同学们好 ！
? 描述静电场基本性质的两个物理量,
电场强度、电势
? 描述静电场性质的两个基本定理,
高斯定理、环路定理
? 静电场与物质的相互作用,
静电场中的导体、电介质
相互作用机制，稳定时 分布 UE,?
第九章要点,
§ 9.6 静电场中的导体
要求,电场与金属导体相互作用机理
及相互影响后电场的计算。
一, 金属导体与电场的相互作用
特征：体内存在大量的自由电子
在外场 中
1,无规运动；
2,宏观定向运动
0E
?
0E
?
E??
无外场时自由电
子无规运动,
“电子气”
导体内电荷重新分布
出现附加电场
直至静电平衡
'E?
E??
0E
?
0
0
?
??? EEE ???内
静电平衡,导体内部及表面均无电荷定向运动,
导体上电荷及空间电场分布达到稳定,
要计算静电平衡时的电场分布，首先要知道其电荷分布。
条件,
0
'
0
'
0
表面
表面
内
???
???
EEE
EEE
???
???
或,
导体是等势体
导体表面是等势面, a
b
0d ???? ? lEU baab ??
证明,
0c o s0 ?? ?或E??
二,静电平衡时导体上的电荷分布
1,导体内无净电荷 (? = 0)，电荷只分布于导体表面。
1) 实心导体
s?
高斯面 S（宏观小，微观大）
VqSE
Vs
d
11
d
00
?
??
???? ?? 内内
??
0?内E?静电平衡条件
0?? ?
净电荷只分布
于外表面。
0?? 0?? + +
+ + + +
+ + + +
2) 空腔导体，腔内无电荷
??? ????
内表面
内内内 0d
11
d
00
SqSE
s
?
??
??s
'S
同上，导体内 0??
紧贴内表面作高斯面 S
若,0,0 ??? 内内 ?q
s
则必然有 处,
电力线由,沿电力线方向电
势降低, 导体内表面有电势差, 与静电平
衡条件 (导体表面为等势面 )矛盾。
所以 净电荷只能分布于外表面 。
.?? ???
0?内?
0,0 ?? ??
电力线不能进入腔内,即,静电屏蔽 。
??
??
???
?
?
?
0
0
?
?? EE ??
???
?
??
?
?? ?
??
??
??
? ?
?
???
??
?
???
??
? ??
净电荷只能分布于外表面
,0;0 ?? 内??
高
压
带
电
作
业
3) 空腔导体，腔内有电荷
空腔外表面电荷由电荷守恒决定。
?
?
?
? ?
Sq?
紧贴内表面作高斯面 S
0
1
d
0
? ?? ?? 内内 qSE
s ?
??
空腔内表面电荷与腔内电荷等值异号。
0? ?? 内q
思考,
1) 空腔原不带电，腔内电荷,腔内、外表面电量？ q
2) 空腔原带电,腔内电荷,腔内、外表面电量？ qQ
? ? ?
?
?
??
? ?
q
q
?
q?
?
?
?
?
?-
-
- -
-
qq
qq
??
??
外
内
qQq
qq
??
??
外
内
? ? ?
?
?
??
? ?
q
?
q?
? ?
?
?
?-
-
- -
-
qQ?
? ?-
3) 空腔能屏蔽腔内电荷 的电场吗？
有什么办法能实现这种屏蔽？
q
腔不接地,腔内不受腔外电荷影响
腔外要受腔内电荷影响
qq ???
? ? ?
?
?
?
?
? ?
qq ??? ??
??
?
?
?
q?
?
?
?
? ?
腔接地,内外电场互不影响。
??
??
???
?
?
?
0
0
?
?? EE ??
???
?
??
?
qq ???
4) 腔内电荷 的位置移动对
分布有无影响？
q
外内外内,，,EE
??
??
? ? ?
?
?
?
?
? ?
qq ??? ??
??
?
?
?
q?
?
?
?
? ?
q腔内电荷 的位置移动对 分布有影响；
对 分布无影响。
外外, E
??
，,内内 E??
当静电平衡时，导体,净电荷只能分布于表面,
?表?
0??
2,静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强
成正比,
EP ?
SS ?? '
0?E
S
过表面紧邻处 作平行于表
面的面元,以 为底，
过 法向为轴，作如图高斯
面 。
P
P
S?
S
S?
SSESESESESE
s S S S
????????????? ? ? ?
? ?
?
? 0
1
dddd
'
侧
????????
0?内E? 0cos ??
nE
E
??
0
0
?
?
?
?
?
??EP ?
SS ?? '
0?E
S
思考,
〈 1〉 设带电导体表面某点电荷密度为, 外侧附近场
强, 现将另一带电体移近，该点场强是否
变化？公式 是否仍成立？
?
0???E
0???E
导体表面 变化，外侧附近场强 变化,
而 仍然成立。
?
0???E
E
〈 2〉 无限大带电平面,
带电导体表面附近,0???E
02 ???E 是否矛盾？
121 2 ???? ???式中
如果计及带电面的厚度?
S
几何面
E? E?
2? 1?
? ?????s SSESE
0
2d
?
???
，不产生矛盾。式中
平面产生的。
不单是一个带电这里的
1?? ?
E
?
导体内
0?E?
S
1?
2?
E?
? ?????s SSESE
0
d
?
???
三, 有导体存在时的 分布 UE,?
导体上的
电荷分布
计算 分布
（ 方法同前 ）
UE,?静电平衡条件
电荷守恒定律
求解思路,
尖端放电现象及其应用
3,孤立导体 与表面曲率有关, ?
注意, 此结论只适
用于孤立凸导体。
[例一 ] 相距很近的平行导体板,分别带电
求电荷分布。
ba,
ba QQ,
解,设平板面积为 S
?
4321 ????
ba QQ
??
a b
S
由电荷守恒,
b
a
QSS
QSS
??
??
43
21
??
?? (1)
(2)
由静电平衡条件,
0
2222 0
4
0
3
0
2
0
1 ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
内aE (3)
0
2222 0
4
0
3
0
2
0
1 ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
内bE (4)
由 (1),(2),(3),(4)解得,
即,相背面 等大同号,
相对面 等大异号。
?
?
S
QQ
S
QQ
ba
ba
2
2
32
41
?
???
?
??
??
??
?
4321 ????
ba QQ
??
a b
S
[例二 ]带电量 q,半径 R1 的导体球 A外,有一内半径 R2、
外半径 R3的同心导体球壳 B,求,
(1) 外球壳的电荷分布及电势
(2) 将 B接地再重新绝缘，结果如何？
(3) 再将 A球接地,B电荷分布及电势如何变化？
BA
1R
2R
3R
q
qq
qq
B
B
?
??
外
内
; )1(
解,
30
3000
4
44
)(
4
R
q
R
q
r
q
r
q
UU
PB
??
??????
?
?
?
???
p r
0
0 )2(
???
??
外内
地
接地
BB
B
qqq
UUB
BA
1R
2R
3R
q (3) A球电荷入地
B球壳 -q分布于表面，对吗？
设 带电 则 ' qA
,'' qqqqq BB ???? 外内
0
4
44 30
'
20
'
10
'
?
?
?
?
??
R
qq
R
q
R
q
U A
??????
由,BA1R
2R
3R
q
q
RRRRRR
qRR
q ?
??
?
213132
21'
即 所带部分电荷入地。 A
0
)(
213132
321' ?
??
?
???
RRRRRR
qRRR
qqq B 外
0
)(4
)(
4 2131320
21
30
?
??
??
??
RRRRRR
qRR
R
q
U BB
????
外
?? BU
BA
1R
2R
3R
q
[例三 ] 若 A带电 q1,B带电 q2，求,
(1) 图中 1,2,3,4 各区域的 E和 U分布，并画出 E ~ r
和 U ~ r 曲线,
(2) 若将球与球壳用导线连接，情况如何？
(3) 若将外球壳接地，情况如何？
BA
1R
2R
3R
12 qq
2
1
4
3
A B
2
40
21
43
2
20
1
21
4
0
4
0
r
qq
EE
r
q
EE
??
??
?
??
??
4
21
0
4
3
21
2
1
2
1
0
2
3
21
0
3
3
21
2
1
1
1
0
1
4
1;)(
4
1
4
1;)(
4
1
r
qq
U
R
qq
R
q
r
q
U
R
qq
U
R
qq
R
q
R
q
U
?
?
?
???
?
?
?
???
????
????
2111
qqqqqqq
BBA
?????
外内
(1)
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 qq?
21 qq ?
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 qq?
21 qq ?
rUrE ??,
曲线
rRRRo 321
U
E
(2)若将球与球壳用导线连接，情况如何？
2
40
21
4
321
4
0
r
qq
E
EEE
??
?
?
???
21;0 qqqqq BBA ???? 外内
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
21 qq ?
4
21
0
4
30
21
321
4
1
4
r
qq
U
R
qq
UUU
?
?
?
???
??
??
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
21 qq ?
rUrE ??,
曲线
rRRRo 321
U
E
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 - qq 011 ???? 外内 BBA qqqqq
(3)若将外球壳接地，情况如何？
0
4
0 43
2
20
1
21 ???? EEr
q
EE
??
0
0
)(
4
1
)(
4
1
4
3
2
1
2
1
0
2
2
1
1
1
0
1
?
?
??
??
U
U
R
q
r
q
U
R
q
R
q
U
??
??
BA
1R
2R
3R
4
3
2
1
11 - qq
rUrE ??,
曲线
rRRRo 321
U
E
[例三 ] 内半径为 的导体球壳原来不带电，在腔
内离球心距离为 处，固定一电量 的
点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心
处电势,
R
)( Rdd ?
q?
解,〈 1〉 画出未接地前的电荷分布图,
q?
do
qq ??
? ? ?
??
?
?
?
??
?
??
??
??
? ?
?
??
???? ?? ? ?
?? ?
?
???
?
??
? ?
R
由静电平衡条件,腔内壁非均匀
分布的负电荷对外效应等效于,
在与 同位置处置 。 q? q?
q?
do
qq ??
? ? ?
??
?
?
?
??
?
??
??
??
? ?
?
??
???? ?? ? ?
?? ?
?
???
?
??
? ?
R
〈 2〉 外壳接地后电荷分布如何变化？
〈 3〉 由叠加法求球心处电势
)
11
(
4
44
0
00
0
Rd
q
R
q
d
q
UUU
q
??
?
????
?
??
????
内壁
? ?? ?
0
0
?
????? ?
外壁
外壁内壁地壳
q
UUUUU q
内壁电荷分布不变
[例四 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电
场强度 垂直于地面向下，大小约为 ；
在离地面 高的地方,也是垂直于地面向下的，
大小约为 2 5 N/C。
〈 1〉 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度,
〈 2〉 假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在
地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度。
km51, CN100 /E?E
?
解,地球 —— 球对称,
离地面不远处 ( h<<R )—— 面对称
可以用高斯定理求解,
如何选择高斯面？
h
2E
?
1E
?
S?
S
〈 1〉 作底面平行于地面，高 h=1500m 的
直圆柱为高斯面,
由高斯定理,
? ?????
s
SESESE 12d
???
Shq ??? ? ?
?? 00
1 1
内
)mC(1043.4
)25100(
105.1
1085.8)(
313
3
12
120
??
?
???
??
?
?
?
?
?
h
EE?
?
h
2E
?
1E
?
S?
S
〈 2〉 作高斯面如图
SSESE
s
???????? ?
? 02
1
d
??
由高斯定理,
)mC(1085.8
1 0 01085.8
210
12
20
??
?
????
?????? E??
2E
?
S?
0?E?
导体内
?
地面