一,两 条定律 静电场
1,库仑定律
2.电场力叠加原理
nFFFF
????? ????
21
i
i i
i r
r
qq ?
?? 3
0
0
4 ??
静
电
场
习
题
课
02
0
21
3
21
0
44
1
r
r
qq
r
rqq
F
?
?
?
????
??
电荷 电场 电荷
3,静电场,
相对于观察者 静止 的带电体周围的电场
(1)场中任何带电体都受电场力作用
—— 动量传递
(2) 带电体在电场中 移动 时，场对带电体做功
—— 能量传递
用, 来分别描述静电场的上述两项性质 E? U
对外表现
二,电 场强度
场源电荷,产生电场的点电荷、点电荷 系,
检验电荷,电量足够小的点电荷
略去对 场源电荷
分布的影响
与场点对应
电体。
0
q
F
E
?
?
?
大小,等于单位检验电荷
方向,与 正 点电荷受力方向相同
该点所受电场力 在
或带
1?? CN
单位,
1; ?? mV
静电场的 场强叠加原理,
??
i
i
EE
??
空间 矢量 函数
研究静电场也就是研究各种场源电荷的 分布
? ?rE?
:E
?
由定义求,
由高斯定理求,
计算 方法, E?
由点电荷 公式和 叠加原理求,E?E?
由 与 的关系求, E? U
三,高斯定理 1.电场线
E?
定量 研究电场：对给定场源电荷求出其分 布函数
定性 描述电场整体分布：电场线方法
其上每点 切向, 该点 方向 E?电
场
线
即其疏密与场强的大小成正比。
通过 垂直 的单位面积的条数等于场强的大小，
2,电场强度通量
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面的电通量。
面积元矢量,
ndd ?
?
SS ?
通过面元的电通量,
SESESEe
??
d)c o sd(dd ???? ? ??
面积元范围内 视为均匀 E?
微元分析法,以平代曲；
以不变代变。
?
S?d
Sd
E?
S
通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE
??
d?
规定,封闭曲面 外 法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
?
?
练习,
E?
S
n?
n? n
?
?n
?
n
?
n
? E
?
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??
高斯面,封闭 曲面,S
真空电容率,0?
内的 净 电荷
Sq,内?
通过 S的电通量,只有 S内 电荷有贡献
,es?
上 各点 的总场,内外 所有电荷均有贡献, S:E? S
真
空
中
的
高
斯
定
理
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d
?? E
?
E?
高斯定理可方便求解具有某些 对称 分布的静电场
常见类型,场源电荷分布
球 对称性
轴 对称性
面 对称性
找到恰当的高斯面，使 中的 能够
牢记以下 5种
特殊对称带电体的电场分布,
1.均匀带电 球体 （ q,R ）的电场分布
2
04 R
q
??
o
r?
2
1
r
?
r
E
R
)(
4
)(
4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
??
??
?
?
?
球体外区域 ~ 电量
集中于球心的点电荷
球体内区域 rE ?
球对称性
2,求均匀带电 球面 （ ）的电场分布 qR,
)(
4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E
?
?
?
??
?? 0
rRo
E 2 1 r ?
球对称性
r
E
0
2
??
?
??
3.无限长均匀带电 直线 （ ）的电场 ?
r
E
1
?
r o
E
r R o
E
4.无限长均匀带电 柱面 的电场分布
r
ERr
ERr
0
2
:
0:
??
?
??
??
轴对称性
02?
?
02?
??
x
o
E
5.无限大均匀带电 平面 的电场（ ） ?
0
2 ?
?
?E
其指向由
的符号决定
?
面对称性
实际上并不存在数学意义上的, 无限长,
直线,”无限大, 平面,这些都是 抽象的物理模
型,只有当 场点很接近 带电直线 (或平面 )时,才
能把直线或平面当成是, 无限, 来处理,
1,真空中一, 无限大, 均匀带 负 电荷
图线应是 (设场强方向 向右为正 )
E
x
02?
?
(A)
O
02 ?
??
E
x
(B)
O
02 ?
??
E
x
02?
?
(C)
O
02 ?
??
O
E
x
02?
?
(D)
的平面如图所示,其电场的场强分
布
??
x
O
(D)
2,两个同心均匀带电球面，半径分别为
aR
和
bR
(
ba RR ?
),所带电量分别为
aQ
和
bQ
，设某点
ba RrR ??
时,该点的电场 与球心相距 r,当
强度的大小为,
(A)
2
ba
04
1
r
QQ ?
?
??
(B)
2
ba
0
4
1
r
QQ ?
?
??
)(
4
1
2
b
b
2
a
0 R
Q
r
Q
??
??
2
a
0
4
1
r
Q
?
??
(D)
(C) (D)
解：作半径为 r的 同心球面为高斯面,由高斯定理
0
2
4d
?
? a
S
Q
ErSE ????
??
得该点场强大小为,
2
0
4 r
Q
E
a
??
?
aR
bR
0
P
r
1?
3,如图所示，两个“无限长”的、半径分别为 R1和 R2的
和
2?
,则在内圆柱面里面、距离轴线为 r
共轴 圆柱面 均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量
分别为
处的 P点的电场强度大小
10
1
4 R??
?
1?
2?
2R
r
P
O
1R
r0
21
2 ??
?? ?
20
2
10
1
22 RR ??
?
??
?
?
(A)
(B)
(C) 0 (D)
(D)
解：过 P点作如图 同轴圆柱形高斯面 S，由高斯定理
02d ???? r l ESE
S
?
??
所以 E＝ 0。
1?
2?
2R
r
P
O
1R
l
4,有两个点电荷电量都是 +q,相距为 2a。今以左
点电荷所在处为球心，以 a为半径作一球形高斯面,
边的
在球面上取两块相等的小面积
1S
和
2S
,其位置如图
所示。设通过
1S
的电场强度通量分别为 和
2S
1Φ
和
2Φ
，通过整个球面的电场强度通量为
SΦ
，则
XO
1S2S
a2
a
q q
021 /,?qΦΦΦ S ??
(A)
021 /2,?qΦΦΦ S ??
(B)
021 /,?qΦΦΦ S ??
(C)
021 /,?qΦΦΦ S ??
(D)
(C)
解：由高斯定理
0/ ?qΦ S ?
在
1S
处,
0,0 11 ?? ΦE
XO
1S2S
a2
a
q q
0,0 222 ???? SEΦE
??
在
2S
处,
所以
21 ΦΦ ?
。
5,图示为一具有 球对称性 分布的静电场的 E ~ r关系曲线,
请指出该静电场 E是由下列哪种带电体产生的。
(A) 半径为 R的均匀带电球 面 ；
(B) 半径为 R的均匀带电球 体 ；
(C) 半径为 R、电荷体密度为
Ar??
(A为常数 )的 非均匀 带电球 体 ；
(D) 半径为 R、电荷体密度为
rA /??
(A为常数 )的 非均匀 带电球 体 。
2
1
r
E ?
O R r
E
(B)
rE ?
1,两块, 无限大, 的带电平行电板，其电荷面密度分别为
?
(
0?? )及 ?2?, 如图所示，试写出各区域的
电场强度 E?
I II III
?2??
02?
?
02
2
?
?
02
2
?
?
02?
?
Π区 E? 的大小
方向 向右
E? 的大小
02/ ??
方向 向左
?区 E? 的大小
02/ ??
方向 向右
区 Ш
02/3 ??
)4/( 20 rq ?? 0
2,有一个球形的橡皮膜气球，电荷 q均匀地分布在 球面 上,
在此气球被 吹大 的过程中,被气球表面 掠过的点 (该点与
球中心距离为 r),其电场强度的大小将由
变为
解,由高斯定理可知，均匀带电球面内部场强为零,
外部任意一点场强
)4/( 20 rq ??
。在气球被
吹大的过程中,被气球掠过的点都 从球外变为
球内, 因此其场强大小由 )4/( 2
0 rq ??
变为零。
?
y
x
R
o
? EEq
?? ?? dd
思路：叠加法
练习 1 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1,均匀带电，线密度为
2,上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3,非均匀带电，线密度为
?
??? s in0?
?
?d
E?d
qd
解,1)
沿径向;
4
d
d
dd
2
0
R
q
E
Rq
??
??
?
?
RR
EEE
xx
00 0
24
ds i n
s i ndd
??
?
??
???
?
?
??
???
?
??
R
i
E
o
0
2 ??
?
?
?
??
用分量叠加,
?
y
x
R
o
?
?d
E?d
qd
0d ??? yy EE
E??d
q?d
由对称性,
?
y
x
R
?
?d
E?d
qd
o
??
解,2)
沿径向;
4
d
d
dd
2
0
R
q
E
Rq
??
??
?
?
对称性分析与 1) 有何不同？ E??d
q?d
0d ??? xx EE
RR
os
osEEE
yy
0
2/
0 0
2
0
24
dc
2
cd2d
??
?
??
???
?
?
?
??
???
?
??
R
j
E
o
0
2 ??
?
?
? ?
??
?
y
x
R
?
?d
E?d
qd
o
解,3)
沿径向;
4
d
d
dd
s i n
2
0
0
R
q
E
Rq
??
??
???
?
?
?
有无对称性？
E??d
q?d
)-s in (s in ??? ?
0d ???? yy EE
R
i
R
iEiE
x
0
0
0
2
0
84
ds i n
d
?
?
??
????
?
???
?????
例题, 在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电球体内挖去
一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电球体中心 o1
相距为 a [(R2+ a )< R1],
求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？ 补偿法 ！
所求场强 而, 均可由高斯定理求出。
21 EEE P
??? ?? 1E
?
2E
?
1o
1R
? 2oa?
2R
P
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E
?
1r?
1E
?
2E
?
2r?
(2) 作高斯面 求, 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
? rE ?? ?
3
1
0
2
11 3
414 rrE ??
?
? ???
3
2
0
2
22 3
414 rrE ??
?
? ???
0
2
2 3?
? rE ?? ?
0
21
0
21 3
)(
3 ?
?
?
? a
rrEEE
P
?
?????
?????
1o
1R
? 2oa?
2R
E?
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1o
1R
? 2oa?
2R
P1r? 1
E?
2E
?
2r?
1s
2s
则挖去 ΔS后球心处电场
强度的大小 E＝
O
S?
R
其方向为
)16/( 402 RSQ ???
由圆心 O点指向
S?
练, 真空中一半径为 R的均匀带电 球面,总电量为
今在球面上 挖去 非常小块的面积
ΔS (连同电荷 ),
不影响 原来的电荷分布,
且假设
Q(Q > 0)。
4
0
22
0
164 R
SQ
R
S
E
????
? ?
?
?
?
方向由球心指向 ΔS。
O
S?
R
(电荷面密度
解,由场强 叠加原理,挖去
均匀带电球面和 带负电 的
S? 后的电场可以看作
面相同 )
S?
叠加而成。
的 场强为零,
产生的场强大小为
S?
由 与球
在 球心 处，均匀带电球面产生
(视为点电荷 )
三．环路定理 电势
一, 静电力的功
)
11
(
4
4
d
4
d
dd
0
0
2
0
0
3
0
0
ba
rr
qq
A
r
rqq
r
lrqq
lFA
??
?
?
???
??
????
?
?
??
静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有
关，与所通过的路径无关。 静电力是保守力
0dd
0
??? ???? lEqlFA
L L
????
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零，反映
凡保守力都有与其相关的势能,
二, 环路定理
了
静电场是保守场 。
静电场是有势场 。
三, 电势能 W
在场中某点的电势能等于将 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
0q0q
由
? ???????
??????
b
a
baab
P
WWWWlEqA
WEA
)(d
0
??
静电力
保
令
? ??
?
零势点
a
a
b
lEqW
W
??
d
0
0
得,
势能增量的负值
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有, 0q
:/ 0qW a
取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以 描述静电场
自身的特性。
0q
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
四, 电势
? ???
零势点
a
a
a lE
q
W
U
??
d
0
静电场中某点电势等于 单位正电荷 在该点具有的电
势能，或将单位正电荷由该点移至 零势点 过程中静
电力所做的功。
? ??
零势点
a
a lEU
??
d电势,
电势差,
? ????
b
a
baab
lEUUU
??
d
静电场中, 两点的电势差等于将 单位正 电荷
由 沿任意路径移至 过程中静电力做的功。
a
b
b
a
1,U 为空间 标量 函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 与零势点选取无关。 abU
注意,
3,遵从叠加原理, （零势点相同）
?? iUU
4.由保守力与其相关势能的关系,
UU
q
W
q
F
E
WEqF
g r a d
)(
00
0
?????
????
????
?
?
??
静电场中某点的场强等于
UE ???
?
电势梯度的 负 值 。 该点
沿着电场强度的方向,电势由高到低
即,是 沿电场线方向的空间变化率,UE?
U
指 向 降低的方向。 E?
▲, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法 （由定义求）
〈 1〉 确定 分布 E?
〈 3〉 由电势定义
一般,场源电荷有限分布,选 0??U
场源电荷无限分布,不选 0??U
2〉 选零势点和便于计算的积 〈
分路径
2,叠加法
〈 1〉 将带电体划分为电荷元
qd
〈 3〉 由叠加原理,
? ??? UUUU d d 或
〈 2〉 选零势点，写出 在场点的电势 Ud
qd
2
1
22
0
)(4 xR
q
U
?
?
??
典型带电体的电势分布
r
q
U
0
4 ??
?
恒量
内
??
R
q
U
0
4 ??
rr
q
U
1
4
0
??
??
外
3,均匀带电圆环轴线上的电势分布,
1,点电荷 场中的电势分布,q
2,均匀带电球面场中电势分布,
2,图示为一边长均为 a的等边三角形，其三个
顶点分别放置着电量为 q,2q,3q的三个正点
电荷,若将一电量为 Q的 正 点电荷 从无穷远处移
至三角形的中心 O处，则外力需作功 A＝
q q2
q3
O
a a
a
)2/()33( 0 aqQ ??
解,以无限远处为零电势点，则由电势叠加原理，
中心 O处电势为,
a
Q
a
qqq
U
o
0
0
2
33
3
4
32
??
??
?
??
?
将 Q从无穷远处移到 O点，电场力的功为
000 )( QUUUQA ???? ??
??? ? 00 QUAA ＝外
a
qQ
0
2
33
??
q q2
q3
O
a a
a
3,真空中一半径为 R的球面均匀带电 Q，
在球心 O处有一带电量为 q的点电荷，如
图所示。设无穷远处为电势零点，则在
球内离球心 O距离为 r的 P点处电势为,
P
R
O
q
r
Q
)(
4
1
0
R
Q
r
q
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
4
)(
4
2
0
2
0
Rr
r
Qq
Rr
r
q
E
??
??
根据电势的定义,P点的电势为,
)(
4
1
d
4
d
4
d
0
2
0
2
0 R
Q
r
q
r
r
Qq
r
r
q
lEU
p
R
r R
p ??
?
???? ? ? ?
? ?
??????
??
解：由高斯定理可得电场分布为
P
R
O
q
r
Q
AC为一根长为 2 l 的带电细棒，左半部均匀带有
?? 和 ??,如图所示。 O点在棒的延长线上,
l, P点在棒的垂直平分线上，到棒
l 。以棒的中点
负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分
为
别
距 A端的距离为
的垂直距离为
B为电势的零点。
l ll
O
P
l
A B C
? ? ? ?? ? ? ?
4
3
ln
4 0??
?
P点电势 ＝
则 O点电势
PU
?0U
0
0??U
l ll
O
P
l
A B C
x
? ? ? ?? ? ? ?
xd
x?d
r
r
解,UB＝ 0与 等效。由电势叠加原理有
4
3
ln
4
'4
'd
4
d
0
3
2
0
2
0
0
??
?
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??
?
?
?
?
?
??
l
l
l
l
x
x
x
x
U
由对称性可知
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1,库仑定律
2.电场力叠加原理
nFFFF
????? ????
21
i
i i
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0
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静
电
场
习
题
课
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1
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电荷 电场 电荷
3,静电场,
相对于观察者 静止 的带电体周围的电场
(1)场中任何带电体都受电场力作用
—— 动量传递
(2) 带电体在电场中 移动 时，场对带电体做功
—— 能量传递
用, 来分别描述静电场的上述两项性质 E? U
对外表现
二,电 场强度
场源电荷,产生电场的点电荷、点电荷 系,
检验电荷,电量足够小的点电荷
略去对 场源电荷
分布的影响
与场点对应
电体。
0
q
F
E
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大小,等于单位检验电荷
方向,与 正 点电荷受力方向相同
该点所受电场力 在
或带
1?? CN
单位,
1; ?? mV
静电场的 场强叠加原理,
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i
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空间 矢量 函数
研究静电场也就是研究各种场源电荷的 分布
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由定义求,
由高斯定理求,
计算 方法, E?
由点电荷 公式和 叠加原理求,E?E?
由 与 的关系求, E? U
三,高斯定理 1.电场线
E?
定量 研究电场：对给定场源电荷求出其分 布函数
定性 描述电场整体分布：电场线方法
其上每点 切向, 该点 方向 E?电
场
线
即其疏密与场强的大小成正比。
通过 垂直 的单位面积的条数等于场强的大小，
2,电场强度通量
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面的电通量。
面积元矢量,
ndd ?
?
SS ?
通过面元的电通量,
SESESEe
??
d)c o sd(dd ???? ? ??
面积元范围内 视为均匀 E?
微元分析法,以平代曲；
以不变代变。
?
S?d
Sd
E?
S
通过封闭曲面的电通量
? ?? se SE
??
d?
规定,封闭曲面 外 法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
?
?
练习,
E?
S
n?
n? n
?
?n
?
n
?
n
? E
?
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??
高斯面,封闭 曲面,S
真空电容率,0?
内的 净 电荷
Sq,内?
通过 S的电通量,只有 S内 电荷有贡献
,es?
上 各点 的总场,内外 所有电荷均有贡献, S:E? S
真
空
中
的
高
斯
定
理
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d
?? E
?
E?
高斯定理可方便求解具有某些 对称 分布的静电场
常见类型,场源电荷分布
球 对称性
轴 对称性
面 对称性
找到恰当的高斯面，使 中的 能够
牢记以下 5种
特殊对称带电体的电场分布,
1.均匀带电 球体 （ q,R ）的电场分布
2
04 R
q
??
o
r?
2
1
r
?
r
E
R
)(
4
)(
4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
??
??
?
?
?
球体外区域 ~ 电量
集中于球心的点电荷
球体内区域 rE ?
球对称性
2,求均匀带电 球面 （ ）的电场分布 qR,
)(
4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E
?
?
?
??
?? 0
rRo
E 2 1 r ?
球对称性
r
E
0
2
??
?
??
3.无限长均匀带电 直线 （ ）的电场 ?
r
E
1
?
r o
E
r R o
E
4.无限长均匀带电 柱面 的电场分布
r
ERr
ERr
0
2
:
0:
??
?
??
??
轴对称性
02?
?
02?
??
x
o
E
5.无限大均匀带电 平面 的电场（ ） ?
0
2 ?
?
?E
其指向由
的符号决定
?
面对称性
实际上并不存在数学意义上的, 无限长,
直线,”无限大, 平面,这些都是 抽象的物理模
型,只有当 场点很接近 带电直线 (或平面 )时,才
能把直线或平面当成是, 无限, 来处理,
1,真空中一, 无限大, 均匀带 负 电荷
图线应是 (设场强方向 向右为正 )
E
x
02?
?
(A)
O
02 ?
??
E
x
(B)
O
02 ?
??
E
x
02?
?
(C)
O
02 ?
??
O
E
x
02?
?
(D)
的平面如图所示,其电场的场强分
布
??
x
O
(D)
2,两个同心均匀带电球面，半径分别为
aR
和
bR
(
ba RR ?
),所带电量分别为
aQ
和
bQ
，设某点
ba RrR ??
时,该点的电场 与球心相距 r,当
强度的大小为,
(A)
2
ba
04
1
r
QQ ?
?
??
(B)
2
ba
0
4
1
r
QQ ?
?
??
)(
4
1
2
b
b
2
a
0 R
Q
r
Q
??
??
2
a
0
4
1
r
Q
?
??
(D)
(C) (D)
解：作半径为 r的 同心球面为高斯面,由高斯定理
0
2
4d
?
? a
S
Q
ErSE ????
??
得该点场强大小为,
2
0
4 r
Q
E
a
??
?
aR
bR
0
P
r
1?
3,如图所示，两个“无限长”的、半径分别为 R1和 R2的
和
2?
,则在内圆柱面里面、距离轴线为 r
共轴 圆柱面 均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量
分别为
处的 P点的电场强度大小
10
1
4 R??
?
1?
2?
2R
r
P
O
1R
r0
21
2 ??
?? ?
20
2
10
1
22 RR ??
?
??
?
?
(A)
(B)
(C) 0 (D)
(D)
解：过 P点作如图 同轴圆柱形高斯面 S，由高斯定理
02d ???? r l ESE
S
?
??
所以 E＝ 0。
1?
2?
2R
r
P
O
1R
l
4,有两个点电荷电量都是 +q,相距为 2a。今以左
点电荷所在处为球心，以 a为半径作一球形高斯面,
边的
在球面上取两块相等的小面积
1S
和
2S
,其位置如图
所示。设通过
1S
的电场强度通量分别为 和
2S
1Φ
和
2Φ
，通过整个球面的电场强度通量为
SΦ
，则
XO
1S2S
a2
a
q q
021 /,?qΦΦΦ S ??
(A)
021 /2,?qΦΦΦ S ??
(B)
021 /,?qΦΦΦ S ??
(C)
021 /,?qΦΦΦ S ??
(D)
(C)
解：由高斯定理
0/ ?qΦ S ?
在
1S
处,
0,0 11 ?? ΦE
XO
1S2S
a2
a
q q
0,0 222 ???? SEΦE
??
在
2S
处,
所以
21 ΦΦ ?
。
5,图示为一具有 球对称性 分布的静电场的 E ~ r关系曲线,
请指出该静电场 E是由下列哪种带电体产生的。
(A) 半径为 R的均匀带电球 面 ；
(B) 半径为 R的均匀带电球 体 ；
(C) 半径为 R、电荷体密度为
Ar??
(A为常数 )的 非均匀 带电球 体 ；
(D) 半径为 R、电荷体密度为
rA /??
(A为常数 )的 非均匀 带电球 体 。
2
1
r
E ?
O R r
E
(B)
rE ?
1,两块, 无限大, 的带电平行电板，其电荷面密度分别为
?
(
0?? )及 ?2?, 如图所示，试写出各区域的
电场强度 E?
I II III
?2??
02?
?
02
2
?
?
02
2
?
?
02?
?
Π区 E? 的大小
方向 向右
E? 的大小
02/ ??
方向 向左
?区 E? 的大小
02/ ??
方向 向右
区 Ш
02/3 ??
)4/( 20 rq ?? 0
2,有一个球形的橡皮膜气球，电荷 q均匀地分布在 球面 上,
在此气球被 吹大 的过程中,被气球表面 掠过的点 (该点与
球中心距离为 r),其电场强度的大小将由
变为
解,由高斯定理可知，均匀带电球面内部场强为零,
外部任意一点场强
)4/( 20 rq ??
。在气球被
吹大的过程中,被气球掠过的点都 从球外变为
球内, 因此其场强大小由 )4/( 2
0 rq ??
变为零。
?
y
x
R
o
? EEq
?? ?? dd
思路：叠加法
练习 1 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1,均匀带电，线密度为
2,上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3,非均匀带电，线密度为
?
??? s in0?
?
?d
E?d
qd
解,1)
沿径向;
4
d
d
dd
2
0
R
q
E
Rq
??
??
?
?
RR
EEE
xx
00 0
24
ds i n
s i ndd
??
?
??
???
?
?
??
???
?
??
R
i
E
o
0
2 ??
?
?
?
??
用分量叠加,
?
y
x
R
o
?
?d
E?d
qd
0d ??? yy EE
E??d
q?d
由对称性,
?
y
x
R
?
?d
E?d
qd
o
??
解,2)
沿径向;
4
d
d
dd
2
0
R
q
E
Rq
??
??
?
?
对称性分析与 1) 有何不同？ E??d
q?d
0d ??? xx EE
RR
os
osEEE
yy
0
2/
0 0
2
0
24
dc
2
cd2d
??
?
??
???
?
?
?
??
???
?
??
R
j
E
o
0
2 ??
?
?
? ?
??
?
y
x
R
?
?d
E?d
qd
o
解,3)
沿径向;
4
d
d
dd
s i n
2
0
0
R
q
E
Rq
??
??
???
?
?
?
有无对称性？
E??d
q?d
)-s in (s in ??? ?
0d ???? yy EE
R
i
R
iEiE
x
0
0
0
2
0
84
ds i n
d
?
?
??
????
?
???
?????
例题, 在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电球体内挖去
一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电球体中心 o1
相距为 a [(R2+ a )< R1],
求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？ 补偿法 ！
所求场强 而, 均可由高斯定理求出。
21 EEE P
??? ?? 1E
?
2E
?
1o
1R
? 2oa?
2R
P
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E
?
1r?
1E
?
2E
?
2r?
(2) 作高斯面 求, 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
? rE ?? ?
3
1
0
2
11 3
414 rrE ??
?
? ???
3
2
0
2
22 3
414 rrE ??
?
? ???
0
2
2 3?
? rE ?? ?
0
21
0
21 3
)(
3 ?
?
?
? a
rrEEE
P
?
?????
?????
1o
1R
? 2oa?
2R
E?
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1o
1R
? 2oa?
2R
P1r? 1
E?
2E
?
2r?
1s
2s
则挖去 ΔS后球心处电场
强度的大小 E＝
O
S?
R
其方向为
)16/( 402 RSQ ???
由圆心 O点指向
S?
练, 真空中一半径为 R的均匀带电 球面,总电量为
今在球面上 挖去 非常小块的面积
ΔS (连同电荷 ),
不影响 原来的电荷分布,
且假设
Q(Q > 0)。
4
0
22
0
164 R
SQ
R
S
E
????
? ?
?
?
?
方向由球心指向 ΔS。
O
S?
R
(电荷面密度
解,由场强 叠加原理,挖去
均匀带电球面和 带负电 的
S? 后的电场可以看作
面相同 )
S?
叠加而成。
的 场强为零,
产生的场强大小为
S?
由 与球
在 球心 处，均匀带电球面产生
(视为点电荷 )
三．环路定理 电势
一, 静电力的功
)
11
(
4
4
d
4
d
dd
0
0
2
0
0
3
0
0
ba
rr
A
r
rqq
r
lrqq
lFA
??
?
?
???
??
????
?
?
??
静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有
关，与所通过的路径无关。 静电力是保守力
0dd
0
??? ???? lEqlFA
L L
????
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零，反映
凡保守力都有与其相关的势能,
二, 环路定理
了
静电场是保守场 。
静电场是有势场 。
三, 电势能 W
在场中某点的电势能等于将 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
0q0q
由
? ???????
??????
b
a
baab
P
WWWWlEqA
WEA
)(d
0
??
静电力
保
令
? ??
?
零势点
a
a
b
lEqW
W
??
d
0
0
得,
势能增量的负值
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有, 0q
:/ 0qW a
取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以 描述静电场
自身的特性。
0q
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
四, 电势
? ???
零势点
a
a
a lE
q
W
U
??
d
0
静电场中某点电势等于 单位正电荷 在该点具有的电
势能，或将单位正电荷由该点移至 零势点 过程中静
电力所做的功。
? ??
零势点
a
a lEU
??
d电势,
电势差,
? ????
b
a
baab
lEUUU
??
d
静电场中, 两点的电势差等于将 单位正 电荷
由 沿任意路径移至 过程中静电力做的功。
a
b
b
a
1,U 为空间 标量 函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 与零势点选取无关。 abU
注意,
3,遵从叠加原理, （零势点相同）
?? iUU
4.由保守力与其相关势能的关系,
UU
q
W
q
F
E
WEqF
g r a d
)(
00
0
?????
????
????
?
?
??
静电场中某点的场强等于
UE ???
?
电势梯度的 负 值 。 该点
沿着电场强度的方向,电势由高到低
即,是 沿电场线方向的空间变化率,UE?
U
指 向 降低的方向。 E?
▲, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法 （由定义求）
〈 1〉 确定 分布 E?
〈 3〉 由电势定义
一般,场源电荷有限分布,选 0??U
场源电荷无限分布,不选 0??U
2〉 选零势点和便于计算的积 〈
分路径
2,叠加法
〈 1〉 将带电体划分为电荷元
qd
〈 3〉 由叠加原理,
? ??? UUUU d d 或
〈 2〉 选零势点，写出 在场点的电势 Ud
qd
2
1
22
0
)(4 xR
q
U
?
?
??
典型带电体的电势分布
r
q
U
0
4 ??
?
恒量
内
??
R
q
U
0
4 ??
rr
q
U
1
4
0
??
??
外
3,均匀带电圆环轴线上的电势分布,
1,点电荷 场中的电势分布,q
2,均匀带电球面场中电势分布,
2,图示为一边长均为 a的等边三角形，其三个
顶点分别放置着电量为 q,2q,3q的三个正点
电荷,若将一电量为 Q的 正 点电荷 从无穷远处移
至三角形的中心 O处，则外力需作功 A＝
q q2
q3
O
a a
a
)2/()33( 0 aqQ ??
解,以无限远处为零电势点，则由电势叠加原理，
中心 O处电势为,
a
Q
a
qqq
U
o
0
0
2
33
3
4
32
??
??
?
??
?
将 Q从无穷远处移到 O点，电场力的功为
000 )( QUUUQA ???? ??
??? ? 00 QUAA ＝外
a
0
2
33
??
q q2
q3
O
a a
a
3,真空中一半径为 R的球面均匀带电 Q，
在球心 O处有一带电量为 q的点电荷，如
图所示。设无穷远处为电势零点，则在
球内离球心 O距离为 r的 P点处电势为,
P
R
O
q
r
Q
)(
4
1
0
R
Q
r
q
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
4
)(
4
2
0
2
0
Rr
r
Rr
r
q
E
??
??
根据电势的定义,P点的电势为,
)(
4
1
d
4
d
4
d
0
2
0
2
0 R
Q
r
q
r
r
r
r
q
lEU
p
R
r R
p ??
?
???? ? ? ?
? ?
??????
??
解：由高斯定理可得电场分布为
P
R
O
q
r
Q
AC为一根长为 2 l 的带电细棒，左半部均匀带有
?? 和 ??,如图所示。 O点在棒的延长线上,
l, P点在棒的垂直平分线上，到棒
l 。以棒的中点
负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分
为
别
距 A端的距离为
的垂直距离为
B为电势的零点。
l ll
O
P
l
A B C
? ? ? ?? ? ? ?
4
3
ln
4 0??
?
P点电势 ＝
则 O点电势
PU
?0U
0
0??U
l ll
O
P
l
A B C
x
? ? ? ?? ? ? ?
xd
x?d
r
r
解,UB＝ 0与 等效。由电势叠加原理有
4
3
ln
4
'4
'd
4
d
0
3
2
0
2
0
0
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
l
l
l
l
x
x
x
x
U
由对称性可知
0?pU
