1.1 函数
1.2 极限的概念
1.3 极限的运算
1.4 函数的连续性
第 1章 函数极限与连续
结束
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当自变量 x取数值 时，与 对应的因变量 y的值
称为函数 在点 处的函数值,记为 或,
当 x 取遍 D内的各个数值时,对应的变量 y 取值的全体组成
0xD?
0|xxy ?
0x
0x 0()fx
定义 1 设 x与 y是两个变量，若当变量 x在非空数集 D内任
取一个数值时，变量 x 按照某种对应法则 f 总有一个确定
的数值 y 与之对应，则称变量 y为变量 x 的 函数，记作
称 D为该函数的定义域,记为 Df,称 x为自变量，称 y为因变量,
xD?
1.1.1 函数的概念
数集称做这个函数的值域,记为 Zf 。
1.1 函 数
()y f x?
()y f x?
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1.1.2 函数的表示法
例 1 已知某商品的总成本函数为,2( ) 1 0 0
4
QC C Q? ? ?
例 2 某工厂全年 1—6月原材料进货数量如下表，
这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系．
T(月 ) 1 2 3 4 5 6
Q(吨 ) 11 10 12 11 12 12
(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关
系，是函数的公式表示法,如例 1是用公式法表示函数,
(2)表格法 自变量 x与因变量 y的一些对应值用表格列出
前页 结束后页
(3) 图示法 用函数 y=f(x)的图形给出自变量 x与 因变量 y
之间的关系,
例 3 需求函数与供给函
数,,
如图,P表示商品价格,Q
表示需求量,供给量,E点
为需求和供给平衡点．
()?Q f P ()?QP?
S
S
E
Q
PO
Q=φ(P)
Q=f(P)
说明
三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角
函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相
互补充。
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例 4 求函数 的定义域
(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 。
注,
(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则
它们是相同的函数．
(4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义
域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组
成的数集,
(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的,
1
3
xy
x
??
?
解 当分母 时,此函数式都有意义30x ??
因此函数的定义域为 (,3) ( 3,)?? ? ? ??
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例 5 求函数 的定义域, 21 6 ln( sin )y x x? ? ?
4 4,
2 ( 2 1 ),0 1 2
x
n x n n即,,, ??
? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
所以函数的定义域为 与,[ 4,) ( 0,) ????
解 要使函数 y 有定义，必须使
21 6 0,
sin 0,
x
x 成 立
? ??
? ?
?
4 0,xx与 ??? ? ? ? ? ?
这两个不等式的公共解为
前页 结束后页
解 当 时,函数值
设有函数,问它们是否为
同一个函数,
2 1
( ) 1,( ) 1xf x x g x x ?? ? ? ?例 6
( ) ( ),f x g x?
(,),?? ??
由于 与 的定义域不同,所以它们不是
同一个函数,
()fx ()gx
1x ??
但是 的定义域()fx
而 在点 无定义
其定义域为
()gx 1x ??
(,1 ) ( 1,),? ? ? ? ? ?与
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在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的
不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函
数称为分段函数．
例如符号函数
10
00
10
,
s g n,
,
x
y x x
x
???
? ? ??
????
是一个分段函数，它的定义域为 (,)?? ??
分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不
是表示几个函数,
前页 结束后页
2,0 1,
() 2,1 2,xxy f x xx? ???? ? ??
?
f (x)的定义域是 [0,2]，
22
21 1 1,( 1 ) 1 1 ;
2 2 4ff
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?因 此
1,1 [ 0,1 ]
2 ?由 于,
例 7
3 3 3( 1,2] 2 3.
2 2 2f
??? ? ? ???
??而, 因 此
当 时,01[,]x ? 2()f x x? 当 时,12(,]x ? ( ) 2f x x?
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定义 设 y是 u的函数,y = f (u)，,而 u是 x的函数
，并且 的值域包含 f (u)的定义
域，即,则 y 通过 u 的联系也是 x的函
数，称此函数是由 y =f(u) 及 复合而成的复合
函数，记作
()u x x D???，
Uu?
()x U x D? ??，
)(x?
)(xu ??
1.1.3 复合函数
并称 x 为自变量，称 u 为中间变量,
[ ( ) ],y f x??
例 8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成,1c o s 2 xy ??
解,是由函数 uyy x c o s2c o s 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?21vu v x? ? ?和
复合而成,并易知其定义域为 (,)?? ??
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例 9 求由函数 组成的复合函数并求其
定义域,
13 ??? xuuy,
解 由于 的定义域为 与 u=3x–1的值域
有公共部分，
[0,)??
(,)?? ??
yu?
由于 必须,从而,yu? 0u? 3 1 0x ??
故复合函数的定义域是,1[,)3 ??
,13 ?? xy所以由它们可以组成复合函数
1( ) [ ( ) ],[ [ ( ) ] ],
1f x f f x f f f xx? ?, 求例 10 设
1[ ( ) ]
1 ( )f f x fx? ? 解
11 1,0,x
x? ? ?
1
11
1 x
?
?
?
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).,0()0,( ???? 和的定义域为为负整数时，当 ?? x
).,0[
),0()0,(,),(
,
2
1
3
5
7
2
5
3
3
2
??
????????
??
的定义域为；和的定义域为；为
的定义域，如分数时，情况比较复杂当
x
xx
xxμ 为
(1)幂函数 yx??
幂函数 的定义域随 的不同而不同,?x?
1.基本初等函数
).,( ????的定义域为为正整数时，当 ?? x
( 是常数 )?
当 为无理数时,规定 的定义域为? (0,)??x?
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指数函数 的定义域为,当 a>1时，它严
格单调增加；当 0<a<1时，它严格单调减少,对于任何
的 a,的值域都是,函数的图形都过 (0,1)点,
),( ????
xa ),0( ??
xa
( ) l o g ( 0,1,)ay x a a a3对 数 函 数 是 常 数? ? ?
对数函数 是指数函数 的反函数，它的定
义域为,当 a>1时，它严格单调增加；当 0<a<1
时，它严格单调减少,对于任何限定的 a,的
值域都是,函数的图形都过 (1,0)点,
xa
),0( ??
),( ????
loga x
xy alo g?
(2)指数函数 是常数）( 0,1,xy a a a a? ? ?
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在高等数学中，常用到以 e为底的指数函数 和以
e为底的对数函数 (记作 ln x),ln x称为自然对数,
这里 e =2.718 2818 ……, 是一个无理数,
loge x
xe
(4)三角函数
常用的三角函数有：
正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与 y=cos x 的定义域均为,它们
都是以 为周期的函数，都是有界函数,
(,)?? ??
π2
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数，并且在开区间 内都是无界函数,
正切函数 y=tan x;
( 0,1,2,),2x n n??? ? ? ? ? ? ? ?定 义 域 为 除 去 以 外 的 全 体 实 数
余切函数 y=cot x;
.),2,1,0( 以外的全体实数定义域为除去 ??????? nnx ?
tan x与 cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定
义域内是无界函数,sin x,tan x及 cot x是奇函数,cos x是
偶函数,
π
此外还有正割函数 y=secx,余割函数 y=cscx,其
中,它们都是以 为周期的函
xxxx s i n
1c s c,
c o s
1s e c ??
)2π,0(
π2
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(5)反三角函数
三角函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x和 y=cot x的反函
数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，
称为主值分支，分别记作；定义域为 ]1,1[],2π,2π[,a r c s i n ???? yxy反正弦函数；定义域为 ]1,1[],π,0[,a r c c o s ??? yxy反余弦函数；定义域为 ),(),2π,2π(,a r c t a n ??????? yxy反正切函数
).,(),π,0(,c o ta r c ?????? 定义域为yxy反余切函数
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2 初等函数
定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经
过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，
称 为初等函数,
初等函数都可以用一个公式表式
2
22
5
32
46
( 1 ) c o s
ln
1
x
y a x b x c y
x
xx
y
xx
?
? ? ? ?
?
??
?
??
例 如 函 数,,
等 都 是 初 等 函 数 ；
2,0,
,0x
xxy
x
???
?
?
而 e
≥
大部分分段函数不是初等函数
是非初等函数
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定义 3 设函数 y=f(x)是定义在 Df上的一个函数，其值域为
Zf,对任意 y∈ Zf,如果有唯一确定的满足 y=f(x)的 x ∈ Df
与之对应，则得到一个定义在 Zf上以 y为自变量的函数，
我们称它为函数 y =f (x)的反函数，记作 1 ()x f y??
1.1.5 反函数与隐函数
1 反函数
习惯上，常用 x来表示自变量,y 表示因变量，所
以我们可以将反函数改写成 1 ( ) y f x??
在直角坐标系中的 图形与 y=f(x)的图形是1 ()y f x??
关于直线 y = x 对称的,
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例 11 设函数 y=2x–3，求它的反函数并画出图形,
12 3 ( 3 ),
2解 出 得y x x x y? ? ? ?
解
于是得反函数 1 ( 3 )
2yx?? 23yx??
1 ( 3 )
2yx??
yx?
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变量之间的函数关系, 是由某个二元方程 给
出的, 这样的函数称为隐函数,
例
有些隐函数可以改写成显函数的形式, 而有些隐函数不
能改写成显函数的形式, 把隐函数改写成显函数叫做
(,) 0F x y ?
22 5 0,s i n ( 2 ) 6xyx y x y x y e ?? ? ? ? ? ?
隐函数的显化
2 隐函数
前页 结束后页
1 奇偶性
设函数 y =f (x) 的定义域 D是关于原点对称的，即
当 时,有,xD? xD??
则称 f (x)为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称；
( ) ( ),f x f x??如果对于任意的,均有Dx?
则称函数 f (x)为奇函数,奇函数的图形关于坐标原点对称,
如果对任意的,均有xD? ( ) ( ),f x f x? ? ?
1.1.6 函数的基本性质
前页 结束后页
例 12 讨论下列函数的奇偶性,
2( 1 ) ( ) ;f x x? ;)()2(
3xxf ?
.)(
),()()(( 2 )
3
33
是奇函数xxf
xfxxxf
??
????????
,)(
),()()()1(
2
22
是偶函数xxf
xfxxxf
??
??????解
.)()3( 32 xxxf ??
,)(,)(
,)()3(
3232
32
xxxfxxxf
xxxf
??????
???
而
?
),()( ),()(,0 xfxfxfxfx ?????? 且时当
,)( 32 函数既不是偶函数也不是奇所以 xxxf ??
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设函数 y=f (x),如果存在正常数 T,使得对于定义域内
的任何 x均有 f (x + T)=f (x) 成立，则称函数 y=f (x)为
显然，若 T是周期函数 f(x)的周期，则 kT也是 f (x)
的周期 (k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就
是指最小正周期,
???
2 周期性
周期函数,T为 f (x)的周期,
例如，函数 y=sin x及 y=cos x都是以 为周期的
周期函数；
π2
函数 y=tan x及 y=cot x都是以 为周期的周期函数,π
前页 结束后页
解 设所求的周期为 T，由于
( ) sin [ ( ) ]
sin [ ( ) ]
f t T A t T
A t T
? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
( ) ( )f t T f t??要 使
s i n [ ( ) ] s i n ( ),A t T A t? ? ? ?即 成 立 ? ? ? ? ?
例 13 求函数 的周期，其中 为常数( ) s i n ( )f t A t?? ??,,A
并注意到 的周期为,只需sint 2?
2 0,1,2,Tn? ? ? ????,? ? ?
使上式成立的最小正数为 2 ( 1 )Tn??取??
所以函数 的周期为( ) s i n [ ( )f t A t?? ??2,??
前页 结束后页
3 单调性
设函数 y = f (x) 在区间 I上有定义 (即 Ｉ 是函数 y =f (x)
的定义域或者是定义域的一部分 ).如果对于任意的
，当 时，均有
则称函数 y =f (x)在区间 Ｉ 上单调增加 (或单调减少 ).
12,x x I? 12xx?
1 2 1 2( ) ( ) ( ( ) ( ) ),f x f x f x f x? ?或
单调增加 (或单调减少 )的函数又称为单调递增
(单调递减 )函数,统称为单调函数,使函数保持单调
性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间,
前页 结束后页
函数 内是单调减少的，在
区间 上是单调增加的,而在区间
内则不是单调函数,
单调增加的函数的图形是沿 x轴正向上升的；
单调减少的函数的图形是沿 x轴正向下降的；
例如，函数 内是单调增加的,3( ) (,)f x x? ?? ??在
2( ) (,0 ]f x x? ??在
(,)?? ??[0,)??
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4 有界性
设函数 y =f (x)的定义域为 D，数集,如果存
在正数 M，使得对于任意的,都有不等式
成立，则称 f (x)在 X上有界，如果这样的 M不存在，就
称函数 f (x)在 X上无界,
如果 M为 f (x)的一个界，易知比 M大的任何一个
正数都是 f (x)的界,
| ( ) |f x M?xX?
XD?
如果 f (x)在 x上无界，那么对于任意一个给定的
正数 M,X中总有相应的点,使,Mx | ( ) |Mf x M?
前页 结束后页
当函数 y=f (x)在区间 [a,b]上有界时，函数 y =f (x)
的图形恰好位于直线 y =M 和 y = –Ｍ 之间,
这里取 Ｍ = 1.
函数 y = sin x 的图形位于直线 y =1与 y = –1之间,
例如，函数 f (x)=sin x在 内是有界的,
这是因为对于任意的,
都有 成立，
),( ????
),( ?????x
1|sin| ?x
前页 结束后页
应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的
特点，还要注意自变量的变化范围 Ｘ,
例如，函数 在区间 (1,2)内是有界的,1()fx x?
1
| ( ) | | | 1fx
x
??
都 有
成 立,
)2,1(?x事实上，若取 Ｍ =1，则对于任何
而 在区间 (0,1)内是无界的,1()fx x?
前页 结束后页
1.1.7 函数关系的建立
例 14 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以
内，每千米 k元；超过千米，超过部分每千米 元,求
运价 P 和运送里程 s 之间的函数关系．
4
5k
解 根据题意可列出函数关系如下
()
0 1 0 0 0
41 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
5
k s s
P k k s s
???
? ? ? ? ? ? ? ?
??
≤
这里运价 P和运送里程 s 之间的函数关系是用
分段函数表示的,
前页 结束后页
总成本函数
? ? ? ?12C C Q C C Q? ? ?
? ? ? ? ? ?21C Q C QCC C Q Q Q Q? ? ? ?
平均成本函数
1 总成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入 (劳力, 原料, 设备等 )的价格或费用总
额, 它由固定成本与可变成本组成,
平均成本是生产一定数量的产品, 平均每单位产品的
成本,
在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件
下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数．
1.1.8 常见的经济函数
前页 结束后页
2 总收益函数
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入, 是
销售量的函数,
设 p为商品价格, 为 Q销售量, 为总收益, 则有
总收益函数 ? ?R R Q P Q??
平均收益函数 ? ? ? ?RQ
R R Q PQ? ? ?
3 总利润函数
设某商品的成本函数为 C，销售收益函数 R为，
则销售某商品个单位时的总利润函数为
? ? ? ? ? ?L L Q R Q C Q? ? ?
前页 结束后页
例 15 已知某产品的总成本函数为
求当生产 100个该种产品时的总成本和平均成本．
2( ) 0, 2 2 2 0C ? ? ?Q Q Q
2( 1 0 0 ) 0, 2 1 0 0 2 1 0 0 2 0 2 2 2 0C ? ? ? ? ? ?
平均成本为
( 1 0 0 ) 2 2 2 0( 1 0 0 ) 2 2, 2
1 0 0 1 0 0
CC ? ? ?
4 需求函数与供给函数
解 由题意，产量为 100时的
总成本函数为
前页 结束后页
1 数列的概念
定义 1 自变量为正整数的函数 ()
nu f n? 1,2n ?
将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数
1 2 3,,,,nu u u u
称为数列，将其简记为 ? ?nu
称为数列的通项或一般项nu
1.2.1 数列的极限
1.2 极限的概念
前页 结束后页
1
{ } { }
1 1 1
,,,.,
3
n
u
n
n
?
? ? ? ? ? ?
1,
2
,即(1)
1
1
{ } { ( 1 ) }
1,1,1,,( 1 ),.
n
n
n
u ?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
,即
(3)
{ } { 2 1 }
1,3,5,,2 1,.
nun
n
??
? ? ? ? ? ? ?
数 列, 即 奇 整 数 构 成 的 数 列
(4)
2 3 1,,,,
12
n
n
?(2) 1{ } { }
n
nu
n
?? 即
数列
数列
数列
前页 结束后页
2.数列的极限
数列（ 1）当 n无限增大时,无限趋近于 0，
即数列（ 1）以 0为它的变化趋向；
nun
1?
数列（ 2）当 n无限增大时,un = 无限趋近于常数 1,
即数列（ 2）以 1为它的变化趋向 ；
1n
n
?
数列（ 3），当 n无限增大时,其奇数项为 1，偶
数项为 -1，随着 n 的增大，它的通项在 -1,+1之间变动，
所以当 n 无限增大时，没有确定的变化趋向；
1)1( ??? nnu
数列（ 4）当 n 无限增大时,un也无限增大,
前页 结束后页
定义 2 如果当 n无限地增大时，通项 un无限地趋向于
某个确定的常数 a，则说当 n趋于无穷大时,un以 a为 极
限，记成
但是，像数列 等
1
l i m 0,
2
( 1 )
l i m ( 1 ) 1.
nn
n
n n
??
??
?
?
??
l i m ( ),nnn u a u a n?? ? ? ? ? 或
当 n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势？
如果有，极限是什么？
11,n
n
??????
?????
??????10
2,n
n
??
??
??
1s inn
n
????
??
直观上可以看出
前页 结束后页
单调增加或单调减少的数列统称为单调数列,
成立,则称数列 是单调减少的,
1 2 1nnx x x x ? ≥ ≥ ≥ ≥ ≥若有
3.单调数列与有界数列
数列 (2) (4)是单调增加的，数列 (1)单调减少的,
对于数列,若有
1 2 1nnx x x x ? ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
成立,则称数列 是单调增加的 ;{}nx
{}nx
{}nx
前页 结束后页
对于数列,若存在正数 M，使得对于一切的 n
都有
}{ nx
nxM?
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的,}{ nx }{ nx
容易验证数列 (1)(2)(3)是有界的；而数列 (4)是无
界的,
无界数列一定是发散的,
注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件,
例如，数列 是有界的，而 却是发散数列,{}
nu1{ } { ( 1 ) }nnu ???
定理 1 单调有界数列必有极限,
前页 结束后页
1,当 x→∞ 时,函数 f (x)的极限
函数 () 1xfx x? ?
当 x→+∞ 时,函数 f (x) 无限趋近于常
数 1，此时我们称 1为 当 x→+∞ 时函
数 f (x)的极限,
定义 3 如果当自变量 x无限增大时, 函数 f (x)无限趋近
于某个确定的常数 A,则称常数 A为函数 f (x)当 x→+∞ 时
的极限, 记为
Axfx ???? )(lim
( ) ( )f x A x? ? ? ?或
1.2.2 函数的极限
-1
1
前页 结束后页
当 x→ -∞时,函数 f (x) 无限趋近于常数 1，此时我们称 1为
当 x→ -∞时函数 f (x)的极限,
定义 4 如果当 无限增大时，函数 f (x)无限趋近
于某个确定的常数 A，则称常数 A为函数 f (x)当 x→+∞
时的极限，记为
||x
l i m ( )x f x A?? ?
Axf ?)( (x→∞)或
11lim ??
??? x
x
x
l im 11
x
x
x? ?? ??
Axfx ??? )(lim Axfxf xx ?? ??????? )(lim)(lim
定理 2
的充要条件是
前页 结束后页
2 当 x→ x0时,函数 f (x)的极限
1
1)( 2
?
??
x
xxf
当 x→ 1时,的值无限趋近
于常数 2，此时我们称当 x趋近于 1时，
函数
1
1)( 2
?
??
x
xxf
1
1)( 2
?
??
x
xxf
极限为 2
定义 5 设函数 f(x)在 的某邻域内有定义（ x0可以除外）,
如果当自变量 x 趋近于 x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于
某个确定的常数 A,则称 A为函数 f(x) 当 x→ x0时的极限，
0
l i m ( )xx f x A? ? ()f x A? 0
()xx?或
2
1
1
12
?
??
x
xy
考查函数
记为
前页 结束后页
2 在定义 5中,x 是以任意方式趋近于 的，但在
有些问题中，往往只需要考虑点 x 从 的一侧趋近于
时，函数 f (x)的变化趋向．
注, 1,在 时的极限是否存在,与 在
点 处有无定义以及在点 处的函数值无关,
0x
0xx?()fx ()fx
0x
如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ） 时,
以 A为极限, 则称 A为函数 当 时的左极限,
记为
()fx
0x
0
li m ( )xx f x A?? ?
x
()fx
)( 0xx ? 0xx??
0xx?
Axf ?)( )( 0?? xx或
如果当 从 的右侧 趋近于 （ 记为 ） 时,
以 A为极限, 则称 A为函数 当 时的右极
或 ( )
x
()fx
Axf ?)(
? ?0x > x0x
()fx
0xx ?
0x
Axfxx ??? )(lim
0
?? 0xx
?? 0xx
限，记为
0x
0x
0x
前页 结束后页
函数的极限与左、右极限有如下关系：
定理 3
0
l i m ( )xx f x A? ? ?
00
l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??
注, 定理 3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在
例 2 判断函数 ? 1 c o s,0() s in,0xxfx xx???
≤
在 点处是否有极限,0x ?
00li m ( ) li m ( 1 c o s ) 0xxf x x???? ? ? ?
解,
00li m ( ) li m s in 0xxf x x???? ??
00li m ( ) li m ( ) 0xxf x f x???? ??
因为
0li m ( ) 0x fx? ?
所以
前页 结束后页
定理 4(唯一性定理 ) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
2 函数极限的性质
定理 5(有界性定理 ) 若函数 f (x)当 x→ x0时极限存在,
则必存在 x0的某一邻域, 使得函数 f (x)在该邻域内有界,
定理 6(两边夹定理 ) 如果对于 x0的某邻域内的一切 x
( 可以除外 ),有, 且
00
lim ( ) lim ( )x x x xh x g x A?? ??
0
l i m ( )xx f x A? ?则
0x ( ) ( ) ( )h x f x g x≤ ≤
前页 结束后页
1.无穷小量
定义 7 若变量 Y在某过程下以零为极限，则称变量 Y
在此过程下为无穷小量，简称无穷小,
1.2.3 无穷小量与无穷大量
3
0
3
lim 0
0
x
x
xx
?
?
?
，
是
例 3
sin
sin
x
x
xx
?
?
?
0
l i m 0
0
，
是
例 4
时的无穷小量,
时的无穷小量,
因为
所以
因为
所以
前页 结束后页
例如函数 时的无穷小，但当
时不是无穷小。
当 时,的极限不为零，所以当
时，函数 不是无穷小，而当 时
是无穷小量。
1 ( )f x x
x? ? ?是
应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极
限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指
出其变化过程。
1x?
sinx
2
??x
2
??x
sinx 0x ? sinx
前页 结束后页
定理 7 在自变量的同一变化过程中
(1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小,
(4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,
(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小,
(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小,
2,无穷小的性质
前页 结束后页
s in,
x
x x
? 0
1lim求例 5
limx x x x? ??0 00,即 是解
| s i n |,s i nxx?11 1 而 即
注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，
因为 不存在,x
x
1sinlim
0?
.01s inlim
0
?
? x
x
x所以
时的无穷小量,
为有界变量,
前页 结束后页
3,无穷大量
).( )( )(lim 0
0
xxxfxfxx ?????? 或
定义 8 在自变量 x的某一变化过程中,若函数值的绝对
值 无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无
穷大量，简称无穷大,记作
)(xf
记 f (x)是无穷大，只
是为了书写的方便，同时也表明了当 时 f (x)虽然
无极限，但还是有明确趋向的,无穷大量是一个绝对值可
无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数,
0xx ?
注意,函数 f (x)当 时为无穷大，则极限
是不存在的,利用记号
0xx ? )(lim
0
xfxx?
??? )(lim
0
xfxx
前页 结束后页
4 无穷小与无穷大的关系
简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变
化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小 (不等于 0)的倒
数是无穷大,
定理 9 在自变量的同一变化过程中，若 f (x)为无穷大,
则 为无穷小 ;反之,若 f (x)为无穷小且 f (x)不等于 0,则
为无穷大,
)(
1
xf
)(
1
xf
??
? xx
1lim
0
01lim ?
?? xx
例如：
前页 结束后页
.
x
x
x?
?
?
2
21
1lim
1求
.
x
x
x?
? ??
?
2
21
1 l i m
1由 定 理 知
以后，遇到类似例 6的题目，可直接写出结果,
例 6
,
x
x
x?
? ?
?
2
21
1 l i m 0
1由 于
解
() xfx x ?? ? 11例 7 考察
当 时, 为无穷大量；() xfx
x
??
?
1
1
1?x
当 时,为无穷小量；
()
x
f x x
??
?
11
1
1?x
前页 结束后页
定理 1 设,则
( f x g x A B? ? ?2 ) l i m [ ( ) ( ) ] ;
( 3 ) 0B ?若,,f x A
g x B?
()lim
()
1.3.1 极限的运算法则
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结
论对数列极限也成立,
1.3 极限的运算
( 1 ) ( ( ) ( ) )f x g x A B? ? ?lim
l i m l i mf x A g x B??( ),( )
其中自变量 x的趋势可以是 等各种情形,
0,x x x? ? ?
前页 结束后页
定理 1中的 (1)和 (2)可以推广到有限个函数的代数
和及乘积的极限情况,结论 (2)还有如下常用的推论,
推论 1 设 limf(x)存在，则对于常数 c，有
lim [ ( ) ] lim ( ),c f x c f x?
推论 2 设 limf(x)存在，则对于正整数 k，有
lim[ ( ) ] [ lim ( ) ],kkf x f x?
32
1li m ( 2 3 2 ),x xx? ??求 极 限例 1
32
1
32
1 1 1li m ( 2 ) li m ( 3 ) lili m ( 2 3 m2 2) x x xx xxx x??? ???? ? ?解
.121312 23 ??????
前页 结束后页
一般地，设有多项式 (有理整函数 )
( ),nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1
lim ( ) lim ( )nn nnx x x xf x a x a x a x a? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
00
10 1 1
则有
lim lim limnn nnx x x x x xa x a x a x a? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
0 0 0
10 1 1
( ),
nn
nna x a x a x a
fx
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
?
1
0 0 1 0 1 0
0
li m ( ) ( )xx f x f x? ?
0 0
即
前页 结束后页
lim,
x
xx
x?
??
?
2
2
4
21求 极 限例 2
lim,
x
xx
x?
? ? ? ???
? ? ?
22
2
4 2 2 4 6
2 1 2 2 1 5解
),()( )( 0
0
0 xF
xQ
xP ?? ??
0
00
0
lim ( )()
lim ( ) lim
( ) lim ( )
xx
x x x x
xx
PxPx
Fx
Q x Q x
?
??
?
??
lim ( ) ( )xx F x F x? ?
0 0
有时当都是多项式与其中,0)(,)()( 0 ?xQxQxP
()( ),
()
PxFx
Qx?设有理分式函数
前页 结束后页
式 (1)与式 (2)说明对于有理函数求关于 的
极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就
是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用,
0xx ?
0x
0x
li m ( ),x x??? ? ? ? 1 12
lim,
x
x
x??
?
?
2
1
1
1求例 3
( ) ( )lim lim
xx
x x x
xx? ? ? ?
? ? ??
??
2
1 1
1 1 1
11解
前页 结束后页
lim ( ),x xx? ??? 31 1311求
.1111 2112lim 22
1
??? ???? ??
? xx
x
x
?
)1)(1(
)2)(1(lim
21 ???
???
? xxx
xx
x?
例 4
lim ( ) lim
xx
xx
x x x??
? ? ???
? ? ?
2
3311
1 3 1 3
1 1 1解
lim,
x
xx
x??
??
?
2
2
21
2求例 5 li m li m,
xx
xx xx
x
x
? ? ? ?
????
??
? ?
2 2
2
2
11
221
2
22
1解
前页 结束后页
.21lim 3
2
??
?
?? xx
x
x
求
.0
21
1
11
lim
2
1
lim
32
3
3
2
?
??
?
?
??
?
????
xx
xx
xx
x
xx
例 6
，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解
一般地,对于有理分式有,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
n
m
m
m
m
n
n
n
n
x
当
当
当0
lim
0
1
1
0
1
1
?
?
其中 n,m为正整数
前页 结束后页
1.3.2 两个重要极限
重要极限 1 sinlim,
x
x
x? ?0 1
其中的两个等号只在 x=0时成立,
π| |,| s in | | | | t a n |,
2x x x x? ? ?
证
设圆心角 过点 A作圆的切线与 OB的
延长线交于点 C，又作,OABD ?
,xA O B ??
则 sin x =BD,tan x=AC，
B
O D
A
C
x
当 时
首先证明不等式
前页 结束后页
| s in | | | | t a n |,x x x??当 时有
即当 时
,O A B O A B O A CS S S??扇 形DD
s i n t a n,x x x?? 即
s in ( ) t a n( ),x x x? ? ? ? ?
s i n t a n,x x x? ? ? ? ? 即
s in t a n,x x x??1 1 12 2 2B
O D
A
C
x
x??0 2,p
而当 时有,从而x? ? ? 02p x? ? ?0 2p
即当 时有||x?? 0 2p | s i n | | | | t a n |,x x x??
这就证明了不等式,
x?0
| s i n | | | | t a n |x x x??
前页 结束后页
| sin |x用 除 不 等 式
的 各 端, 得 t a n| | | |,
sin sin
xx
xx?? 1
,sin c o sx xx?? 1 1即
sinc o s 1, xx
x??
从而有
| s i n | | | | t a n |,x x x??
c o s s in ( ),xxxx? ? ? ? ? ?
2
22 1 2 1 2 1
22注 意 sin
.xx x? ? ?
2
1 12于 是 有
lim( ),lim,
xx
x
??
? ? ?
2
00
1 1 1 12因
由夹逼准则，即得 1s inlim
0
?
? x
x
x
前页 结束后页
.1t a nlim
0
?
? x
x
x
求例 7
)c o s1s i n(limt a nlim
00 xx
x
x
x
xx
??
??解,1c o s1lims i nlim 00 ??? ?? xx x xx
1coslim0此题中用到 xx ??
20
c o s,
x
x
x?
?求 1lim
2
2
0
)
2
(
2
s in2
lim
2
1
x
x
x ?
?
.21121 2 ???
例 8
2
2
020
2
s i n2
limc o s1lim
x
x
x
x
xx ??
??解
x
x
x 5
5s inlim5
0?
?,515 ???
.5s inlim
0 x
x
x ?
求例 9
x
x
x
x
xx 5
5s i n5lim5s i nlim
00 ??
?解
前页 结束后页
.e)1(lim
0
1
1
0
??
????
?
z
z
z
zx
x
z,从而有时，则当在上式中，令
这是重要极限 2常用的另一种形式,
.() xx ex?? ??1l i m 1重要极限 2
t
t
x
x tx
63 )11(lim)21(lim ???
????
( ),xx x?? ? 32l i m 1求
.)11(lim 6
6
et t
t
??
?
?
??
? ??
??
例 10
解 令,则当 时,,因此xt ? 2,x ?? t ??
前页 结束后页
.
1
)
1
1(lim
1
e
x
x
x
?
?
?
??
.)1(lim x
x x
x
???求例 11
xx
x
x
x
x
x
)11(
1lim)
1
(lim
?
?
? ????解
例 12 设有本金 1000元，若用连续复利计算，年利
率为 8%，问 5年末可得本利和为多少？
解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为
),08.01(000 1 ?
若复利一年计算 n次，则 x年末本利和为
.)08.01(0 00 1 nxn?
x年末本利和为所以 1 0 0 0 ( 1 0, 0 8) x?
前页 结束后页
1.3.3 无穷小的比较
两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两
个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子,
,,2,s i n,,,32 都是无穷小时当 xxxxxx ??
.,s i n,2;0 3
22
均不是无穷小是无穷小时即 xxx xxxxxx ?
,1s i nlim,22lim,0lim
00
2
0
???
??? x
x
x
x
x
x
xxx
,lim 3
2
0
不存在xx
x ?
这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于 0的速
度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于 0的速度，
我们引入无穷小量阶的概念,
前页 结束后页
此时也称 是比 低阶的无穷小,??
(3)如果,则称 是比 阶的无穷小,记作lim ? 0ba b a
(2)如果,则称 与 是等价无穷小,记作lim ? 1ba b a ~.ba
.o? ()ba
(1)如果 是常数 ),则称 是同阶无穷小,lim ( 0cc???? 与??
定义 设 时为无穷
小 (且 ).
()x???()x?,?? 0 ()x x x? ? ?在 或
0??
前页 结束后页
所以当 时,与 x是等价无穷小,即
所以当 时,是比 x高阶的无穷小,即
1,s i nlim0s i nlim
00
??
?? x
xx
xx
，且?例 13
.x ~ x x ?s i n ( 0 )
0
lim
x
x
x? ?
1 - c o s 0,又 因
c o s ( ) ( ),x o x x? ? ?1 0
2
1
2
2
s i n
2
1
lim
c o s1
lim
2
020
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? x
x
x
x
xx
例 14 因为
同理可知,当 时,x?0 ta n ~,xx
所以当 时,是同阶无穷小,
x?0
cos x?1x?0
sinx
x?0 c o s xx? 21 与
前页 结束后页
关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理,
)l i m ( lim ???????? ???????由假设，有证
?
?
?
?
?
?
???
???? limlimlim
.lim ?? ???
存在，则有，，无穷小，且
时都是或在及，，设
?
?
????
????
?
?
??
?????
lim~~
)( 0 xxx
定理 2
'lim lim,
'?
bb
aa
前页 结束后页
根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若
此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来
代替，如果选择适当，可简化运算,
用定理 2求极限，需要预先知道一些等价无穷小,
一些常用的等价无穷小如下,si n ~,t an ~,~,
l n ( ) ~,c os ~,
x
x
x x x x x
x
x x x
?
?
??
2
0
e 1
1 1
2
当 时
前页 结束后页
.2s in 3t a nlim
0 x
x
x ?
求例 15
，所以，时，当 xxxxx 2~2s i n3~3t a n0?解
.2323lim2s i n 3t a n lim
00
??
?? x
x
x
x
xx
.2t a nlim 23
0 xxx
x
x ???
求例 16
，所以，时，当 )2(~2~t an0 23 xxxxxxx ????解
.212lim2t a n lim
0230
??????
?? x
x
xxx
x
xx
前页 结束后页
.s i nt a nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
2
t an ~ 1 c os ~ 2xx x x?，,
3030
)c o s1( t a nlim t a nlim
x
xx
x
xx
xx
????
??
s i n
.
2
1
2
lim
3
2
0
?
?
?
? x
x
x
x
例 17
时，当 0 ),c o s(1 t a n s i n t a n ???? xxxxx解
前页 结束后页
注意：
相乘 (除 )的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，
但是相加 (减 )的无穷小的项不能作等价代换，例如
.t a n sin
xx
x x x x
xx??
?? ??
3300l i m l i m 0
是完全错误的
前页 结束后页
x
1.4.1 函数连续性的概念
xxxxxx ??????? 00
相应的函数的改变量（增量）,
函数的 终值 与初值 之差
称为自变量的改变量，记为
)()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy ?????????
1.改变量（增量）：
1.4 函数的连续性
y
x0x xx ??0
)(xfy ?
)( 0xf
x?
y?
0
当自变量由初值 变化到终值
时，终值与初值之差
称为自变量的改变量，记为
0x
0xx ?
)(xf )( 0xf )()( 0xfxf ?
前页 结束后页
定义 1,设函数 在点 的某邻域内有定义，
当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量
,如果当自变量的增量 趋于零
时，函数的增量 也趋于零，即
则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连
续点
0x)( xfy ?
)()( 00 xfxxfy ?????
)( xfy ?
li m li m [ ( ) ( ) ]xx y f x x f x?? ? ? ?0000DD DD
0x
0x0
x
2.连续
x?
x?
y?
若记,则,且当 时，xxx ??? 0 )()( 0xfxfy ??? 0xx ?
故定义 1又可叙述为
前页 结束后页
注：
)()(lim0lim 00
0
xfxfy xxx ???? ???
定义 2,设函数 y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若
有,则称函数 在点 处连续, lim ( ) ( )
xx f x f x? ?0 00
（ 1）定义 1与定义 2是等价的,即
由左右极限定义可定义左右连续定义
（ 2）由定义 2可知若函数 在点 处连续，则函
数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续
x0)(xf
)(xf x0
（ 3）当函数 在点 处连续时，求 时，
只需求出 即可
)(xf 0x lim ( )xx fx? 0
)( 0xf
()y f x?
前页 结束后页
定义 3：若函数 满足,则称 函
数 在点处左连续。
同理可以定义右连续
3、左右连续
)()(lim 0
0
xfxfxx ???
4、区间连续
定义 4：若函数 在（ a,b）内每一点都连续,则称
函数 在（ a,b）内连续。
)()()()()( 00 limlimlim
000
xfxfxfxfxf
xxxxxx
????
?? ???
由定理 3可知：函数 在点 处连续既左连续又右
连续即
)(xf
)(xf
)(xf
)(xf
)(xf
0x
前页 结束后页
证明 y = sin x在 内连续例 1
2)2c o s (2 0 ??? xx
证
），（ ????
对任意 ),(
0 ?????x
有
2s i n)2c o s (2
s i n)s i n (
0
00
xxx
xxxy
?????
?????
因为
所以 0lim
0 ???? yx
故 在 内连续),( ????xy s in?
定义 5 若函数 y = f(x)在（ a,b）内每一点都连续，且
在左端点 a 处右连续，在右端点 b处左连续，则称 函数
y = f (x)在 [a,b]上连续。
前页 结束后页
1.4.2 函数的间断点及其分类
连续在 0)( xxf
处有意义。在 0)()1( xxf
则一定满足以下条件
存在)(l i m)2(
0
xfxx ?
)()(lim)3( 0
0
xfxfxx ??
如果 f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点
是函数 的间断点。)(xf
1.可去间断点：
)()(lim 0
0
xfAxfxx ???
如果函数在点 的极限存在，但不等于,即
0x )( 0xf
则称 为 的可去间断点。0x )(xf
0x
前页 结束后页
?
?
?
?
?? ??
)1(3
)1()( 112
x
xxf xx例 2
??
?
?
??
)1(2
)1()()(
x
xxfx?
解 )1(2lim)(lim
1
1
11
2 fxf
x
x
xx ??? ?
?
??
所以 x =1为可去间断点
重新定义新的函数：
则 x=1成为函数的连续点
前页 结束后页
)(lim)(lim
00
xfxf xxxx ?? ?? ?
2.跳跃间断点：
例 3
?
?
?
???
??
?
)21(1
)10(
)(
xx
xx
xf
所以 x =1为跳跃间断点
11lim 1 lim ( 1 ) 1xxxx????? ? ? ?
左右极限存在不相等
前页 结束后页
当 时，函数值不断地在两点之间跳
动，左右极限均不存在
3.无穷间断点
0xx ?
f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷
大，则称 为 f(x)的无穷间断点
0x
0x
例 4 x=0为 无穷间断点1y x?
4.振荡间断点
例 5 1( ) s infx x?
x=0是其振荡间断点
前页 结束后页
间断点的类型,
第一类间断点,
我们把左右极限都存在的间断点称为第一
类间断点,
第二类间断点,
除第一类以外的间断点,即左右极限至少有
一个不存在的间断点称为第二类间断点,
前页 结束后页
例 6
)1(
)( 2
2
?
??
xx
xxxf
解 函数在 x= -1,x = 0,x = 1处没有定义
所以 x= -1,x = 0,x = 1是函数的间断点
2
21lim ( 1 )x
xx
xx??
? ??
?
所以 x = -1是函数的无穷间断点
2
2
2
2
1
( 1 )( 1 )
0 0 0
1
( 1 )( 1 )
0 0 0
li m ( ) li m li m 1
li m ( ) li m li m 1
xx
xxx
x x x
xx
xxx
x x x
fx
fx
? ? ?
? ? ?
?
???
? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
所以 x= 0是函数的跳跃间断点
(Ⅰ )
(Ⅱ )
前页 结束后页
2
2 11( 1 ) 2( 1 )1 1 1l i m ( ) l i m l i m
xx x
xxx x xfx
? ?
?? ? ?? ? ?
所以 x= 1是函数的可去间断点
2
0 ( 1 )
2 1 ( 1 2 )
1 ( 2 )
x
y x x
xx
? ?
?
? ? ? ??
? ??
?
解 分界点为 x =1,x =2
,00lim)(lim 11 ?? ?? ?? xx xf（ i）当 x=1时
所以 x= 1 是函数的跳跃间断点
11li m ( ) li m ( 2 1 ) 3xxf x x???? ? ? ?
(Ⅲ )
例 7
前页 结束后页
5)1(lim)(lim
5)12(lim)(lim
2
22
22
???
???
??
??
??
??
xxf
xxf
xx
xx
（ ii）讨论 x=2
而 f(2)=5
所以 x= 2是函数的连续的点
因此,分段函数的分界点是可能间断点
前页 结束后页
设函数 y = f(u)在点 处连续,u= f (x)在点 处连
续,且,则复合函数 在点 处连续,
1.4.3 初等函数的连续性
定理 1
单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调
连续函数。
设 f(x),g(x)均在点 处连续,则
也在处连续
0x
0
()( ) ( ),,( ( ) 0 )
()
fxf x g x g x
gx??
)()( xgxf ?
因此,基本初等函数在其定义域内连续,
定理 2
定理 3
)]([)]([lim 0
0
xfxfxx ?? ??
0x00()ux??
0u 0x
[ ( ) ]y f x??
即：
因此,一切初等函数在其定义区间内连续,
前页 结束后页
1.4.4 闭区间上连续函数的性质
定理 4（最值定理）闭区间上的连续函数一定
有最大值和最小值。
注,
a
b1x 2x
x
y
0
)(xfy ?
对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论
不一定成立。
前页 结束后页
定理 5 （ 介值定理 ）
cf ?)(?
)(xfy ?
y
xo a ? b
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,且, 为介于 f (a)
与 f (b)之间的任一实数,则至少存在一点,使得
)()( bfaf ? c
),( ba??
.0)( ??f
推论：
如果函数 f(x)在 [a,b]上连
续,且
则至少存在一点,
使得
0)()( ?bfaf
),( ba??
1.2 极限的概念
1.3 极限的运算
1.4 函数的连续性
第 1章 函数极限与连续
结束
前页 结束后页
当自变量 x取数值 时，与 对应的因变量 y的值
称为函数 在点 处的函数值,记为 或,
当 x 取遍 D内的各个数值时,对应的变量 y 取值的全体组成
0xD?
0|xxy ?
0x
0x 0()fx
定义 1 设 x与 y是两个变量，若当变量 x在非空数集 D内任
取一个数值时，变量 x 按照某种对应法则 f 总有一个确定
的数值 y 与之对应，则称变量 y为变量 x 的 函数，记作
称 D为该函数的定义域,记为 Df,称 x为自变量，称 y为因变量,
xD?
1.1.1 函数的概念
数集称做这个函数的值域,记为 Zf 。
1.1 函 数
()y f x?
()y f x?
前页 结束后页
1.1.2 函数的表示法
例 1 已知某商品的总成本函数为,2( ) 1 0 0
4
QC C Q? ? ?
例 2 某工厂全年 1—6月原材料进货数量如下表，
这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系．
T(月 ) 1 2 3 4 5 6
Q(吨 ) 11 10 12 11 12 12
(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关
系，是函数的公式表示法,如例 1是用公式法表示函数,
(2)表格法 自变量 x与因变量 y的一些对应值用表格列出
前页 结束后页
(3) 图示法 用函数 y=f(x)的图形给出自变量 x与 因变量 y
之间的关系,
例 3 需求函数与供给函
数,,
如图,P表示商品价格,Q
表示需求量,供给量,E点
为需求和供给平衡点．
()?Q f P ()?QP?
S
S
E
Q
PO
Q=φ(P)
Q=f(P)
说明
三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角
函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相
互补充。
前页 结束后页
例 4 求函数 的定义域
(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 。
注,
(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则
它们是相同的函数．
(4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义
域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组
成的数集,
(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的,
1
3
xy
x
??
?
解 当分母 时,此函数式都有意义30x ??
因此函数的定义域为 (,3) ( 3,)?? ? ? ??
前页 结束后页
例 5 求函数 的定义域, 21 6 ln( sin )y x x? ? ?
4 4,
2 ( 2 1 ),0 1 2
x
n x n n即,,, ??
? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
所以函数的定义域为 与,[ 4,) ( 0,) ????
解 要使函数 y 有定义，必须使
21 6 0,
sin 0,
x
x 成 立
? ??
? ?
?
4 0,xx与 ??? ? ? ? ? ?
这两个不等式的公共解为
前页 结束后页
解 当 时,函数值
设有函数,问它们是否为
同一个函数,
2 1
( ) 1,( ) 1xf x x g x x ?? ? ? ?例 6
( ) ( ),f x g x?
(,),?? ??
由于 与 的定义域不同,所以它们不是
同一个函数,
()fx ()gx
1x ??
但是 的定义域()fx
而 在点 无定义
其定义域为
()gx 1x ??
(,1 ) ( 1,),? ? ? ? ? ?与
前页 结束后页
在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的
不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函
数称为分段函数．
例如符号函数
10
00
10
,
s g n,
,
x
y x x
x
???
? ? ??
????
是一个分段函数，它的定义域为 (,)?? ??
分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不
是表示几个函数,
前页 结束后页
2,0 1,
() 2,1 2,xxy f x xx? ???? ? ??
?
f (x)的定义域是 [0,2]，
22
21 1 1,( 1 ) 1 1 ;
2 2 4ff
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?因 此
1,1 [ 0,1 ]
2 ?由 于,
例 7
3 3 3( 1,2] 2 3.
2 2 2f
??? ? ? ???
??而, 因 此
当 时,01[,]x ? 2()f x x? 当 时,12(,]x ? ( ) 2f x x?
前页 结束后页
定义 设 y是 u的函数,y = f (u)，,而 u是 x的函数
，并且 的值域包含 f (u)的定义
域，即,则 y 通过 u 的联系也是 x的函
数，称此函数是由 y =f(u) 及 复合而成的复合
函数，记作
()u x x D???，
Uu?
()x U x D? ??，
)(x?
)(xu ??
1.1.3 复合函数
并称 x 为自变量，称 u 为中间变量,
[ ( ) ],y f x??
例 8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成,1c o s 2 xy ??
解,是由函数 uyy x c o s2c o s 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?21vu v x? ? ?和
复合而成,并易知其定义域为 (,)?? ??
前页 结束后页
例 9 求由函数 组成的复合函数并求其
定义域,
13 ??? xuuy,
解 由于 的定义域为 与 u=3x–1的值域
有公共部分，
[0,)??
(,)?? ??
yu?
由于 必须,从而,yu? 0u? 3 1 0x ??
故复合函数的定义域是,1[,)3 ??
,13 ?? xy所以由它们可以组成复合函数
1( ) [ ( ) ],[ [ ( ) ] ],
1f x f f x f f f xx? ?, 求例 10 设
1[ ( ) ]
1 ( )f f x fx? ? 解
11 1,0,x
x? ? ?
1
11
1 x
?
?
?
前页 结束后页
).,0()0,( ???? 和的定义域为为负整数时，当 ?? x
).,0[
),0()0,(,),(
,
2
1
3
5
7
2
5
3
3
2
??
????????
??
的定义域为；和的定义域为；为
的定义域，如分数时，情况比较复杂当
x
xx
xxμ 为
(1)幂函数 yx??
幂函数 的定义域随 的不同而不同,?x?
1.基本初等函数
).,( ????的定义域为为正整数时，当 ?? x
( 是常数 )?
当 为无理数时,规定 的定义域为? (0,)??x?
前页 结束后页
指数函数 的定义域为,当 a>1时，它严
格单调增加；当 0<a<1时，它严格单调减少,对于任何
的 a,的值域都是,函数的图形都过 (0,1)点,
),( ????
xa ),0( ??
xa
( ) l o g ( 0,1,)ay x a a a3对 数 函 数 是 常 数? ? ?
对数函数 是指数函数 的反函数，它的定
义域为,当 a>1时，它严格单调增加；当 0<a<1
时，它严格单调减少,对于任何限定的 a,的
值域都是,函数的图形都过 (1,0)点,
xa
),0( ??
),( ????
loga x
xy alo g?
(2)指数函数 是常数）( 0,1,xy a a a a? ? ?
前页 结束后页
在高等数学中，常用到以 e为底的指数函数 和以
e为底的对数函数 (记作 ln x),ln x称为自然对数,
这里 e =2.718 2818 ……, 是一个无理数,
loge x
xe
(4)三角函数
常用的三角函数有：
正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与 y=cos x 的定义域均为,它们
都是以 为周期的函数，都是有界函数,
(,)?? ??
π2
前页 结束后页
数，并且在开区间 内都是无界函数,
正切函数 y=tan x;
( 0,1,2,),2x n n??? ? ? ? ? ? ? ?定 义 域 为 除 去 以 外 的 全 体 实 数
余切函数 y=cot x;
.),2,1,0( 以外的全体实数定义域为除去 ??????? nnx ?
tan x与 cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定
义域内是无界函数,sin x,tan x及 cot x是奇函数,cos x是
偶函数,
π
此外还有正割函数 y=secx,余割函数 y=cscx,其
中,它们都是以 为周期的函
xxxx s i n
1c s c,
c o s
1s e c ??
)2π,0(
π2
前页 结束后页
(5)反三角函数
三角函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x和 y=cot x的反函
数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，
称为主值分支，分别记作；定义域为 ]1,1[],2π,2π[,a r c s i n ???? yxy反正弦函数；定义域为 ]1,1[],π,0[,a r c c o s ??? yxy反余弦函数；定义域为 ),(),2π,2π(,a r c t a n ??????? yxy反正切函数
).,(),π,0(,c o ta r c ?????? 定义域为yxy反余切函数
前页 结束后页
2 初等函数
定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经
过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，
称 为初等函数,
初等函数都可以用一个公式表式
2
22
5
32
46
( 1 ) c o s
ln
1
x
y a x b x c y
x
xx
y
xx
?
? ? ? ?
?
??
?
??
例 如 函 数,,
等 都 是 初 等 函 数 ；
2,0,
,0x
xxy
x
???
?
?
而 e
≥
大部分分段函数不是初等函数
是非初等函数
前页 结束后页
定义 3 设函数 y=f(x)是定义在 Df上的一个函数，其值域为
Zf,对任意 y∈ Zf,如果有唯一确定的满足 y=f(x)的 x ∈ Df
与之对应，则得到一个定义在 Zf上以 y为自变量的函数，
我们称它为函数 y =f (x)的反函数，记作 1 ()x f y??
1.1.5 反函数与隐函数
1 反函数
习惯上，常用 x来表示自变量,y 表示因变量，所
以我们可以将反函数改写成 1 ( ) y f x??
在直角坐标系中的 图形与 y=f(x)的图形是1 ()y f x??
关于直线 y = x 对称的,
前页 结束后页
例 11 设函数 y=2x–3，求它的反函数并画出图形,
12 3 ( 3 ),
2解 出 得y x x x y? ? ? ?
解
于是得反函数 1 ( 3 )
2yx?? 23yx??
1 ( 3 )
2yx??
yx?
前页 结束后页
变量之间的函数关系, 是由某个二元方程 给
出的, 这样的函数称为隐函数,
例
有些隐函数可以改写成显函数的形式, 而有些隐函数不
能改写成显函数的形式, 把隐函数改写成显函数叫做
(,) 0F x y ?
22 5 0,s i n ( 2 ) 6xyx y x y x y e ?? ? ? ? ? ?
隐函数的显化
2 隐函数
前页 结束后页
1 奇偶性
设函数 y =f (x) 的定义域 D是关于原点对称的，即
当 时,有,xD? xD??
则称 f (x)为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称；
( ) ( ),f x f x??如果对于任意的,均有Dx?
则称函数 f (x)为奇函数,奇函数的图形关于坐标原点对称,
如果对任意的,均有xD? ( ) ( ),f x f x? ? ?
1.1.6 函数的基本性质
前页 结束后页
例 12 讨论下列函数的奇偶性,
2( 1 ) ( ) ;f x x? ;)()2(
3xxf ?
.)(
),()()(( 2 )
3
33
是奇函数xxf
xfxxxf
??
????????
,)(
),()()()1(
2
22
是偶函数xxf
xfxxxf
??
??????解
.)()3( 32 xxxf ??
,)(,)(
,)()3(
3232
32
xxxfxxxf
xxxf
??????
???
而
?
),()( ),()(,0 xfxfxfxfx ?????? 且时当
,)( 32 函数既不是偶函数也不是奇所以 xxxf ??
前页 结束后页
设函数 y=f (x),如果存在正常数 T,使得对于定义域内
的任何 x均有 f (x + T)=f (x) 成立，则称函数 y=f (x)为
显然，若 T是周期函数 f(x)的周期，则 kT也是 f (x)
的周期 (k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就
是指最小正周期,
???
2 周期性
周期函数,T为 f (x)的周期,
例如，函数 y=sin x及 y=cos x都是以 为周期的
周期函数；
π2
函数 y=tan x及 y=cot x都是以 为周期的周期函数,π
前页 结束后页
解 设所求的周期为 T，由于
( ) sin [ ( ) ]
sin [ ( ) ]
f t T A t T
A t T
? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
( ) ( )f t T f t??要 使
s i n [ ( ) ] s i n ( ),A t T A t? ? ? ?即 成 立 ? ? ? ? ?
例 13 求函数 的周期，其中 为常数( ) s i n ( )f t A t?? ??,,A
并注意到 的周期为,只需sint 2?
2 0,1,2,Tn? ? ? ????,? ? ?
使上式成立的最小正数为 2 ( 1 )Tn??取??
所以函数 的周期为( ) s i n [ ( )f t A t?? ??2,??
前页 结束后页
3 单调性
设函数 y = f (x) 在区间 I上有定义 (即 Ｉ 是函数 y =f (x)
的定义域或者是定义域的一部分 ).如果对于任意的
，当 时，均有
则称函数 y =f (x)在区间 Ｉ 上单调增加 (或单调减少 ).
12,x x I? 12xx?
1 2 1 2( ) ( ) ( ( ) ( ) ),f x f x f x f x? ?或
单调增加 (或单调减少 )的函数又称为单调递增
(单调递减 )函数,统称为单调函数,使函数保持单调
性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间,
前页 结束后页
函数 内是单调减少的，在
区间 上是单调增加的,而在区间
内则不是单调函数,
单调增加的函数的图形是沿 x轴正向上升的；
单调减少的函数的图形是沿 x轴正向下降的；
例如，函数 内是单调增加的,3( ) (,)f x x? ?? ??在
2( ) (,0 ]f x x? ??在
(,)?? ??[0,)??
前页 结束后页
4 有界性
设函数 y =f (x)的定义域为 D，数集,如果存
在正数 M，使得对于任意的,都有不等式
成立，则称 f (x)在 X上有界，如果这样的 M不存在，就
称函数 f (x)在 X上无界,
如果 M为 f (x)的一个界，易知比 M大的任何一个
正数都是 f (x)的界,
| ( ) |f x M?xX?
XD?
如果 f (x)在 x上无界，那么对于任意一个给定的
正数 M,X中总有相应的点,使,Mx | ( ) |Mf x M?
前页 结束后页
当函数 y=f (x)在区间 [a,b]上有界时，函数 y =f (x)
的图形恰好位于直线 y =M 和 y = –Ｍ 之间,
这里取 Ｍ = 1.
函数 y = sin x 的图形位于直线 y =1与 y = –1之间,
例如，函数 f (x)=sin x在 内是有界的,
这是因为对于任意的,
都有 成立，
),( ????
),( ?????x
1|sin| ?x
前页 结束后页
应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的
特点，还要注意自变量的变化范围 Ｘ,
例如，函数 在区间 (1,2)内是有界的,1()fx x?
1
| ( ) | | | 1fx
x
??
都 有
成 立,
)2,1(?x事实上，若取 Ｍ =1，则对于任何
而 在区间 (0,1)内是无界的,1()fx x?
前页 结束后页
1.1.7 函数关系的建立
例 14 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以
内，每千米 k元；超过千米，超过部分每千米 元,求
运价 P 和运送里程 s 之间的函数关系．
4
5k
解 根据题意可列出函数关系如下
()
0 1 0 0 0
41 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
5
k s s
P k k s s
???
? ? ? ? ? ? ? ?
??
≤
这里运价 P和运送里程 s 之间的函数关系是用
分段函数表示的,
前页 结束后页
总成本函数
? ? ? ?12C C Q C C Q? ? ?
? ? ? ? ? ?21C Q C QCC C Q Q Q Q? ? ? ?
平均成本函数
1 总成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入 (劳力, 原料, 设备等 )的价格或费用总
额, 它由固定成本与可变成本组成,
平均成本是生产一定数量的产品, 平均每单位产品的
成本,
在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件
下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数．
1.1.8 常见的经济函数
前页 结束后页
2 总收益函数
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入, 是
销售量的函数,
设 p为商品价格, 为 Q销售量, 为总收益, 则有
总收益函数 ? ?R R Q P Q??
平均收益函数 ? ? ? ?RQ
R R Q PQ? ? ?
3 总利润函数
设某商品的成本函数为 C，销售收益函数 R为，
则销售某商品个单位时的总利润函数为
? ? ? ? ? ?L L Q R Q C Q? ? ?
前页 结束后页
例 15 已知某产品的总成本函数为
求当生产 100个该种产品时的总成本和平均成本．
2( ) 0, 2 2 2 0C ? ? ?Q Q Q
2( 1 0 0 ) 0, 2 1 0 0 2 1 0 0 2 0 2 2 2 0C ? ? ? ? ? ?
平均成本为
( 1 0 0 ) 2 2 2 0( 1 0 0 ) 2 2, 2
1 0 0 1 0 0
CC ? ? ?
4 需求函数与供给函数
解 由题意，产量为 100时的
总成本函数为
前页 结束后页
1 数列的概念
定义 1 自变量为正整数的函数 ()
nu f n? 1,2n ?
将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数
1 2 3,,,,nu u u u
称为数列，将其简记为 ? ?nu
称为数列的通项或一般项nu
1.2.1 数列的极限
1.2 极限的概念
前页 结束后页
1
{ } { }
1 1 1
,,,.,
3
n
u
n
n
?
? ? ? ? ? ?
1,
2
,即(1)
1
1
{ } { ( 1 ) }
1,1,1,,( 1 ),.
n
n
n
u ?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
,即
(3)
{ } { 2 1 }
1,3,5,,2 1,.
nun
n
??
? ? ? ? ? ? ?
数 列, 即 奇 整 数 构 成 的 数 列
(4)
2 3 1,,,,
12
n
n
?(2) 1{ } { }
n
nu
n
?? 即
数列
数列
数列
前页 结束后页
2.数列的极限
数列（ 1）当 n无限增大时,无限趋近于 0，
即数列（ 1）以 0为它的变化趋向；
nun
1?
数列（ 2）当 n无限增大时,un = 无限趋近于常数 1,
即数列（ 2）以 1为它的变化趋向 ；
1n
n
?
数列（ 3），当 n无限增大时,其奇数项为 1，偶
数项为 -1，随着 n 的增大，它的通项在 -1,+1之间变动，
所以当 n 无限增大时，没有确定的变化趋向；
1)1( ??? nnu
数列（ 4）当 n 无限增大时,un也无限增大,
前页 结束后页
定义 2 如果当 n无限地增大时，通项 un无限地趋向于
某个确定的常数 a，则说当 n趋于无穷大时,un以 a为 极
限，记成
但是，像数列 等
1
l i m 0,
2
( 1 )
l i m ( 1 ) 1.
nn
n
n n
??
??
?
?
??
l i m ( ),nnn u a u a n?? ? ? ? ? 或
当 n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势？
如果有，极限是什么？
11,n
n
??????
?????
??????10
2,n
n
??
??
??
1s inn
n
????
??
直观上可以看出
前页 结束后页
单调增加或单调减少的数列统称为单调数列,
成立,则称数列 是单调减少的,
1 2 1nnx x x x ? ≥ ≥ ≥ ≥ ≥若有
3.单调数列与有界数列
数列 (2) (4)是单调增加的，数列 (1)单调减少的,
对于数列,若有
1 2 1nnx x x x ? ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
成立,则称数列 是单调增加的 ;{}nx
{}nx
{}nx
前页 结束后页
对于数列,若存在正数 M，使得对于一切的 n
都有
}{ nx
nxM?
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的,}{ nx }{ nx
容易验证数列 (1)(2)(3)是有界的；而数列 (4)是无
界的,
无界数列一定是发散的,
注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件,
例如，数列 是有界的，而 却是发散数列,{}
nu1{ } { ( 1 ) }nnu ???
定理 1 单调有界数列必有极限,
前页 结束后页
1,当 x→∞ 时,函数 f (x)的极限
函数 () 1xfx x? ?
当 x→+∞ 时,函数 f (x) 无限趋近于常
数 1，此时我们称 1为 当 x→+∞ 时函
数 f (x)的极限,
定义 3 如果当自变量 x无限增大时, 函数 f (x)无限趋近
于某个确定的常数 A,则称常数 A为函数 f (x)当 x→+∞ 时
的极限, 记为
Axfx ???? )(lim
( ) ( )f x A x? ? ? ?或
1.2.2 函数的极限
-1
1
前页 结束后页
当 x→ -∞时,函数 f (x) 无限趋近于常数 1，此时我们称 1为
当 x→ -∞时函数 f (x)的极限,
定义 4 如果当 无限增大时，函数 f (x)无限趋近
于某个确定的常数 A，则称常数 A为函数 f (x)当 x→+∞
时的极限，记为
||x
l i m ( )x f x A?? ?
Axf ?)( (x→∞)或
11lim ??
??? x
x
x
l im 11
x
x
x? ?? ??
Axfx ??? )(lim Axfxf xx ?? ??????? )(lim)(lim
定理 2
的充要条件是
前页 结束后页
2 当 x→ x0时,函数 f (x)的极限
1
1)( 2
?
??
x
xxf
当 x→ 1时,的值无限趋近
于常数 2，此时我们称当 x趋近于 1时，
函数
1
1)( 2
?
??
x
xxf
1
1)( 2
?
??
x
xxf
极限为 2
定义 5 设函数 f(x)在 的某邻域内有定义（ x0可以除外）,
如果当自变量 x 趋近于 x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于
某个确定的常数 A,则称 A为函数 f(x) 当 x→ x0时的极限，
0
l i m ( )xx f x A? ? ()f x A? 0
()xx?或
2
1
1
12
?
??
x
xy
考查函数
记为
前页 结束后页
2 在定义 5中,x 是以任意方式趋近于 的，但在
有些问题中，往往只需要考虑点 x 从 的一侧趋近于
时，函数 f (x)的变化趋向．
注, 1,在 时的极限是否存在,与 在
点 处有无定义以及在点 处的函数值无关,
0x
0xx?()fx ()fx
0x
如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ） 时,
以 A为极限, 则称 A为函数 当 时的左极限,
记为
()fx
0x
0
li m ( )xx f x A?? ?
x
()fx
)( 0xx ? 0xx??
0xx?
Axf ?)( )( 0?? xx或
如果当 从 的右侧 趋近于 （ 记为 ） 时,
以 A为极限, 则称 A为函数 当 时的右极
或 ( )
x
()fx
Axf ?)(
? ?0x > x0x
()fx
0xx ?
0x
Axfxx ??? )(lim
0
?? 0xx
?? 0xx
限，记为
0x
0x
0x
前页 结束后页
函数的极限与左、右极限有如下关系：
定理 3
0
l i m ( )xx f x A? ? ?
00
l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??
注, 定理 3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在
例 2 判断函数 ? 1 c o s,0() s in,0xxfx xx???
≤
在 点处是否有极限,0x ?
00li m ( ) li m ( 1 c o s ) 0xxf x x???? ? ? ?
解,
00li m ( ) li m s in 0xxf x x???? ??
00li m ( ) li m ( ) 0xxf x f x???? ??
因为
0li m ( ) 0x fx? ?
所以
前页 结束后页
定理 4(唯一性定理 ) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
2 函数极限的性质
定理 5(有界性定理 ) 若函数 f (x)当 x→ x0时极限存在,
则必存在 x0的某一邻域, 使得函数 f (x)在该邻域内有界,
定理 6(两边夹定理 ) 如果对于 x0的某邻域内的一切 x
( 可以除外 ),有, 且
00
lim ( ) lim ( )x x x xh x g x A?? ??
0
l i m ( )xx f x A? ?则
0x ( ) ( ) ( )h x f x g x≤ ≤
前页 结束后页
1.无穷小量
定义 7 若变量 Y在某过程下以零为极限，则称变量 Y
在此过程下为无穷小量，简称无穷小,
1.2.3 无穷小量与无穷大量
3
0
3
lim 0
0
x
x
xx
?
?
?
，
是
例 3
sin
sin
x
x
xx
?
?
?
0
l i m 0
0
，
是
例 4
时的无穷小量,
时的无穷小量,
因为
所以
因为
所以
前页 结束后页
例如函数 时的无穷小，但当
时不是无穷小。
当 时,的极限不为零，所以当
时，函数 不是无穷小，而当 时
是无穷小量。
1 ( )f x x
x? ? ?是
应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极
限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指
出其变化过程。
1x?
sinx
2
??x
2
??x
sinx 0x ? sinx
前页 结束后页
定理 7 在自变量的同一变化过程中
(1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小,
(4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,
(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小,
(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小,
2,无穷小的性质
前页 结束后页
s in,
x
x x
? 0
1lim求例 5
limx x x x? ??0 00,即 是解
| s i n |,s i nxx?11 1 而 即
注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，
因为 不存在,x
x
1sinlim
0?
.01s inlim
0
?
? x
x
x所以
时的无穷小量,
为有界变量,
前页 结束后页
3,无穷大量
).( )( )(lim 0
0
xxxfxfxx ?????? 或
定义 8 在自变量 x的某一变化过程中,若函数值的绝对
值 无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无
穷大量，简称无穷大,记作
)(xf
记 f (x)是无穷大，只
是为了书写的方便，同时也表明了当 时 f (x)虽然
无极限，但还是有明确趋向的,无穷大量是一个绝对值可
无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数,
0xx ?
注意,函数 f (x)当 时为无穷大，则极限
是不存在的,利用记号
0xx ? )(lim
0
xfxx?
??? )(lim
0
xfxx
前页 结束后页
4 无穷小与无穷大的关系
简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变
化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小 (不等于 0)的倒
数是无穷大,
定理 9 在自变量的同一变化过程中，若 f (x)为无穷大,
则 为无穷小 ;反之,若 f (x)为无穷小且 f (x)不等于 0,则
为无穷大,
)(
1
xf
)(
1
xf
??
? xx
1lim
0
01lim ?
?? xx
例如：
前页 结束后页
.
x
x
x?
?
?
2
21
1lim
1求
.
x
x
x?
? ??
?
2
21
1 l i m
1由 定 理 知
以后，遇到类似例 6的题目，可直接写出结果,
例 6
,
x
x
x?
? ?
?
2
21
1 l i m 0
1由 于
解
() xfx x ?? ? 11例 7 考察
当 时, 为无穷大量；() xfx
x
??
?
1
1
1?x
当 时,为无穷小量；
()
x
f x x
??
?
11
1
1?x
前页 结束后页
定理 1 设,则
( f x g x A B? ? ?2 ) l i m [ ( ) ( ) ] ;
( 3 ) 0B ?若,,f x A
g x B?
()lim
()
1.3.1 极限的运算法则
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结
论对数列极限也成立,
1.3 极限的运算
( 1 ) ( ( ) ( ) )f x g x A B? ? ?lim
l i m l i mf x A g x B??( ),( )
其中自变量 x的趋势可以是 等各种情形,
0,x x x? ? ?
前页 结束后页
定理 1中的 (1)和 (2)可以推广到有限个函数的代数
和及乘积的极限情况,结论 (2)还有如下常用的推论,
推论 1 设 limf(x)存在，则对于常数 c，有
lim [ ( ) ] lim ( ),c f x c f x?
推论 2 设 limf(x)存在，则对于正整数 k，有
lim[ ( ) ] [ lim ( ) ],kkf x f x?
32
1li m ( 2 3 2 ),x xx? ??求 极 限例 1
32
1
32
1 1 1li m ( 2 ) li m ( 3 ) lili m ( 2 3 m2 2) x x xx xxx x??? ???? ? ?解
.121312 23 ??????
前页 结束后页
一般地，设有多项式 (有理整函数 )
( ),nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1
lim ( ) lim ( )nn nnx x x xf x a x a x a x a? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
00
10 1 1
则有
lim lim limnn nnx x x x x xa x a x a x a? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
0 0 0
10 1 1
( ),
nn
nna x a x a x a
fx
?
?? ? ? ? ? ? ? ?
?
1
0 0 1 0 1 0
0
li m ( ) ( )xx f x f x? ?
0 0
即
前页 结束后页
lim,
x
xx
x?
??
?
2
2
4
21求 极 限例 2
lim,
x
xx
x?
? ? ? ???
? ? ?
22
2
4 2 2 4 6
2 1 2 2 1 5解
),()( )( 0
0
0 xF
xQ
xP ?? ??
0
00
0
lim ( )()
lim ( ) lim
( ) lim ( )
xx
x x x x
xx
PxPx
Fx
Q x Q x
?
??
?
??
lim ( ) ( )xx F x F x? ?
0 0
有时当都是多项式与其中,0)(,)()( 0 ?xQxQxP
()( ),
()
PxFx
Qx?设有理分式函数
前页 结束后页
式 (1)与式 (2)说明对于有理函数求关于 的
极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就
是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用,
0xx ?
0x
0x
li m ( ),x x??? ? ? ? 1 12
lim,
x
x
x??
?
?
2
1
1
1求例 3
( ) ( )lim lim
xx
x x x
xx? ? ? ?
? ? ??
??
2
1 1
1 1 1
11解
前页 结束后页
lim ( ),x xx? ??? 31 1311求
.1111 2112lim 22
1
??? ???? ??
? xx
x
x
?
)1)(1(
)2)(1(lim
21 ???
???
? xxx
xx
x?
例 4
lim ( ) lim
xx
xx
x x x??
? ? ???
? ? ?
2
3311
1 3 1 3
1 1 1解
lim,
x
xx
x??
??
?
2
2
21
2求例 5 li m li m,
xx
xx xx
x
x
? ? ? ?
????
??
? ?
2 2
2
2
11
221
2
22
1解
前页 结束后页
.21lim 3
2
??
?
?? xx
x
x
求
.0
21
1
11
lim
2
1
lim
32
3
3
2
?
??
?
?
??
?
????
xx
xx
xx
x
xx
例 6
，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解
一般地,对于有理分式有,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
n
m
m
m
m
n
n
n
n
x
当
当
当0
lim
0
1
1
0
1
1
?
?
其中 n,m为正整数
前页 结束后页
1.3.2 两个重要极限
重要极限 1 sinlim,
x
x
x? ?0 1
其中的两个等号只在 x=0时成立,
π| |,| s in | | | | t a n |,
2x x x x? ? ?
证
设圆心角 过点 A作圆的切线与 OB的
延长线交于点 C，又作,OABD ?
,xA O B ??
则 sin x =BD,tan x=AC，
B
O D
A
C
x
当 时
首先证明不等式
前页 结束后页
| s in | | | | t a n |,x x x??当 时有
即当 时
,O A B O A B O A CS S S??扇 形DD
s i n t a n,x x x?? 即
s in ( ) t a n( ),x x x? ? ? ? ?
s i n t a n,x x x? ? ? ? ? 即
s in t a n,x x x??1 1 12 2 2B
O D
A
C
x
x??0 2,p
而当 时有,从而x? ? ? 02p x? ? ?0 2p
即当 时有||x?? 0 2p | s i n | | | | t a n |,x x x??
这就证明了不等式,
x?0
| s i n | | | | t a n |x x x??
前页 结束后页
| sin |x用 除 不 等 式
的 各 端, 得 t a n| | | |,
sin sin
xx
xx?? 1
,sin c o sx xx?? 1 1即
sinc o s 1, xx
x??
从而有
| s i n | | | | t a n |,x x x??
c o s s in ( ),xxxx? ? ? ? ? ?
2
22 1 2 1 2 1
22注 意 sin
.xx x? ? ?
2
1 12于 是 有
lim( ),lim,
xx
x
??
? ? ?
2
00
1 1 1 12因
由夹逼准则，即得 1s inlim
0
?
? x
x
x
前页 结束后页
.1t a nlim
0
?
? x
x
x
求例 7
)c o s1s i n(limt a nlim
00 xx
x
x
x
xx
??
??解,1c o s1lims i nlim 00 ??? ?? xx x xx
1coslim0此题中用到 xx ??
20
c o s,
x
x
x?
?求 1lim
2
2
0
)
2
(
2
s in2
lim
2
1
x
x
x ?
?
.21121 2 ???
例 8
2
2
020
2
s i n2
limc o s1lim
x
x
x
x
xx ??
??解
x
x
x 5
5s inlim5
0?
?,515 ???
.5s inlim
0 x
x
x ?
求例 9
x
x
x
x
xx 5
5s i n5lim5s i nlim
00 ??
?解
前页 结束后页
.e)1(lim
0
1
1
0
??
????
?
z
z
z
zx
x
z,从而有时，则当在上式中，令
这是重要极限 2常用的另一种形式,
.() xx ex?? ??1l i m 1重要极限 2
t
t
x
x tx
63 )11(lim)21(lim ???
????
( ),xx x?? ? 32l i m 1求
.)11(lim 6
6
et t
t
??
?
?
??
? ??
??
例 10
解 令,则当 时,,因此xt ? 2,x ?? t ??
前页 结束后页
.
1
)
1
1(lim
1
e
x
x
x
?
?
?
??
.)1(lim x
x x
x
???求例 11
xx
x
x
x
x
x
)11(
1lim)
1
(lim
?
?
? ????解
例 12 设有本金 1000元，若用连续复利计算，年利
率为 8%，问 5年末可得本利和为多少？
解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为
),08.01(000 1 ?
若复利一年计算 n次，则 x年末本利和为
.)08.01(0 00 1 nxn?
x年末本利和为所以 1 0 0 0 ( 1 0, 0 8) x?
前页 结束后页
1.3.3 无穷小的比较
两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两
个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子,
,,2,s i n,,,32 都是无穷小时当 xxxxxx ??
.,s i n,2;0 3
22
均不是无穷小是无穷小时即 xxx xxxxxx ?
,1s i nlim,22lim,0lim
00
2
0
???
??? x
x
x
x
x
x
xxx
,lim 3
2
0
不存在xx
x ?
这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于 0的速
度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于 0的速度，
我们引入无穷小量阶的概念,
前页 结束后页
此时也称 是比 低阶的无穷小,??
(3)如果,则称 是比 阶的无穷小,记作lim ? 0ba b a
(2)如果,则称 与 是等价无穷小,记作lim ? 1ba b a ~.ba
.o? ()ba
(1)如果 是常数 ),则称 是同阶无穷小,lim ( 0cc???? 与??
定义 设 时为无穷
小 (且 ).
()x???()x?,?? 0 ()x x x? ? ?在 或
0??
前页 结束后页
所以当 时,与 x是等价无穷小,即
所以当 时,是比 x高阶的无穷小,即
1,s i nlim0s i nlim
00
??
?? x
xx
xx
，且?例 13
.x ~ x x ?s i n ( 0 )
0
lim
x
x
x? ?
1 - c o s 0,又 因
c o s ( ) ( ),x o x x? ? ?1 0
2
1
2
2
s i n
2
1
lim
c o s1
lim
2
020
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? x
x
x
x
xx
例 14 因为
同理可知,当 时,x?0 ta n ~,xx
所以当 时,是同阶无穷小,
x?0
cos x?1x?0
sinx
x?0 c o s xx? 21 与
前页 结束后页
关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理,
)l i m ( lim ???????? ???????由假设，有证
?
?
?
?
?
?
???
???? limlimlim
.lim ?? ???
存在，则有，，无穷小，且
时都是或在及，，设
?
?
????
????
?
?
??
?????
lim~~
)( 0 xxx
定理 2
'lim lim,
'?
bb
aa
前页 结束后页
根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若
此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来
代替，如果选择适当，可简化运算,
用定理 2求极限，需要预先知道一些等价无穷小,
一些常用的等价无穷小如下,si n ~,t an ~,~,
l n ( ) ~,c os ~,
x
x
x x x x x
x
x x x
?
?
??
2
0
e 1
1 1
2
当 时
前页 结束后页
.2s in 3t a nlim
0 x
x
x ?
求例 15
，所以，时，当 xxxxx 2~2s i n3~3t a n0?解
.2323lim2s i n 3t a n lim
00
??
?? x
x
x
x
xx
.2t a nlim 23
0 xxx
x
x ???
求例 16
，所以，时，当 )2(~2~t an0 23 xxxxxxx ????解
.212lim2t a n lim
0230
??????
?? x
x
xxx
x
xx
前页 结束后页
.s i nt a nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
2
t an ~ 1 c os ~ 2xx x x?，,
3030
)c o s1( t a nlim t a nlim
x
xx
x
xx
xx
????
??
s i n
.
2
1
2
lim
3
2
0
?
?
?
? x
x
x
x
例 17
时，当 0 ),c o s(1 t a n s i n t a n ???? xxxxx解
前页 结束后页
注意：
相乘 (除 )的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，
但是相加 (减 )的无穷小的项不能作等价代换，例如
.t a n sin
xx
x x x x
xx??
?? ??
3300l i m l i m 0
是完全错误的
前页 结束后页
x
1.4.1 函数连续性的概念
xxxxxx ??????? 00
相应的函数的改变量（增量）,
函数的 终值 与初值 之差
称为自变量的改变量，记为
)()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy ?????????
1.改变量（增量）：
1.4 函数的连续性
y
x0x xx ??0
)(xfy ?
)( 0xf
x?
y?
0
当自变量由初值 变化到终值
时，终值与初值之差
称为自变量的改变量，记为
0x
0xx ?
)(xf )( 0xf )()( 0xfxf ?
前页 结束后页
定义 1,设函数 在点 的某邻域内有定义，
当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量
,如果当自变量的增量 趋于零
时，函数的增量 也趋于零，即
则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连
续点
0x)( xfy ?
)()( 00 xfxxfy ?????
)( xfy ?
li m li m [ ( ) ( ) ]xx y f x x f x?? ? ? ?0000DD DD
0x
0x0
x
2.连续
x?
x?
y?
若记,则,且当 时，xxx ??? 0 )()( 0xfxfy ??? 0xx ?
故定义 1又可叙述为
前页 结束后页
注：
)()(lim0lim 00
0
xfxfy xxx ???? ???
定义 2,设函数 y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若
有,则称函数 在点 处连续, lim ( ) ( )
xx f x f x? ?0 00
（ 1）定义 1与定义 2是等价的,即
由左右极限定义可定义左右连续定义
（ 2）由定义 2可知若函数 在点 处连续，则函
数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续
x0)(xf
)(xf x0
（ 3）当函数 在点 处连续时，求 时，
只需求出 即可
)(xf 0x lim ( )xx fx? 0
)( 0xf
()y f x?
前页 结束后页
定义 3：若函数 满足,则称 函
数 在点处左连续。
同理可以定义右连续
3、左右连续
)()(lim 0
0
xfxfxx ???
4、区间连续
定义 4：若函数 在（ a,b）内每一点都连续,则称
函数 在（ a,b）内连续。
)()()()()( 00 limlimlim
000
xfxfxfxfxf
xxxxxx
????
?? ???
由定理 3可知：函数 在点 处连续既左连续又右
连续即
)(xf
)(xf
)(xf
)(xf
)(xf
0x
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证明 y = sin x在 内连续例 1
2)2c o s (2 0 ??? xx
证
），（ ????
对任意 ),(
0 ?????x
有
2s i n)2c o s (2
s i n)s i n (
0
00
xxx
xxxy
?????
?????
因为
所以 0lim
0 ???? yx
故 在 内连续),( ????xy s in?
定义 5 若函数 y = f(x)在（ a,b）内每一点都连续，且
在左端点 a 处右连续，在右端点 b处左连续，则称 函数
y = f (x)在 [a,b]上连续。
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1.4.2 函数的间断点及其分类
连续在 0)( xxf
处有意义。在 0)()1( xxf
则一定满足以下条件
存在)(l i m)2(
0
xfxx ?
)()(lim)3( 0
0
xfxfxx ??
如果 f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点
是函数 的间断点。)(xf
1.可去间断点：
)()(lim 0
0
xfAxfxx ???
如果函数在点 的极限存在，但不等于,即
0x )( 0xf
则称 为 的可去间断点。0x )(xf
0x
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?
?
?
?
?? ??
)1(3
)1()( 112
x
xxf xx例 2
??
?
?
??
)1(2
)1()()(
x
xxfx?
解 )1(2lim)(lim
1
1
11
2 fxf
x
x
xx ??? ?
?
??
所以 x =1为可去间断点
重新定义新的函数：
则 x=1成为函数的连续点
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)(lim)(lim
00
xfxf xxxx ?? ?? ?
2.跳跃间断点：
例 3
?
?
?
???
??
?
)21(1
)10(
)(
xx
xx
xf
所以 x =1为跳跃间断点
11lim 1 lim ( 1 ) 1xxxx????? ? ? ?
左右极限存在不相等
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当 时，函数值不断地在两点之间跳
动，左右极限均不存在
3.无穷间断点
0xx ?
f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷
大，则称 为 f(x)的无穷间断点
0x
0x
例 4 x=0为 无穷间断点1y x?
4.振荡间断点
例 5 1( ) s infx x?
x=0是其振荡间断点
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间断点的类型,
第一类间断点,
我们把左右极限都存在的间断点称为第一
类间断点,
第二类间断点,
除第一类以外的间断点,即左右极限至少有
一个不存在的间断点称为第二类间断点,
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例 6
)1(
)( 2
2
?
??
xx
xxxf
解 函数在 x= -1,x = 0,x = 1处没有定义
所以 x= -1,x = 0,x = 1是函数的间断点
2
21lim ( 1 )x
xx
xx??
? ??
?
所以 x = -1是函数的无穷间断点
2
2
2
2
1
( 1 )( 1 )
0 0 0
1
( 1 )( 1 )
0 0 0
li m ( ) li m li m 1
li m ( ) li m li m 1
xx
xxx
x x x
xx
xxx
x x x
fx
fx
? ? ?
? ? ?
?
???
? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
所以 x= 0是函数的跳跃间断点
(Ⅰ )
(Ⅱ )
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2
2 11( 1 ) 2( 1 )1 1 1l i m ( ) l i m l i m
xx x
xxx x xfx
? ?
?? ? ?? ? ?
所以 x= 1是函数的可去间断点
2
0 ( 1 )
2 1 ( 1 2 )
1 ( 2 )
x
y x x
xx
? ?
?
? ? ? ??
? ??
?
解 分界点为 x =1,x =2
,00lim)(lim 11 ?? ?? ?? xx xf（ i）当 x=1时
所以 x= 1 是函数的跳跃间断点
11li m ( ) li m ( 2 1 ) 3xxf x x???? ? ? ?
(Ⅲ )
例 7
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5)1(lim)(lim
5)12(lim)(lim
2
22
22
???
???
??
??
??
??
xxf
xxf
xx
xx
（ ii）讨论 x=2
而 f(2)=5
所以 x= 2是函数的连续的点
因此,分段函数的分界点是可能间断点
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设函数 y = f(u)在点 处连续,u= f (x)在点 处连
续,且,则复合函数 在点 处连续,
1.4.3 初等函数的连续性
定理 1
单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调
连续函数。
设 f(x),g(x)均在点 处连续,则
也在处连续
0x
0
()( ) ( ),,( ( ) 0 )
()
fxf x g x g x
gx??
)()( xgxf ?
因此,基本初等函数在其定义域内连续,
定理 2
定理 3
)]([)]([lim 0
0
xfxfxx ?? ??
0x00()ux??
0u 0x
[ ( ) ]y f x??
即：
因此,一切初等函数在其定义区间内连续,
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1.4.4 闭区间上连续函数的性质
定理 4（最值定理）闭区间上的连续函数一定
有最大值和最小值。
注,
a
b1x 2x
x
y
0
)(xfy ?
对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论
不一定成立。
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定理 5 （ 介值定理 ）
cf ?)(?
)(xfy ?
y
xo a ? b
设函数 f(x)在 [a,b]上连续,且, 为介于 f (a)
与 f (b)之间的任一实数,则至少存在一点,使得
)()( bfaf ? c
),( ba??
.0)( ??f
推论：
如果函数 f(x)在 [a,b]上连
续,且
则至少存在一点,
使得
0)()( ?bfaf
),( ba??
