§ 4.2 习题课 ——运动定律的应用（续）
二,惯性系中的力学定律
三,非惯性系中的力学定律
一, 惯性系和非惯性系
甲
乙
0a
?
N
mg
A
电话亭所受合力为零，为什
么不是相对我静止，而是加
速离我而去？
[例 ]
实际生活中常常遇到非惯性系中的力学问题。
在非惯性系中牛顿运动定律不成立
m
甲 乙
mg
N
0??
车静止时，甲、乙均看到小球所受合力
为零，加速度为零。
当车加速运动时，情况如何？
甲 仍然看到小球所受合力为零，加速度为零。
乙 看到小球所受合力为零，却产生水平加速度向他滚动。
甲：小球上的合外力为零，保持静止，符合牛顿运动定律。
乙：小球虽受的合外力为零，但具有加速度，不符合牛顿定律。
m
甲 乙
mg
N
0??
甲
0a
?0a
?乙
mg
m
N
0??
问题,如何在加速参考系（非惯性系）中借用牛顿
定律形式研究物体的运动？
方法,引入惯性力
1.加速平动参考系
以加速度 相对于惯性系 平动的非惯性系
0a
? s s?
设想其中所有物体都受一虚拟力（惯性力）的作用
大小,物体质量 与非惯性系对惯性系的加速度
方向,与 非惯性系对惯性系的加速度方向相反
00 amFF
??? ???
惯
性质,不是真实的力，无施力物体，无反作用力。
作用,引人惯性力后，在非惯性系中，牛顿第二定律
形式上成立。
0a
?
N
m
00 maF ?
0F
乙
mg
0a
?
N
A
00 amF A?
mg
乙
注意,惯性力有真实效果，可以测量。
练习,为什么要系安全带？ （库柏, 物理世界, ）
乘客所受惯性力：
内停下刹车：
汽车：
kg70
s1
sm30hkm108
-1-1
?
??
????
m
t
v
无法靠静摩擦力平衡，必须系安全带。
非惯性系中的力学定律,
amamFFFF
FFF
???????
??
?????
???
)( 00
合
惯真合
度。相对于非惯性系的加速为式中 ma ??
与惯性系中的力学定律比较,
amF ?? ?真
N2 1 0 000 ?? maF
以 M为参考系列 m的运动方程,
)4(0s i nc o s
)3(c o ss i n
????
????
??
??
My
Mx
mamgNF
ammamgF
如上讲
P68:例 3
以地面为参考系列 M的运动方程
)2(0c o s
)1(s i n
????
??
?
?
NMgQF
MaNF
y
Mx
x
y
M
?
NN ??
Q
Ma
?
Mg x
m
mg
N
a??
MamF
?? ??
0
y
?
2.转动参考系
?
r
??
n? m
甲
F?
乙
对甲,小球受弹力 作圆周运动 nrmF ?? 2??
对乙,m 受到弹性力 的作用却不运动,
为什么？
nrmF ?? 2??
因为圆盘为非惯性系，牛顿定律不成立。
解决方法,m除 受到弹性力作用外，还受到一与圆
盘向心加速度方向相反的惯性力的作用。
?
r
??
n? m
F?
乙
0F
?
nrmF ?? 20 ???
我们将在转动参考系中沿半径向外的惯性力称为
惯性离心力,
引人惯性离心力后，在转动参考系中可以用牛顿
运动定律形式列方程。
注意区分：向心力，离心力，惯性离心力
O
r
F?
0F
?
?
G?
由于地球的自转，地球表面的物体将受到
一个如图所示的惯性离心力，物体的重力即
引力与惯性离心力的合力。
教材
72页
例 6,
本节重点,
惯性系中的力学定律；
惯性力的概念
（为广义相对论作准备 ）
§ 4.3 动量定理
一,质点的动量定理
力的元冲量—令 tFI
ptF
dd
dd
??
??
?
?
力的冲量—?? 2
1
dt
t
tFI
??
1,微分形式
F
t
p ?
?
?
d
d
2,积分形式
pppptFI
p
p
t
t
?????? ?
? ?????? ?? 12
2
1
2
1
dd得：
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
???
???
???
?
?
?
d
d
d
2
1
2
1
2
1分量式,
tFItFItFtFI zzyytt xxx ????? ??? 21 d O
t
xF
xF
1t
2t
tFtFI
t
t
??? ?
??? 2
1
d
冲量和平均冲力
冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物
体的动量 。 I
? F?
二、质点系动量定理
1.微分形式,
外Ft
p ?
?
?
d
d
pptFI
p
p
t
t
???? ?
? ???? ??
2
1
2
1
dd外外
2,积分形式,
质点系所受外力矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
分量式,
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
???
???
???
?
?
?
2
1
2
1
2
1
d
d
d
外
外
外 0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
??
0d2
1
?? ? tFI
t
t 内内
??
注意,
质点系总动量的变化与内力
的冲量无关。
注意,牛顿第二定律反映了力的 瞬时 效应；而动量
定理则反映力对时间的 累积 效应，即加速度与合外
力对应，而动量变化与合外力的冲量对应。
内力的冲量起什么作用？
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
例题：教材 84页 4-9
求,
已知,
2-
0
sm102.0
3712.10kg1
???
????
g
tFvm
?
? ?
s3 ?? vt ?时
请自行列方程。
F?
?
m
?
F?
?m
mg
N
f
o
x
y解 1,
? ?
? ?
? ?
? ?4d
3203.1c o s 3 7
21344.02
1672.010
0s i n 3 7
3
3
0
mvmvtF
tfFF
tNf
tN
FmgNF
xx
x
y
???
????
???
??
????
?
?
?
?
对不对？
F?
?m
mg
N
f
o
x
y
??? tFt 12.1,
物体可能飞离桌面,
何时飞离？
? ? tN 6 7 2.010:1 ??
？
s9.140672.010 ??? t得：令
)s9.14(0
)s9.140(0, 6 7 2-10
??
???
tN
ttN
.,s3 方向沿尚未飞离，时 xvt ??
F?
?m
mg
N
f
o x
y
静摩擦力达到最大值以前与正压
力无关。物体何时开始运动？
? ?
? ?9.1494.11344.02
1, 9 4t00, 8 9 6 tc o s
?????
????
ttNf
Ff
?
?
? ? tNf 1344.02:2 ??? ?
？
1, 9 4 st0, 1 3 4 4 t-20, 8 9 6 t
Nc o s
??
? ??F
则,
?? fFF x -c o s ? ? ?
? ?9.1494.1203.1
94.100
???
??
tt
t
? ? 203.1c o s 3 7:3 ???? tfFF x ?
？
1-
3
1-
3
3
3
1, 9 4
3
0
sm58.0
sm58.0
d)203.1(0d
??
??
???? ??
iv
v
mvtttF
x
??
通过本题体会存在变力作用时的动量定理应用
? ? 33
0
d:4 mvmvtF xx ????
？
?? fFF x -c o s ? ? ?
? ?9.1494.1203.1
94.100
???
??
tt
t
t时刻,系统总质量为
系统总动量为
vmp ?? ?1
m
m v
?
vv ?? d?
ev
?
mm d?
md?
tt d? 时刻,
)0d(d ?? mmm
排出的燃气质量为 md?
火箭速度为
vv ?? d?
排出的燃气速度为
)d( vvv e ??? ??
火箭质量为
解,火箭和燃气组成一个系统。
例 火箭的运动 火箭依靠排出其内部
燃烧室中产生的气体来获得向前的推
力。设火箭发射时的质量为 m0，速率
为 v0，燃料烧尽时的质量为 m?，气体
相对于火箭排出的速率为 ve。不计空气
阻力，求火箭所能达到的最大速率。
vv ?? d?
ev
?
mm d?
md?
系统的总动量为,
mvvmvm
vvvmvvmmp
e
e
dd
)d)(d()d)(d(2
???
??????
???
???????
mvvmppp e dd12 ????? ?????
时间内系统的动量增量为,td
火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力
mg 。取向上为正，由质点系动量定理得
mvvmtmg e ddd ???
设 时刻燃料烧尽，对上式两边积分得 t?
???
??
???
m
me
v
v
t
m
m
vvtg
0
m
0
d
dd
0
tg
m
m
vvv
tg
m
m
vvv
e
e
??
?
??
??
?
??
0
0m
0
0m
ln
ln
火箭水平飞行时,
m
m
vvv e
?
?? 00m ln
用增大喷气 速度 和增大 质量比 的方法可以提高火
箭末速度。
多级火箭,
nenee NvNvNvvv lnlnln 22110m ????? ?
设,
。足以发射人造地球卫星
1-3
m
321
-1
321
sm13440l n 62500
6sm2500
????
???????
v
NNNvvv
eee
光荣的长征火箭家族
中国已经自行研制了四大系列 12
种型号的运载火箭,
长征 1号系列：发射近地轨道小
卫星,
长征 2号系列：发射近地轨道中
、大型卫星，和其它航天器,
长征 3号系列：发射地球同步高
轨道卫星和航天器,
长征 4号系列：发射太阳同步轨
道卫星,
长征 2号 C火箭
1970年 4月 …… 2003年 5月：发射 70次，将 54颗国产卫
星,27颗外国卫星,4艘神舟号无人飞船送入太空。
成功率 91％（美国德尔塔火箭,94％，欧空局阿丽亚
娜火箭,93％，俄罗斯质子号火箭,90％）。
2003年 10月 15日：长征 2号 F运载火箭成功发射神舟 5
号载人飞船。
长征 3号 A火箭发射的东
方红三号通信卫星 宇航员杨力伟
2005年 10月 12日：长征 2号 F型运载火箭成功发射神舟 6号载人飞船。
报道：“我们在神舟五号的基础上继续攻克多项载人航天的基本技术,
第一次进行了真正有人参与的空间科学实验。”
神舟 6号矗立在发射台上 宇航员费俊龙、聂海胜
§ 4.5 动量守恒定律
一、动量守恒定律
由质点系动量定理,
t
pF
d
d ?? ?
外
当质点系所受外力的矢量和 时，质点系
动量的时间变化率为零 。 即当质点系所受外力
矢量和为零时，质点系的总动量不随时间变化。
0?外F?
孤立系统的总动量不随时间变化。
不受外力作用且总质量不变的系统。
孤立系统的质心作匀速直线运动
0 cF p M v? ? ?外当 时 恒矢量
思考,系统动量守恒条件能否为,
? ?? 2
1
0d
t
t
tFI 外外
??
恒量时
恒量时
恒量时
外
外
外
???
???
???
?
?
?
iz
i
izz
iy
i
iyy
ix
i
ixx
vmpF
vmpF
vmpF
0
0
0
注意,(1) 当 时,系统总动量不守恒，但 0?外F?
(2) 若系统内力 >>外力，以致外力可以忽略不计时，
可以应用动量守恒定律处理问题。
(3) 式中各速度应对同一参考系而言。
(4)动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
(5)动量守恒定律只适用于惯性系。
二、动量守恒定律的应用
例题,? 粒子散射中，质量为 m的 ? 粒子与质量为 M
的静止氧原子核发生“碰撞”。实验测出碰撞后,?
粒子沿与入射方向成 ? =72? 角方向运动，而氧原子
核沿与 ? 粒子入射方向成 ? = 41? 角反冲，如图示，
求,碰撞”前后 ? 粒子速率之比。
在云雾室中得到的加速粒子的轨
迹的彩色反转片
?M
m
?
1v
?
2v
?
v?
高能物理可以用探测器得
到粒子径迹
对 ?粒子和氧原子核系统,
碰撞过程总动量守恒。
解,
“碰撞”：相互靠近，由于斥
力而分离的过程 ——散射 。
碰后,? 粒子动量为
氧原子核动量为 vM?
2vm
?
碰前,? 粒子动量为
氧原子核动量为 0
1vm
?
x
y
?
?
1vm
?
2vm
?
o
vM?
?M
m
?
1v
?
2v
?
v?
解得“碰撞”前后,? 粒子速率之比为
? ? ? ? 7104172s i n
41s i n
s i n
s i n
1
2,
v
v
?
?
?
?
? ??
?
??
?
直角坐标系中
??
??
s i ns i n0
c o sc o s
2
21
Mvmv
Mvmvmv
??
??
由动量守恒定律得
vMvmvm ??? ?? 21
x
y
?
?
1vm?
2vm
?
o
vM?
hM
m
分析运动过程
a
v
H
2
2
?
当 自由下落 距离，绳被拉紧
的瞬间,和 获得相同的运动速率
,此后 向下减速运动,向上
减速运动。 上升的最大高度为,
m h
m
M
v
m
M
M
分两个阶段求解
例题,一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量 m及 M
的物体，且 M >m 。最初 M静止在桌上，抬高 m使绳处
于松弛状态。当 m自由下落距离 h后，绳才被拉紧，求
此时两物体的速率 v和 M所能上升的最大高度 (不计滑
轮和绳的质量、轴承摩擦及绳的伸长 )。 84页 4.10
解 1,
0
,
?
??
v
MmmM
共同速率
不能提起?
解 2,绳拉紧时冲力很大，忽略重力,
系统动量守恒 Mm ?
Mm
ghm
vvMmghm
?
???
2;)(2
第一阶段,绳拉紧,求共同速率 v
解 3,动量是矢量，以向下为正，系统动量守恒,
Mm
ghm
vvMmvghm
?
????
2;)(2
hM
m
+
以上三种解法均不对！
设平均冲力大小为,取向上为正方向 F
Mg
F
mg
F
+
? ?
? ? MvMvtMgFI
ghmmvtmgFI
??????
???????
0
)2(
2
1
hM
m
+
xN
yN
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力
不能忽略, 系统动量不守恒，
应 分别对它们用动量定理；
Mm ?
N?
正确解法,
hM
m
+
忽略重力，则有
mM
ghm
v
Mvghmmv
?
?
????
2
)2(
21 II ?
? ?
? ? MvtMgFI
ghmmvtmgFI
????
???????
2
1 )2(
A
C B作业中类似问题,84页
4.11
M
m
+
第二阶段, 与 有大小相等，方向相反的加速度
设绳拉力为,画出 与 的受力图
mM a
m MT
a
Mg
T a
mg
T
+
由牛顿运动定律
?
?
?
??
??
mamgT
MaTMg 解得
mM
gmM
a
?
?
?
)(
22
2
2
2
)
)(2
()
2(
(
2 mM
hm
mM
gmM
mM
ghm
a
v
H
?
?
?
?
?
??
上升的最大高度为 M
全章小结
一、动量与动量的时间变化率
质点,? ?
am
t
vm
t
p
F
?
???
???
d
d
d
d
质点系,
? ?? ????
i
cic
vMppaM
t
p
F
????
??
总
总
外 d
d
二、惯性系与非惯性系的运动定律
惯性系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
zz
yy
xx
maF
maF
maF
maF
maF
amF
??
或
??
非惯性系,
?
?
?
??
??
???
nmr ωF
amF
amFF ??
??
???
2
0
00
0
三、动量定理
质点,
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
???
?
?
?
?
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
d
d
t
t
zzzz
t
t
yyyy
t
t
xxxx
t
t
tFptFI
tFptFI
tFptFI
ptFI
???
质点系,
?
?
??
???
2
1
2
1
0d
d
t
t
t
t
tFI
ptFI
内内
总外外
??
???
动量守恒定律不仅适用于机械运动，而且适用
于电磁运动、热运动和微观粒子的运动；不仅适用
于低速运动，而且适用于高速运动。
动量守恒定律的适用范围更广
现代物理学中，力的概念不再处于中心地位，
取而代之的是动量和动量守恒定律 。
动量守恒定律是比牛顿定律更基本的定律。
