
E
?
?
d
d
'
'dd EE ?? ?
q
q
?d
d
S
以半径 r 的同心球
面 为高斯面 S
由高斯定理,
?? ???? 内qrESE
s
0
2 14d
?
?
??
)4()( 20 rqE ???? 内
R o
q
r
P
E
E
?
?
d
d
'
'dd EE ?? ?
q
q
?d
dS
确定高斯面
? ? ????s s rESESE 24d0c o sd ??
??通过 S的电通量,
2
04
,
r
q
EqqRr
??
??? ? 外内
3
0
3
3
3
4 4
3
4
,
R
qr
Er
R
q
qRr
??
?
?
???? ? 内内
R o
q
r
P
E
E
?
?
d
d
'
'dd EE ?? ?
q
q
?d
dS
即,
)(
4
)(
4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
??
??
?
?
?
球体外区域 ~ 电量集
中于球心的点电荷
球体内区域 rE ?
2
04 R
q
??
o
r?
2
1
r
?
r
E
R
练习,
1,求均匀带电 球面 （ ）的电场分布，并画出
曲线,
qR,
rE ~
)(
4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E
?
?
?
??
?? 0
rRo
E
21 r?
2,如何理解带电球面 处 值突变？ ERr ?
高斯面,半径 r 的同心球面
带电面上场强 突变是采用面模型的结果，实际
问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放
弃面模型而还其体密度分布的本来面目,
E
)(
43
)(
)( )(
3
)( 0
22
0
2
0
3
1
3
2
212
3
1
0
1
Rr
r
q
r
RR
RrR
r
R
r
Rr
E
??
?
???
?
?
???
?
?
?
计算带电球层（ ）
的电场分布
?,,21 RR
1R
2R o
?
21
RRo
cba
区区区
2
1
R
R
EEE
厚度
较大
厚度
较小
厚度
为零
球面
21 RRo 21 RRo ?
r
a
c
b
[例二 ] 无限长均匀带电直线（ ）的电场 ?
? 对称性分析,
点处合场强
垂直于带电直线,
P E?
'd
d
q
o
q r P
E
EE
E
?
??
?
d
dd
d
'
'
? 与 地位等价的点的集
合为以带电直线为轴的
圆柱面,
P
L
S
高斯面,
取长 L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
?
'd
d
q
o
q r P
E
EE
E
?
??
?
d
dd
d
'
'
?
L
S
00
1
2d
?
?
?
?
L
q
rLESE
??
???
?
?
内
??由高斯定理,
r
E
02
??
?
?? ro
E
rE
1?
?? ?? ???????
侧上 下
SESESESE
S
????????
dddd
rLE
SESESE
?
??
2
d0c o sd
2
c o sd
2
c o s
??
??? ?? ?
侧上 下
?
讨论,1,无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析,视
为无限长均匀带
电直线的集合；
P
R
?
r
o
o
r
P
E?d
'dE?
'dd EE ?? ?
rRo
E
r
E
Rr
E
Rr
0
2
:
0
:
??
?
?
?
?
?
选高斯面； 同轴
圆柱面
由高斯定理计算
2.求无限长,均匀带电柱体的电场分布时，高斯面
如何选取？
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时,
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
讨论,
高
斯
面
l
r
高
斯
面
l
r
不能,
不是。
[例三 ] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ） ?
对称性分析,视为无限长均匀带电直线的集合
方向 垂直于带电平面,
离带电平面距离相等的场点
彼此等价
E?
如何构成封闭的高斯面？
o
?
x
E?dE?
?d
PP?
SE
SESESE
???
??????
2
d
2
c o sd0c o sd0c o s
侧右左
???
?? ? ? ?????
侧左 右
SESESE
s
??????
ddd??? SE
S
??
d
00
1
2d
?
?
?
S
qSESE
?
??????? ?
内
??
由高斯定理,
高斯面,
两底面与带电平面平行、离带电平
面距离相等，轴线与带电平面垂直
的柱面。
x
o
n?
n?
S?
S?
02?
?
02?
??
x
o
E
02 ?
?
?E
其指向由 的符
号决定
?
讨论,1,本题是否还有其它构成高斯面的方法？
底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的柱
面均可（不一定为圆柱面）。
2,带电平面上电场强度突变的原因？
采用面模型，未计带电平面的厚度。
y
o
E
2
h
2
h?
教材 226页 例 6：计算厚 h 的均匀带
电无限大平行气体层的电场分布。
[例四 ] 半导体 P N 结内外的电场,
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但
随 x 变化规律未破坏面对称性。
?
在 处,P 区与 N 区电荷的
电场相互抵消,
Lx ?
0?E?
xLoL ?
?? PN
已知,P N 结内电荷体密度分布
求,电场分布,
)(
),( 0
)(
LxLax
LxLx
x
????
???
??
xLxoL ?
SE ? ?
?? PN,Lx ? 选如图高斯面
? ? ?? ??????????? 左 右 侧 SESESESESE ???????? dddd
0c o s0 ?? ?E?
穿入
)(
2
1
dd
22
xLSa
xSaxVq
L
x
????
????? ? ?? ?
内
x)xL(
a
E ????
2
22
0?
方向沿
?? ?? 内qSE
s 0
1d
?
??由高斯定理,
总结,由高斯定理求电场分布的步骤
1,由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。
2,在对称性分析的基础上选取高斯面, 目的是使
能够以乘积形式给出。
（球对称、轴对称、面对称三种类型）
? ?s SE ?? d
3,由高斯定理 求出电场的大小,
并说明其方向。
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??
学
们
好
§ 9.3 高斯定理
一,电场线
, 空间矢量函数
定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数
定性描述电场整体分布：电场线方法
E?
? ?rE?
引入场线（力线）求空间矢量的 通量 和 环流 是描述
空间矢量场的一般方法。
其上每点切向, 该点 方向 E?电
场
线 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比,
E?
有限长均匀带电
直线的电场线
q?
实例,
电偶极子的电场线
?+
-
法拉第,在空间寻找力的载体，提出场的概念,
并设想空间贯穿着力线，来描述场。
麦克斯韦,总结出法拉第力线描述的数学形式,
建立严密的电磁场方程,
二, 电通量
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面的电通量。
面积元矢量,ndd ?? SS ?
面积元范围内 视为均匀 E?
微元分析法：以平代曲；
以不变代变。
1) 通过面元的电通量,
SESESEe ?? d)c o sd(dd ???? ? ??
?
S?d
Sd
E?
S
?? ??? ss ee SE
??
dd ??2) 通过曲面 的电通量 S
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S?d
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S
1) 通过面元的电通量,
SESESEe ?? d)c o sd(dd ???? ? ??
0d
2
0d
2
0d
2
??
??
??
e
e
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3) 通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE
??
d?
通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE ?? d?
规定,封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
?
?
练习 1,空间有点电荷 q, 求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
E?
n? n?
n?
S
1) 曲面为以电荷为中心的球面
0?q
S
E?
r
0:0 ?? eq ?
0:0 ?? eq ?
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?
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0
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3
0
d
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d
d
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q
S
r
q
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Srq
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与 r
无关
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到,
由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线
不中断、不增加。
?
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2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
S?
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S
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0?
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q
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0:0 ?? eq ?
0:0 ?? eq ?
S??
q
E?
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
0???se?
结论,
? ??? se SE
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d?
? ?
? ?外在
内在
Sq
Sqq
0
0?
思考,1）是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？
高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的
带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存在 q在 S外、
在 S内，或一部分在 S外，一部分在 S内的情况，而没有 q
恰好在 S上的情况。
2）上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得
到穿过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以
高斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。
练习,空间有点电荷系, 求穿过空
间任意封闭曲面 S 的电通量
nqqq,..,21
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S 内,S 外，所有电荷的贡献。
穿过 S 的电通量,
?
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21
1
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???
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只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献。
练习 3,请总结穿过静电场中任意封闭曲面的
电通量与空间电荷分布的关系。
1q
2q
nq
S
1.式中各项的含义
高斯面,封闭曲面,S
真空电容率,0?
内的 净 电荷
Sq,内?
通过 S的电通量,只有 S内电荷有贡献
,es?
上各点的总场,内外所有电荷均有贡献, S:E? S
三,高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量
等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍,01 ?
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
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2,揭示了静电场中“场”和“源”的关系
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”,
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。
4,利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场
成立条件,静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 中的 能够
以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d
?? E
?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
[例一 ] 求均匀带电球体（ q,R ） 的电场分布
对
称
性
分
析
以 O 为中心,r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
大小相等
方向沿径向 E?
E?
以 O 为中心的球面 S 上各点
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以半径 r 的同心球
面 为高斯面 S
由高斯定理,
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确定高斯面
? ? ????s s rESESE 24d0c o sd ??
??通过 S的电通量,
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中于球心的点电荷
球体内区域 rE ?
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练习,
1,求均匀带电 球面 （ ）的电场分布，并画出
曲线,
qR,
rE ~
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21 r?
2,如何理解带电球面 处 值突变？ ERr ?
高斯面,半径 r 的同心球面
带电面上场强 突变是采用面模型的结果，实际
问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放
弃面模型而还其体密度分布的本来面目,
E
)(
43
)(
)( )(
3
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22
0
2
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的电场分布
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区区区
2
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厚度
较大
厚度
较小
厚度
为零
球面
21 RRo 21 RRo ?
r
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c
b
[例二 ] 无限长均匀带电直线（ ）的电场 ?
? 对称性分析,
点处合场强
垂直于带电直线,
P E?
'd
d
q
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q r P
E
EE
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'
? 与 地位等价的点的集
合为以带电直线为轴的
圆柱面,
P
L
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高斯面,
取长 L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
?
'd
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侧上 下
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讨论,1,无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析,视
为无限长均匀带
电直线的集合；
P
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?
选高斯面； 同轴
圆柱面
由高斯定理计算
2.求无限长,均匀带电柱体的电场分布时，高斯面
如何选取？
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时,
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
讨论,
高
斯
面
l
r
高
斯
面
l
r
不能,
不是。
[例三 ] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ） ?
对称性分析,视为无限长均匀带电直线的集合
方向 垂直于带电平面,
离带电平面距离相等的场点
彼此等价
E?
如何构成封闭的高斯面？
o
?
x
E?dE?
?d
PP?
SE
SESESE
???
??????
2
d
2
c o sd0c o sd0c o s
侧右左
???
?? ? ? ?????
侧左 右
SESESE
s
??????
ddd??? SE
S
??
d
00
1
2d
?
?
?
S
qSESE
?
??????? ?
内
??
由高斯定理,
高斯面,
两底面与带电平面平行、离带电平
面距离相等，轴线与带电平面垂直
的柱面。
x
o
n?
n?
S?
S?
02?
?
02?
??
x
o
E
02 ?
?
?E
其指向由 的符
号决定
?
讨论,1,本题是否还有其它构成高斯面的方法？
底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的柱
面均可（不一定为圆柱面）。
2,带电平面上电场强度突变的原因？
采用面模型，未计带电平面的厚度。
y
o
E
2
h
2
h?
教材 226页 例 6：计算厚 h 的均匀带
电无限大平行气体层的电场分布。
[例四 ] 半导体 P N 结内外的电场,
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但
随 x 变化规律未破坏面对称性。
?
在 处,P 区与 N 区电荷的
电场相互抵消,
Lx ?
0?E?
xLoL ?
?? PN
已知,P N 结内电荷体密度分布
求,电场分布,
)(
),( 0
)(
LxLax
LxLx
x
????
???
??
xLxoL ?
SE ? ?
?? PN,Lx ? 选如图高斯面
? ? ?? ??????????? 左 右 侧 SESESESESE ???????? dddd
0c o s0 ?? ?E?
穿入
)(
2
1
dd
22
xLSa
xSaxVq
L
x
????
????? ? ?? ?
内
x)xL(
a
E ????
2
22
0?
方向沿
?? ?? 内qSE
s 0
1d
?
??由高斯定理,
总结,由高斯定理求电场分布的步骤
1,由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。
2,在对称性分析的基础上选取高斯面, 目的是使
能够以乘积形式给出。
（球对称、轴对称、面对称三种类型）
? ?s SE ?? d
3,由高斯定理 求出电场的大小,
并说明其方向。
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??
