9.1 常微分方程的基本概念
9.2 可分离变量的微分方程
9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程
9.4 二阶常系数微分方程
9.5 常微分方程的应用举例
第 9章 常微分方程
结束
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含有未知函数的导数（或微分）的方程称为
微分方程。
定义一
9.1 常微分方程的基本概念
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程
偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程
导数的阶数叫做该微分方程的阶
定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
一阶微分方程的一般形式是
二阶微分方程的一般形式是
0),,( ??yyxF
0),,,( ???? yyyxF
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是二阶微分方程
d
d
d
d xbx
x
ya
x
y ???
2
2
注：在微分方程中，未知函数及自变
量可以不出现
是一阶微分方程
d
d
bxay
x
y
???
?
?
?
?
? 2
2例：
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定义 3 能使微分方程成为恒等式的函数 )( xy ??
叫做微分方程的解．
其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的
积分曲线．
例如,xey 2? 是方程 的一个解．02 ??? yy
我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原
函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个
解．
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2yy ??
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程．
例 1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点 (1,2)，
),( yxp且在该曲线上任一点 处的切线斜率
解 设所求曲线的方程为 y=y(x)，
根据导数的几何意义及本题给出的条件，得
2y
x
y ?
d
d 即
Cyx ??? 1 积分得
又由于已知曲线过点 (1,2)，代入上式，得
2
3?C
故所求曲线的方程为
yx
1
2
3 ??
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此解为该方程的通解（或一般解）．
定义 4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程
的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称
(,)y y x C?一阶微分方程的通解是
二阶微分方程的通解是
12(,,)y y x C C?
n阶微分方程的通解中，必须含有 n个任意常数．
其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分
曲线族．
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定义 5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数，
那么所得到的解叫做微分方程的特解．
xCey 2?
如方程 20yy? ?? 的通解是
而 xey 2? 就是一个特解，这里 1?C在具体问题中常数 C的值总是根据, 预先给定的
条件, 而确定的,如例 1中的曲线通过点（ 1,2
），
这个“预先给定的条件”叫初始条件．
称为初始条件．当通解中的各任意常数都取
定义 6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般
得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
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通常情况下，
00 )( yxy ? 即
二阶微分方程的初始条件是
00 yy xx ??
及
0 0xx
yy????
即
00()y x y?
与
00()y x y???
一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，
求解其初值问题就是求方程的特解．
00 yy xx ??
一阶微分方程的初始条件是
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xx eey ??? 是不是方程例 2 验证函数
.02 的解 ?????? yyy
解 求 xx eey ??? 的导数，得
,xx eey ???? xx eey ?????
yyy ???及、将 代入原方程的左边，有
022 ?????? ??? xxxxxx eeeeee
即函数 xx eey ??? 不满足原方程，
所以该函数不是所给二阶微分方程的解．
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3Cxy ? 03 ??? yxy
3
1)1( ?y
解 由 3Cxy ? 得,3 2Cxy ??
代入原方程的左边yy ?和将
033 23 ?? CxxCx
3Cxy ?? 满足原方程．
又因为该函数含有一个任意常数，
3Cxy ?? 是一阶微分方程 03 ??? yxy 的通解．
并求满足初始条件为 任意常数）,
例 3 验证 是不是方程 的通解（ C
的特解．
将初始条件
3
1)1( ?y 代入通解，得
3
1?C
故所求特解为 3
3
1 xy ?
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9.2 可分离变量的微分方程
形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （ 9.2.1）定义：
的一阶微分方程叫做 变量已分离的微分方程。
如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (9.2.2)
中左端的函数 M(x,y),N(x,y)都可以分解为两个因子的积，
并且这两个因子中一个只含有变量 x,另一个只含有变量 y，
即上述方程可以表为
)()( 12 xNyM
0)()()()( 2121 ?? yyNxNxyMxM dd
去除这个方程的两边，上式就可化为以
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12( ) ( )d d 0
( ) ( )
M x N yxy
N x M y??
（ 9.2.3）
将（ 9.2.3）式两边积分后，
12( ) ( )dd
( ) ( )
M x N yx y C
N x M y????
（ C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（ 9.2.3）的通解．
个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。
约定,
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
前页 结束后页
的通解 dd 0
11 22
?
?
?
? x
x
y
y
?? ??? 22 11 xxyy dd
例 1 求微分方程
解 移项、积分
a r c s i n a r c t a ny x C??得
例 2 求方程 21)c o s( s in' yxxy ??? 的通解
解 分离变量，得 xxx
y
y dd )c o s( s i n
1 2
??
?
两边积分，得通解
Cxxy ???? )s in( c o sa r c s in
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xxxyyy dd 22 11 ???
10 ??xy
例 3 求微分方程 满足初始条件
的特解．
解 此为可分离变量的微分方程
分离变量后得
yx
yx
x
y
)1(
)1(
2
2
?
??
d
d
两端积分，得 Cxy ln)1ln ()1ln ( 22 ????
即 )1(1 22 xCy ???
故所求特解为 12 22 ?? xy
2?C由初始条件,10 ??xy 得
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例 4 求微分方程 22( ) d d 0x y x x y y? ? ?的通解．
解 整理得 d
d
y x y
x y x??
这不是可分离变量的方程，若令
x
yu ? 即 y = ux
则有 '' xuuy ??
代入方程得
u
uxuu 1' ???
(1)为可分离变量的微分方程
d1
d
ux
xu?
即 (1)
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1ddu u x
x?
Cxu ln
2
2
?
2
22
22 x
yu
eeCx ??
例 4所给出的方程是一种特殊类型的方程，
其一般形式为
()yyf
x
? ?
这类方程称作齐次微分方程，这类方程可采用变换
x
yu ?,将其转化为可分离变量方程．
将 (1)变形为
得
从而
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9.3 一阶微分方程与可降
阶的高阶微分方程
9.3.1 一阶线性微分方程
特征 都是一次的和 yy ?)i
的函数仅是,xqp)ii
0)( ??? yxpy如果 q(x)=0,则 (9.3.1) 变为 （ 9.3.2）
称为一阶线性齐次方程．
的微分方程，称为一阶线性微分方程．
（ 9.3.1）定义 形如 )()( xqyxpy ???
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时，而 0)( ?xq （ 9.3.1）式称为一阶线性非齐次方程．
下面介绍利用参数变易法求方程（ 9.3.1）的通解．
的通解．
首先求方程（ 9.3.1）所对应的齐次线性方程（ 9.3.2）
（ 9.3.2）是变量可分离的方程，容易求得它的通解
d ( ) dy p x x
y
??
1l n ( ) d l ny p x x C? ? ??
?? ? dxxpeCy )(
1即
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( ) d
1 ()
p x xy C x e ? ??，令 )(11 xCC ? 于是
( ) d ( ) d1
1
d ( )d ( ) ( )
dd
p x x p x xCxy e p x C x e
xx
??????
( ) d1d ( ) ()
d
p x xCx e q x
x
? ? ? ( ) d
1 ( ) ( ) d
p x xC x q x e x C????
( ) d ( ) d ( ) d1
11
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x x p x x p x xCx e p x C x e p x C x e q x
dx
? ? ?? ? ?? ? ?
把它们代入方程（ 9.3.1），得
故（ 9.3.1）式的通解为
( ) d ( ) d( ) dp x x p x xy e q x e x C? ??????
?????
（ 9.3.3）
前页 结束后页
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：
(i) 求对应于（ 9.3.1）的齐次方程（ 9.3.2）的通解
( ) d
1
p x xy C e ? ??
(ii) 令 ( ) d
1 ()
p x xy C x e ? ??,并求出 y?
代入 (i),解出(iii) 将 (ii) 中的 yy ?及
( ) d
1 ( ) ( )
p x xC x q x e d x C????
)(1 xC(iv) 将 (iii) 中求出的 代入 (ii)中 y的表达式，得到
( ) d ( ) d( ) dp x x p x xy e q x e x C? ????????
???
即为所求（ 9.3.1）的通解．
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222 xxexy
x
y ???
d
d例 1 求微分方程 的通解．
2( ) 2,( ) 2 xp x x q x x e ???解
代入公式
22 d 2 d2dx x x xxy e x e e x C? ???????
?????
2 ( 2 d )xe x x C???? 2 2()xe x C???
则所求的通解为
22() xy x C e ???
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例 2 求解微分方程 22d
( 1 ) ( 1 )
d
yx x y x x
x
? ? ? ?
解 方程可变形为
2
d
d1
yx yx
xx???
这里
2() 1
xpx
x?? ?
()q x x?
所以 22dd11 dxxxxy e x e x C?????????
??
??
?
2
2
1d
1
xx x C
x
??
? ? ???
????
221 ( 1 )x x C? ? ? ? 22 11 xCx ????
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例 3 求微分方程 22d ( 2 ) d 0y x x x y y y? ? ? ?的通解．
解 把 x看作是 y的函数
将原方程改写为：
2
d 1 2 1
d
xy x
yy
???
此为关于未知函数 )( yxx ? 的一阶线性非齐次方程，
其中
2
21)(
y
yyp ??,它们的自由项 1)( ?yq
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
22
1 2 1 2dd
d
yyyy
yyx e e y C
??? ????
????
??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
yy e
y
Cey
1
2
1
2 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?? yCe
y
y
1
2
2 1 yeCy
1
21 ??
即所求通解为 yeCyx 121 ??
前页 结束后页
9.3.2 可降阶的高阶微分方程
高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程．
下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程．
型的微分方程()?? ?y f x1．
此微分方程右端仅含自变量 x,通过两次积分可得通解．
例 4 解微分方程 xxey ???
解 积分一次得
1d
xy x e x C? ??? 1)1( Cex x ???
再积分一次得
21)2( CxCexy x ????
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2,型的微分方程(,)?? ??y f x y
这个方程的特点是右端不显含未知函数 y，可令
()y p x? ?,则 ()y p x?? ??, 原方程化为 ),(' pxfp ?
的一阶方程．
如果能求出上述方程的通解 1(,)p x C??
再由方程
1(,)y x C?? ?
则求得原方程的通解
12(,) dy x C x C????
前页 结束后页
例 5 求微分方程 y y x?? ??? 的通解。
解 这是不显含 y 的方程，令 yp??
yp?? ??则
于是原方程为 p p x? ??
p p x? ??即
dd
1d
xxp e x e x C???????
?????
1( ( 1 ) )xxe e x C?? ? ? ?
xeCx 1)1( ????
1( 1 ) xy x C e? ? ? ? ?
因为
21
2
2 CeCx
xy x ?????所以
前页 结束后页
3, (,) ? 型 的 微 分 方 程y '' f y y '
此类方程的特点是不显含 x,令 ()y p y? ?,这里的
p是 y 的函数，是 x 的复合函数。
d ( ) d d d
d d d d
p y p y pyp
x y x y
?? ? ? ? ? ?则
于是原方程化为型如 d
(,)d pp f y py ?
的一阶方程．
这是以 y为自变量,p为未知函数的一阶方程．
如果能求出通解
1(,)p p y C?
，即
1
d (,)
d
y p y C
x ?
利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为
2
1
1 d
(,) y x Cp y C ???
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例 6 求微分方程
23
2yy
?? ?
满足初始条件,1
3 ??xy
3 1xy ?? ?
的特解．
解 令 ()y p y? ? d
d
pyp
y
?? ??
代入原方程得
22 d 3 dp p y y?2d3
d2
ppy
y??
或
两边积分得
132 Cyp ??
由初始条件,1
3 ??xy 3 1xy ?? ? 01 ?C 得
(2
3
32 ypyp ??? 或
3 10xy ?? ??
，所以取正号 ）
前页 结束后页
即为满足所给方程及初始条件的特解．
3
2 ddy y x? ?
3
2d
d
y y
x
?
即 或
22
1
2 Cxy ??? ?积分后得
再由初始条件，得 5
2 ??C
2)5(
4
?
?
x
y
代入上式整理后得
前页 结束后页
9.4 二阶常系数线性微分方程
9.4.1 二阶线性微分方程解的性质
)()()( xfyxqy'xpy ' ' ??? 形如
称为二阶线性微分方程, f (x)称为自由项
的二阶微分方程定义
0)( ?xf当 时，称为二阶线性非齐次微分方程；
当 f (x)恒为零时，称为二阶线性齐次微分方程．
当系数 p(x),q(x)分别为常数 p,q时, 则称方程
0?? ?? ? ?y p y q y
为二阶常系数线性齐次微分方程
0( ) ( ( ) ) ?? ?? ? ? ?y p y q y f x f x
为二阶常系数线性非齐次微分方程,
前页 结束后页
为了寻找解二阶线性微分方程的方法，我们先讨论
二阶线性微分方程解的结构．
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，则函数
1 1 2 2y C y C y?? （其中 C1,C2是任意常数）
仍是该方程的解,
证 因为 y1与 y2是方程 ( ) ( ) 0y p x y q x y?? ?? ? ?的两个解
0)()( 222 ?????? yxqyxpy
0)()( 111 ?????? yxqyxpy所以
又因为 1 1 2 2y C y C y? ? ??? 1 1 2 2y C y C y?? ?? ????
前页 结束后页
于是有
yxqyxpy )()( ?????
))(())(()( 221122112211 yCyCxqyCyCxpyCyC ????????????
1 1 1 1 2 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) 0C y p x y q x y C y p x y q x y?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
的解,0)()( ?????? yxqyxpy
1 1 2 2y C y C y??所以 是
此定理表明，齐次线性方程的解具有叠加性,但要注意：
如果解中的 C1和 C2可以合并成一个任意常数，那么这并不
是二阶线性齐次方程的通解,
前页 结束后页
从而能表示二阶线性齐次方程的通解呢？为此，介绍一个
1 1 2 2C y C y?怎样使形如 的解确实含有两个任意常数，
新的概念：线性相关与线性无关．
定义１ 设函数 )()( 21 xyxy 和 是定义在区间上的两个函数，
如果存在两个不全为零的常数 k1 和 k2,使
0)( 2211 ?? ykxyk
在区间上恒成立，则称函数 )()( 21 xyxy 和
在区间上是线性相关的，否则称为线性无关．
如函数 xyxy 3,21 ?? 在整个实数轴上线性相关
前页 结束后页
考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数
其中 21,kk
)()( 21 xyxy 和当 线性相关时，有 02211 ?? ykyk
不全为零，
01 ?k设
1
2
2
1
k
k
y
y ??则 21 yy 与即 之比为常数，
反之，若 21 yy 与 之比为常数，设,??
2
1
y
y
02121 ??? yyyy ??,即则
所以 21 yy 与 线性相关
因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；
如果不是常数，则它们线性无关
前页 结束后页
定理 2 如果函数
21 yy 与
是二阶线性齐次方程
( ) ( ) 0y p x y q x y?? ?? ? ?
的两个线性无关的特解，则
1 1 2 2y C y C y??
是该方程的通解，其中 C1,C2为任意常数．
定理 3 如果函数 *y 是线性非齐次方程的一个特解，
Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
*yYy ??
是线性非齐次的通解．
前页 结束后页
由以上定理可知
求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤：
（ 1）求齐次线性方程 ( ) ( ) 0y p x y q x y?? ?? ? ?
的线性无关的两个特解 21 yy 与
得该方程的通解
1 1 2 2Y C y C y??
（ 2）求非齐次线性方程 ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x?? ?? ? ?
的一个特解 *y 那么非齐次线性方程的通解为
*yYy ??
注：以上结论也适用于一阶非齐次线性方程，
还可推广到二阶以上的非齐次线性方程．
以上定理是求线性微分方程通解的理论基础．
前页 结束后页
9.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
欲求二阶常系数非齐次线性方程
()y p y q y f x?? ?? ? ? （ 9.4.1）
的通解，应首先研究如何求
0y p y q y?? ?? ? ? （ 9.4.2） 的通解．
例 1 解微分方程 023 ?????? yyy
解 通过观察,xx eyey 221,?? 是方程的两个特解，且
常数?? eee x
x 1
2
所以由定理 2，得方程的通解为
212xxy C e C e??
前页 结束后页
具体解方程时只靠观察法是远远不够的，因此我们
介绍一种不用积分仅仅用代数方法就可得到特解的解法
—— 特征根法．
定义２ 方程 02 ??? qprr （ 9.4.3）
叫做方程 0?????? qyypy 的特征方程
方程（ 9.4.3）的根叫做特征根．
这里的 p,q 是实常数．
由于方程（ 9.4.3）是一元二次代数方程，
它的根有三种可能的情形，分别叙述如下：
前页 结束后页
,04)1( 2 ?? qp 方程（ 9.4.3）有两个不相等的实数根
,21 rr 和 此时方程（ 9.4.2）的通解是
1212r x r xy C e C e??
,04)2( 2 ?? qp 方程（ 9.4.3）有两个相等的实数根
,21 rrr ?? 此时方程（ 9.4.2）的通解是
12()rxy e C C x??
,04)3( 2 ?? qp 方程（ 9.4.3）有一对共轭复数根
,?? i? 此时方程（ 9.4.2）的通解是
12( c o s s in )xy e C x C x? ????
前页 结束后页
例 2 求方程 032 ?????? yyy 的通解
解 该方程的特征方程为 0322 ??? rr
它有两个不相等的实根
3,1 21 ??? rr
其对应的两个线性无关的特解为
xx eyey 321 ?? ? 与
所以方程的通解为
312xxy C e C e???
前页 结束后页
例 3 求方程 044 ?????? yyy 的满足初始条件
( 0 ) 1,( 0 ) 4yy ??? 的特解．
解 该方程的特征方程为 0442 ??? rr
它有重根 2?r
其对应的两个线性无关的特解为
xx xeyey 2221 ?? 与
所以通解为 2
12() xy C C x e??
求得 222 1 22 ( )xxy C e C C x e? ? ? ?
将 ( 0 ) 1,( 0 ) 4yy ??? 代入上两式，得 121,2CC??
因此，所求特解为 2(1 2 ) xy x e??
前页 结束后页
例 4 求方程 0322 ?????? yyy 的通解．
解 该方程的特征方程为 0322 2 ??? rr
它有共扼复根 ir 5
2
1
2
1
4
2442
2,1 ???
????
即 5
2
1,
2
1 ??? ??
对应的两个线性无关的解为
xeyxey xx 2 5s i n,2 5c o s 2
1
22
1
1
?? ??
所以方程的通解为
1
2
12
55c o s sin
22
xy e C x C x? ????
??
??
前页 结束后页
9.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
由定理 3知，非齐次线性方程的通解是对应的齐
次线性方程的通解与其自身的一个特解之和，而求二
阶常系数非齐次线性微分方程的通解问题已经解决，
所以求非齐次线性方程的通解关键在于求其中一个特
解．
以下介绍当自由项 f (x)属于两种特殊类型函数时
的情况．
前页 结束后页
我们知道，方程 ()y p y q y f x?? ?? ? ?(9.4.4)
*y的特解 是能使（ 9.4.4）成为恒等式的函数．现在
(9.4.4)的右端 f (x) 是多项式 ()
mPx
与指数函数 xe?
的乘积，而且只有多项式和指数函数的导数才能是多
项式和指数函数．因此可设（ 9.4.4）有特解
* ()kx my x e x?? Q
其中 ()m xQ 是与 ()
mPx
同次的多项式．
类型( ) ( )?? x mf x e P x１．
表示关于 x的 m次多项式．()
mPx
是常数，?其中
前页 结束后页
?当 不是（ 9.4.4）所对应的齐次线性方程的
特征方程 02 ??? qprr 的根时，取 ；0?k
?当 是其特征方程单根时，取 ；1?k
当 ? 是其特征方程重根时，取,2?k
将所设的特解代入（ 9.4.4）中，比较等式两端，
使 x同次幂的系数相等，从而确定 ()m xQ 的各项系数，
得到所求之特解．
前页 结束后页
例 5 求方程 xeyyy 22?????? 的一个特解
解 特征方程 012 ??? rr 的特征根
2
31
2
411
2,1
ir ???????
2?? 不是特征方程的根，所以设特解为：
xAey 2* ?
即 * 2 * 2( ) 2,( ) 4xxy A e y A e??? ??
代入方程，得 2
7A?
故原方程的特解为 xey 2*
7
2?
前页 结束后页
? ?( ) ( ) c o s ( ) s i n? ????x nlf x e P x x P x x２,类型
因为指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦
函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数,
因此，我们可以设（ 9.4.4）有特解
? ? ? ?? ?xxRxxRexy mmxk ??? s i n)(c o s)( 21* ??
其中 ? ? ? ? ? ? ? ? mxRxR
mm 是21,
次多项式,? ?nlm,m a x?,而 k
按 )( ???? ii ?? 或 不是特征方程的根或是特征方程
的单根依次取 0或 1．
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例 6 求方程 22 xyyy ?????? 的通解
解 特征方程 0122 ??? rr
特征根是 121 ?? rr
故对应的齐次方程的通解 12()??xY e C C x
2221 2)*(,2)*( byxbbby ???????
因 2 0 2() xf x x e x??, 0不是特征根，故设
2210* xbxbby ???
的二次多项式）
（注意不要设成 22* xby ?,一定设成一个不缺项
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代入原方程，得
222 1 2 0 2 1( 4 ) 2 2b x b b x b b b x? ? ? ? ? ?
解
1,4,6 210 ??? bbb得
??
?
?
?
???
??
?
022
04
1
120
21
2
bbb
bb
b
2* 46 xxy ???故
由定理 3知方程的通解
*2 12( ) 4 6xy Y y e C C x x x? ? ? ? ? ? ?
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9.5 常微分方程的应用举例
在学习了几类微分方程的解法基础上，本节将举例
说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上的实际问
题，并且介绍微分方程在经济数量分析中的应用．
例 1 求过点（ 1,3）且切线斜率为 2x的曲线方程．
解 设所求的曲线方程是 y =y (x)
则依题意有满足下面的关系：
2
13
d
d
()
?
??
?
? ??
y
x
x
y
（ 9.5.1）
（ 9.5.2）
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其中 y (1)=3 表示 x=1 时 y的值为 3
要求出满足（ 9.5.1）式的函数，只需求一次不
定积分即可．显然，这种函数的一般形式是
Cxy ?? 2 （ C为任意常数）
这是一簇曲线，曲线簇中每一条曲线在点 x处的
斜率均为 2x．如果将已知条件（ 9.5.2）式代入上式，
求出 2C ?
则 22 ?? xy
就是所求过点（ 1,3）且切线斜率为 2x的曲线方程
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例 2 某种商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性为 1.5P.已知
该商品的最大需求量为 800(即 P=0时,Q=800),求
需求量 Q与价格 P的函数关系．
解 设所求的函数关系为 Q=Q(P)
根据需求价格弹性的定义有
0
15
800
d
.
d
| ?
?
???
?
? ?
? P
PQ
P
QP
Q
(9.5.3)
(9.5.4)
15dd (, )??QP PQP
为求出 Q = Q(P),我们可以将（ 9.5.3）式改写成
前页 结束后页
两边积分，得
1ln 1,5Q P C? ? ?
即
111, 5 1, 5 ()P C CPQ e C e C e?? ?? ? ?
于是 = 8 0 0C
所以 Q与 P的函数关系为
1,5800 PQe ??
= 8 0 0Q
再由（ 9.5.4）可知：
当 P = 0 时，
d 1,5 dQ P
Q ??
即
前页 结束后页
例 3 已知某厂的纯利润 L对广告费 x的变化率 d
d
L
x
与常数
A和纯利润 L之差成正比，当 x=0时,L=L0,试求纯
利润 L与广告费 x之间的函数关系．
解 由题意列出方程
分离变量 d dL kx
AL ??
两边积分得
1ln)l n ( CkxLA ????
?
?
?
?
?
?
??
? 00
()(
LL
kLAk
dx
dL
x
为常数）
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)1(
1C
CCeLA kx ??? ? 其中
kxCeAL ???
由初始条件
00| LL x ??
解得
0LAC ??
所以，纯利润与广告费的函数关系为
kxeLAAL ???? )( 0
9.2 可分离变量的微分方程
9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程
9.4 二阶常系数微分方程
9.5 常微分方程的应用举例
第 9章 常微分方程
结束
前页 结束后页
含有未知函数的导数（或微分）的方程称为
微分方程。
定义一
9.1 常微分方程的基本概念
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程
偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程
导数的阶数叫做该微分方程的阶
定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
一阶微分方程的一般形式是
二阶微分方程的一般形式是
0),,( ??yyxF
0),,,( ???? yyyxF
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是二阶微分方程
d
d
d
d xbx
x
ya
x
y ???
2
2
注：在微分方程中，未知函数及自变
量可以不出现
是一阶微分方程
d
d
bxay
x
y
???
?
?
?
?
? 2
2例：
前页 结束后页
定义 3 能使微分方程成为恒等式的函数 )( xy ??
叫做微分方程的解．
其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的
积分曲线．
例如,xey 2? 是方程 的一个解．02 ??? yy
我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原
函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个
解．
前页 结束后页
2yy ??
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程．
例 1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点 (1,2)，
),( yxp且在该曲线上任一点 处的切线斜率
解 设所求曲线的方程为 y=y(x)，
根据导数的几何意义及本题给出的条件，得
2y
x
y ?
d
d 即
Cyx ??? 1 积分得
又由于已知曲线过点 (1,2)，代入上式，得
2
3?C
故所求曲线的方程为
yx
1
2
3 ??
前页 结束后页
此解为该方程的通解（或一般解）．
定义 4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程
的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称
(,)y y x C?一阶微分方程的通解是
二阶微分方程的通解是
12(,,)y y x C C?
n阶微分方程的通解中，必须含有 n个任意常数．
其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分
曲线族．
前页 结束后页
定义 5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数，
那么所得到的解叫做微分方程的特解．
xCey 2?
如方程 20yy? ?? 的通解是
而 xey 2? 就是一个特解，这里 1?C在具体问题中常数 C的值总是根据, 预先给定的
条件, 而确定的,如例 1中的曲线通过点（ 1,2
），
这个“预先给定的条件”叫初始条件．
称为初始条件．当通解中的各任意常数都取
定义 6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般
得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
前页 结束后页
通常情况下，
00 )( yxy ? 即
二阶微分方程的初始条件是
00 yy xx ??
及
0 0xx
yy????
即
00()y x y?
与
00()y x y???
一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，
求解其初值问题就是求方程的特解．
00 yy xx ??
一阶微分方程的初始条件是
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xx eey ??? 是不是方程例 2 验证函数
.02 的解 ?????? yyy
解 求 xx eey ??? 的导数，得
,xx eey ???? xx eey ?????
yyy ???及、将 代入原方程的左边，有
022 ?????? ??? xxxxxx eeeeee
即函数 xx eey ??? 不满足原方程，
所以该函数不是所给二阶微分方程的解．
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3Cxy ? 03 ??? yxy
3
1)1( ?y
解 由 3Cxy ? 得,3 2Cxy ??
代入原方程的左边yy ?和将
033 23 ?? CxxCx
3Cxy ?? 满足原方程．
又因为该函数含有一个任意常数，
3Cxy ?? 是一阶微分方程 03 ??? yxy 的通解．
并求满足初始条件为 任意常数）,
例 3 验证 是不是方程 的通解（ C
的特解．
将初始条件
3
1)1( ?y 代入通解，得
3
1?C
故所求特解为 3
3
1 xy ?
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9.2 可分离变量的微分方程
形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （ 9.2.1）定义：
的一阶微分方程叫做 变量已分离的微分方程。
如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (9.2.2)
中左端的函数 M(x,y),N(x,y)都可以分解为两个因子的积，
并且这两个因子中一个只含有变量 x,另一个只含有变量 y，
即上述方程可以表为
)()( 12 xNyM
0)()()()( 2121 ?? yyNxNxyMxM dd
去除这个方程的两边，上式就可化为以
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12( ) ( )d d 0
( ) ( )
M x N yxy
N x M y??
（ 9.2.3）
将（ 9.2.3）式两边积分后，
12( ) ( )dd
( ) ( )
M x N yx y C
N x M y????
（ C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（ 9.2.3）的通解．
个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。
约定,
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
前页 结束后页
的通解 dd 0
11 22
?
?
?
? x
x
y
y
?? ??? 22 11 xxyy dd
例 1 求微分方程
解 移项、积分
a r c s i n a r c t a ny x C??得
例 2 求方程 21)c o s( s in' yxxy ??? 的通解
解 分离变量，得 xxx
y
y dd )c o s( s i n
1 2
??
?
两边积分，得通解
Cxxy ???? )s in( c o sa r c s in
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xxxyyy dd 22 11 ???
10 ??xy
例 3 求微分方程 满足初始条件
的特解．
解 此为可分离变量的微分方程
分离变量后得
yx
yx
x
y
)1(
)1(
2
2
?
??
d
d
两端积分，得 Cxy ln)1ln ()1ln ( 22 ????
即 )1(1 22 xCy ???
故所求特解为 12 22 ?? xy
2?C由初始条件,10 ??xy 得
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例 4 求微分方程 22( ) d d 0x y x x y y? ? ?的通解．
解 整理得 d
d
y x y
x y x??
这不是可分离变量的方程，若令
x
yu ? 即 y = ux
则有 '' xuuy ??
代入方程得
u
uxuu 1' ???
(1)为可分离变量的微分方程
d1
d
ux
xu?
即 (1)
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1ddu u x
x?
Cxu ln
2
2
?
2
22
22 x
yu
eeCx ??
例 4所给出的方程是一种特殊类型的方程，
其一般形式为
()yyf
x
? ?
这类方程称作齐次微分方程，这类方程可采用变换
x
yu ?,将其转化为可分离变量方程．
将 (1)变形为
得
从而
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9.3 一阶微分方程与可降
阶的高阶微分方程
9.3.1 一阶线性微分方程
特征 都是一次的和 yy ?)i
的函数仅是,xqp)ii
0)( ??? yxpy如果 q(x)=0,则 (9.3.1) 变为 （ 9.3.2）
称为一阶线性齐次方程．
的微分方程，称为一阶线性微分方程．
（ 9.3.1）定义 形如 )()( xqyxpy ???
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时，而 0)( ?xq （ 9.3.1）式称为一阶线性非齐次方程．
下面介绍利用参数变易法求方程（ 9.3.1）的通解．
的通解．
首先求方程（ 9.3.1）所对应的齐次线性方程（ 9.3.2）
（ 9.3.2）是变量可分离的方程，容易求得它的通解
d ( ) dy p x x
y
??
1l n ( ) d l ny p x x C? ? ??
?? ? dxxpeCy )(
1即
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( ) d
1 ()
p x xy C x e ? ??，令 )(11 xCC ? 于是
( ) d ( ) d1
1
d ( )d ( ) ( )
dd
p x x p x xCxy e p x C x e
xx
??????
( ) d1d ( ) ()
d
p x xCx e q x
x
? ? ? ( ) d
1 ( ) ( ) d
p x xC x q x e x C????
( ) d ( ) d ( ) d1
11
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x x p x x p x xCx e p x C x e p x C x e q x
dx
? ? ?? ? ?? ? ?
把它们代入方程（ 9.3.1），得
故（ 9.3.1）式的通解为
( ) d ( ) d( ) dp x x p x xy e q x e x C? ??????
?????
（ 9.3.3）
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一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：
(i) 求对应于（ 9.3.1）的齐次方程（ 9.3.2）的通解
( ) d
1
p x xy C e ? ??
(ii) 令 ( ) d
1 ()
p x xy C x e ? ??,并求出 y?
代入 (i),解出(iii) 将 (ii) 中的 yy ?及
( ) d
1 ( ) ( )
p x xC x q x e d x C????
)(1 xC(iv) 将 (iii) 中求出的 代入 (ii)中 y的表达式，得到
( ) d ( ) d( ) dp x x p x xy e q x e x C? ????????
???
即为所求（ 9.3.1）的通解．
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222 xxexy
x
y ???
d
d例 1 求微分方程 的通解．
2( ) 2,( ) 2 xp x x q x x e ???解
代入公式
22 d 2 d2dx x x xxy e x e e x C? ???????
?????
2 ( 2 d )xe x x C???? 2 2()xe x C???
则所求的通解为
22() xy x C e ???
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例 2 求解微分方程 22d
( 1 ) ( 1 )
d
yx x y x x
x
? ? ? ?
解 方程可变形为
2
d
d1
yx yx
xx???
这里
2() 1
xpx
x?? ?
()q x x?
所以 22dd11 dxxxxy e x e x C?????????
??
??
?
2
2
1d
1
xx x C
x
??
? ? ???
????
221 ( 1 )x x C? ? ? ? 22 11 xCx ????
前页 结束后页
例 3 求微分方程 22d ( 2 ) d 0y x x x y y y? ? ? ?的通解．
解 把 x看作是 y的函数
将原方程改写为：
2
d 1 2 1
d
xy x
yy
???
此为关于未知函数 )( yxx ? 的一阶线性非齐次方程，
其中
2
21)(
y
yyp ??,它们的自由项 1)( ?yq
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
22
1 2 1 2dd
d
yyyy
yyx e e y C
??? ????
????
??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
yy e
y
Cey
1
2
1
2 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?? yCe
y
y
1
2
2 1 yeCy
1
21 ??
即所求通解为 yeCyx 121 ??
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9.3.2 可降阶的高阶微分方程
高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程．
下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程．
型的微分方程()?? ?y f x1．
此微分方程右端仅含自变量 x,通过两次积分可得通解．
例 4 解微分方程 xxey ???
解 积分一次得
1d
xy x e x C? ??? 1)1( Cex x ???
再积分一次得
21)2( CxCexy x ????
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2,型的微分方程(,)?? ??y f x y
这个方程的特点是右端不显含未知函数 y，可令
()y p x? ?,则 ()y p x?? ??, 原方程化为 ),(' pxfp ?
的一阶方程．
如果能求出上述方程的通解 1(,)p x C??
再由方程
1(,)y x C?? ?
则求得原方程的通解
12(,) dy x C x C????
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例 5 求微分方程 y y x?? ??? 的通解。
解 这是不显含 y 的方程，令 yp??
yp?? ??则
于是原方程为 p p x? ??
p p x? ??即
dd
1d
xxp e x e x C???????
?????
1( ( 1 ) )xxe e x C?? ? ? ?
xeCx 1)1( ????
1( 1 ) xy x C e? ? ? ? ?
因为
21
2
2 CeCx
xy x ?????所以
前页 结束后页
3, (,) ? 型 的 微 分 方 程y '' f y y '
此类方程的特点是不显含 x,令 ()y p y? ?,这里的
p是 y 的函数，是 x 的复合函数。
d ( ) d d d
d d d d
p y p y pyp
x y x y
?? ? ? ? ? ?则
于是原方程化为型如 d
(,)d pp f y py ?
的一阶方程．
这是以 y为自变量,p为未知函数的一阶方程．
如果能求出通解
1(,)p p y C?
，即
1
d (,)
d
y p y C
x ?
利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为
2
1
1 d
(,) y x Cp y C ???
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例 6 求微分方程
23
2yy
?? ?
满足初始条件,1
3 ??xy
3 1xy ?? ?
的特解．
解 令 ()y p y? ? d
d
pyp
y
?? ??
代入原方程得
22 d 3 dp p y y?2d3
d2
ppy
y??
或
两边积分得
132 Cyp ??
由初始条件,1
3 ??xy 3 1xy ?? ? 01 ?C 得
(2
3
32 ypyp ??? 或
3 10xy ?? ??
，所以取正号 ）
前页 结束后页
即为满足所给方程及初始条件的特解．
3
2 ddy y x? ?
3
2d
d
y y
x
?
即 或
22
1
2 Cxy ??? ?积分后得
再由初始条件，得 5
2 ??C
2)5(
4
?
?
x
y
代入上式整理后得
前页 结束后页
9.4 二阶常系数线性微分方程
9.4.1 二阶线性微分方程解的性质
)()()( xfyxqy'xpy ' ' ??? 形如
称为二阶线性微分方程, f (x)称为自由项
的二阶微分方程定义
0)( ?xf当 时，称为二阶线性非齐次微分方程；
当 f (x)恒为零时，称为二阶线性齐次微分方程．
当系数 p(x),q(x)分别为常数 p,q时, 则称方程
0?? ?? ? ?y p y q y
为二阶常系数线性齐次微分方程
0( ) ( ( ) ) ?? ?? ? ? ?y p y q y f x f x
为二阶常系数线性非齐次微分方程,
前页 结束后页
为了寻找解二阶线性微分方程的方法，我们先讨论
二阶线性微分方程解的结构．
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，则函数
1 1 2 2y C y C y?? （其中 C1,C2是任意常数）
仍是该方程的解,
证 因为 y1与 y2是方程 ( ) ( ) 0y p x y q x y?? ?? ? ?的两个解
0)()( 222 ?????? yxqyxpy
0)()( 111 ?????? yxqyxpy所以
又因为 1 1 2 2y C y C y? ? ??? 1 1 2 2y C y C y?? ?? ????
前页 结束后页
于是有
yxqyxpy )()( ?????
))(())(()( 221122112211 yCyCxqyCyCxpyCyC ????????????
1 1 1 1 2 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) 0C y p x y q x y C y p x y q x y?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
的解,0)()( ?????? yxqyxpy
1 1 2 2y C y C y??所以 是
此定理表明，齐次线性方程的解具有叠加性,但要注意：
如果解中的 C1和 C2可以合并成一个任意常数，那么这并不
是二阶线性齐次方程的通解,
前页 结束后页
从而能表示二阶线性齐次方程的通解呢？为此，介绍一个
1 1 2 2C y C y?怎样使形如 的解确实含有两个任意常数，
新的概念：线性相关与线性无关．
定义１ 设函数 )()( 21 xyxy 和 是定义在区间上的两个函数，
如果存在两个不全为零的常数 k1 和 k2,使
0)( 2211 ?? ykxyk
在区间上恒成立，则称函数 )()( 21 xyxy 和
在区间上是线性相关的，否则称为线性无关．
如函数 xyxy 3,21 ?? 在整个实数轴上线性相关
前页 结束后页
考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数
其中 21,kk
)()( 21 xyxy 和当 线性相关时，有 02211 ?? ykyk
不全为零，
01 ?k设
1
2
2
1
k
k
y
y ??则 21 yy 与即 之比为常数，
反之，若 21 yy 与 之比为常数，设,??
2
1
y
y
02121 ??? yyyy ??,即则
所以 21 yy 与 线性相关
因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；
如果不是常数，则它们线性无关
前页 结束后页
定理 2 如果函数
21 yy 与
是二阶线性齐次方程
( ) ( ) 0y p x y q x y?? ?? ? ?
的两个线性无关的特解，则
1 1 2 2y C y C y??
是该方程的通解，其中 C1,C2为任意常数．
定理 3 如果函数 *y 是线性非齐次方程的一个特解，
Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
*yYy ??
是线性非齐次的通解．
前页 结束后页
由以上定理可知
求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤：
（ 1）求齐次线性方程 ( ) ( ) 0y p x y q x y?? ?? ? ?
的线性无关的两个特解 21 yy 与
得该方程的通解
1 1 2 2Y C y C y??
（ 2）求非齐次线性方程 ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x?? ?? ? ?
的一个特解 *y 那么非齐次线性方程的通解为
*yYy ??
注：以上结论也适用于一阶非齐次线性方程，
还可推广到二阶以上的非齐次线性方程．
以上定理是求线性微分方程通解的理论基础．
前页 结束后页
9.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
欲求二阶常系数非齐次线性方程
()y p y q y f x?? ?? ? ? （ 9.4.1）
的通解，应首先研究如何求
0y p y q y?? ?? ? ? （ 9.4.2） 的通解．
例 1 解微分方程 023 ?????? yyy
解 通过观察,xx eyey 221,?? 是方程的两个特解，且
常数?? eee x
x 1
2
所以由定理 2，得方程的通解为
212xxy C e C e??
前页 结束后页
具体解方程时只靠观察法是远远不够的，因此我们
介绍一种不用积分仅仅用代数方法就可得到特解的解法
—— 特征根法．
定义２ 方程 02 ??? qprr （ 9.4.3）
叫做方程 0?????? qyypy 的特征方程
方程（ 9.4.3）的根叫做特征根．
这里的 p,q 是实常数．
由于方程（ 9.4.3）是一元二次代数方程，
它的根有三种可能的情形，分别叙述如下：
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,04)1( 2 ?? qp 方程（ 9.4.3）有两个不相等的实数根
,21 rr 和 此时方程（ 9.4.2）的通解是
1212r x r xy C e C e??
,04)2( 2 ?? qp 方程（ 9.4.3）有两个相等的实数根
,21 rrr ?? 此时方程（ 9.4.2）的通解是
12()rxy e C C x??
,04)3( 2 ?? qp 方程（ 9.4.3）有一对共轭复数根
,?? i? 此时方程（ 9.4.2）的通解是
12( c o s s in )xy e C x C x? ????
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例 2 求方程 032 ?????? yyy 的通解
解 该方程的特征方程为 0322 ??? rr
它有两个不相等的实根
3,1 21 ??? rr
其对应的两个线性无关的特解为
xx eyey 321 ?? ? 与
所以方程的通解为
312xxy C e C e???
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例 3 求方程 044 ?????? yyy 的满足初始条件
( 0 ) 1,( 0 ) 4yy ??? 的特解．
解 该方程的特征方程为 0442 ??? rr
它有重根 2?r
其对应的两个线性无关的特解为
xx xeyey 2221 ?? 与
所以通解为 2
12() xy C C x e??
求得 222 1 22 ( )xxy C e C C x e? ? ? ?
将 ( 0 ) 1,( 0 ) 4yy ??? 代入上两式，得 121,2CC??
因此，所求特解为 2(1 2 ) xy x e??
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例 4 求方程 0322 ?????? yyy 的通解．
解 该方程的特征方程为 0322 2 ??? rr
它有共扼复根 ir 5
2
1
2
1
4
2442
2,1 ???
????
即 5
2
1,
2
1 ??? ??
对应的两个线性无关的解为
xeyxey xx 2 5s i n,2 5c o s 2
1
22
1
1
?? ??
所以方程的通解为
1
2
12
55c o s sin
22
xy e C x C x? ????
??
??
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9.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
由定理 3知，非齐次线性方程的通解是对应的齐
次线性方程的通解与其自身的一个特解之和，而求二
阶常系数非齐次线性微分方程的通解问题已经解决，
所以求非齐次线性方程的通解关键在于求其中一个特
解．
以下介绍当自由项 f (x)属于两种特殊类型函数时
的情况．
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我们知道，方程 ()y p y q y f x?? ?? ? ?(9.4.4)
*y的特解 是能使（ 9.4.4）成为恒等式的函数．现在
(9.4.4)的右端 f (x) 是多项式 ()
mPx
与指数函数 xe?
的乘积，而且只有多项式和指数函数的导数才能是多
项式和指数函数．因此可设（ 9.4.4）有特解
* ()kx my x e x?? Q
其中 ()m xQ 是与 ()
mPx
同次的多项式．
类型( ) ( )?? x mf x e P x１．
表示关于 x的 m次多项式．()
mPx
是常数，?其中
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?当 不是（ 9.4.4）所对应的齐次线性方程的
特征方程 02 ??? qprr 的根时，取 ；0?k
?当 是其特征方程单根时，取 ；1?k
当 ? 是其特征方程重根时，取,2?k
将所设的特解代入（ 9.4.4）中，比较等式两端，
使 x同次幂的系数相等，从而确定 ()m xQ 的各项系数，
得到所求之特解．
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例 5 求方程 xeyyy 22?????? 的一个特解
解 特征方程 012 ??? rr 的特征根
2
31
2
411
2,1
ir ???????
2?? 不是特征方程的根，所以设特解为：
xAey 2* ?
即 * 2 * 2( ) 2,( ) 4xxy A e y A e??? ??
代入方程，得 2
7A?
故原方程的特解为 xey 2*
7
2?
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? ?( ) ( ) c o s ( ) s i n? ????x nlf x e P x x P x x２,类型
因为指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦
函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数,
因此，我们可以设（ 9.4.4）有特解
? ? ? ?? ?xxRxxRexy mmxk ??? s i n)(c o s)( 21* ??
其中 ? ? ? ? ? ? ? ? mxRxR
mm 是21,
次多项式,? ?nlm,m a x?,而 k
按 )( ???? ii ?? 或 不是特征方程的根或是特征方程
的单根依次取 0或 1．
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例 6 求方程 22 xyyy ?????? 的通解
解 特征方程 0122 ??? rr
特征根是 121 ?? rr
故对应的齐次方程的通解 12()??xY e C C x
2221 2)*(,2)*( byxbbby ???????
因 2 0 2() xf x x e x??, 0不是特征根，故设
2210* xbxbby ???
的二次多项式）
（注意不要设成 22* xby ?,一定设成一个不缺项
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代入原方程，得
222 1 2 0 2 1( 4 ) 2 2b x b b x b b b x? ? ? ? ? ?
解
1,4,6 210 ??? bbb得
??
?
?
?
???
??
?
022
04
1
120
21
2
bbb
bb
b
2* 46 xxy ???故
由定理 3知方程的通解
*2 12( ) 4 6xy Y y e C C x x x? ? ? ? ? ? ?
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9.5 常微分方程的应用举例
在学习了几类微分方程的解法基础上，本节将举例
说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上的实际问
题，并且介绍微分方程在经济数量分析中的应用．
例 1 求过点（ 1,3）且切线斜率为 2x的曲线方程．
解 设所求的曲线方程是 y =y (x)
则依题意有满足下面的关系：
2
13
d
d
()
?
??
?
? ??
y
x
x
y
（ 9.5.1）
（ 9.5.2）
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其中 y (1)=3 表示 x=1 时 y的值为 3
要求出满足（ 9.5.1）式的函数，只需求一次不
定积分即可．显然，这种函数的一般形式是
Cxy ?? 2 （ C为任意常数）
这是一簇曲线，曲线簇中每一条曲线在点 x处的
斜率均为 2x．如果将已知条件（ 9.5.2）式代入上式，
求出 2C ?
则 22 ?? xy
就是所求过点（ 1,3）且切线斜率为 2x的曲线方程
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例 2 某种商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性为 1.5P.已知
该商品的最大需求量为 800(即 P=0时,Q=800),求
需求量 Q与价格 P的函数关系．
解 设所求的函数关系为 Q=Q(P)
根据需求价格弹性的定义有
0
15
800
d
.
d
| ?
?
???
?
? ?
? P
PQ
P
QP
Q
(9.5.3)
(9.5.4)
15dd (, )??QP PQP
为求出 Q = Q(P),我们可以将（ 9.5.3）式改写成
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两边积分，得
1ln 1,5Q P C? ? ?
即
111, 5 1, 5 ()P C CPQ e C e C e?? ?? ? ?
于是 = 8 0 0C
所以 Q与 P的函数关系为
1,5800 PQe ??
= 8 0 0Q
再由（ 9.5.4）可知：
当 P = 0 时，
d 1,5 dQ P
Q ??
即
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例 3 已知某厂的纯利润 L对广告费 x的变化率 d
d
L
x
与常数
A和纯利润 L之差成正比，当 x=0时,L=L0,试求纯
利润 L与广告费 x之间的函数关系．
解 由题意列出方程
分离变量 d dL kx
AL ??
两边积分得
1ln)l n ( CkxLA ????
?
?
?
?
?
?
??
? 00
()(
LL
kLAk
dx
dL
x
为常数）
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)1(
1C
CCeLA kx ??? ? 其中
kxCeAL ???
由初始条件
00| LL x ??
解得
0LAC ??
所以，纯利润与广告费的函数关系为
kxeLAAL ???? )( 0
