6.1 定积分的几何应用
6.2 定积分在经济问题中的应用
第 6章 定积分的应用
结束
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2.以点 x处的函数值为高,以 [x,x+dx]为底的矩形面
积做为△ A的近似值,其中 f(x)dx 称为
面积微元,记为,
于是面积为
1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间 [a,b],
在区间上任 取一小区间并记为,
此方法称为微元法或积分元素法,
[ d ]x,x + x
6.1.1 微元法,
( ) dA f x x??
d ( ) dA f x x?
d ( ) dbbaaA A f x x????
x dxx?a b
A?
6.1 定积分的几何应用
以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形,
前页 结束后页
设函数 在区
间 上连续,,
求由曲线 及
直线 所围成
的图形的面积,
1,直角坐标下平面图形的面积
6.1.2 用定积分求平面图形的面积
( ),( )f x g x
[,]ab ( ) ( )g x f x≤
( ),( )y f x y g x??
,( )x a x b a b? ? ?
()y f x?
()y g x?
a b
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(2) 以 为被积表达式,在区间 作定
积分 就是所求图形的面积,
(1) 在区间 上任取小区间,设此小
区间上的面积为,它近似于高为,底为
的小矩形面积,从而得面积微元为 d [ ( ) ( ) ] d,A f x g x x??
[ ( ) ( ) ] dbaA f x g x x???
分析 [,]ab [,d ] x x x?
A? () ()f x g x? dx
[ ( ) ( ) ] df x g x x? [,]ab
在这个公式中，无论曲线
在 x 轴的上方或下方都成立，只
要 在曲线 的下方
即可。
()y g x? ()y f x?
()y f x?
()y g x?
a bx x dx?
dA
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( ) 0fx?
( ) 0gx ?
( ) 0fx ?
( ) 0gx ?
前页 结束后页
3 3
12
0
2
[]
33
1
.
3
x
x??
?
1 2
0 dA x x x
???????
2d [ ] dA x xx??
例 1 求由曲线 所围成的图形的面积 A。2y x y x??，
解 两曲线的交点为 （ 0,0）,（ 1,1）,于是积分区间为 [0,1]
面积微元
所求面积为
1x dxx?
前页 结束后页
面积为,则近似于高为 dy,底
同理，设函数 在区间 上连续，
为 的小矩形面积,
在区间 上任取小区间,设此小区间上的
求由曲线 及直线 所
围成的图形的面积,
21[ ( ) ( ) ] d?????
d
cA y y y
12( ),( )??yy [,]cd 12( ) ( )yy???
12( ),( )????x y x y,( )y c y d c d? ? ?
dyy?
c
d
2 ()y?
1()y?
y
[,d ]y y y?
21d [ ( ) ( ) ] d,A y y x????
[,]cd
A?
21( ) ( )yy???
于是所求面积为
从而得面积微元为
前页 结束后页
22
1
2
23
1
( 2 4 2 ) d
2
= 4
3
9.
A y y
y
y
yy
?
?
? ? ?
??
??
??
??
?
?
解 由 解得交点 A(2,-1),B(8,2)
例 2 求抛物线 与直线 所围成的图
形的面积,
22 yx? 24xy??
2
42
xy
xy
? ?
? ??
?
A(2,-1),
B(8,2)
取 y为积分变量,于是,所求面积为,
前页 结束后页
且 求此曲线与射线 所围成的曲边
扇形的面积,
(2)极坐标下平面图形的面积
设曲线的极坐标方程 在 上连续,( ) ( )r r r???, [,]??
( ) 0r ? ? ? ? ? ???，
()rr??
?
?
?
r
d???
在区间 上任取一小区间,设此小区间
上曲边扇形的面积为,则 近似于半径为,中心
[,]?? [,d ]? ? ??
A? A? ()r?
角为 的扇形面积,
d?
21dd
2A r ??,
211 ( ) d,
22A r
?
?
??? ?
从而可得面积为
从而得到面积微元为
前页 结束后页
π 22
0
12 ( 1 c o s ) d
2 ?????Aa
π22
0 ( 1 2 c o s c o s ) d? ? ?? ? ??a
π2
0
31( 2 c o s c o s 2 ) d
22 ? ? ?? ? ??a
π
2
0
2
31
2 si n si n 2
24
3
π,
2
a
a
? ? ?
??
? ? ???
??
?
例 3 求心形线 所围成的面积, ( 1 c o s )ra ???
解 当 从 0变到 时,得 的图形为上半
部分,心形线所围图形的面积 A为极轴上方部分的两倍,
即
? ? ( 1 c o s )r a x??
前页 结束后页
例 4 计算阿基米德螺线 上对应于 从 0变到
的一段曲线与极轴所围成图形的面积,
ra?? ? ?
解 面积微元为
21d ( ) d
2Aa ???
于是,所求面积为
2
2
0
2
23
0
23
1
( ) d
2
23
4
3
Aa
a
a
?
?
??
?
?
?
??
?
?
前页 结束后页
6.1.3 用定积分求旋转体的体积
1.平行截面面积已知的立体体积
设有一立体价于过点 且垂直于 轴
的两平面之间,求此立体的体积,
,( )x a x b a b? ? ? x
a bx dxx?
如图,介于 与 之间的薄
片的体积近似等于底面积为 A(x),
高为 dx的扁柱体的体积,即体积微
元为
x dxx?
A(x)
d ( ) dV A x x?
( ) db
a
V A x x? ?
即对截面积 A(x)从 a到 b求积分 !
于是所求体积为
前页 结束后页
2.旋转体体积
设,及 y=0所围图形绕 x
轴旋转,求所得旋转体的体积,
()y f x? ( )x a x b a b? ? ?，
a b
()y f x?
选取 为积分变量,其变化区
间为,过点 x做垂直于 x 轴的平
面,截得旋转体截面是半径为
的圆,其截面积为
a b
()y f x?
x从而所求旋转体体积为
x
[,]ab
| ( ) |fx
2( ) [ ( ) ]A x f x??
2( ) d [ ( ) ] d????bb
aaV A x x f x x
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例 4 计算由椭圆 绕 x轴旋转一周所成的旋
转体 (旋转椭球体 )的体积,
12
2
2
2
?? byax
体积微元区间为积分变量，它的变化取 ],,[ aax ?
xxaabπV d][d 222 ??
.
22
轴旋转而成的旋转体轴围成的图形绕与
旋转体可看作上半椭圆
xx
xa
a
b
y ??
解
前页 结束后页
xxa
a
b
xxa
a
b
V
a
a
a
a
d)(
π
d][π
22
2
2
222
?
?
?
?
??
??
旋转体的体积为
xxa
a
b a d)(π2
0
22
2
2
? ??
3
π4
3
π2
2
0
3
2
2
2
ab
x
xa
a
b
a
?
?
?
?
?
?
?
??
前页 结束后页
.)0(
)0( 2 2222
转体体积轴旋转一周所围成的旋绕形
围成的图与抛物线求圆
xx
aaxyayx
?
????
例 5
.d)(π
],)12[(d2π
])12(,0[],0[
22 xxa
aaxax
aax
?
?
?
积微元是
上，体；在上，体积微元是
在为积分变量，变化区间取
??
?
?
? ??
，＝
，
求解
axy
ayx
22
222
解
，，交点为 )28,1)2(()28,1)2(( aaaa ?????
前页 结束后页
xxaxax
VVV
a
a
a
d)(πd2π
)12(
22)12(
0
21
?? ?
?
???
??
所求的体积为
.π
3
247
3
π
2
π2
3
)12(
3
2
)12(
0
2
a
x
xa
x
a
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
前页 结束后页
6.2 定积分在经济中的应用
.],[
)(
.
)()()
()(
上的改变量
或总函数在区间即原函数数根据边际函数求出总函
用积分法，在经济管理中，可以利的边际函数或变化率
称为，则导数函数等数，成本函数，总收益
如需求函数，生产函是经济量的函数设
ba
xfxf'
xfy ?
前页 结束后页
.d)()(
)(
d
d
)1(
?????
?
b
a
ttfQbabtat
tf
t
Q
Q
该产品的总产量到间
，则从时的变化率为若已知某产品总产量
.d)( )(
)2(
??
b
a QQfCbaQf
Q
总成本为到，则产量从率为
变化产量的，若已知该产品成本对设某产品总产量
.d)(
)()3(
0??
N QQfR
NQf
位的商品的总收益为
个单为已知时，则销售若某商品收益的变化率
前页 结束后页
.6040)2(
40)1(
.)0(
10
20)(
个单位产品时的总收益个单位产品到求从生产
，个单位产品时的总收益求生产
的变化率为个单位，总收益设某产品生产
??? Q
Q
Qf
RQ
例 8
.)(300
20
20d)
10
20(
6040( 2 )
60
40
2
60
40
单位
时的总收益为增加到从产量
??
?
?
?
?
?
????
?
?
Q
QQ
Q
R
Q,单位
为个单位产品时的总收益生产
)(720
20
20d)
10
20(
40)1(
40
0
2
40
0
??
?
?
?
?
?
???? ?
Q
QQ
Q
R
解
6.2 定积分在经济问题中的应用
第 6章 定积分的应用
结束
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2.以点 x处的函数值为高,以 [x,x+dx]为底的矩形面
积做为△ A的近似值,其中 f(x)dx 称为
面积微元,记为,
于是面积为
1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间 [a,b],
在区间上任 取一小区间并记为,
此方法称为微元法或积分元素法,
[ d ]x,x + x
6.1.1 微元法,
( ) dA f x x??
d ( ) dA f x x?
d ( ) dbbaaA A f x x????
x dxx?a b
A?
6.1 定积分的几何应用
以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形,
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设函数 在区
间 上连续,,
求由曲线 及
直线 所围成
的图形的面积,
1,直角坐标下平面图形的面积
6.1.2 用定积分求平面图形的面积
( ),( )f x g x
[,]ab ( ) ( )g x f x≤
( ),( )y f x y g x??
,( )x a x b a b? ? ?
()y f x?
()y g x?
a b
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(2) 以 为被积表达式,在区间 作定
积分 就是所求图形的面积,
(1) 在区间 上任取小区间,设此小
区间上的面积为,它近似于高为,底为
的小矩形面积,从而得面积微元为 d [ ( ) ( ) ] d,A f x g x x??
[ ( ) ( ) ] dbaA f x g x x???
分析 [,]ab [,d ] x x x?
A? () ()f x g x? dx
[ ( ) ( ) ] df x g x x? [,]ab
在这个公式中，无论曲线
在 x 轴的上方或下方都成立，只
要 在曲线 的下方
即可。
()y g x? ()y f x?
()y f x?
()y g x?
a bx x dx?
dA
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( ) 0fx?
( ) 0gx ?
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前页 结束后页
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.
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1 2
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2d [ ] dA x xx??
例 1 求由曲线 所围成的图形的面积 A。2y x y x??，
解 两曲线的交点为 （ 0,0）,（ 1,1）,于是积分区间为 [0,1]
面积微元
所求面积为
1x dxx?
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面积为,则近似于高为 dy,底
同理，设函数 在区间 上连续，
为 的小矩形面积,
在区间 上任取小区间,设此小区间上的
求由曲线 及直线 所
围成的图形的面积,
21[ ( ) ( ) ] d?????
d
cA y y y
12( ),( )??yy [,]cd 12( ) ( )yy???
12( ),( )????x y x y,( )y c y d c d? ? ?
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[,d ]y y y?
21d [ ( ) ( ) ] d,A y y x????
[,]cd
A?
21( ) ( )yy???
于是所求面积为
从而得面积微元为
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22
1
2
23
1
( 2 4 2 ) d
2
= 4
3
9.
A y y
y
y
yy
?
?
? ? ?
??
??
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解 由 解得交点 A(2,-1),B(8,2)
例 2 求抛物线 与直线 所围成的图
形的面积,
22 yx? 24xy??
2
42
xy
xy
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?
A(2,-1),
B(8,2)
取 y为积分变量,于是,所求面积为,
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且 求此曲线与射线 所围成的曲边
扇形的面积,
(2)极坐标下平面图形的面积
设曲线的极坐标方程 在 上连续,( ) ( )r r r???, [,]??
( ) 0r ? ? ? ? ? ???，
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在区间 上任取一小区间,设此小区间
上曲边扇形的面积为,则 近似于半径为,中心
[,]?? [,d ]? ? ??
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角为 的扇形面积,
d?
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211 ( ) d,
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??? ?
从而可得面积为
从而得到面积微元为
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π 22
0
12 ( 1 c o s ) d
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0 ( 1 2 c o s c o s ) d? ? ?? ? ??a
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24
3
π,
2
a
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例 3 求心形线 所围成的面积, ( 1 c o s )ra ???
解 当 从 0变到 时,得 的图形为上半
部分,心形线所围图形的面积 A为极轴上方部分的两倍,
即
? ? ( 1 c o s )r a x??
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例 4 计算阿基米德螺线 上对应于 从 0变到
的一段曲线与极轴所围成图形的面积,
ra?? ? ?
解 面积微元为
21d ( ) d
2Aa ???
于是,所求面积为
2
2
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4
3
Aa
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?
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6.1.3 用定积分求旋转体的体积
1.平行截面面积已知的立体体积
设有一立体价于过点 且垂直于 轴
的两平面之间,求此立体的体积,
,( )x a x b a b? ? ? x
a bx dxx?
如图,介于 与 之间的薄
片的体积近似等于底面积为 A(x),
高为 dx的扁柱体的体积,即体积微
元为
x dxx?
A(x)
d ( ) dV A x x?
( ) db
a
V A x x? ?
即对截面积 A(x)从 a到 b求积分 !
于是所求体积为
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2.旋转体体积
设,及 y=0所围图形绕 x
轴旋转,求所得旋转体的体积,
()y f x? ( )x a x b a b? ? ?，
a b
()y f x?
选取 为积分变量,其变化区
间为,过点 x做垂直于 x 轴的平
面,截得旋转体截面是半径为
的圆,其截面积为
a b
()y f x?
x从而所求旋转体体积为
x
[,]ab
| ( ) |fx
2( ) [ ( ) ]A x f x??
2( ) d [ ( ) ] d????bb
aaV A x x f x x
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例 4 计算由椭圆 绕 x轴旋转一周所成的旋
转体 (旋转椭球体 )的体积,
12
2
2
2
?? byax
体积微元区间为积分变量，它的变化取 ],,[ aax ?
xxaabπV d][d 222 ??
.
22
轴旋转而成的旋转体轴围成的图形绕与
旋转体可看作上半椭圆
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解
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a
b
xxa
a
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V
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22
2
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旋转体的体积为
xxa
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转体体积轴旋转一周所围成的旋绕形
围成的图与抛物线求圆
xx
aaxyayx
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例 5
.d)(π
],)12[(d2π
])12(,0[],0[
22 xxa
aaxax
aax
?
?
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积微元是
上，体；在上，体积微元是
在为积分变量，变化区间取
??
?
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，＝
，
求解
axy
ayx
22
222
解
，，交点为 )28,1)2(()28,1)2(( aaaa ?????
前页 结束后页
xxaxax
VVV
a
a
a
d)(πd2π
)12(
22)12(
0
21
?? ?
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???
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所求的体积为
.π
3
247
3
π
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π2
3
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3
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0
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xa
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6.2 定积分在经济中的应用
.],[
)(
.
)()()
()(
上的改变量
或总函数在区间即原函数数根据边际函数求出总函
用积分法，在经济管理中，可以利的边际函数或变化率
称为，则导数函数等数，成本函数，总收益
如需求函数，生产函是经济量的函数设
ba
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xfy ?
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.d)()(
)(
d
d
)1(
?????
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b
a
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Q
Q
该产品的总产量到间
，则从时的变化率为若已知某产品总产量
.d)( )(
)2(
??
b
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总成本为到，则产量从率为
变化产量的，若已知该产品成本对设某产品总产量
.d)(
)()3(
0??
N QQfR
NQf
位的商品的总收益为
个单为已知时，则销售若某商品收益的变化率
前页 结束后页
.6040)2(
40)1(
.)0(
10
20)(
个单位产品时的总收益个单位产品到求从生产
，个单位产品时的总收益求生产
的变化率为个单位，总收益设某产品生产
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例 8
.)(300
20
20d)
10
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6040( 2 )
60
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40
单位
时的总收益为增加到从产量
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为个单位产品时的总收益生产
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20
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10
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40
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