一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
1,描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
第三章 运动的描述
§ 3.3 运动的描述
?
o
?
?
y
x
z
r?
? ?zyxP,,
x
z
y
kji zyxr ???? ???
222 zyxrr ???? ?
大小,
由 ?式写出对应的参数方程,
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx 消去参数 t 质点运动
的轨迹方
程
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
???? ?????? kji tztytxr )()()(
)( trr ?? ?
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r?
)(tr?
质点的 运动方程
质点运动的 轨迹方程
2,描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量
rrrAB AB ??? ????
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
时间内位置变化的 净效果, t?
rr;rr ???? ??
讨论,
rr ??? ?
Br
?O
r??
r?
如图，一般情况下
Ar
?
速度是位矢对时间的一阶导数，其
方向沿轨道上质点所在处的切线，
指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
瞬时速度,简称速度。表示为,
t
r
t
r
v
t d
d
lim
0
??
?
?
?
?
?
??
A
B
B?
B??
v?
r??
vv ??
（ 2） 平均速度的大小是否等于平均速率？ 讨论,
一般情况下,平均速度的大小不等于平均速率。
vv ??
（ 3） 速度的大小是否等于速率？
速度的大小等于速率。
讨论,
二, 质点运动的自然坐标描述
A
B
??
n?
n?
??
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
d
d
τ
t
s
τvv
????
??
naan
v
t
v
a
?????
????? ?
?
?
2
d
d
??
??
t
v
a
d
d
?
切向加速度,
描述速度 大小 改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
??
?
2
?法向加速度,
描述速度 方向 改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
v均是速率，不是 速度，求解时，应代入速率求解
线量 —— 在 自然坐标系 下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在 极坐标系 下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1,角位置,
?
2,角位移 ??
单位,
rad
逆时针为正
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ? ?
参考
方向
??
三, 圆周运动的角量描述
3,角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向沿轴
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手螺旋法则
O
O'
r ?
R P
v?
??
旋转方向
?
??
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
d
lim
0 tttt
???
? ??
?
?
?
??
5,角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
R
t
R
t
s
v
Rs
n
???
???
???
?
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ??
参考
方向
??
2.刚体定轴转动
? 平面运动
? 圆周运动
圆心：转轴与转动平面的交点
定轴转动刚体上各质点的运动,
?
其运动平面
－ 转动平面
离转轴距离不同的点圆周运动的线量不同,角量相同 。
??
?转动平面垂直于转轴
??
?各点的角速度矢量 的方向均沿轴线
四, 刚体的运动
2,刚体定轴转动
* 简化为研究 转动平面 内的
运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量
均表示为 代数量
???? ?
如何简化？
O
v?
??
r?
R
?
转动
平面
v??
注意,
对于刚体定轴转动,
角速度的方向只有
两个,只需在轴上
选定正方向，用角
速度的 正、负 就可
表示其方向，不必
用矢量表示。
0??
0??
+
_
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )
二,已知加速度 (或速度 )及初始条件，求质点任一时
刻的速度和运动方程 (积分法）。
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)(,)( ?? tavtr ??? ；
§ 3.5 相对运动
二,低速 下的变换
()vc
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)( xyzoS ? )( zyxoS ??????
p
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
P
O
O?
x
y y?
x?
OPr ??
POr?
s s?
v?
OOOPPO rrr ?? ??
???
位置矢量
OOOPPO aaa
oo
?? ??
?
???
),( 间只有相对平动时当加速度矢量
DOCDBCABAO rrrrr
????? ????
推广,
DOCDBCABAO vvvvv
????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
?????
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量
第四章 动量 动量守恒定律
§ 4.1 动量 动量的时间变化率
一, 质点
1,质点的动量
vmp ?? ?
量度质点机械运动的强度
2,质点动量的时间变化率
? ? )(
d
d
d
d
d
d cvFam
t
vm
t
vm
t
p ?????? ?????
质点动量的时间变化率是质点所受的合力
二, 质点系
2,质心
质心位矢是各质点
位矢的加权平均
N
NN
c mmm
rmrmrm
r
???
???
?
?
?
?
??
?
21
2211
即,
x
y
z
1r?
2r?
Nr?
1m 2
m
NmO
注意,1.质心的坐标值与坐标系的选取有关；
2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心
位于其几何中心处；
3.不太大的实物，质心与重心相重合。
C
cr
?
质心的速度与加速度,
M
mv
M
vm
t
r
M
m
M
rm
tt
r
v i
ii
ii
i
iic
c
??
?? ????
d
d
d
d
d
d
d
?????
?
或
质心速度是各质点速度的加权平均
M
ma
M
am
t
r
t
v
a
i
ii
cc
c
?
?
???
d
d
d
d
d
2
2
?
?
?
?
或
质心加速度是各质点加速度的加权平均
同理,
也可以写成分量式。cc av ??,
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理
质点系内质点间的内力总是成对出现,因此必有
? ??
i
iFF 0内内
??
??
i
iFF 外外
??
内力和外力,内力 —— 质点系内质点间的相互作用力
外力 —— 质点系外的物体对系内任一质点的
作用力
1m
2m
3m
12F
? 21F
?
13F
?
31F
?
32F
?
23F
?
外1F
?
外3F
?
外2F
?
同一力对某一系统为外力，
而对另一系统则可能为内力
t
p
FF
N
i
i d
d
1
???
?? ?
?
外外
即
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动
量的时间变化率。
将
cvMp
?? ? 代入上式得
? ?
c
cc aM
t
v
M
t
vM
F
?
???
???
d
d
d
d
外
—— 质心运动定理
质心的运动 ~ 质点
位于
质量
受力
cr
?
M
外F
?
其运动与系统
内质点相互作
用无关
§ 4.2 习题课 —— 运动定律的应用
十
六
字
诀 选定坐标 —— 参考系、坐标系、正方向
隔离物体 —— 明确研究对象
具体分析 —— 研究对象的运动情况和受力情况
建立方程 —— 分量式
二,惯性系中的力学定律
牛顿运动定律只对惯性系成立。 注意,
问题,如何在加速参考系（非惯性系）中借用牛顿
定律形式研究物体的运动？
方法,引入惯性力
1.加速平动参考系
以加速度 相对于惯性系 平动的非惯性系
0a
? s s?
设想其中所有物体都受一虚拟力（惯性力）的作用
大小,物体质量 与非惯性系对惯性系的加速度
方向,与 非惯性系对惯性系的加速度方向相反
00 amFF
??? ???
惯
性质,不是真实的力，无施力物体，无反作用力。
2.转动参考系
解决方法,m除 受到弹性力作用外，还受到一与圆
盘向心加速度方向相反的惯性力的作用。
?
r
??
n? m
F?
乙
0F
?
nrmF ?? 20 ???
我们将在转动参考系中沿半径向外的惯性力称为
惯性离心力,
引人惯性离心力后，在转动参考系中可以用牛顿
运动定律形式列方程。
注意区分：向心力，离心力，惯性离心力
§ 4.3 动量定理 一,质点的动量定理
1,微分形式
F
t
p ?
?
?
d
d2,积分形式
pppptFI
p
p
t
t
?????? ?
? ?????? ?? 12
2
1
2
1
dd得：
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
tFItFItFtFI zzyytt xxx ????? ??? 21 d O
t
xF
xF
1t
2t
tFtFI
t
t
??? ?
??? 2
1
d
冲量和平均冲力
冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物
体的动量 。 I
? F?
二、质点系动量定理
1.微分形式,
外Ft
p ?
?
?
d
d
pptFI
p
p
t
t
???? ?
? ???? ??
2
1
2
1
dd外外
2,积分形式,
质点系所受外力矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
?? 0d2
1
?? ? tFI
t
t 内内
??注意,
质点系总动量的变化与内力的冲量无关。
内力的冲量起什么作用？
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
§ 4.5 动量守恒定律
一、动量守恒定律
由质点系动量定理,
t
pF
d
d ?? ?
外
当质点系所受外力的矢量和 时，质点系
动量的时间变化率为零 。 即当质点系所受外力
矢量和为零时，质点系的总动量不随时间变化。
0?外F?
孤立系统的总动量不随时间变化。
不受外力作用且总质量不变的系统。
孤立系统的质心作匀速直线运动
0 cF p M v? ? ?外当 时 恒矢量
思考,系统动量守恒条件能否为,
? ?? 2
1
0d
t
t
tFI 外外
??
恒量时
恒量时
恒量时
外
外
外
???
???
???
?
?
?
iz
i
izz
iy
i
iyy
ix
i
ixx
vmpF
vmpF
vmpF
0
0
0
注意,(1) 当 时,系统总动量不守恒，但 0?外F?
(2) 若系统内力 >>外力，以致外力可以忽略不计时，
可以应用动量守恒定律处理问题。
(3) 式中各速度应对同一参考系而言。
(4)动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
(5)动量守恒定律只适用于惯性系。
第五章 角动量 角动量守恒定律
1,质点的角动量
vmrprL ????
?
????
?? ??? prprmvrL ?s i n
大小,
方向,右手螺旋法则
y
z
m ?
r?
p?
o
?r
L?
?p2,质点系角动量
系统内所有质点对 同一参考点 角动量的矢量和
于是
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
3,定轴转动刚体的角动量
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动；
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义,质点 对 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。 im
o
2
i z i i i i
L r m v m r ?? ? ?
刚体对 z轴的总角动量为,
??? JmrmrLL zz ???? ??? ddd 22
式中
mrJ d2??
刚体对轴的转动惯量
二、刚体对轴的转动惯量
1,定义
??
i
ii mrJ
2
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该
质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
mrJ d2??
注意,对同轴的转动惯量才具有可加减性。
平行轴定理
CD
d
m
2mdJJ
CD ??
三、角动量的时间变化率 力矩
1、质点角动量的时间变化率
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
??
?
?
?
?????
?
?
?????
??????
d
d
d
d
0
d
d
r?
m
F?
M?
r?
FrM ??? ??
服从右手螺旋法则
组成的平面和垂直于方向：
大小：
Fr
FrFd
??
?s i n?
定义,
2,力矩
1) 对参考点的力矩
大小,
Fr
t
L ??
?
??
d
d
FdrFFr ??? ?s i n
??
方向,服从右手螺旋法则
r?
F?
?
o
d
m
2) 对轴的力矩
F?
r?
o m
z
//F
?
?F
?
zM
d
:?F?
力在转动平面内的分量
???? FrM z
??
轴与转动平面的交点 o到力作用点的位矢,r?
力对 o 点 的力矩在 z轴方向的分量
3、质点系角动量的时间变化率
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
注意,合外力矩 是质点系所受各外力矩
的矢量和，而非合力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r
?
2r
?
d
o
角动量定理的微分形式
1.质点
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
prL ??
?
??
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所
受外力矩的矢量和。
2.质点系
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
3.定轴刚体
?JM z ?
刚体定轴转动定律
§ 5.3 角动量守恒定律
一、角动量守恒定律
恒量时
恒量时
恒量时
??
??
??
zz
yy
xx
LM
LM
LM
0
0
0
分量式,
对定轴转动刚体，当
0?轴M
时,
恒量轴 ?L
由角动量定理,
当 时,0?
外M
? ?L? 恒矢量
研究对象：质点系
0
d
d
??
t
L
M
?
?
外
当质点系所受外力对某参考点（或轴）的 力矩的矢量和
为零时,质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。
角动量守恒定律,
注意 1.守恒条件,或 0?
轴M0?外M
?
能否为?0d? ?tM
外
?
2,与动量守恒定律对比,
当 时,0?
外M
? ?L? 恒矢量
?p?
恒矢量 当 时,
0?外F? 彼此独立
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，
不能保证过程中每一时刻角动量相同。
二, 有心力场中的运动
物体在 有心力 作用下的运动
力的作用线始终通过某 定点 的力
力心
有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体
对力心的角动量守恒。
注意：区分两类冲击摆
? 水平方向,Fx =0, px 守恒
m v 0 = ( m + M ) v
? 对 o 点：, 守恒
m v 0 l = ( m + M ) v l
0?M? L
?
质点 定轴刚体 （不能简化为质点）
0v
?
o
l
m M
Fy Fx (2)
轴作用力不能忽略，动量不守恒，
但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
lvMlmllmv ??????? 23120
(1)
o
l
m
M
0v
?
质点 质点 柔绳无切向力
第六章 能量 能量守恒定律
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的
特征；
2.质点、质点系、定轴刚体的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体
运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功
可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能
划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求
解。
一, 功 力对空间累积
微元分析法,
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
2.变力的功
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
注
意 00 ?? ??
i
i
i
i IF 内内
??
00 ?? ??
i
i
i
i AM 内内
?
二、保守力 势能
1,保守力
?对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d ?? ?
L
rF ??
?做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
? ??? ??
b
a
b
a
rFrFA ?
???
dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
2,势能,
凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相
对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我
们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
2
1 kx
r
mM
G?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
3,保守力与相关势能的关系,
① 凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守
力为该势能系统的内力。
② 保守力的功等于其相关势能增量的负值
? ? p2p1p1p2p EEEEEA ????????保
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势
点过程中保守力做的功。
③ 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd ?????
??
?
?
?
?
?
?
??
l
E
F
l
d
d
p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向
空间变化率
m
lF
l θ
F?
l?d
ppg r a d EEF ?????保
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? k
z
E
j
y
E
i
x
E ??? ppp
指向势能降低最快的方向
三、动能定理
2,动能定理
KEAA ??? 内外
质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系
总动能的增量,
1,动能 （非相对论）
质点,
质点系,
定轴刚体,
2
2
1
k mvE ?
2
2
1
kk
2
2
1
k cc
i
ii MvEEvmE ?
?????
2
2
12
2
1
k ?JvmE
i
ii ???
3,功能原理
KEAAA ???? 非保内保内外
pE??
? ? EEEAA ?????? pK非保内外
质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系
总机械能的增量
四、机械能守恒
1,当各微元过程都满足 时,
,系统机械能守恒。
0dd ?? 非保内外 AA
恒量?? EE 0d
2,当过程满足 时,
系统初、末态机械能相等。
0?? 非保内外 AA 21 EE ?
动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
0 0 ??? pF ?? 外
0 0 ??? LM ?? 外
0dd ?? 非保内外 AA ?E = 0 时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
注意,
1,狭义相对性原理,
▲ 一切 物理定律在所有的 惯性系 中都有相同数学形式。
▲ 所有的惯性系对物理规律等价。
2,光速不变原理,
▲ 在所有的惯性系中,真空中的光速恒为 c,与光
源或观察者的运动无关。
c 是自然界的极限速率 ▲
一,狭义相对论的两条 基本原理,
已知惯性系 相对于惯性系 的匀速度沿 S? S 以 c5.0
轴的负方向运动，若从 X 系的坐标原点
S? O?
沿 X
轴正方向发出一光波，则 系中测得此光波的波速为 S
_____
练习
C
s 系 系 s?事件
),(
),(
22
11
txII
txI
),(
),(
22
11
txII
txI
??
??
事件空
间间隔
事件时
间间隔
)( tuxx ?????? ?)( tuxx ??????? ?
)( 2 x
c
utt ?????? ?)( 2 x
c
utt ??????? ?
变换 ? ?
?
?
?
?
?
?
????
????
x
c
u
tt
tuxx
2
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
???
???
x
c
u
tt
utxx
2
?
?
注意,
1
1
1
22
?
?
?
cu
?
)( tuxx ?????? ?
)(
2
x
c
u
tt ?????? ?
狭义相对论时空观
一,,同时”的相对性
一个惯性系中的 同时、同地 事件，在其它惯性系
中必为 同时 事件；一个惯性系中的 同时、异地 事件，
在其它惯性系 中必为 不同时 事件。
二,时间量度的相对性
原时,在相对事件发生地静止的参考系中，用同一个
钟测定的两个 同地 事件之间的 时间间隔,
? 在一切时间测量中，原时最短。 从相对事件发生地运
动的参考系中测量出的时间总比原时长 (时间膨胀 )。
? 每个参考系中的观测者都会认为相对自己运动的钟比
自己的钟走得慢 (动钟变慢 ) 。
)( 2 x
c
utt ?????? ?
三,空间量度的相对性
空间间隔的测量是相对的，物体的长度与惯性
系的选择有关；
在一切长度测量中 原长最长 。
在其它惯性系中测量相对其运动的尺，总得到
比原长小的结果 —— 动尺缩短
注意,
?尺缩效应只在相对运动方向上发生；
?尺缩效应是高速运动物体的测量形象，
不是视觉形象。
)( tuxx ?????? ?
在相对于物体静止的参 )( tuxx ?????? ?
原长 0 观测长度
（非原长）
考系中测量的长度 —— 原长
有两只对准的钟，一只留在地面,
另一只带到以速率 u飞行着的飞船上，则
A.飞船上的人看到自己的钟比地面上的钟慢；
B,地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟快；
C,地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟慢 ;
D,飞船上的人觉得自己的钟比原来走慢了。
（ B）
例,
狭
义
相
对
论
习
题
课
每个参考系中的观测者都会认为相对自己运
动的钟比自己的钟走得慢 (动钟变慢 ) 。
地面上的射击运动员，在
1t
时刻扣动扳机射击
一粒子弹,
2t
时刻
)( 12 tt ? 子弹击中百米外的靶子，那
么，在相对地球以速度 运动的宇宙飞船上的观测者看来,
是否仍有
12 tt ???
即子弹先击中靶子，而后才出膛？
21 tt ???
会不会反过来,
例,
答：不会。 设枪在 处，靶在 处，根据洛仑兹变换式
1x 2x
)( 1211 x
c
v
tt ??? ? )(
2222 xc
v
tt ??? ?
)1)(()()(
12
12
2121221212 tt
xx
c
vttxx
c
vtttt
?
?
????
?
?
??
? ??????? ??
v
式中
sv
tt
xx
?
?
?
12
12
即是子弹飞行的速度，由于
)1)(()()(
12
12
2121221212 tt
xx
c
v
ttxx
c
v
tttt
?
?
????
?
?
??
?
??????? ??
皆小于光速 C，因而
所以
和
sv
v
01 2 ??
c
uv s
12 tt ???
这就是说不会发生子弹先击中靶子，而后才出膛的情况。
普遍来说，有 因果关系 的两事件，在不同惯性参
考系的观测者看来，其 时序 关系是 不会颠倒 的。
0
2
2
0
1
)( m
c
u
m
um ??
?
?质速关系,
2mcE ?
2
00 cmE ?
总能量
静能量
质能关系
2
0
2
0
cmmc
EEE k
??
??相对论动能
cu ??
2
02
1
umE k ?
mcE ??? 2
狭义相对论动力学基础 狭义
相
对
论
习
题
课
相对论动力学基本方程
)(
d
d
d
d
0 vmtt
p
F
?
??
???
由,
vmvmp ??? 0???
得,
能量与动量的关系
42
0
222 cmcpE ??
E
2
0cm
pc
1,描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
第三章 运动的描述
§ 3.3 运动的描述
?
o
?
?
y
x
z
r?
? ?zyxP,,
x
z
y
kji zyxr ???? ???
222 zyxrr ???? ?
大小,
由 ?式写出对应的参数方程,
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx 消去参数 t 质点运动
的轨迹方
程
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
???? ?????? kji tztytxr )()()(
)( trr ?? ?
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r?
)(tr?
质点的 运动方程
质点运动的 轨迹方程
2,描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量
rrrAB AB ??? ????
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
时间内位置变化的 净效果, t?
rr;rr ???? ??
讨论,
rr ??? ?
Br
?O
r??
r?
如图，一般情况下
Ar
?
速度是位矢对时间的一阶导数，其
方向沿轨道上质点所在处的切线，
指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
瞬时速度,简称速度。表示为,
t
r
t
r
v
t d
d
lim
0
??
?
?
?
?
?
??
A
B
B?
B??
v?
r??
vv ??
（ 2） 平均速度的大小是否等于平均速率？ 讨论,
一般情况下,平均速度的大小不等于平均速率。
vv ??
（ 3） 速度的大小是否等于速率？
速度的大小等于速率。
讨论,
二, 质点运动的自然坐标描述
A
B
??
n?
n?
??
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O
的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有
正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
d
d
τ
t
s
τvv
????
??
naan
v
t
v
a
?????
????? ?
?
?
2
d
d
??
??
t
v
a
d
d
?
切向加速度,
描述速度 大小 改变的快慢，不影响速度的方向。
nva n
??
?
2
?法向加速度,
描述速度 方向 改变的快慢，不影响速度的大小。
??
n?
a?
?a
?
na
?
?
v均是速率，不是 速度，求解时，应代入速率求解
线量 —— 在 自然坐标系 下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在 极坐标系 下，以旋转角度为基准的
基本参量，称为角量。
1,角位置,
?
2,角位移 ??
单位,
rad
逆时针为正
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ? ?
参考
方向
??
三, 圆周运动的角量描述
3,角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dlim
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向沿轴
rv ??? ?? ?
大小, Rrv ??? ?? s i n
方向, 右手螺旋法则
O
O'
r ?
R P
v?
??
旋转方向
?
??
4,角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
d
lim
0 tttt
???
? ??
?
?
?
??
5,角量与线量的关系
2
22
)(
d
d
d
d
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
R
t
R
t
s
v
Rs
n
???
???
???
?
O O'
P ?
P
R
θ s
) ( t
) ( t t ??
参考
方向
??
2.刚体定轴转动
? 平面运动
? 圆周运动
圆心：转轴与转动平面的交点
定轴转动刚体上各质点的运动,
?
其运动平面
－ 转动平面
离转轴距离不同的点圆周运动的线量不同,角量相同 。
??
?转动平面垂直于转轴
??
?各点的角速度矢量 的方向均沿轴线
四, 刚体的运动
2,刚体定轴转动
* 简化为研究 转动平面 内的
运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量
均表示为 代数量
???? ?
如何简化？
O
v?
??
r?
R
?
转动
平面
v??
注意,
对于刚体定轴转动,
角速度的方向只有
两个,只需在轴上
选定正方向，用角
速度的 正、负 就可
表示其方向，不必
用矢量表示。
0??
0??
+
_
§ 3.4 运动学的两类基本问题 (习题课 )
二,已知加速度 (或速度 )及初始条件，求质点任一时
刻的速度和运动方程 (积分法）。
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
一,已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度
（微分法）；
???,)(,)( ?? tavtr ??? ；
§ 3.5 相对运动
二,低速 下的变换
()vc
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)( xyzoS ? )( zyxoS ??????
p
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
P
O
O?
x
y y?
x?
OPr ??
POr?
s s?
v?
OOOPPO rrr ?? ??
???
位置矢量
OOOPPO aaa
oo
?? ??
?
???
),( 间只有相对平动时当加速度矢量
DOCDBCABAO rrrrr
????? ????
推广,
DOCDBCABAO vvvvv
????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
?????
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量
第四章 动量 动量守恒定律
§ 4.1 动量 动量的时间变化率
一, 质点
1,质点的动量
vmp ?? ?
量度质点机械运动的强度
2,质点动量的时间变化率
? ? )(
d
d
d
d
d
d cvFam
t
vm
t
vm
t
p ?????? ?????
质点动量的时间变化率是质点所受的合力
二, 质点系
2,质心
质心位矢是各质点
位矢的加权平均
N
NN
c mmm
rmrmrm
r
???
???
?
?
?
?
??
?
21
2211
即,
x
y
z
1r?
2r?
Nr?
1m 2
m
NmO
注意,1.质心的坐标值与坐标系的选取有关；
2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心
位于其几何中心处；
3.不太大的实物，质心与重心相重合。
C
cr
?
质心的速度与加速度,
M
mv
M
vm
t
r
M
m
M
rm
tt
r
v i
ii
ii
i
iic
c
??
?? ????
d
d
d
d
d
d
d
?????
?
或
质心速度是各质点速度的加权平均
M
ma
M
am
t
r
t
v
a
i
ii
cc
c
?
?
???
d
d
d
d
d
2
2
?
?
?
?
或
质心加速度是各质点加速度的加权平均
同理,
也可以写成分量式。cc av ??,
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理
质点系内质点间的内力总是成对出现,因此必有
? ??
i
iFF 0内内
??
??
i
iFF 外外
??
内力和外力,内力 —— 质点系内质点间的相互作用力
外力 —— 质点系外的物体对系内任一质点的
作用力
1m
2m
3m
12F
? 21F
?
13F
?
31F
?
32F
?
23F
?
外1F
?
外3F
?
外2F
?
同一力对某一系统为外力，
而对另一系统则可能为内力
t
p
FF
N
i
i d
d
1
???
?? ?
?
外外
即
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动
量的时间变化率。
将
cvMp
?? ? 代入上式得
? ?
c
cc aM
t
v
M
t
vM
F
?
???
???
d
d
d
d
外
—— 质心运动定理
质心的运动 ~ 质点
位于
质量
受力
cr
?
M
外F
?
其运动与系统
内质点相互作
用无关
§ 4.2 习题课 —— 运动定律的应用
十
六
字
诀 选定坐标 —— 参考系、坐标系、正方向
隔离物体 —— 明确研究对象
具体分析 —— 研究对象的运动情况和受力情况
建立方程 —— 分量式
二,惯性系中的力学定律
牛顿运动定律只对惯性系成立。 注意,
问题,如何在加速参考系（非惯性系）中借用牛顿
定律形式研究物体的运动？
方法,引入惯性力
1.加速平动参考系
以加速度 相对于惯性系 平动的非惯性系
0a
? s s?
设想其中所有物体都受一虚拟力（惯性力）的作用
大小,物体质量 与非惯性系对惯性系的加速度
方向,与 非惯性系对惯性系的加速度方向相反
00 amFF
??? ???
惯
性质,不是真实的力，无施力物体，无反作用力。
2.转动参考系
解决方法,m除 受到弹性力作用外，还受到一与圆
盘向心加速度方向相反的惯性力的作用。
?
r
??
n? m
F?
乙
0F
?
nrmF ?? 20 ???
我们将在转动参考系中沿半径向外的惯性力称为
惯性离心力,
引人惯性离心力后，在转动参考系中可以用牛顿
运动定律形式列方程。
注意区分：向心力，离心力，惯性离心力
§ 4.3 动量定理 一,质点的动量定理
1,微分形式
F
t
p ?
?
?
d
d2,积分形式
pppptFI
p
p
t
t
?????? ?
? ?????? ?? 12
2
1
2
1
dd得：
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
tFItFItFtFI zzyytt xxx ????? ??? 21 d O
t
xF
xF
1t
2t
tFtFI
t
t
??? ?
??? 2
1
d
冲量和平均冲力
冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物
体的动量 。 I
? F?
二、质点系动量定理
1.微分形式,
外Ft
p ?
?
?
d
d
pptFI
p
p
t
t
???? ?
? ???? ??
2
1
2
1
dd外外
2,积分形式,
质点系所受外力矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
?? 0d2
1
?? ? tFI
t
t 内内
??注意,
质点系总动量的变化与内力的冲量无关。
内力的冲量起什么作用？
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
§ 4.5 动量守恒定律
一、动量守恒定律
由质点系动量定理,
t
pF
d
d ?? ?
外
当质点系所受外力的矢量和 时，质点系
动量的时间变化率为零 。 即当质点系所受外力
矢量和为零时，质点系的总动量不随时间变化。
0?外F?
孤立系统的总动量不随时间变化。
不受外力作用且总质量不变的系统。
孤立系统的质心作匀速直线运动
0 cF p M v? ? ?外当 时 恒矢量
思考,系统动量守恒条件能否为,
? ?? 2
1
0d
t
t
tFI 外外
??
恒量时
恒量时
恒量时
外
外
外
???
???
???
?
?
?
iz
i
izz
iy
i
iyy
ix
i
ixx
vmpF
vmpF
vmpF
0
0
0
注意,(1) 当 时,系统总动量不守恒，但 0?外F?
(2) 若系统内力 >>外力，以致外力可以忽略不计时，
可以应用动量守恒定律处理问题。
(3) 式中各速度应对同一参考系而言。
(4)动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
(5)动量守恒定律只适用于惯性系。
第五章 角动量 角动量守恒定律
1,质点的角动量
vmrprL ????
?
????
?? ??? prprmvrL ?s i n
大小,
方向,右手螺旋法则
y
z
m ?
r?
p?
o
?r
L?
?p2,质点系角动量
系统内所有质点对 同一参考点 角动量的矢量和
于是
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
3,定轴转动刚体的角动量
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动；
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义,质点 对 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。 im
o
2
i z i i i i
L r m v m r ?? ? ?
刚体对 z轴的总角动量为,
??? JmrmrLL zz ???? ??? ddd 22
式中
mrJ d2??
刚体对轴的转动惯量
二、刚体对轴的转动惯量
1,定义
??
i
ii mrJ
2
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该
质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
mrJ d2??
注意,对同轴的转动惯量才具有可加减性。
平行轴定理
CD
d
m
2mdJJ
CD ??
三、角动量的时间变化率 力矩
1、质点角动量的时间变化率
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
??
?
?
?
?????
?
?
?????
??????
d
d
d
d
0
d
d
r?
m
F?
M?
r?
FrM ??? ??
服从右手螺旋法则
组成的平面和垂直于方向：
大小：
Fr
FrFd
??
?s i n?
定义,
2,力矩
1) 对参考点的力矩
大小,
Fr
t
L ??
?
??
d
d
FdrFFr ??? ?s i n
??
方向,服从右手螺旋法则
r?
F?
?
o
d
m
2) 对轴的力矩
F?
r?
o m
z
//F
?
?F
?
zM
d
:?F?
力在转动平面内的分量
???? FrM z
??
轴与转动平面的交点 o到力作用点的位矢,r?
力对 o 点 的力矩在 z轴方向的分量
3、质点系角动量的时间变化率
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
注意,合外力矩 是质点系所受各外力矩
的矢量和，而非合力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r
?
2r
?
d
o
角动量定理的微分形式
1.质点
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
prL ??
?
??
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所
受外力矩的矢量和。
2.质点系
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
3.定轴刚体
?JM z ?
刚体定轴转动定律
§ 5.3 角动量守恒定律
一、角动量守恒定律
恒量时
恒量时
恒量时
??
??
??
zz
yy
xx
LM
LM
LM
0
0
0
分量式,
对定轴转动刚体，当
0?轴M
时,
恒量轴 ?L
由角动量定理,
当 时,0?
外M
? ?L? 恒矢量
研究对象：质点系
0
d
d
??
t
L
M
?
?
外
当质点系所受外力对某参考点（或轴）的 力矩的矢量和
为零时,质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。
角动量守恒定律,
注意 1.守恒条件,或 0?
轴M0?外M
?
能否为?0d? ?tM
外
?
2,与动量守恒定律对比,
当 时,0?
外M
? ?L? 恒矢量
?p?
恒矢量 当 时,
0?外F? 彼此独立
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，
不能保证过程中每一时刻角动量相同。
二, 有心力场中的运动
物体在 有心力 作用下的运动
力的作用线始终通过某 定点 的力
力心
有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体
对力心的角动量守恒。
注意：区分两类冲击摆
? 水平方向,Fx =0, px 守恒
m v 0 = ( m + M ) v
? 对 o 点：, 守恒
m v 0 l = ( m + M ) v l
0?M? L
?
质点 定轴刚体 （不能简化为质点）
0v
?
o
l
m M
Fy Fx (2)
轴作用力不能忽略，动量不守恒，
但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
lvMlmllmv ??????? 23120
(1)
o
l
m
M
0v
?
质点 质点 柔绳无切向力
第六章 能量 能量守恒定律
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的
特征；
2.质点、质点系、定轴刚体的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体
运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功
可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能
划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求
解。
一, 功 力对空间累积
微元分析法,
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
2.变力的功
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
注
意 00 ?? ??
i
i
i
i IF 内内
??
00 ?? ??
i
i
i
i AM 内内
?
二、保守力 势能
1,保守力
?对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d ?? ?
L
rF ??
?做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
? ??? ??
b
a
b
a
rFrFA ?
???
dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
2,势能,
凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相
对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我
们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
2
1 kx
r
mM
G?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
3,保守力与相关势能的关系,
① 凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守
力为该势能系统的内力。
② 保守力的功等于其相关势能增量的负值
? ? p2p1p1p2p EEEEEA ????????保
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势
点过程中保守力做的功。
③ 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd ?????
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?
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?
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?
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l
E
F
l
d
d
p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向
空间变化率
m
lF
l θ
F?
l?d
ppg r a d EEF ?????保
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?? k
z
E
j
y
E
i
x
E ??? ppp
指向势能降低最快的方向
三、动能定理
2,动能定理
KEAA ??? 内外
质点系所有外力、内力做功的代数和等于质点系
总动能的增量,
1,动能 （非相对论）
质点,
质点系,
定轴刚体,
2
2
1
k mvE ?
2
2
1
kk
2
2
1
k cc
i
ii MvEEvmE ?
?????
2
2
12
2
1
k ?JvmE
i
ii ???
3,功能原理
KEAAA ???? 非保内保内外
pE??
? ? EEEAA ?????? pK非保内外
质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系
总机械能的增量
四、机械能守恒
1,当各微元过程都满足 时,
,系统机械能守恒。
0dd ?? 非保内外 AA
恒量?? EE 0d
2,当过程满足 时,
系统初、末态机械能相等。
0?? 非保内外 AA 21 EE ?
动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
0 0 ??? pF ?? 外
0 0 ??? LM ?? 外
0dd ?? 非保内外 AA ?E = 0 时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
注意,
1,狭义相对性原理,
▲ 一切 物理定律在所有的 惯性系 中都有相同数学形式。
▲ 所有的惯性系对物理规律等价。
2,光速不变原理,
▲ 在所有的惯性系中,真空中的光速恒为 c,与光
源或观察者的运动无关。
c 是自然界的极限速率 ▲
一,狭义相对论的两条 基本原理,
已知惯性系 相对于惯性系 的匀速度沿 S? S 以 c5.0
轴的负方向运动，若从 X 系的坐标原点
S? O?
沿 X
轴正方向发出一光波，则 系中测得此光波的波速为 S
_____
练习
C
s 系 系 s?事件
),(
),(
22
11
txII
txI
),(
),(
22
11
txII
txI
??
??
事件空
间间隔
事件时
间间隔
)( tuxx ?????? ?)( tuxx ??????? ?
)( 2 x
c
utt ?????? ?)( 2 x
c
utt ??????? ?
变换 ? ?
?
?
?
?
?
?
????
????
x
c
u
tt
tuxx
2
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? ? ?
?
?
?
?
?
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???
???
x
c
u
tt
utxx
2
?
?
注意,
1
1
1
22
?
?
?
cu
?
)( tuxx ?????? ?
)(
2
x
c
u
tt ?????? ?
狭义相对论时空观
一,,同时”的相对性
一个惯性系中的 同时、同地 事件，在其它惯性系
中必为 同时 事件；一个惯性系中的 同时、异地 事件，
在其它惯性系 中必为 不同时 事件。
二,时间量度的相对性
原时,在相对事件发生地静止的参考系中，用同一个
钟测定的两个 同地 事件之间的 时间间隔,
? 在一切时间测量中，原时最短。 从相对事件发生地运
动的参考系中测量出的时间总比原时长 (时间膨胀 )。
? 每个参考系中的观测者都会认为相对自己运动的钟比
自己的钟走得慢 (动钟变慢 ) 。
)( 2 x
c
utt ?????? ?
三,空间量度的相对性
空间间隔的测量是相对的，物体的长度与惯性
系的选择有关；
在一切长度测量中 原长最长 。
在其它惯性系中测量相对其运动的尺，总得到
比原长小的结果 —— 动尺缩短
注意,
?尺缩效应只在相对运动方向上发生；
?尺缩效应是高速运动物体的测量形象，
不是视觉形象。
)( tuxx ?????? ?
在相对于物体静止的参 )( tuxx ?????? ?
原长 0 观测长度
（非原长）
考系中测量的长度 —— 原长
有两只对准的钟，一只留在地面,
另一只带到以速率 u飞行着的飞船上，则
A.飞船上的人看到自己的钟比地面上的钟慢；
B,地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟快；
C,地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟慢 ;
D,飞船上的人觉得自己的钟比原来走慢了。
（ B）
例,
狭
义
相
对
论
习
题
课
每个参考系中的观测者都会认为相对自己运
动的钟比自己的钟走得慢 (动钟变慢 ) 。
地面上的射击运动员，在
1t
时刻扣动扳机射击
一粒子弹,
2t
时刻
)( 12 tt ? 子弹击中百米外的靶子，那
么，在相对地球以速度 运动的宇宙飞船上的观测者看来,
是否仍有
12 tt ???
即子弹先击中靶子，而后才出膛？
21 tt ???
会不会反过来,
例,
答：不会。 设枪在 处，靶在 处，根据洛仑兹变换式
1x 2x
)( 1211 x
c
v
tt ??? ? )(
2222 xc
v
tt ??? ?
)1)(()()(
12
12
2121221212 tt
xx
c
vttxx
c
vtttt
?
?
????
?
?
??
? ??????? ??
v
式中
sv
tt
xx
?
?
?
12
12
即是子弹飞行的速度，由于
)1)(()()(
12
12
2121221212 tt
xx
c
v
ttxx
c
v
tttt
?
?
????
?
?
??
?
??????? ??
皆小于光速 C，因而
所以
和
sv
v
01 2 ??
c
uv s
12 tt ???
这就是说不会发生子弹先击中靶子，而后才出膛的情况。
普遍来说，有 因果关系 的两事件，在不同惯性参
考系的观测者看来，其 时序 关系是 不会颠倒 的。
0
2
2
0
1
)( m
c
u
m
um ??
?
?质速关系,
2mcE ?
2
00 cmE ?
总能量
静能量
质能关系
2
0
2
0
cmmc
EEE k
??
??相对论动能
cu ??
2
02
1
umE k ?
mcE ??? 2
狭义相对论动力学基础 狭义
相
对
论
习
题
课
相对论动力学基本方程
)(
d
d
d
d
0 vmtt
p
F
?
??
???
由,
vmvmp ??? 0???
得,
能量与动量的关系
42
0
222 cmcpE ??
E
2
0cm
pc
