同
学
们
好
§ 9.4 环路定理 电势
一, 静电力的功
)
11
(
44
d
4
d
4
d
dd
0
0
2
0
0
2
0
0
3
0
0
ba
L
r
r rr
qq
r
qdrq
AA
r
rqq
r
lrqq
lFA
b
a
????
?
?
???
? ?
????
????
??
??
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关。
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。
场源电荷,
检验电荷,0q
q
EqF ?? 0?
'rq ?
r
a
?
b
a
r
r
?
?
b
l?d
Eq ?0
L
rd
二, 环路定理
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
0dd 0 ??? ???? lEqlFA L L
????
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零，反映
了 静电场是保守力场 。
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场 。
三, 电势能 W
在场中某点的电势能等于将 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
0q0q
由
0 d ( )
b
b a a b
a
A q E l W W W W? ? ? ? ? ? ??静电力
令
0bW ??
PA E W? ? ? ? ? ?保
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有, 0q
:/ 0qW a
取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以描述静电场
自身的特性。
0q
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
四, 电势
? ???
零势点
a
a
a lE
q
W
U
??
d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电
势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静
电力所做的功。
? ??
零势点
a
a lEU
??
d
电势,
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
??
d
静电场中, 两点的电势差等于将单位正电荷
由 沿任意路径移至 过程中静电力做的功。
a
b
b
a
注意,
1,U 为空间标量函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 与零势点选取无关。 abU
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷
单独存在时在该点产生的电势的 代数和 。
?? iUU
3,遵从叠加原理,
（零势点相同）
1.由保守力与其相关势能的关系,
0F q E W? ? ? ?
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,是 沿电场线方向的空间变化率，指向
降低的方向。
U
E?
U
五,电场强度与电势的关系
g r a dE U U? ? ? ? ?
00
()
FW
E
qq
? ? ? ?
给出又一种求 的方法,E?
)(
,,
k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
z
U
E
y
U
E
x
U
E
zyx
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
UE g r a d???
2.电场线与等势面的关系
等势面,电场中电势相等的
点的集合，两两相邻的等势
面之间的电势差相等。
+q
实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通
过电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向,
电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。
作心电图时人体的
等势面分布
电偶极子的电场线和等势面
▲ 六, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法 （由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
〈 2〉选零势点和便
于计算的积分路径
〈 3〉由电势定义
注意,
? 若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
? ????
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd ?
??
一般,场源电荷有限分布,选 0??U
场源电荷无限分布,不 选 0??U
许多实际问题中选 0?地球U
[例一 ] 点电荷 场中的电势分布 q
解,3
04 r
rq
E
??
??
?
令 0??U
沿径向积分
EPro ??
q
r
q
r
rq
r
rrq
lEU
r
P r
0
2
0
3
0
44
d
4
d
d
????
??
???
? ?
?
???
?
? ?
??
??
U
ro
r1?
[例二 ] 均匀带电球面场中电势分布 （, ） Rq
令 沿径向积分 0??U
rr
q
r
rrq
rEU
P r
1
4
4
d
d
0
3
0
??
?
??? ? ?
? ?
??
??
??
??
外外
R
q
o Pr?
E?
由高斯定理
)(
4
)( 0
3
0
Rr
r
rq
Rr
E
?
?
?
??
??
o
2
1
r?
r
E
R
R
q
o Pr?
E?
o
2
1
r?
r
E
R
P?
恒量
外内内
??
?
?
??????
?
?? ?
?
??
R
q
r
rrq
rErErEU
R
RP
R
P
0
3
0
44
d
d dd
' '
????
??
??????
r
1?
rRo
R
q
04??
U均匀带电球面内电势与球面处电
势相等,
球面外电势与电量集中于球心的
点电荷情况相同。
rr
q
U
1
4
0
??
??
外
[例三 ]无限大均匀带电平面 场中电势分布, ??
? ? ? xaoa ?
?? ?? 电场分布,
),( 0
)(
0
axax
axai
E
???
????
?
?
?
?
?
思考,先由电场强度和电势的关系，定性分析电势
变化规律，再定量计算。
两极板之间,电势沿 － x 方向均匀降低。
两极板外侧,电势为恒量。
电荷无限分布，在有限远处选零势点,
0oU ? x
?
?
xaoa ?
?? ??
,区域axa ???
0
0
0
d
?
?
?
? x
)x)((xEU
x
x ????? ?
? ?
?
?
???????
a
x a
xx
a
axExEU
0
00
)(0dd
?
?
?
?
区域：ax ??
令,沿 轴积分,
,区域ax ?
0
00
d d
0 ( ) ( )
a
xx
xa
U E x E x
a
a
??
??
??
? ? ? ? ?
??
? ? ? xaoa ?
?? ??
— 曲线如图 xU
xaoa?
U
0?
?a
0?
?a?
0
a
U
?
?
?? 区域：ax ??
,区域axa ???
0
x
U
?
?
?
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元
qd
〈 3〉由叠加原理,
? ??? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Ud
qd
[例四 ] 求均匀带电圆环轴线上的电势分布
xPxo
r
qd
R
r
q
U
04
d
d
??
?
在圆环上取点电荷,
令
qd
0??U
解,
2
1
22
0
0
0
)(4
4
d
d
xR
q
r
q
UU
q
?
?
?? ??
??
??
xPxo
r
qd
R
可进一步由电势分布求电场强度分布
? ? 2322
0
4 xR
iqx
i
x
U
E
?
?
?
?
??
??
?
??
练习 一锥顶角为 2?的圆台，上下底面半径分别为
R1和 R2,其侧面均匀带电，电荷面密度为 ?，以无穷
远处为电势零点，求顶点 O的电势。
????
????
c o sdtg2
c o sd2dd
xx
xrSq
??
???
解,将圆台侧面视为由许多圆
环组成，建立如图坐标系，在
x 处取高 dx 的圆环,
? ?
x
xr
q
U d
2
tg
4
d
d
0
2
122
0
?
??
??
?
?
?
?
1R
2R
?
O
r
x
qd
由叠加原理,
? ?12
0
tg2
tg1
0 2
d
2
tgd RRxUU R
R
???? ??
?
?
?
?? ?
?
[例五 ]求均匀带电球壳腔内任意点电势
1R
2R
o? P
已知,
?,,21 RR
求,
PU
解,将带电球壳视为许多均匀带
电球面的集合,
取半径,厚 的球壳为电荷元,
rr d rrq d4d 2 ??? ??
0??U令 在腔内产生的电势,qd,
00
2
0
d
4
d4
4
d
d
?
?
??
??
??
rr
r
rr
r
q
U ?
?
??
)(
2
dd 2122
00
2
1
RRrrUU
R
R
???? ? ?
?
?
?
?
即：腔内各点等势
由叠加原理,
r
rd
由叠加原理,
B
B
A
A
A R
q
R
q
URr
00
1 44,???? ???
B
BA
BA R
q
r
q
URrR
020
2 44,???? ????
r
qq
URr BAB
0
3 4,??
?
??
带电球面的电势分布,
球面内,
球面外,
RqU 04 ???
rqU 04 ???
AR
Aq
BR
Bq
o 1
2
3
练习,已知,
BABA qqRR,,,
求,
321,,UUU
[例六 ]在与面电荷密度 ?的无限大均匀带电平板相距 a处
有一点电荷 q,求点电荷至平板垂线中点处的电势 Up
解一,点电荷 q在 P处电势,
2
4 0
1 a
q
U
?
?
??
00
21 42 ?
?
??
a
a
q
UUU P ????
无限大带电平板在 P处电势,
22 02
a
EdU ????
?
?
对不对？
aao
Pq
2 x
?
???
错在那里？
零电势点不统一不能叠加,
0
0
2
1
??
?? ?
aUU
UU
解二,选共同的零势点
0?aU
0
2
0 24 ?
?
??
??
x
qE
场强积分法,
000
2
0
44
d)
24
(
dd
2
2
?
?
???
?
??
a
a
q
x
x
q
xElEU
a
a
P
a
xP
a
a
????
???
?
? ?
??
???
aao
Pq
2 x
?
练习 已知,U-x曲线如图。 求,E-x曲线
x
o
U
x
o
E
x
UE
?
???
小结
一,静电场环路定理,
? ??L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了
静电场是保守力场，是有势场 。
二,电势、电势能、电势差
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
? ??
零势点
a
a lEU
??
d
电 势,
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
??
d
电势能,
三, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
路径上各点的总场强，若路径上各段的表达
式不同，应分段积分
〈 3〉由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元
qd
〈 3〉由叠加原理,
? ??? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Ud
qd
给出又一种求 的方法,E?
)( k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
UE g r a d???
四,电场强度与电势的关系
2
122
0
)(4 xR
q
U
?
?
??
五,典型带电体的电势分布
r
q
U
0
4 ??
?
恒量
内
??
R
q
U
04 ?? rr
q
U
1
4
0
??
??外
3,均匀带电圆环轴线上的电势分布,
1,点电荷 场中的电势分布,q
2,均匀带电球面场中电势分布,
学
们
好
§ 9.4 环路定理 电势
一, 静电力的功
)
11
(
44
d
4
d
4
d
dd
0
0
2
0
0
2
0
0
3
0
0
ba
L
r
r rr
r
qdrq
AA
r
rqq
r
lrqq
lFA
b
a
????
?
?
???
? ?
????
????
??
??
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关。
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。
场源电荷,
检验电荷,0q
q
EqF ?? 0?
'rq ?
r
a
?
b
a
r
r
?
?
b
l?d
Eq ?0
L
rd
二, 环路定理
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
0dd 0 ??? ???? lEqlFA L L
????
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零，反映
了 静电场是保守力场 。
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场 。
三, 电势能 W
在场中某点的电势能等于将 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
0q0q
由
0 d ( )
b
b a a b
a
A q E l W W W W? ? ? ? ? ? ??静电力
令
0bW ??
PA E W? ? ? ? ? ?保
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有, 0q
:/ 0qW a
取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 无关,可用以描述静电场
自身的特性。
0q
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
四, 电势
? ???
零势点
a
a
a lE
q
W
U
??
d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电
势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静
电力所做的功。
? ??
零势点
a
a lEU
??
d
电势,
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
??
d
静电场中, 两点的电势差等于将单位正电荷
由 沿任意路径移至 过程中静电力做的功。
a
b
b
a
注意,
1,U 为空间标量函数
2,U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 与零势点选取无关。 abU
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷
单独存在时在该点产生的电势的 代数和 。
?? iUU
3,遵从叠加原理,
（零势点相同）
1.由保守力与其相关势能的关系,
0F q E W? ? ? ?
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,是 沿电场线方向的空间变化率，指向
降低的方向。
U
E?
U
五,电场强度与电势的关系
g r a dE U U? ? ? ? ?
00
()
FW
E
? ? ? ?
给出又一种求 的方法,E?
)(
,,
k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
z
U
E
y
U
E
x
U
E
zyx
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
UE g r a d???
2.电场线与等势面的关系
等势面,电场中电势相等的
点的集合，两两相邻的等势
面之间的电势差相等。
+q
实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通
过电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电场线与等势面垂直，指向电势降低的方向,
电场强处等势面较密，电场弱出等势面较稀。
作心电图时人体的
等势面分布
电偶极子的电场线和等势面
▲ 六, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法 （由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
〈 2〉选零势点和便
于计算的积分路径
〈 3〉由电势定义
注意,
? 若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
? ????
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd ?
??
一般,场源电荷有限分布,选 0??U
场源电荷无限分布,不 选 0??U
许多实际问题中选 0?地球U
[例一 ] 点电荷 场中的电势分布 q
解,3
04 r
rq
E
??
??
?
令 0??U
沿径向积分
EPro ??
q
r
q
r
rq
r
rrq
lEU
r
P r
0
2
0
3
0
44
d
4
d
d
????
??
???
? ?
?
???
?
? ?
??
??
U
ro
r1?
[例二 ] 均匀带电球面场中电势分布 （, ） Rq
令 沿径向积分 0??U
rr
q
r
rrq
rEU
P r
1
4
4
d
d
0
3
0
??
?
??? ? ?
? ?
??
??
??
??
外外
R
q
o Pr?
E?
由高斯定理
)(
4
)( 0
3
0
Rr
r
rq
Rr
E
?
?
?
??
??
o
2
1
r?
r
E
R
R
q
o Pr?
E?
o
2
1
r?
r
E
R
P?
恒量
外内内
??
?
?
??????
?
?? ?
?
??
R
q
r
rrq
rErErEU
R
RP
R
P
0
3
0
44
d
d dd
' '
????
??
??????
r
1?
rRo
R
q
04??
U均匀带电球面内电势与球面处电
势相等,
球面外电势与电量集中于球心的
点电荷情况相同。
rr
q
U
1
4
0
??
??
外
[例三 ]无限大均匀带电平面 场中电势分布, ??
? ? ? xaoa ?
?? ?? 电场分布,
),( 0
)(
0
axax
axai
E
???
????
?
?
?
?
?
思考,先由电场强度和电势的关系，定性分析电势
变化规律，再定量计算。
两极板之间,电势沿 － x 方向均匀降低。
两极板外侧,电势为恒量。
电荷无限分布，在有限远处选零势点,
0oU ? x
?
?
xaoa ?
?? ??
,区域axa ???
0
0
0
d
?
?
?
? x
)x)((xEU
x
x ????? ?
? ?
?
?
???????
a
x a
xx
a
axExEU
0
00
)(0dd
?
?
?
?
区域：ax ??
令,沿 轴积分,
,区域ax ?
0
00
d d
0 ( ) ( )
a
xx
xa
U E x E x
a
a
??
??
??
? ? ? ? ?
??
? ? ? xaoa ?
?? ??
— 曲线如图 xU
xaoa?
U
0?
?a
0?
?a?
0
a
U
?
?
?? 区域：ax ??
,区域axa ???
0
x
U
?
?
?
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元
qd
〈 3〉由叠加原理,
? ??? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Ud
qd
[例四 ] 求均匀带电圆环轴线上的电势分布
xPxo
r
qd
R
r
q
U
04
d
d
??
?
在圆环上取点电荷,
令
qd
0??U
解,
2
1
22
0
0
0
)(4
4
d
d
xR
q
r
q
UU
q
?
?
?? ??
??
??
xPxo
r
qd
R
可进一步由电势分布求电场强度分布
? ? 2322
0
4 xR
iqx
i
x
U
E
?
?
?
?
??
??
?
??
练习 一锥顶角为 2?的圆台，上下底面半径分别为
R1和 R2,其侧面均匀带电，电荷面密度为 ?，以无穷
远处为电势零点，求顶点 O的电势。
????
????
c o sdtg2
c o sd2dd
xx
xrSq
??
???
解,将圆台侧面视为由许多圆
环组成，建立如图坐标系，在
x 处取高 dx 的圆环,
? ?
x
xr
q
U d
2
tg
4
d
d
0
2
122
0
?
??
??
?
?
?
?
1R
2R
?
O
r
x
qd
由叠加原理,
? ?12
0
tg2
tg1
0 2
d
2
tgd RRxUU R
R
???? ??
?
?
?
?? ?
?
[例五 ]求均匀带电球壳腔内任意点电势
1R
2R
o? P
已知,
?,,21 RR
求,
PU
解,将带电球壳视为许多均匀带
电球面的集合,
取半径,厚 的球壳为电荷元,
rr d rrq d4d 2 ??? ??
0??U令 在腔内产生的电势,qd,
00
2
0
d
4
d4
4
d
d
?
?
??
??
??
rr
r
rr
r
q
U ?
?
??
)(
2
dd 2122
00
2
1
RRrrUU
R
R
???? ? ?
?
?
?
?
即：腔内各点等势
由叠加原理,
r
rd
由叠加原理,
B
B
A
A
A R
q
R
q
URr
00
1 44,???? ???
B
BA
BA R
q
r
q
URrR
020
2 44,???? ????
r
URr BAB
0
3 4,??
?
??
带电球面的电势分布,
球面内,
球面外,
RqU 04 ???
rqU 04 ???
AR
Aq
BR
Bq
o 1
2
3
练习,已知,
BABA qqRR,,,
求,
321,,UUU
[例六 ]在与面电荷密度 ?的无限大均匀带电平板相距 a处
有一点电荷 q,求点电荷至平板垂线中点处的电势 Up
解一,点电荷 q在 P处电势,
2
4 0
1 a
q
U
?
?
??
00
21 42 ?
?
??
a
a
q
UUU P ????
无限大带电平板在 P处电势,
22 02
a
EdU ????
?
?
对不对？
aao
Pq
2 x
?
???
错在那里？
零电势点不统一不能叠加,
0
0
2
1
??
?? ?
aUU
UU
解二,选共同的零势点
0?aU
0
2
0 24 ?
?
??
??
x
qE
场强积分法,
000
2
0
44
d)
24
(
dd
2
2
?
?
???
?
??
a
a
q
x
x
q
xElEU
a
a
P
a
xP
a
a
????
???
?
? ?
??
???
aao
Pq
2 x
?
练习 已知,U-x曲线如图。 求,E-x曲线
x
o
U
x
o
E
x
UE
?
???
小结
一,静电场环路定理,
? ??L lE 0d
??
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零,反映了
静电场是保守力场，是有势场 。
二,电势、电势能、电势差
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
? ??
零势点
a
a lEU
??
d
电 势,
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
??
d
电势能,
三, 电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
〈 1〉确定 分布 E?
〈 2〉选零势点和便于计算的积分路径
路径上各点的总场强，若路径上各段的表达
式不同，应分段积分
〈 3〉由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2,叠加法
〈 1〉将带电体划分为电荷元
qd
〈 3〉由叠加原理,
? ??? UUUU d d 或
〈 2〉选零势点，写出 在场点的电势 Ud
qd
给出又一种求 的方法,E?
)( k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
UE g r a d???
四,电场强度与电势的关系
2
122
0
)(4 xR
q
U
?
?
??
五,典型带电体的电势分布
r
q
U
0
4 ??
?
恒量
内
??
R
q
U
04 ?? rr
q
U
1
4
0
??
??外
3,均匀带电圆环轴线上的电势分布,
1,点电荷 场中的电势分布,q
2,均匀带电球面场中电势分布,
