7.1 多元函数的概念
7.2 偏导数
7.3 全微分
7.4 多元复合函数与隐函数微分法
7.5 多元函数极值与最值
7.6 偏导数在经济学中的应用
第 7章 多元函数微分学
结束
前页 结束后页
空间
一维,只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度,
二维,有两个独立的、
相互垂直的运动方向,
称为两个自由度,
7.1.1 空间解析几何简介
第 7章 多元函数微分学
A B C D E
坐标系
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一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
过空间定点,作三条互相垂
直的数轴，他们都以 为原点
且一般具有相同的长度单位。
这三条轴分别称为 轴,
轴,轴，统称坐标轴。通
常把 轴和 轴配臵在水平
面上,轴在铅垂方向，他们
的指向符合右手法则,
O
x
y
z
x
y z
O
x
y
z
o
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3
7
8
6
4
2
5
1
三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标平面,分别是
三个坐标平面
把空间分成八
个部分,称为八
个卦限,
xOy面
yOz面
zOx面
x
y
z
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空间任意一点, 过 点作三个平面分别垂直于
轴, 轴, 轴, 它们与 轴, 轴, 轴的交点分别
为,, （ 如图 ）,P Q R
M M x
y z x y z
设三点在三个坐标轴上的坐标
依次为,,,于是空间一
点 就唯一地确定了一个有序
数组,通过直角坐标
系，就建立了空间点 与有序
数组 之间的一一对应
关系
x y z
(,,)x y z
M
),,( zyx
M
x
y
z
p
Q
R
M
取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组 (x,y,z)
之间的一一对应关系。
前页 结束后页
1 空间两点间的距离
设, 为空间两点，),,( 2222 zyxM),,( 1111 zyxM
2
12
2
12
2
1221 )()()( zzyyxxMM ??????
特别地，点 到坐标原点 的距离为,),,( zyxM )0,0,0(O
222 zyxOM ???
1M
x
y
z
2M
x
y
z
M
选取坐标系如图。 则空间两点间的距离公式为：
1x
2x
z1
y2
z2
y1
前页 结束后页
7.1.1.2 空间的平面和直线的一般方程
由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程
来表示, 而任一三元一次方程的图形都是一个平面,
所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方
程 。
0???? DCzByAx
由于空间直线可以看作是两
个平面的交线，因此空间中两个
平面的方程联立而成的方程 组：
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
叫做空间直线的一般方程 。
2 2 2 2 0A x B y C z D? ? ? ?
0A x B y C z D? ? ? ?
前页 结束后页
7.1.1.3 空间曲面和空间曲线的一般方程
1．曲面的方程
曲面上任一点的坐标都满
足方程, 不在曲面上的点
的坐标都不满足方程, 则
称此方程为曲面的方程,
而曲面就叫做方程的图形 。
在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹
(,,) 0F x y z ?
(,)xy
z (,,) 0F x y z ?
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空间曲线可看成是两曲面的交线设 和
是两个曲面方程
(,,) 0F x y z ?
2．空间曲线的一般方程
(,,) 0
(,,) 0
F x y z
G x y z
?
?
?
?
?
称为空间曲线的一般方程
即曲线上任何一点都要同
时满足两个曲面方程。
(,,) 0G x y z ?
(,,) 0F x y z ?
(,,) 0G x y z ?
则方程组
前页 结束后页
7.1.2 多元函数的概念
例 1 矩形面积 S与长 x，宽 y有下列依赖关系
S=xy (x>0,y>0)，
1.引例
其中长 x 和宽 y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，
当 x,y 的值取定后，矩形面积 S有一个确定值之对应,
为某商品的销售量,为商品的销售价格,为
购买商品的人数为设此种商品的销售量 与,
Q
)0,0( ????? bacNbPaQ
NP
Q P N
有关系：
其中，,, 均为正常数a b c
例 2
前页 结束后页
2.二元函数的定义
定义 1 设有三个变量 x,y,z，如果对于变量 x,y的
变化范围内所取的每一对值，变量 z都按照一定的规则，
有一个确定的值与之对应，则称 z为 x,y的二元函数，
记作
z=f(x,y) 或 z=z(x,y)，
其中 x,y称为自变量,z称为函数 (或因变量 ).自变量 x，
y的变化范围称为函数的定义域,
前页 结束后页
类似地，可以定义三元函数 u=f(x,y,z)以及三元以
上的函数,二元以及二元以上的函数统称为多元函数,
与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的
两个要素。
函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分,求
函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量
的取值范围,
前页 结束后页
例 3 求出二元函数 的定义域, 221 yxz ???
解 自变量 x,y必须满足不等式
,122 ?? yx
此即函数定义域,
例 4 求函数 z=ln(x+y)的定义域,
解 函数的定义域为
x+y>0.
即
xy?
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例 5 求函数 的定义域 (a>0,b>0),byaxz a r c s i na r c s i n ??
其图形是矩形内部 (包括边界 ).
解 函数的定义域由不等式组 byax ?? ||||,
bybaxa ??????,即
例 6 求函数 的定义域, 221
1
yx
z
??
?
解 函数的定义域为,0)(1 22 ??? yx
.1 22 ?? yx即
它的图形是单位圆内部 (不包括边界 ).
前页 结束后页
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是
一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的
一些点,
全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为
平面开区域，简称平面区域,这三个条件是：
(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,
(2) 点集内不包含边界上的点,
(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内
的折线，将该两点连接起来,
前页 结束后页
)2( ? 点集内包含边界上所有的点,
这种平面点集称为平面闭区域,
如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某
个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域,
例 3,例 5的定义域为有
界闭区域,例 4的定义域为无
界区域,例 6的定义域为有界
区域,
如果上述条件 (1),(3)不变，将 (2)改为,)2( ?
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3.二元函数的几何意义
在一定条件下，函数
z=f(x,y)的几何图形是一张曲
面, 而定义域 D正是这曲面
在 平面上的投影,xoy
D
(,)z f x y?
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7.1.3 二元函数的极限 与连续
定义 2 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域有定义 (点 (x0,y0)
可以除外 ),如果动点 P(x,y) 以任意方式趋于定点 (x0,y0)时，
函数的对应值 f (x,y)趋于一个确定数 A，则称 A为函数
z=f(x,y),当 时的极限，记作00,x x y y??
0
0
li m (,),xx
yy
f x y A?
?
? 00(,) (,)lim (,),x y x y f x y A? ?或
对于二元函数的极限存在，是指当 P(x,y)以任意方
式趋于定点 P0(x0,y0)，函数都无限接近于 A.
值，则可以断定函数在该点的极限不存在,
当 P(x,y)以不同路径趋于点 时，函数趋于不同的00(,)P x y
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例 7 讨论二元函数 ?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
，
当 P(x,y)→ O(0,0)时，极限是否存在,
解 当 P(x,y)沿 x轴趋于点 O(0,0)即 y=0时,f(x,y)=f(x,0)=0
(x≠0),.0)0,(l i m 0 ?? ? xfx
当 P(x,y)沿 y轴趋于点 O(0,0)即 x=0时,
f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0),
.0),0(l i m 0 ?? ? yfy
当 P(x,y)沿直线 y=k x轴趋于点 O(0,0)时，
前页 结束后页
，22
0
0 11
lim),(lim
k
k
k
kyxf
x
x
kxy ?
?
?
??
?
?
?
即 f(x,y)=f(x,kx)= (x≠0)，21 kk?
其极限值随直线斜率 k的不同而不同,
因此 不存在, ),(lim
0
0
yxf
y
x
?
?
一元函数极限的有些运算法则 (如四则运算法则，
夹逼定理等 ) 可以相应地推广到二元函数,
当 P(x,y)沿直线 y=k x轴趋于点 O(0,0)时，
前页 结束后页
定义 3 如果当 时，函数 z=f (x,y)的极限
存在，且等于它在点 P0(x0,y0)处的函数值 f(x0,y0)，
即 ),,(),(lim
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
?
?
?
则称函数 f(x,y)在点 处连续,
00,x x y y??
如果函数 z=f (x,y)在开区域 D上各点都连续，则称函
数 z=f (x,y)在开区域 D上连续,连续的二元函数 z=f (x,y)在
几何上表示一张无孔无隙的曲面,
0 0 0(,)P x y
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如果函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)不连续，则称点
P0(x0,y0)是函数 f(x,y)的不连续点，或称间断点,
如果函数 z=f(x,y)有下列情形之一：
(1)在点 P0(x0,y0)没有定义，
(2) 在点 P0(x0,y0) 有定义,不存在,),(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
(3) 在点 P0(x0,y0) 有定义，且 存在，但
0
0
lim ( )
xx
yy
?
?
f x,y
则点 P0(x0,y0)为函数的 z=f(x,y)的间断点,
0
0
l im ( ) ( )
xx
yy
ff
?
?
? 00x,y x,y,
前页 结束后页
二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了
有间断点外，还可能有间断线,
在圆周 上的每一
点都是间断点，因为在圆周
上的点，函数无定义,圆周
是该函数的一
条间断线,
22
1
1
?
??
z
xy
1?22x + y
22 1??xy
例 8 函数
22
1
1
?
??
z
xy
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与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭
区域上多元连续函数也有如下性质：
性质 1(最大值和最小值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元
连续函数在 D上一定有最大值和最小值,
性质 2 (介值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元连续函数,
如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得
介于这两个值之间的任何值至少一次,
前页 结束后页
7.2.1 偏导数的概念
7.2 偏导数
偏增量
定义 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某一邻域内有定义，
当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量△ x时，相应函数有增量
0 0 0 0(,) (,),f x x y f x y? ? ?
称为关于 x 的偏增量．记为
?xz
0 0 0 0(,) (,),x z f x x y f x y? ? ? ? ?
相应的 0 0 0 0(,) (,),y z f x y y f x y? ? ? ? ?
即
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1.偏导数的定义
如果极限 0 0 0 0
0
(,) (,)lim
x
f x x y f x y
x??
? ? ?
?
存在，则称此极限值为函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏
导数,记作
0 0 0 0
0 0 0 0
(,) (,)
,,(,) (,),xx
x y x y
zf f x y z x y
xx
??
?? 或
即
00
0 0 0 0
0(,)
(,) (,)lim
xxy
f x x y f x yz
??
? ? ?? ?
??
类似地，函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数为
0 0 0 0
0
(,) (,)lim
y
f x y y f x y
y??
? ? ?
?
前页 结束后页
00(,)
,
xy
f
y
?
?
00(,)xy
z
y
?
?
记为
0 0 0 0(,) (,)yyf x y z x y?? 或
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如果函数 z=f(x,y)在区域 D内每一点 (x,y)都存在对 x
的偏导数，即
0
(,) (,)lim,(,)
x
f x x y f x y x y D
x??
? ? ? ?
?
存在，显然这个偏导数仍是 x,y的函数，称它为函数
z=f(x,y)对 x的偏导函数，记作
,,(,) (,)xxzf f x y z x yxx???? 或
偏导函数,
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类似地，可以定义函数 z=f(x,y)在区域 D内对自变
量 y的偏导函数为
0
(,) (,)lim
y
f x y y f x y
y??
? ? ?
?
记作,,(,) (,)yyzf f x y z x y
yy
??
?? 或
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义,例如三
元函数 u=f(x,y,z)在点 (x,y,z)处对 x的偏导函数定义为
0
(,,) (,,)lim
x
u f x x y z f x y z
xx??
? ? ? ??
??
偏导数 可类似的定义,
uu
yz
??
??
前页 结束后页
偏导数的几何意义
?
?
前页 结束后页
2,偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数,
一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导
数仍然适用,
例如，给定一个二元函数 z=f(x,y)，求 时，可将
自变量 y看成常数 (即将 z看成 x的一元函数 )，只需 z对 x
求导,
x
z
?
?
前页 结束后页
若求函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数，只需
先求偏导函数 fx(x,y)，然后再求 fx(x,y)在点 (x0,y0)处的函
数值，即,这样就得到了函数
z =f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数,也可以先将 y=y0代入
z=f(x,y)中，得 z=f(x,y0)，然后对 x求导数 fx(x,y0)，再以
x=x0代入,两种做法是一致的,因为在这个过程中,y为
常数 y0.
),(|),( 00),( 00 yxfyxf xyxx ?
前页 结束后页
例 1 求函数 在点 (1,3)处对 x 和 y 的
偏导数,
22 2),( yxyxyxf ???
解 yxyxf x 22),( ??,22),( yxyxf y ??
将点 (1,3)代入上两式，得
.43212)3,1(
,83212)3,1(
??????
?????
y
x
f
f
例 2 求函数 的偏导数,yxz ?
.ln xxyz y???,1??
?
? yyx
x
z解
前页 结束后页
例 3 求函数 的偏导数,22e yxz ??
2 2 2 222e ( ) 2 ex y x y
y
z x y y
y
??? ?? ? ? ?
?
2 2 2 222e ( ) 2 ex y x y
x
z x y x
x
? ? ? ? ??
?,解
例 4 求函数 的偏导数,2 2 2? ? ?r x y z
,
r
y
y
r ?
?
?
2 2 2
,? ??
? ??
r x x
xrx y z
解
.
r
z
z
r ?
?
?
前页 结束后页
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是 1.这一点与一元
函数导数记号 是不同的,可看成函数的微分 dy
与自变量微分 dx之商,
x
y
d
d
x
y
d
d
前页 结束后页
例 6 设 22
22
22
,0,
(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
? ???,
求 f(x,y)在原点 (0,0)处的偏导数,
解 原点 (0,0)处对 x的偏导数为
0
( 0,0 ) ( 0,0 )( 0,0 ) lim
x x
f x ff
x??
? ? ??
?
2
00
( ) 0
0
( ) 0
lim lim 0 0,
xx
x
x
x? ? ? ?
??
?
??
? ? ?
?
前页 结束后页
在原点 (0,0)处对 y的偏导数为
y
fyff
yy ?
????
??
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
.00lim
0
)(0
)(0
lim
0
2
0
??
?
?
??
??
?
???? yy y
y
y
22
22
22
,0,
(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
? ???,
前页 结束后页
对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处
连续，这与一元函数不同,一元函数在其可导点处，一
定连续的结论，对多元函数是不成立的,这是因为偏导
数存在，只能保证当点 (x,y)沿着平行坐标轴的方向趋
于 (x0,y0)点时，函数数值 f(x,y)趋于 f(x0,y0)，但不能保证
当点 (x,y)以任意方式趋于点 (x0,y0)时，函数 f(x,y)趋于
f(x0,y0).
在点 (x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，
而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元
函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系,
前页 结束后页
三、高阶偏导数
设函数 z=f(x,y)在区域 D内有偏导数
二元函数的二阶偏导数为：
2
2 (,) (,)x x x x
zz z x y f x y
x x x
? ? ??? ? ? ?
??? ? ???
2
(,) (,) x y x yzz z x y f x yy x x y? ? ??? ? ? ???? ? ? ???
2
(,) (,) y x y xzz z x y f x yx y y x??? ? ?? ? ???? ? ? ?
??
前页 结束后页
2
2 (,) (,)y y y y
zz z x y f x y
y y y
??? ? ?? ? ?
??? ? ???
同样可得三阶、四阶以至 n阶偏导数 (如果存在的
话 ).一个多元函数的 n–1阶偏导数的偏导数，称为原来
函数的 n阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数称为高阶
偏导数,
前页 结束后页
例 7 求 的二阶偏导数, 323 3 yxyxz ??
,66 32
2
yxyx z ????
,9 223 yxxyz ????,63 32 xyyx
x
z ??
?
?解
,18 22
2
yxy z ????
,183 22
2
xyxyx z ?????
.183 22
2
xyxxy z ?????
前页 结束后页
).1,1,1(),2,1,1(,),,( 222 xyzxx ffzxyzxyzyxf 求设 ???例 8
,2),,( 2 xzyzyxf x ??解
,2),,( zzyxf xx ?
,2),,( yzyxf xy ?
,0),,( ?zyxf x y z
.0)1,1,1( ?x y zf
,4)2,1,1( ?xxf
前页 结束后页
例 9 设,求,,s i ne
2
2
2
yx
z
x
zyxz x
??
?
?
??
.s i n)1(es i nes i ne yxyxyxz xxx ??????解
.s i n)2(es i nes i n)1(e2
2
yxyyx
x
z xxx ?????
?
?
.c o s)1(e
2
yxyx z x ?????
前页 结束后页
7.3.1 全微分的概念
全增量 设二元函数 y = f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域
内有定义,当自变量 x,y在点 (x0,y0)的该邻域内分别
取得增量 和 时，函数的全增量为x?
0 0 0 0(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
y?
7.3 全微分
一,全微分的定义
前页 结束后页
例 1 设矩形金属薄板长为 x，宽为 y,则面积 S=xy.薄板
受热膨胀，长自 x0增加,宽自 y0增加,其面积相
应增加
0 0 0 0
00
( ) ( )
,
S x x y y x y
y x x y x y
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
x? y?
全增量 由 三项组成,
比其余两项小得多,
S? yxyxxy ?????,,00
yx ???
，令 22 )()( yx ?????
前页 结束后页
定义 2 设二元函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域内有定
义，如果 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的全增量
),(),( 0000 yxfyyxxfz ???????
可表示为 ),( ?oyBxAz ??????
其中 A,B与 无关,是比
高阶的无穷小，则称 为函数 z=f(x,y)在点
(x0,y0)处的全微分，记作 dz，即
yx ??,)(,)()( 22 ?? oyx ???? ?
yBxA ???
d yz A x B? ? ? ?
也称函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处可微,
前页 结束后页
与一元函数类似，全微分 dz是 的线性函数，
是比 高阶的无穷小,当 充分小时，可用
全微分 dz作为函数的全增量 的近似值,
dzz?? ?
z?
二、全微分存在的必要条件
定理 1 (全微分存在的必要条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在点
(x0,y0)处可微，则 f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且
A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).
由定理 1可得到全微分的计算公式：
0 0 0 0d (,) (,)xyz f x y x f x y y? ? ? ?
,xy??
| |,| |xy??
前页 结束后页
与一元函数微分类似，规定自变量 x,y的增量等于自
变量的微分 dx,dy，即,于是全微分
又可写成
yyxx dd ????,
0 0 0 0d (,) d (,) dxyz f x y x f x y y??
如果函数 f(x,y)在开区域 D内每一点处都可微，则称
f(x,y)在域 D内是可微的,这样，域 D内任一点处的全微分
为
d (,) d (,) dxyz f x y x f x y y??
定理 2 (全微分存在的必要 条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在
(x0,y0)点可微，则函数 z =f (x,y)在点 (x0,y0)处连续,
前页 结束后页
三、全微分存在的充分条件
例 ?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 (0,0)处不连续，故由 定理 2可知，在 (0,0)点是不可
微的,但这个函数在 (0,0)点的两个偏导数是存在的且
.0)0,0(,0)0,0( ?? yx ff
该例说明，尽管函数在 (0,0)点的两个偏导数存在，但函
数在 (0,0)点仍是不可微的，即定理 1的逆定理是不成立的,
下面的定理给出了函数 z=f(x,y)可微的充分条件,
前页 结束后页
定理 3(全微分存在的充分条件 ) 设函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
存在连续的偏导数,则函数 z=f(x,y)在点
(x,y)可微,（充分而不必要）
),(),,( yxfyxf yx
例如
2 2 2 2
22
22
1( ) sin,0
(,)
0,0
x y x y
xyf x y
xy
?
?
?
?
?
? ? ?
??
??
在 O(0,0)处可微，但偏导数在原点 O(0,0)不连续,
上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的
多元函数,如三元函数 u=f(x,y,z)的全微分存在，则有
d d d du u uu x y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?
前页 结束后页
例 2 求 的全微分, 323 3 yxyxz ??
解,63 32 xyyx
x
z ??
?
?
y
y
zx
x
zz ddd
?
??
?
??
而且它在 Oxy平面上处处连续，所以在点 (x,y)处的全微
分为
，223 9 yxxyz ????
.d)9(d)63( 22332 yyxxxxyyx ????
前页 结束后页
例 3 求 在点 (2,1)处的全微分,xyz = e
解 由于 与 是连续函数，且
e? ?? xyz yx
,e 2
1
2
?
?
?
?
?
y
xx
z
22
2
1
2.x
y
xy?
?
??zd e d e d
所以在点 (2,1)处的全微分为
,e2 2
1
2
?
?
?
?
?
y
xy
z
? ?
?
xyz x
y e
前页 结束后页
例 4 求 z=xy在点 (2,3)处，关于 的全增
量与全微分,
2.0,1.0 ???? yx
xyyyxxz ??????? ))((解
yyzxxzz ddd ??????
将各值代入上式，得到
.7.0d,72.0 ??? zz
，yxyxxy ???????
.dd yxxyyxxy ??????
前页 结束后页
例 5 求 的全微分,
sin
2
yux? ? ? yze
解,1???xu
.dede2c o s21dd zyyzyxu yzyz ??????? ???
,e2c o s21 yzzyyu ????
,e yzyzu ???
前页 结束后页
7.3.2 全微分在近似计算中的应用
0 0 0 0z d (,) (,)xyz f x y x f x y y? ? ? ? ? ?
z (,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
(,) (,) (,)
(,)
x
y
f x x y y f x y f x y x
f x y y
? ? ? ? ? ? ?
??
从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差
是 的高阶无穷小，所以当 很小时有? |||,| yx ??
又
从而
前页 结束后页
例 6 求 的近似值,4,0 1(1.98)
解 计算
yxyxf ?),(4,0 1(1.98)
47.15
1601.09.11)02.0(32
)4,2()4,2()4,2(( 1, 9 8 ) 4, 0 1
?
??????
????? fyfxf
yx
(,)f x x y y? ? ? ?
32)4,2(
4
2
1 ??
?
?
?
y
x
y
x yxf
09.11ln)4,2(
4
2 ??
?
?
y
x
y
y xxf
的值可以近似看作
时当
的值
取
1, 9 8,4, 0 1x x y y? ? ? ? ? ?
2,- 0, 0 2,4,0, 0 1x x y y? ? ? ? ? ?
前页 结束后页
7.4.1 多元复合函数的微分法
设 z=f(u,v)是变量 u,v的函数，而 u,v又是 x,y的
函数，即,如果能构成 z 是 x,y 的
二元复合函数
(,),(,)u x y v x y????
[ (,),(,) ],z f x y x y???
如何求出函数 z对自变量 x,y的偏导数呢？
7.4 多元复合函数与隐含数的微分法
前页 结束后页
定理 设函数 在点 (x,y)处有偏
导数，而函数 z=f(u,v)在对应点 (u,v)有连续偏导数，则
复合函数 在点 (x,y)处的偏导数
存在，且,zzxy????
),(),,( yxvyxu ?? ??
)],(),,([ yxyxfz ???
,
,
z z u z v
x u x v x
z z u z v
y u y v y
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
复合函数的结构图是
z
u
v
x
y
前页 结束后页
公式 (1)给出 z对 x的偏导数是
( * ) xvvzxuuzxz ??????????????
公式 (*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公
式 (*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
x
z
?
?
(1)公式 (*)的项数，等于结构图中自变量 x到达 z
路径的个数,函数结构中自变量 x到达 z的路径有两条,
第一条是,第二条是,所以公
式 (*)由两项组成,
zvxzux ????
前页 结束后页
(2)公式 (*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数,如第一条路径,
有一个函数 z和一个中间变量 u，因此，第一项就是两
个偏导数 与 的乘积,
zux ??
x
u
u
z
?
?
?
?
复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数
公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法
则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式,这一
法则通常形象地称为链式法则,
前页 结束后页
1.设函数 w =f (u,v)有连续偏导数，而
可导，则复合函数
只是自变量 x的函数，
求 z 对 x的导数,
( ),ut?? ()vt??
[ ( ),( ) ]z f t t???
t
z
d
d
可得
d d d
dt d d
z z u z v
u t v t
??? ? ? ?
??
下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全
导数公式,
z
u
v
t
前页 结束后页
在这里，函数 z是通过二元函数 z=f(u,v)而成为 t的
一元复合函数,因此,z对 t的导数 又称为 z对 t的全导
数,对公式 (2)应注意，由于 z,u,v这三个函数都是 t
的一元函数，故对 t的导数应写成,而不能
写成,
t
v
t
u
t
z
?
?
?
?
?
?,,
t
v
t
u
t
z
d
d,
d
d,
d
d
t
z
d
d
前页 结束后页
.,yzxz ????例 1 设 求,,,s i ne yxvxyuvz u ????
解法 1 得
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
1c o ses i ne ???? vyv uu
，)]c o s ()s i n ([e yxyxyxy ????
)].c o s ()s i n([e yxyxxxy ????
1c o ses i ne ???? vxv uu
前页 结束后页
解法 2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量 u,v，
用 x,y代入，则得到
,z 是 x,y二元复合函数，根
据复合函数的链式法则，得
)s i n(e yxz xy ??
)c o s (e)s i n(e yxyxyxz xyxy ??????
)c o s (e)s i n(e yxyxxyz xyxy ??????
，)]c o s ()s i n ([e yxyxyxy ????
)].c o s ()s i n([e yxyxxxy ????
前页 结束后页
例 2 设,其中 f(u,v)为可微函数，求 ),( 22 xyyxfz ??,.zzxy????
解 令,可得22,u x y v x y? ? ?
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数 f
仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式,
v
z
u
z
?
?
?
?,
，vzyuzx ?????? 2
，vzxuzy ?????? 2
前页 结束后页
例 3 设 求,,e2s i n),( 222 yxvxvxvxfz v ??????,xz??
解
x
v
v
f
x
f
x
z
?
??
?
??
?
??
?
?
在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的,xfxz ????
.4)s i n (4s i n 22 xyxxvxf ???????
显然不等于,xz??
xvxxv v 2)ec o s()4( s i n ?????
.2]e)c o s ([]4)[ s i n( 222222 xyxxxyx yx ??????? ?
前页 结束后页
例 4 设 求,dd,ln,e,2 tztyxxz ty ???
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
d
d
d
d
d
d ?
?
???
?
??
解 得
txxyx
yty 1lne2 21 ???? ?
)1(2
22
??
??
yx
xyx
y
yy
).1( l n2 2 ?? tt t
前页 结束后页
一, 由方程 F(x,y)=0所确定的隐函数 y=y(x)的求导公式
若函数 F(x,y)在点 P0(x0,y0)处的偏导数,
则方程 F(x,y)=0在点 P0的一个邻域内，确定了一个隐
函数 y=y(x)，并假定 y(x)可导,F(x,y)可微，那么如何
求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
求导的一般公式,
0
0
???
Py
F
x
y
d
d
7.4.2 隐含数的微分法
前页 结束后页
首先将 y = y(x)代入方程 F(x,y)=0，得恒等式
[,( ) ] 0,F x y x ?
将左端看成 x的复合函数，两端对 x求导，得
d 0dxy yFF x??
由于假定,故有
d
d
x
y
Fy
xF??
0yF ?
公式 (3)就是由方程 F(x,y)=0确定的隐函数 y = y(x)的
导数公式,
前页 结束后页
.dd0es i n xyyyx x,求??
解 令,则有 xyyxyxF es i n),( ??
,es i n xx yyF ??
代入公式 (3)，得
.
ec o s
es i n
d
d
x
x
y
x
yx
yy
F
F
x
y
?
?????
.ec o s xy yxF ??
例 5 设
前页 结束后页
例 6 设,dds i n21 xyyyx,求??
解法 1 将方程写成,
两端对 x求导 (y是 x的函数 )，得
0s i n21 ??? yyx
，0ddc o s21dd1 ???? xyyxy
.
c o s2
2
d
d
02c o s
yx
y
y
?
?
??,所以得到由于
前页 结束后页
解法 2 用公式 (3)求,xydd
，令 yyxyxF s i n21),( ???
,c o s211,1 yFF yx ????则
代入公式 (3)，得
.
c o s2
2
c o s
2
11
1
d
d
yyF
F
x
y
y
x
?
?
??
????
前页 结束后页
二、由方程 F(x,y,z)=0所确定的隐函数 z=z(x,y)
的偏导数公式
将 z=z(x,y)代入方程 F(x,y,z)=0，得恒等式
[,,(,) ] 0F x y z x y ?
前面已假定,由上式解出,得 y
z
x
zF
z ?
?
?
??,0
,yx
zz
FFzz
x F y F
??? ? ? ?
将上式左端看成 x,y的复合函数，两端对 x和 y求导，得
,010
,001
?
?
?
?????
?
?
?
?????
y
z
FFF
x
z
FFF
zyx
zyx
前页 结束后页
例 7 设 ).(,2222 为常数，求 Ry
z
x
zRxzyx
?
?
?
????
解 将方程定成,令 02222 ???? Rxzyx
.2,2,22 zFyFRxF zyx ????得
若,方程 F(x,y,z)=0确定了函数 z=z(x,y)，
由公式 (4)，得
02 ?? zF z
,z xRFFxz
z
x ????
?
?
.zyFFyz
z
y ????
?
?
RxzyxzyxF 2),,( 222 ????
前页 结束后页
定义 设函数 z = f (x,y) 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义，
如果在该邻域内任何点 (x,y) 的函数值恒有
f (x,y)≤f (x0,y0) (或 f (x,y)≥f (x0,y0))，
则称点 (x0,y0)为函数的极大值点 (或极小值点 ),f (x0,y0)为
极大值 (或极小值 )，极大值和极小值统称为极值, 极大值
点和极小值点统称为极值点,
7.5.1 多元函数的极值
7.5 多元函数的极值与最值
前页 结束后页
注
（ 1）极值点一定是区域内的点
（ 2）不等式 f(x,y)≤f(x0,y0 )(或 f(x,y)≥f(x0,y0)) 也只在某个
邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成
立
前页 结束后页
例 1 函数,在原点 (0,0)处取得极
小值 1.因为，对于任何点 (x,y)≠(0,0)，都有
22 21),( yxyxf ???
f(x,y)>f(0,0)=1,
这个极小值也是最小值,该函数的图形是椭圆抛物面,
在曲面上点 (0,0,1)的 z坐标小于曲面上其他点的 z坐标,
例 2 函数,在原点 (0,0)处取得极
大值 1.因为对于任何 (x,y)≠(0,0)，都有
f(x,y)<f(0,0)=1
这个函数的图形是椭圆抛物面,在曲面上点 (0,0,1)的 z坐
标大于曲面上其他点的 z坐标,
22 21),( yxyxf ???
前页 结束后页
定理 1 (极值存在的必要条件 ) 设函数 z=f(x,y)在点
(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有
0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
注 （ 1） 驻点不一定是函数的极值点,例如，函数
z=x2–y2，在点 (0,0)处的两个偏导数同时为零，即
容易看出驻点 (0,0)不是函数的极值点,
( 0,0 ) 0,( 0,0 ) 0,xyzz ??
（ 2）极值点也可能不是驻点，因为偏导数
不存在的点也可能是极值点，如锥面 的
顶点 (0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点,
221 yxz ???
前页 结束后页
定理 2(极值的充分条件 ) 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的
某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且 (x0,y0)是函
数的一个驻点，即,记
，则
0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
0 0 0 0 0 0(,),(,),(,)x x x y y yA f x y B f x y C f x y? ? ?
(1) 当 B2–AC<0时,是函数的极值点,
A<0时,为极大值点,f(x0,y0)为极大值；
A>0时,为极小值点,f(x0,y0)为极小值,
(2) 当 B2–AC>0时,f(x0,y0)不是极值,
(3) 当 B2–AC=0时,f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值,
00(,)xy
00(,)xy
00(,)xy
前页 结束后页
?
?
?
?
?
0),(
,0),(
yxf
yxf
y
x
综合定理 1，定理 2，对于具有二阶连续偏导数的
函数 求其极值的步骤如下：
2.求出二阶偏导数,并对每
一驻点，求出二阶偏导数的值 A,B,C.
),(),,(),,( yxfyxfyxf yyxyxx
1.求方程组
的一切实数解，得到所有驻点,
3.对每一驻点 (x0,y0)，定出 B2–AC的符号，按照定理 2的
结论判定 f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值,
(,)z f x y?
前页 结束后页
例 3 求函数 的极值,
的一切实数解，得驻点 (1,0).
在 (1,0)点处，有 A=2,B= –1,C=2.
B2–AC= –3<0，且 A>0，
由极值的充分条件，得 f(1,0)= –1为极小值,
yxyxyxz ????? 222
解 求方程组 ??
?
?????
????
012
,022
yxz
yxz
y
x
求函数的二阶偏导数,2,1,2 ???? yyxyxx zzz
前页 结束后页
如何求函数 z=f(x,y)在区域 D上的最大值、最小值
呢？如果 f(x,y)在 D上可微，可先求出函数在该区域内
的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值
与最小值,在这些函数值中的最大的就是函数在 D上的
最大值，最小的就是函数在 D上的最小值,
7.5.2 多元函数的最值
前页 结束后页
例 4 要用铁板做一个体积为常数 a的有盖的长方体水
箱，问水箱各边的尺寸多大时，用材料最省,
解 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，于是体积
a=xyz，表面积 S为
S=2(xy+xz+yz).
将 代入 A的表达式中，得xy
az ?
.2),( ??
?
?
???
? ???
y
a
x
axyyxS
前页 结束后页
由第一个方程，得,将其代入第二个方程，
得
2x
ay ?
04 ?? xax
0?x? 3 ax ??
3 ya?于 是,
).,( 33 aa
求函数 S(x,y)的驻点,
?
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
02
,02
2
2
y
a
x
y
S
x
a
y
x
S
得函数 的唯一驻点),( yxS
前页 结束后页
根据实际问题可以断定,S(x,y)在 D内一定有最
小值，而在 D内只有唯一驻点,则该驻点
就是 S(x,y)的最小值点，即当 时，面
积 A取得最小值,此时高,即水箱为正立
方体，每边长为 时,所用材料最省,
),( 33 aa
33,ayax ??
3a
3 a
xy
az ??
前页 结束后页
7.6.1 ―边际, 经济量
实际中的一个经济问题, 往往与多种因素有关 。 如
需求函数, 需求量不仅受商品价格的影响, 也受到和
与该商品相关的许多商品的价格影响 。 又如生产函数,
总产量和劳动力的投入相关, 也与资本的投入直接相
联系 。 讨论这些因素之间的关系, 可用多元函数的偏
导数 —―边际, 经济量 。
定义 1 如设两个有关的商品，其价格分别用 1P
2P
和
1Q 2Q和 表示。 需求函数分别是两个二元函数，
12(,),f P P?1Q 12(,)PP??2Q
7.6 偏导数在经济中的应用
前页 结束后页
一般情况下，
（ 减少 ） 将引起本身需求量的下降 （ 增加 ） 。
1
1
0QP? ?? 2
1
0QP? ??且 表明商品价格的增加
1
2
0QP? ?? 2
1
0QP? ??且当
第二种商品的价格上升将引起第一种商品需求量的增加，
或第二种商品的价格下降将引起第一种商品需求量的减少
当第二种商品的价格不动时就有，第一种商品的价格的升
或降将引起第二种商品需求量的增或减。
时,表明第一种商品的价格不动
1 1 2 2
1 2 1 2
,,,Q Q Q QP P P P? ? ? ?? ? ? ?称为边际需求
由此可得四个一阶偏导数分别为
前页 结束后页
1
2
0QP? ?? 2
1
0QP? ??且当 时,表明第一种商品的价格不动
第二种商品的价格上升将引起第一种商品需求量的下降,
或第二种商品的价格下降将引起第一种商品需求量的增
加；当第二种商品的价格不动时就有, 第一种商品的价
格的升或降将引起第二种商品需求量的减或增 。 以上这
样的两种商品称之为相互补充的商品, 如录音机与磁带,
照相机与胶卷等 。
以上这样的两种商品称之为相竞争的商品。例如牛肉
和羊肉，营养价值相近的两种不同的蔬菜或食品，以及商
品与其代用品之间即为如此关系。
前页 结束后页
例 1 有两种商品其需求函数分别为
221 2 11 2 0 0, 3 2,Q P P? ? ? 22122 5 0 3 3PP? ? ?2Q
讨论两种商品间是怎样的关系？
解 因为边际需求函数为
1
2
2
0,6 0Q PP? ? ? ?? 2 1
1
0, 4 0Q PP? ? ? ??且
所以这两种商品是相互补充的。
前页 结束后页
7.6.2 偏弹性
定义 2
我们以需求函数为例加以说明。设甲和乙是两个有
关联的商品，其价格分别为
1p 2p
和
需求函数为
，若已知甲商品的
12(,)f p p?1Q 是一个关于 1p 2p和
的二元函数
1
1
11 1
12(,)
Q
pEp
f p p
?
???
称 为需求的自身价格弹性
衡量的是, 货物乙的价格保持不变时, 商品甲的需求量
的相对改变量与该商品价格相对改变量之比 。 描写的是,
商品甲的需求量对于自身价格变化进行反映的灵敏程度 。
前页 结束后页
2
12 2
12(,)
Q
pEp
f p p
?
???定义 3 称 为需求的交叉价格弹性
衡量的是, 货物甲的价格保持不变时, 商品甲的需求
量的相对改变量与商品乙价格相对改变量之比 。 描写的
是, 商品甲的需求量对于商品乙的价格变化时反映的灵
敏程度 。
以上所定义的自身价格弹性和交叉价格弹性, 都只
是就一个自变量的变化而言, 我们统称其为偏弹性 （ 或
局部弹性 ）
前页 结束后页
例 2 求需求函数
上需求的自身价格弹性，交叉价格弹性。并说明商品 A
和 B是相互竞争还是相互补充的。
11
521 0 0 0,A A BQ p p?? 在点
解
(,) ( 4,3 2 )ABpp ?
11
52 11 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0
2A A Bpp
?? ? ? ? ?Q
21
355 0 0,A
AB
A
Q pp
p
?? ??
?
41
522 0 0,A
AB
B
Q pp
p
??? ?
?
前页 结束后页
4
324
32
32 1 1 1
( 200 ),
100 0 2 16 5
A
BA
B
A
A
BA
pAB
pp
p
pQ
Qp
EQ
EP ???
?
?? ?
? ? ? ? ? ? ???
???
4
324
32
4 1 1
( 500 2 )
100 0 8 2
A
BA
B
A
B
AA
pAA
pp
p
pQ
Qp
EQ
EP ???
?
?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???
???
1 0
5
A
B
EQ
Ep ??
所以商品 A和 B是相互竞争的 。
因为
对于其它的经济函数，也可类似的定义偏弹性（局
部弹性）
前页 结束后页
7.6.3 多产品多因素最大利润问题举例
例 3 某工厂生产的同一种产品分销两个独立市场，其总
成本函数为 12??Q Q Q1 2 4,C ??Q其中
两个市场的价格函数分别为
1 1 2 26 0 3,2 0 2PP? ? ? ?QQ
工厂追求最大利润，求投放每个市场的产量及此时
产品的价格？
解 由题设，两个市场的收益函数分别为
前页 结束后页
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
6 0 3
2 0 2
R Q P Q Q
R Q P Q Q
? ? ?
? ? ?
从而，工厂的利润函数
12
20 2
1 1 2 2 1 2
22
1 2 1 2
()
60 3 20 2 12 ( ) 4
3 2 48 8 4
L R R C
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
2
2
6 4 8 0
4 8 0
L
Q
Q
L
Q
Q
??
? ? ? ??
??
?
??
? ? ? ?
? ??
由
前页 结束后页
可得驻点
128,2QQ??
依题意，该问题有最大利润；而利润函数有惟一驻
点（ 8,2） 可知，当投放每个市场的产量分别为 8和 2时
工厂可获得最大利润。此时产品的价格
111 8( 6 0 3 ) 3 6QPQ ?? ? ?
221 2( 2 0 2 ) 1 6QPQ ?? ? ?
7.2 偏导数
7.3 全微分
7.4 多元复合函数与隐函数微分法
7.5 多元函数极值与最值
7.6 偏导数在经济学中的应用
第 7章 多元函数微分学
结束
前页 结束后页
空间
一维,只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度,
二维,有两个独立的、
相互垂直的运动方向,
称为两个自由度,
7.1.1 空间解析几何简介
第 7章 多元函数微分学
A B C D E
坐标系
前页 结束后页
一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
过空间定点,作三条互相垂
直的数轴，他们都以 为原点
且一般具有相同的长度单位。
这三条轴分别称为 轴,
轴,轴，统称坐标轴。通
常把 轴和 轴配臵在水平
面上,轴在铅垂方向，他们
的指向符合右手法则,
O
x
y
z
x
y z
O
x
y
z
o
前页 结束后页
3
7
8
6
4
2
5
1
三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标平面,分别是
三个坐标平面
把空间分成八
个部分,称为八
个卦限,
xOy面
yOz面
zOx面
x
y
z
前页 结束后页
空间任意一点, 过 点作三个平面分别垂直于
轴, 轴, 轴, 它们与 轴, 轴, 轴的交点分别
为,, （ 如图 ）,P Q R
M M x
y z x y z
设三点在三个坐标轴上的坐标
依次为,,,于是空间一
点 就唯一地确定了一个有序
数组,通过直角坐标
系，就建立了空间点 与有序
数组 之间的一一对应
关系
x y z
(,,)x y z
M
),,( zyx
M
x
y
z
p
Q
R
M
取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组 (x,y,z)
之间的一一对应关系。
前页 结束后页
1 空间两点间的距离
设, 为空间两点，),,( 2222 zyxM),,( 1111 zyxM
2
12
2
12
2
1221 )()()( zzyyxxMM ??????
特别地，点 到坐标原点 的距离为,),,( zyxM )0,0,0(O
222 zyxOM ???
1M
x
y
z
2M
x
y
z
M
选取坐标系如图。 则空间两点间的距离公式为：
1x
2x
z1
y2
z2
y1
前页 结束后页
7.1.1.2 空间的平面和直线的一般方程
由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程
来表示, 而任一三元一次方程的图形都是一个平面,
所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方
程 。
0???? DCzByAx
由于空间直线可以看作是两
个平面的交线，因此空间中两个
平面的方程联立而成的方程 组：
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
叫做空间直线的一般方程 。
2 2 2 2 0A x B y C z D? ? ? ?
0A x B y C z D? ? ? ?
前页 结束后页
7.1.1.3 空间曲面和空间曲线的一般方程
1．曲面的方程
曲面上任一点的坐标都满
足方程, 不在曲面上的点
的坐标都不满足方程, 则
称此方程为曲面的方程,
而曲面就叫做方程的图形 。
在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹
(,,) 0F x y z ?
(,)xy
z (,,) 0F x y z ?
前页 结束后页
空间曲线可看成是两曲面的交线设 和
是两个曲面方程
(,,) 0F x y z ?
2．空间曲线的一般方程
(,,) 0
(,,) 0
F x y z
G x y z
?
?
?
?
?
称为空间曲线的一般方程
即曲线上任何一点都要同
时满足两个曲面方程。
(,,) 0G x y z ?
(,,) 0F x y z ?
(,,) 0G x y z ?
则方程组
前页 结束后页
7.1.2 多元函数的概念
例 1 矩形面积 S与长 x，宽 y有下列依赖关系
S=xy (x>0,y>0)，
1.引例
其中长 x 和宽 y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，
当 x,y 的值取定后，矩形面积 S有一个确定值之对应,
为某商品的销售量,为商品的销售价格,为
购买商品的人数为设此种商品的销售量 与,
Q
)0,0( ????? bacNbPaQ
NP
Q P N
有关系：
其中，,, 均为正常数a b c
例 2
前页 结束后页
2.二元函数的定义
定义 1 设有三个变量 x,y,z，如果对于变量 x,y的
变化范围内所取的每一对值，变量 z都按照一定的规则，
有一个确定的值与之对应，则称 z为 x,y的二元函数，
记作
z=f(x,y) 或 z=z(x,y)，
其中 x,y称为自变量,z称为函数 (或因变量 ).自变量 x，
y的变化范围称为函数的定义域,
前页 结束后页
类似地，可以定义三元函数 u=f(x,y,z)以及三元以
上的函数,二元以及二元以上的函数统称为多元函数,
与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的
两个要素。
函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分,求
函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量
的取值范围,
前页 结束后页
例 3 求出二元函数 的定义域, 221 yxz ???
解 自变量 x,y必须满足不等式
,122 ?? yx
此即函数定义域,
例 4 求函数 z=ln(x+y)的定义域,
解 函数的定义域为
x+y>0.
即
xy?
前页 结束后页
例 5 求函数 的定义域 (a>0,b>0),byaxz a r c s i na r c s i n ??
其图形是矩形内部 (包括边界 ).
解 函数的定义域由不等式组 byax ?? ||||,
bybaxa ??????,即
例 6 求函数 的定义域, 221
1
yx
z
??
?
解 函数的定义域为,0)(1 22 ??? yx
.1 22 ?? yx即
它的图形是单位圆内部 (不包括边界 ).
前页 结束后页
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是
一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的
一些点,
全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为
平面开区域，简称平面区域,这三个条件是：
(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,
(2) 点集内不包含边界上的点,
(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内
的折线，将该两点连接起来,
前页 结束后页
)2( ? 点集内包含边界上所有的点,
这种平面点集称为平面闭区域,
如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某
个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域,
例 3,例 5的定义域为有
界闭区域,例 4的定义域为无
界区域,例 6的定义域为有界
区域,
如果上述条件 (1),(3)不变，将 (2)改为,)2( ?
前页 结束后页
3.二元函数的几何意义
在一定条件下，函数
z=f(x,y)的几何图形是一张曲
面, 而定义域 D正是这曲面
在 平面上的投影,xoy
D
(,)z f x y?
前页 结束后页
7.1.3 二元函数的极限 与连续
定义 2 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域有定义 (点 (x0,y0)
可以除外 ),如果动点 P(x,y) 以任意方式趋于定点 (x0,y0)时，
函数的对应值 f (x,y)趋于一个确定数 A，则称 A为函数
z=f(x,y),当 时的极限，记作00,x x y y??
0
0
li m (,),xx
yy
f x y A?
?
? 00(,) (,)lim (,),x y x y f x y A? ?或
对于二元函数的极限存在，是指当 P(x,y)以任意方
式趋于定点 P0(x0,y0)，函数都无限接近于 A.
值，则可以断定函数在该点的极限不存在,
当 P(x,y)以不同路径趋于点 时，函数趋于不同的00(,)P x y
前页 结束后页
例 7 讨论二元函数 ?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
，
当 P(x,y)→ O(0,0)时，极限是否存在,
解 当 P(x,y)沿 x轴趋于点 O(0,0)即 y=0时,f(x,y)=f(x,0)=0
(x≠0),.0)0,(l i m 0 ?? ? xfx
当 P(x,y)沿 y轴趋于点 O(0,0)即 x=0时,
f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0),
.0),0(l i m 0 ?? ? yfy
当 P(x,y)沿直线 y=k x轴趋于点 O(0,0)时，
前页 结束后页
，22
0
0 11
lim),(lim
k
k
k
kyxf
x
x
kxy ?
?
?
??
?
?
?
即 f(x,y)=f(x,kx)= (x≠0)，21 kk?
其极限值随直线斜率 k的不同而不同,
因此 不存在, ),(lim
0
0
yxf
y
x
?
?
一元函数极限的有些运算法则 (如四则运算法则，
夹逼定理等 ) 可以相应地推广到二元函数,
当 P(x,y)沿直线 y=k x轴趋于点 O(0,0)时，
前页 结束后页
定义 3 如果当 时，函数 z=f (x,y)的极限
存在，且等于它在点 P0(x0,y0)处的函数值 f(x0,y0)，
即 ),,(),(lim
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
?
?
?
则称函数 f(x,y)在点 处连续,
00,x x y y??
如果函数 z=f (x,y)在开区域 D上各点都连续，则称函
数 z=f (x,y)在开区域 D上连续,连续的二元函数 z=f (x,y)在
几何上表示一张无孔无隙的曲面,
0 0 0(,)P x y
前页 结束后页
如果函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)不连续，则称点
P0(x0,y0)是函数 f(x,y)的不连续点，或称间断点,
如果函数 z=f(x,y)有下列情形之一：
(1)在点 P0(x0,y0)没有定义，
(2) 在点 P0(x0,y0) 有定义,不存在,),(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
(3) 在点 P0(x0,y0) 有定义，且 存在，但
0
0
lim ( )
xx
yy
?
?
f x,y
则点 P0(x0,y0)为函数的 z=f(x,y)的间断点,
0
0
l im ( ) ( )
xx
yy
ff
?
?
? 00x,y x,y,
前页 结束后页
二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了
有间断点外，还可能有间断线,
在圆周 上的每一
点都是间断点，因为在圆周
上的点，函数无定义,圆周
是该函数的一
条间断线,
22
1
1
?
??
z
xy
1?22x + y
22 1??xy
例 8 函数
22
1
1
?
??
z
xy
前页 结束后页
与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭
区域上多元连续函数也有如下性质：
性质 1(最大值和最小值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元
连续函数在 D上一定有最大值和最小值,
性质 2 (介值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元连续函数,
如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得
介于这两个值之间的任何值至少一次,
前页 结束后页
7.2.1 偏导数的概念
7.2 偏导数
偏增量
定义 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某一邻域内有定义，
当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量△ x时，相应函数有增量
0 0 0 0(,) (,),f x x y f x y? ? ?
称为关于 x 的偏增量．记为
?xz
0 0 0 0(,) (,),x z f x x y f x y? ? ? ? ?
相应的 0 0 0 0(,) (,),y z f x y y f x y? ? ? ? ?
即
前页 结束后页
1.偏导数的定义
如果极限 0 0 0 0
0
(,) (,)lim
x
f x x y f x y
x??
? ? ?
?
存在，则称此极限值为函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏
导数,记作
0 0 0 0
0 0 0 0
(,) (,)
,,(,) (,),xx
x y x y
zf f x y z x y
xx
??
?? 或
即
00
0 0 0 0
0(,)
(,) (,)lim
xxy
f x x y f x yz
??
? ? ?? ?
??
类似地，函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数为
0 0 0 0
0
(,) (,)lim
y
f x y y f x y
y??
? ? ?
?
前页 结束后页
00(,)
,
xy
f
y
?
?
00(,)xy
z
y
?
?
记为
0 0 0 0(,) (,)yyf x y z x y?? 或
前页 结束后页
如果函数 z=f(x,y)在区域 D内每一点 (x,y)都存在对 x
的偏导数，即
0
(,) (,)lim,(,)
x
f x x y f x y x y D
x??
? ? ? ?
?
存在，显然这个偏导数仍是 x,y的函数，称它为函数
z=f(x,y)对 x的偏导函数，记作
,,(,) (,)xxzf f x y z x yxx???? 或
偏导函数,
前页 结束后页
类似地，可以定义函数 z=f(x,y)在区域 D内对自变
量 y的偏导函数为
0
(,) (,)lim
y
f x y y f x y
y??
? ? ?
?
记作,,(,) (,)yyzf f x y z x y
yy
??
?? 或
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义,例如三
元函数 u=f(x,y,z)在点 (x,y,z)处对 x的偏导函数定义为
0
(,,) (,,)lim
x
u f x x y z f x y z
xx??
? ? ? ??
??
偏导数 可类似的定义,
uu
yz
??
??
前页 结束后页
偏导数的几何意义
?
?
前页 结束后页
2,偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数,
一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导
数仍然适用,
例如，给定一个二元函数 z=f(x,y)，求 时，可将
自变量 y看成常数 (即将 z看成 x的一元函数 )，只需 z对 x
求导,
x
z
?
?
前页 结束后页
若求函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数，只需
先求偏导函数 fx(x,y)，然后再求 fx(x,y)在点 (x0,y0)处的函
数值，即,这样就得到了函数
z =f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数,也可以先将 y=y0代入
z=f(x,y)中，得 z=f(x,y0)，然后对 x求导数 fx(x,y0)，再以
x=x0代入,两种做法是一致的,因为在这个过程中,y为
常数 y0.
),(|),( 00),( 00 yxfyxf xyxx ?
前页 结束后页
例 1 求函数 在点 (1,3)处对 x 和 y 的
偏导数,
22 2),( yxyxyxf ???
解 yxyxf x 22),( ??,22),( yxyxf y ??
将点 (1,3)代入上两式，得
.43212)3,1(
,83212)3,1(
??????
?????
y
x
f
f
例 2 求函数 的偏导数,yxz ?
.ln xxyz y???,1??
?
? yyx
x
z解
前页 结束后页
例 3 求函数 的偏导数,22e yxz ??
2 2 2 222e ( ) 2 ex y x y
y
z x y y
y
??? ?? ? ? ?
?
2 2 2 222e ( ) 2 ex y x y
x
z x y x
x
? ? ? ? ??
?,解
例 4 求函数 的偏导数,2 2 2? ? ?r x y z
,
r
y
y
r ?
?
?
2 2 2
,? ??
? ??
r x x
xrx y z
解
.
r
z
z
r ?
?
?
前页 结束后页
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是 1.这一点与一元
函数导数记号 是不同的,可看成函数的微分 dy
与自变量微分 dx之商,
x
y
d
d
x
y
d
d
前页 结束后页
例 6 设 22
22
22
,0,
(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
? ???,
求 f(x,y)在原点 (0,0)处的偏导数,
解 原点 (0,0)处对 x的偏导数为
0
( 0,0 ) ( 0,0 )( 0,0 ) lim
x x
f x ff
x??
? ? ??
?
2
00
( ) 0
0
( ) 0
lim lim 0 0,
xx
x
x
x? ? ? ?
??
?
??
? ? ?
?
前页 结束后页
在原点 (0,0)处对 y的偏导数为
y
fyff
yy ?
????
??
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
.00lim
0
)(0
)(0
lim
0
2
0
??
?
?
??
??
?
???? yy y
y
y
22
22
22
,0,
(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
? ???,
前页 结束后页
对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处
连续，这与一元函数不同,一元函数在其可导点处，一
定连续的结论，对多元函数是不成立的,这是因为偏导
数存在，只能保证当点 (x,y)沿着平行坐标轴的方向趋
于 (x0,y0)点时，函数数值 f(x,y)趋于 f(x0,y0)，但不能保证
当点 (x,y)以任意方式趋于点 (x0,y0)时，函数 f(x,y)趋于
f(x0,y0).
在点 (x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，
而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元
函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系,
前页 结束后页
三、高阶偏导数
设函数 z=f(x,y)在区域 D内有偏导数
二元函数的二阶偏导数为：
2
2 (,) (,)x x x x
zz z x y f x y
x x x
? ? ??? ? ? ?
??? ? ???
2
(,) (,) x y x yzz z x y f x yy x x y? ? ??? ? ? ???? ? ? ???
2
(,) (,) y x y xzz z x y f x yx y y x??? ? ?? ? ???? ? ? ?
??
前页 结束后页
2
2 (,) (,)y y y y
zz z x y f x y
y y y
??? ? ?? ? ?
??? ? ???
同样可得三阶、四阶以至 n阶偏导数 (如果存在的
话 ).一个多元函数的 n–1阶偏导数的偏导数，称为原来
函数的 n阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数称为高阶
偏导数,
前页 结束后页
例 7 求 的二阶偏导数, 323 3 yxyxz ??
,66 32
2
yxyx z ????
,9 223 yxxyz ????,63 32 xyyx
x
z ??
?
?解
,18 22
2
yxy z ????
,183 22
2
xyxyx z ?????
.183 22
2
xyxxy z ?????
前页 结束后页
).1,1,1(),2,1,1(,),,( 222 xyzxx ffzxyzxyzyxf 求设 ???例 8
,2),,( 2 xzyzyxf x ??解
,2),,( zzyxf xx ?
,2),,( yzyxf xy ?
,0),,( ?zyxf x y z
.0)1,1,1( ?x y zf
,4)2,1,1( ?xxf
前页 结束后页
例 9 设,求,,s i ne
2
2
2
yx
z
x
zyxz x
??
?
?
??
.s i n)1(es i nes i ne yxyxyxz xxx ??????解
.s i n)2(es i nes i n)1(e2
2
yxyyx
x
z xxx ?????
?
?
.c o s)1(e
2
yxyx z x ?????
前页 结束后页
7.3.1 全微分的概念
全增量 设二元函数 y = f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域
内有定义,当自变量 x,y在点 (x0,y0)的该邻域内分别
取得增量 和 时，函数的全增量为x?
0 0 0 0(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
y?
7.3 全微分
一,全微分的定义
前页 结束后页
例 1 设矩形金属薄板长为 x，宽为 y,则面积 S=xy.薄板
受热膨胀，长自 x0增加,宽自 y0增加,其面积相
应增加
0 0 0 0
00
( ) ( )
,
S x x y y x y
y x x y x y
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
x? y?
全增量 由 三项组成,
比其余两项小得多,
S? yxyxxy ?????,,00
yx ???
，令 22 )()( yx ?????
前页 结束后页
定义 2 设二元函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域内有定
义，如果 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的全增量
),(),( 0000 yxfyyxxfz ???????
可表示为 ),( ?oyBxAz ??????
其中 A,B与 无关,是比
高阶的无穷小，则称 为函数 z=f(x,y)在点
(x0,y0)处的全微分，记作 dz，即
yx ??,)(,)()( 22 ?? oyx ???? ?
yBxA ???
d yz A x B? ? ? ?
也称函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)处可微,
前页 结束后页
与一元函数类似，全微分 dz是 的线性函数，
是比 高阶的无穷小,当 充分小时，可用
全微分 dz作为函数的全增量 的近似值,
dzz?? ?
z?
二、全微分存在的必要条件
定理 1 (全微分存在的必要条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在点
(x0,y0)处可微，则 f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且
A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).
由定理 1可得到全微分的计算公式：
0 0 0 0d (,) (,)xyz f x y x f x y y? ? ? ?
,xy??
| |,| |xy??
前页 结束后页
与一元函数微分类似，规定自变量 x,y的增量等于自
变量的微分 dx,dy，即,于是全微分
又可写成
yyxx dd ????,
0 0 0 0d (,) d (,) dxyz f x y x f x y y??
如果函数 f(x,y)在开区域 D内每一点处都可微，则称
f(x,y)在域 D内是可微的,这样，域 D内任一点处的全微分
为
d (,) d (,) dxyz f x y x f x y y??
定理 2 (全微分存在的必要 条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在
(x0,y0)点可微，则函数 z =f (x,y)在点 (x0,y0)处连续,
前页 结束后页
三、全微分存在的充分条件
例 ?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 (0,0)处不连续，故由 定理 2可知，在 (0,0)点是不可
微的,但这个函数在 (0,0)点的两个偏导数是存在的且
.0)0,0(,0)0,0( ?? yx ff
该例说明，尽管函数在 (0,0)点的两个偏导数存在，但函
数在 (0,0)点仍是不可微的，即定理 1的逆定理是不成立的,
下面的定理给出了函数 z=f(x,y)可微的充分条件,
前页 结束后页
定理 3(全微分存在的充分条件 ) 设函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
存在连续的偏导数,则函数 z=f(x,y)在点
(x,y)可微,（充分而不必要）
),(),,( yxfyxf yx
例如
2 2 2 2
22
22
1( ) sin,0
(,)
0,0
x y x y
xyf x y
xy
?
?
?
?
?
? ? ?
??
??
在 O(0,0)处可微，但偏导数在原点 O(0,0)不连续,
上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的
多元函数,如三元函数 u=f(x,y,z)的全微分存在，则有
d d d du u uu x y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?
前页 结束后页
例 2 求 的全微分, 323 3 yxyxz ??
解,63 32 xyyx
x
z ??
?
?
y
y
zx
x
zz ddd
?
??
?
??
而且它在 Oxy平面上处处连续，所以在点 (x,y)处的全微
分为
，223 9 yxxyz ????
.d)9(d)63( 22332 yyxxxxyyx ????
前页 结束后页
例 3 求 在点 (2,1)处的全微分,xyz = e
解 由于 与 是连续函数，且
e? ?? xyz yx
,e 2
1
2
?
?
?
?
?
y
xx
z
22
2
1
2.x
y
xy?
?
??zd e d e d
所以在点 (2,1)处的全微分为
,e2 2
1
2
?
?
?
?
?
y
xy
z
? ?
?
xyz x
y e
前页 结束后页
例 4 求 z=xy在点 (2,3)处，关于 的全增
量与全微分,
2.0,1.0 ???? yx
xyyyxxz ??????? ))((解
yyzxxzz ddd ??????
将各值代入上式，得到
.7.0d,72.0 ??? zz
，yxyxxy ???????
.dd yxxyyxxy ??????
前页 结束后页
例 5 求 的全微分,
sin
2
yux? ? ? yze
解,1???xu
.dede2c o s21dd zyyzyxu yzyz ??????? ???
,e2c o s21 yzzyyu ????
,e yzyzu ???
前页 结束后页
7.3.2 全微分在近似计算中的应用
0 0 0 0z d (,) (,)xyz f x y x f x y y? ? ? ? ? ?
z (,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
(,) (,) (,)
(,)
x
y
f x x y y f x y f x y x
f x y y
? ? ? ? ? ? ?
??
从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差
是 的高阶无穷小，所以当 很小时有? |||,| yx ??
又
从而
前页 结束后页
例 6 求 的近似值,4,0 1(1.98)
解 计算
yxyxf ?),(4,0 1(1.98)
47.15
1601.09.11)02.0(32
)4,2()4,2()4,2(( 1, 9 8 ) 4, 0 1
?
??????
????? fyfxf
yx
(,)f x x y y? ? ? ?
32)4,2(
4
2
1 ??
?
?
?
y
x
y
x yxf
09.11ln)4,2(
4
2 ??
?
?
y
x
y
y xxf
的值可以近似看作
时当
的值
取
1, 9 8,4, 0 1x x y y? ? ? ? ? ?
2,- 0, 0 2,4,0, 0 1x x y y? ? ? ? ? ?
前页 结束后页
7.4.1 多元复合函数的微分法
设 z=f(u,v)是变量 u,v的函数，而 u,v又是 x,y的
函数，即,如果能构成 z 是 x,y 的
二元复合函数
(,),(,)u x y v x y????
[ (,),(,) ],z f x y x y???
如何求出函数 z对自变量 x,y的偏导数呢？
7.4 多元复合函数与隐含数的微分法
前页 结束后页
定理 设函数 在点 (x,y)处有偏
导数，而函数 z=f(u,v)在对应点 (u,v)有连续偏导数，则
复合函数 在点 (x,y)处的偏导数
存在，且,zzxy????
),(),,( yxvyxu ?? ??
)],(),,([ yxyxfz ???
,
,
z z u z v
x u x v x
z z u z v
y u y v y
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
复合函数的结构图是
z
u
v
x
y
前页 结束后页
公式 (1)给出 z对 x的偏导数是
( * ) xvvzxuuzxz ??????????????
公式 (*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公
式 (*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
x
z
?
?
(1)公式 (*)的项数，等于结构图中自变量 x到达 z
路径的个数,函数结构中自变量 x到达 z的路径有两条,
第一条是,第二条是,所以公
式 (*)由两项组成,
zvxzux ????
前页 结束后页
(2)公式 (*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数,如第一条路径,
有一个函数 z和一个中间变量 u，因此，第一项就是两
个偏导数 与 的乘积,
zux ??
x
u
u
z
?
?
?
?
复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数
公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法
则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式,这一
法则通常形象地称为链式法则,
前页 结束后页
1.设函数 w =f (u,v)有连续偏导数，而
可导，则复合函数
只是自变量 x的函数，
求 z 对 x的导数,
( ),ut?? ()vt??
[ ( ),( ) ]z f t t???
t
z
d
d
可得
d d d
dt d d
z z u z v
u t v t
??? ? ? ?
??
下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全
导数公式,
z
u
v
t
前页 结束后页
在这里，函数 z是通过二元函数 z=f(u,v)而成为 t的
一元复合函数,因此,z对 t的导数 又称为 z对 t的全导
数,对公式 (2)应注意，由于 z,u,v这三个函数都是 t
的一元函数，故对 t的导数应写成,而不能
写成,
t
v
t
u
t
z
?
?
?
?
?
?,,
t
v
t
u
t
z
d
d,
d
d,
d
d
t
z
d
d
前页 结束后页
.,yzxz ????例 1 设 求,,,s i ne yxvxyuvz u ????
解法 1 得
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
1c o ses i ne ???? vyv uu
，)]c o s ()s i n ([e yxyxyxy ????
)].c o s ()s i n([e yxyxxxy ????
1c o ses i ne ???? vxv uu
前页 结束后页
解法 2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量 u,v，
用 x,y代入，则得到
,z 是 x,y二元复合函数，根
据复合函数的链式法则，得
)s i n(e yxz xy ??
)c o s (e)s i n(e yxyxyxz xyxy ??????
)c o s (e)s i n(e yxyxxyz xyxy ??????
，)]c o s ()s i n ([e yxyxyxy ????
)].c o s ()s i n([e yxyxxxy ????
前页 结束后页
例 2 设,其中 f(u,v)为可微函数，求 ),( 22 xyyxfz ??,.zzxy????
解 令,可得22,u x y v x y? ? ?
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数 f
仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式,
v
z
u
z
?
?
?
?,
，vzyuzx ?????? 2
，vzxuzy ?????? 2
前页 结束后页
例 3 设 求,,e2s i n),( 222 yxvxvxvxfz v ??????,xz??
解
x
v
v
f
x
f
x
z
?
??
?
??
?
??
?
?
在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的,xfxz ????
.4)s i n (4s i n 22 xyxxvxf ???????
显然不等于,xz??
xvxxv v 2)ec o s()4( s i n ?????
.2]e)c o s ([]4)[ s i n( 222222 xyxxxyx yx ??????? ?
前页 结束后页
例 4 设 求,dd,ln,e,2 tztyxxz ty ???
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
d
d
d
d
d
d ?
?
???
?
??
解 得
txxyx
yty 1lne2 21 ???? ?
)1(2
22
??
??
yx
xyx
y
yy
).1( l n2 2 ?? tt t
前页 结束后页
一, 由方程 F(x,y)=0所确定的隐函数 y=y(x)的求导公式
若函数 F(x,y)在点 P0(x0,y0)处的偏导数,
则方程 F(x,y)=0在点 P0的一个邻域内，确定了一个隐
函数 y=y(x)，并假定 y(x)可导,F(x,y)可微，那么如何
求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
求导的一般公式,
0
0
???
Py
F
x
y
d
d
7.4.2 隐含数的微分法
前页 结束后页
首先将 y = y(x)代入方程 F(x,y)=0，得恒等式
[,( ) ] 0,F x y x ?
将左端看成 x的复合函数，两端对 x求导，得
d 0dxy yFF x??
由于假定,故有
d
d
x
y
Fy
xF??
0yF ?
公式 (3)就是由方程 F(x,y)=0确定的隐函数 y = y(x)的
导数公式,
前页 结束后页
.dd0es i n xyyyx x,求??
解 令,则有 xyyxyxF es i n),( ??
,es i n xx yyF ??
代入公式 (3)，得
.
ec o s
es i n
d
d
x
x
y
x
yx
yy
F
F
x
y
?
?????
.ec o s xy yxF ??
例 5 设
前页 结束后页
例 6 设,dds i n21 xyyyx,求??
解法 1 将方程写成,
两端对 x求导 (y是 x的函数 )，得
0s i n21 ??? yyx
，0ddc o s21dd1 ???? xyyxy
.
c o s2
2
d
d
02c o s
yx
y
y
?
?
??,所以得到由于
前页 结束后页
解法 2 用公式 (3)求,xydd
，令 yyxyxF s i n21),( ???
,c o s211,1 yFF yx ????则
代入公式 (3)，得
.
c o s2
2
c o s
2
11
1
d
d
yyF
F
x
y
y
x
?
?
??
????
前页 结束后页
二、由方程 F(x,y,z)=0所确定的隐函数 z=z(x,y)
的偏导数公式
将 z=z(x,y)代入方程 F(x,y,z)=0，得恒等式
[,,(,) ] 0F x y z x y ?
前面已假定,由上式解出,得 y
z
x
zF
z ?
?
?
??,0
,yx
zz
FFzz
x F y F
??? ? ? ?
将上式左端看成 x,y的复合函数，两端对 x和 y求导，得
,010
,001
?
?
?
?????
?
?
?
?????
y
z
FFF
x
z
FFF
zyx
zyx
前页 结束后页
例 7 设 ).(,2222 为常数，求 Ry
z
x
zRxzyx
?
?
?
????
解 将方程定成,令 02222 ???? Rxzyx
.2,2,22 zFyFRxF zyx ????得
若,方程 F(x,y,z)=0确定了函数 z=z(x,y)，
由公式 (4)，得
02 ?? zF z
,z xRFFxz
z
x ????
?
?
.zyFFyz
z
y ????
?
?
RxzyxzyxF 2),,( 222 ????
前页 结束后页
定义 设函数 z = f (x,y) 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义，
如果在该邻域内任何点 (x,y) 的函数值恒有
f (x,y)≤f (x0,y0) (或 f (x,y)≥f (x0,y0))，
则称点 (x0,y0)为函数的极大值点 (或极小值点 ),f (x0,y0)为
极大值 (或极小值 )，极大值和极小值统称为极值, 极大值
点和极小值点统称为极值点,
7.5.1 多元函数的极值
7.5 多元函数的极值与最值
前页 结束后页
注
（ 1）极值点一定是区域内的点
（ 2）不等式 f(x,y)≤f(x0,y0 )(或 f(x,y)≥f(x0,y0)) 也只在某个
邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成
立
前页 结束后页
例 1 函数,在原点 (0,0)处取得极
小值 1.因为，对于任何点 (x,y)≠(0,0)，都有
22 21),( yxyxf ???
f(x,y)>f(0,0)=1,
这个极小值也是最小值,该函数的图形是椭圆抛物面,
在曲面上点 (0,0,1)的 z坐标小于曲面上其他点的 z坐标,
例 2 函数,在原点 (0,0)处取得极
大值 1.因为对于任何 (x,y)≠(0,0)，都有
f(x,y)<f(0,0)=1
这个函数的图形是椭圆抛物面,在曲面上点 (0,0,1)的 z坐
标大于曲面上其他点的 z坐标,
22 21),( yxyxf ???
前页 结束后页
定理 1 (极值存在的必要条件 ) 设函数 z=f(x,y)在点
(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有
0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
注 （ 1） 驻点不一定是函数的极值点,例如，函数
z=x2–y2，在点 (0,0)处的两个偏导数同时为零，即
容易看出驻点 (0,0)不是函数的极值点,
( 0,0 ) 0,( 0,0 ) 0,xyzz ??
（ 2）极值点也可能不是驻点，因为偏导数
不存在的点也可能是极值点，如锥面 的
顶点 (0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点,
221 yxz ???
前页 结束后页
定理 2(极值的充分条件 ) 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的
某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且 (x0,y0)是函
数的一个驻点，即,记
，则
0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
0 0 0 0 0 0(,),(,),(,)x x x y y yA f x y B f x y C f x y? ? ?
(1) 当 B2–AC<0时,是函数的极值点,
A<0时,为极大值点,f(x0,y0)为极大值；
A>0时,为极小值点,f(x0,y0)为极小值,
(2) 当 B2–AC>0时,f(x0,y0)不是极值,
(3) 当 B2–AC=0时,f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值,
00(,)xy
00(,)xy
00(,)xy
前页 结束后页
?
?
?
?
?
0),(
,0),(
yxf
yxf
y
x
综合定理 1，定理 2，对于具有二阶连续偏导数的
函数 求其极值的步骤如下：
2.求出二阶偏导数,并对每
一驻点，求出二阶偏导数的值 A,B,C.
),(),,(),,( yxfyxfyxf yyxyxx
1.求方程组
的一切实数解，得到所有驻点,
3.对每一驻点 (x0,y0)，定出 B2–AC的符号，按照定理 2的
结论判定 f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值,
(,)z f x y?
前页 结束后页
例 3 求函数 的极值,
的一切实数解，得驻点 (1,0).
在 (1,0)点处，有 A=2,B= –1,C=2.
B2–AC= –3<0，且 A>0，
由极值的充分条件，得 f(1,0)= –1为极小值,
yxyxyxz ????? 222
解 求方程组 ??
?
?????
????
012
,022
yxz
yxz
y
x
求函数的二阶偏导数,2,1,2 ???? yyxyxx zzz
前页 结束后页
如何求函数 z=f(x,y)在区域 D上的最大值、最小值
呢？如果 f(x,y)在 D上可微，可先求出函数在该区域内
的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值
与最小值,在这些函数值中的最大的就是函数在 D上的
最大值，最小的就是函数在 D上的最小值,
7.5.2 多元函数的最值
前页 结束后页
例 4 要用铁板做一个体积为常数 a的有盖的长方体水
箱，问水箱各边的尺寸多大时，用材料最省,
解 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，于是体积
a=xyz，表面积 S为
S=2(xy+xz+yz).
将 代入 A的表达式中，得xy
az ?
.2),( ??
?
?
???
? ???
y
a
x
axyyxS
前页 结束后页
由第一个方程，得,将其代入第二个方程，
得
2x
ay ?
04 ?? xax
0?x? 3 ax ??
3 ya?于 是,
).,( 33 aa
求函数 S(x,y)的驻点,
?
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
02
,02
2
2
y
a
x
y
S
x
a
y
x
S
得函数 的唯一驻点),( yxS
前页 结束后页
根据实际问题可以断定,S(x,y)在 D内一定有最
小值，而在 D内只有唯一驻点,则该驻点
就是 S(x,y)的最小值点，即当 时，面
积 A取得最小值,此时高,即水箱为正立
方体，每边长为 时,所用材料最省,
),( 33 aa
33,ayax ??
3a
3 a
xy
az ??
前页 结束后页
7.6.1 ―边际, 经济量
实际中的一个经济问题, 往往与多种因素有关 。 如
需求函数, 需求量不仅受商品价格的影响, 也受到和
与该商品相关的许多商品的价格影响 。 又如生产函数,
总产量和劳动力的投入相关, 也与资本的投入直接相
联系 。 讨论这些因素之间的关系, 可用多元函数的偏
导数 —―边际, 经济量 。
定义 1 如设两个有关的商品，其价格分别用 1P
2P
和
1Q 2Q和 表示。 需求函数分别是两个二元函数，
12(,),f P P?1Q 12(,)PP??2Q
7.6 偏导数在经济中的应用
前页 结束后页
一般情况下，
（ 减少 ） 将引起本身需求量的下降 （ 增加 ） 。
1
1
0QP? ?? 2
1
0QP? ??且 表明商品价格的增加
1
2
0QP? ?? 2
1
0QP? ??且当
第二种商品的价格上升将引起第一种商品需求量的增加，
或第二种商品的价格下降将引起第一种商品需求量的减少
当第二种商品的价格不动时就有，第一种商品的价格的升
或降将引起第二种商品需求量的增或减。
时,表明第一种商品的价格不动
1 1 2 2
1 2 1 2
,,,Q Q Q QP P P P? ? ? ?? ? ? ?称为边际需求
由此可得四个一阶偏导数分别为
前页 结束后页
1
2
0QP? ?? 2
1
0QP? ??且当 时,表明第一种商品的价格不动
第二种商品的价格上升将引起第一种商品需求量的下降,
或第二种商品的价格下降将引起第一种商品需求量的增
加；当第二种商品的价格不动时就有, 第一种商品的价
格的升或降将引起第二种商品需求量的减或增 。 以上这
样的两种商品称之为相互补充的商品, 如录音机与磁带,
照相机与胶卷等 。
以上这样的两种商品称之为相竞争的商品。例如牛肉
和羊肉，营养价值相近的两种不同的蔬菜或食品，以及商
品与其代用品之间即为如此关系。
前页 结束后页
例 1 有两种商品其需求函数分别为
221 2 11 2 0 0, 3 2,Q P P? ? ? 22122 5 0 3 3PP? ? ?2Q
讨论两种商品间是怎样的关系？
解 因为边际需求函数为
1
2
2
0,6 0Q PP? ? ? ?? 2 1
1
0, 4 0Q PP? ? ? ??且
所以这两种商品是相互补充的。
前页 结束后页
7.6.2 偏弹性
定义 2
我们以需求函数为例加以说明。设甲和乙是两个有
关联的商品，其价格分别为
1p 2p
和
需求函数为
，若已知甲商品的
12(,)f p p?1Q 是一个关于 1p 2p和
的二元函数
1
1
11 1
12(,)
Q
pEp
f p p
?
???
称 为需求的自身价格弹性
衡量的是, 货物乙的价格保持不变时, 商品甲的需求量
的相对改变量与该商品价格相对改变量之比 。 描写的是,
商品甲的需求量对于自身价格变化进行反映的灵敏程度 。
前页 结束后页
2
12 2
12(,)
Q
pEp
f p p
?
???定义 3 称 为需求的交叉价格弹性
衡量的是, 货物甲的价格保持不变时, 商品甲的需求
量的相对改变量与商品乙价格相对改变量之比 。 描写的
是, 商品甲的需求量对于商品乙的价格变化时反映的灵
敏程度 。
以上所定义的自身价格弹性和交叉价格弹性, 都只
是就一个自变量的变化而言, 我们统称其为偏弹性 （ 或
局部弹性 ）
前页 结束后页
例 2 求需求函数
上需求的自身价格弹性，交叉价格弹性。并说明商品 A
和 B是相互竞争还是相互补充的。
11
521 0 0 0,A A BQ p p?? 在点
解
(,) ( 4,3 2 )ABpp ?
11
52 11 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0
2A A Bpp
?? ? ? ? ?Q
21
355 0 0,A
AB
A
Q pp
p
?? ??
?
41
522 0 0,A
AB
B
Q pp
p
??? ?
?
前页 结束后页
4
324
32
32 1 1 1
( 200 ),
100 0 2 16 5
A
BA
B
A
A
BA
pAB
pp
p
pQ
Qp
EQ
EP ???
?
?? ?
? ? ? ? ? ? ???
???
4
324
32
4 1 1
( 500 2 )
100 0 8 2
A
BA
B
A
B
AA
pAA
pp
p
pQ
Qp
EQ
EP ???
?
?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???
???
1 0
5
A
B
EQ
Ep ??
所以商品 A和 B是相互竞争的 。
因为
对于其它的经济函数，也可类似的定义偏弹性（局
部弹性）
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7.6.3 多产品多因素最大利润问题举例
例 3 某工厂生产的同一种产品分销两个独立市场，其总
成本函数为 12??Q Q Q1 2 4,C ??Q其中
两个市场的价格函数分别为
1 1 2 26 0 3,2 0 2PP? ? ? ?QQ
工厂追求最大利润，求投放每个市场的产量及此时
产品的价格？
解 由题设，两个市场的收益函数分别为
前页 结束后页
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
6 0 3
2 0 2
R Q P Q Q
R Q P Q Q
? ? ?
? ? ?
从而，工厂的利润函数
12
20 2
1 1 2 2 1 2
22
1 2 1 2
()
60 3 20 2 12 ( ) 4
3 2 48 8 4
L R R C
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
2
2
6 4 8 0
4 8 0
L
Q
Q
L
Q
Q
??
? ? ? ??
??
?
??
? ? ? ?
? ??
由
前页 结束后页
可得驻点
128,2QQ??
依题意，该问题有最大利润；而利润函数有惟一驻
点（ 8,2） 可知，当投放每个市场的产量分别为 8和 2时
工厂可获得最大利润。此时产品的价格
111 8( 6 0 3 ) 3 6QPQ ?? ? ?
221 2( 2 0 2 ) 1 6QPQ ?? ? ?
