4.1 不定积分的概念与性质
4.2 不定积分的换元积分法
4.3 不定积分的分部积分法
4.4 积分表的用法
第 4章 不定积分
结束
前页 结束后页
又如 d(sec x)=sec x tan xdx,所以 sec x是 sec x tan x
的原函数,
定义 设 f (x) 在某 区间上 有 定义,如果对该区间的任意
点 x都有 F'(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx
则称 F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数,
4.1.1 原函数的概念
例如,, 是函数 在 上的原函数,
,sin x是 cos x在 上的原函数,
(,)?? ??
3
2()
3
x x? ? 2x
3
3
x
(,)?? ??( s in ) c o s?x ' x
4.1 不定积分的概念与性质
前页 结束后页
(2)如果 f(x)在某区间上存在原函数, 那么原函数
不是唯一的,且有无穷多个
注,(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存
在．具体理由将在下一章给出．
例如
而
在 上 是 的原函数(,)?? ??
s i n 1,s i n 2xx??
sinx cosx
i n 1,s i n 3xx??也是它的原函数
即 加任意常数都是 的原函数,sinxcosx
(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任
意两个原函数只差一个常数项,
此结论由 Lagrange定理推论可证
前页 结束后页
定义 2 如果函数 F(x)是 f (x)在 区间 I 上 的一个原函数，那
么 f (x)的全体 原函数 F(x) ＋ C(C为任意常数 )称为 f (x)在 区
间 I 上 的不定积分, 记作
( ) d? f x x
其中记号 称为积分号, f (x)称为被积函数,f (x)dx称
为被积表达式,x称为积分变量,C为积分常数,
""?
( ) d ( )??? f x x F x C,即
2.不定积分的概念
前页 结束后页
例 2 求 21 d.1 ?? xx
2
1( a r c t a n ) ( )
1
? ? ? ? ? ? ?
?
，x ' x
x
解
2
1
d ar c t an,
1
? ? ? ? ? ?
???
?
所 以 在 上 有x
x x C
x
例 1 求,d4 xx?
5
4()
5
?由 于,'x x解
5
4 d.
5
xCxx ???所 以
前页 结束后页
例 3 求,d1 xx?
? ?,1)1(1)(1 )l n(0 xx'xx'xx ??????????? 时，有当
解
)0( lnd
1
,
1
)( l n0
???
??
? xCxx
x
x
'xx 时，有当
1 d ln ( 0 ),x x C x
x ? ? ??所 以
?
?
?
??
?
?
,0 )l n (
,0 ln
ln
xx
xx
x
当
当
1 d ln ( ),x x C
x ? ? ??又
前页 结束后页
3 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算,
( 1 ) [ ( ) d ] ( )
d ( ) d ( ) d
f x x ' f x
f x x f x x
?
?
?
?或,
特别地，有 d.x x C???
( 2) ( ) d ( )
d ( ) ( )
F' x x F x C
F x F x C
??
??
?
?或,
前页 结束后页
( 6 ) s in d c o sx x x C? ? ??
( 1 ) d k x k x C???
4.1.2不定积分的基本积分公式
d( 3 ) ln | |,x xC
x ???
( 5 ) d,eexxxC???
1
( 2 ) d ( 1 ),1xx x C
?
? ?
?
?
? ? ? ???
( 4 ) d,ln
x
x xC
a
aa ???
前页 结束后页
2
2
d( 8 ) c s c d c o t,
s in
x x x x C
x ? ? ? ???
( 1 0 ) se c t a n d se c,x x x x C???
( 7 ) c o s d sin,x x x C???
2
2
d( 9 ) s e c d t a n,
c o s
x x x x C
x ? ? ???
( 1 1 ) c sc c o t d c sc,x x x x C? ? ??
2
1( 12 ) d ar c sin,
1
x x C
x
??
??
2
1( 1 3 ) d a r c t a n,
1 x x Cx ????
前页 结束后页
例 4 计算下列积分
.d1( 3 ),d1( 2 ),d)1( 23 xxxxx x???
.
4
3
1
3
1
1
3
4
1
3
1
CC xx ???
?
? ?
xxx x d d1( 2 ) 21?? ??
解 xxx x d d( 1) 313 ?? ?
xx xx dd1( 3 ) 22 ?? ??
.2
2
1
1
1
2
1
1 CxCx ???
?
? ?
.112 1 12 CxCx ??????? ??
前页 结束后页
例 5 计算下列积分
( 1 ) 2, ( ),,21d (2 ) d (3 ) dx x xx x e x? ? ?
解 (1)
22d
l n 2
x
x xC???
( 3 ), deexxxC???
1 1 1 1 1
( ) d ( ) ( )
12 2 l n 2 2
ln
2
x x xx C C? ? ? ?
??
(2)
前页 结束后页
4.1.3 不定积分的性质
性质 1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面,
( ) d ( ) dk f x x k f x x??? ).0( ?kk 是常数，
性质 2可以推广到有限多个函数的情形，即
?
12
12
( ) ( ) ( ) d
( ) d ( ) d ( ) d,
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
n
n
x x x x
x x x x x x
f f f
f f f
性质 2 两个函数的和 (或差 )的不定积分等于各函数
不定积分的和 (或差 )，即
[ ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d,f x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?
前页 结束后页
例 6 求 3 25 4 3 ) d,(2 xxx x? ? ??
32 2 d 5 d 4 d 3 dx x x x xxx? ? ? ?? ? ? ?
3 2
32
5 4 3 ) d
2 d 5 d 4 d 3 d
(2 xx
x x x x x
x x
xx
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
解
4 3 215 2 3,
23 xCx x x? ? ? ? ?
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意
常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只
要写出一个任意常数即可
前页 结束后页
例 7 求 xxx d)s i n23(? ?
xxxxx xx ds i n2d d)s i n2 33( ??? ???解
2 ( c o s ) 2 c o s,ln 3 ln 333
xx
x C x C? ? ? ? ? ? ? ?
例 8 求 2d.( 1 )xxx ??
5 312
2 2221( ) (? ? ????所 以 x x xxx xxd ) d
5 3 12
2 2 22,( 1 ) ? ? ??x x x x x解
xxx xxx dd2d 212325 ? ?? ???
.325472 232527 Cxxx ????
前页 结束后页
例 9 求
2c os d
2
x x?
? ?2 1 c o s 1c o s d d d c o s d2 2 2xxx x x x x?? ? ?? ? ? ?
1 ( s in )
2 x x C? ? ?
解
.a r c t a n Cxx ???
例 10 求 ? ? xx
x d
12
2
?? ???? xx xx x d)11(1 d1 22
2
解 xx d1
1d
2? ? ???
前页 结束后页
.a r c t a n3
3
Cxxx ????
? ?????? ???? xxx d 11)1( 22
?? ? ?????? xx x xxxx d1 1)1)(1(d12 2
22
2
4
解
xx
xx
d11 d)1( 22? ? ????
.d
1
2
2
4
? ?? xxx例 11 求
前页 结束后页
.dtan 2? xx
.t a n Cxx ???
例 12 求
?? ?? xxxx )d1( se cdt an 22解
? ??? xxx dds ec 2
有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但
经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数
的积分后，便可逐项积分求得结果．如例 9－ 12。
前页 结束后页
函数 f (x)的原函数图形称为 f (x)的
积分曲线,不定积分表示的不是一个原
函数,而是无穷多个 (全部 )原函数,通常
说成一族函数,反映在几何上则是一族
曲线,这族曲线称为 f (x)的 积分曲线族,
4.1.4.不定积分的几何意义
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为 k,
因此,在每一条积分曲线上,以 x为横坐标的点处的
切线彼此平行（如图）,f (x)为积分曲线在 (x,f (x))
处的切线斜率,
前页 结束后页
21d
2? ? ??所 以 y x x x C
( 2,3 )
1 C ?
把 代 入 上 述 方 程, 得
，
例 13 设曲线通过点 (2,3),且其上任一点的切线 斜率等
于这点的横坐标，求此曲线方程,
解 设所求的曲线方程为,依题意可知()?y f x
?,y' x
因此所求曲线的方程为
2
1.2??xy
前页 结束后页
.d2c o s? xx求
4.2.1 第一类换元法
例 1
1dd
2?,xu
原因在于被积函数 cos 2x与公式 中的被积
函数不一样,如果令 u=2x，则 cos2x=cos u,d u=2dx，从
而
? xx d c o s
11 c o s 2 d c o s d c o s d
22x x u u u u? ? ?? ? ?
所以有
？ 1c o s 2 d s in 2,2??? x x x C分析
4.2 换元积分法
前页 结束后页
.s i n
2
1
dc o s
2
1
c o s
s i nc o ss i n
d
d
Cuuu
u
uuuu
u
??
?
?
的原函数，因此有被积函数
是而言，，即对新的积分变量由于
.2s i n
2
1
s i n
2
1
2
CxCu
xu
???
? 代回，得再把
综合上述分析，此题的正确解法如下：
前页 结束后页
,d2d,2 xuxu ?? 得令
?? ? uuxx dc o s21d2c o s
解
.2s in
2
1
s in
2
1
Cx
Cu
??
??,则有得 ux d21d ?
.d2c o s? xx求
前页 结束后页
)(
)()d(
有具有连续导数，则如果
，
设
xu
CuFuuf
??
???
[ ( ) ] ( ) d [ ( ) ] ( 1 )f x ' x x F x C? ? ????
定理 1
证 依题意有
)()d(,CuFuuf ???
即有 ),()(dd ufuFx ?又由复合函数微分法可得
)()( x'uf ??? ? ?,)()( x'xf ???
? ?)(dd xFu ? xuuFu dd)(dd ?)(xx ??令
前页 结束后页
根据不定积分的定义，则有
? ? ? ?,)(d)( )( CxFxx'xf ??? ???
公式 (1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用
第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积
分法,也称“凑微分”法
应用定理 1求不定积分的步骤为
? ? ? ?( ) d ( ) ( ) d ( ) d ( )??? ? ?g x x f x x x f x x? ? ? ?凑 微 分
? ?( ) d ( ) ( )( ) ( )? ? ???? f u u F u C F x Cx u u x ???变 量 代 换 还 原
前页 结束后页
例 2 求,d)13( 2008 xx? ?
d31 d 20082008)13( ?? ? ux ux －于是有
，，得，得令 uxxuxu d31d3dd13 ????解
? uu d31= 2 0 0 8
2009 20091 1 1 ( 3 1 ),
3 2 0 0 9 6 0 2 7C x Cu? ? ? ? ? ?
.d 42? ? xx x
d2d4 2 则，，则令 xxuu x ???解 d21 d42 ?? ?? uuxx x
例 3 求
Cu ?? 233221=,31 )4( 2 2
3
Cx ?? ?
前页 结束后页
例 4 求 2
d? xx e x
解 22 2
2
11d d d
22
x x ux e x e x e u
xu ?? ? ?
变 量 代 换凑 微 分
2
2
11
22? ? ??
uxe C e C
ux
还 原
例 5 求,d ta n? xx
= l n | c o s |,xC??
类似地，有 d l n s inc o t | |,x x x C???
dc o ss i n d t a n ?? ? xxxxx解 )d ( c o s c o s1 xx???
前页 结束后页
(1)
22
d x
ax??
=1 ar c t an x C
aa ?
0?a
22
1 d
??
x
ab
ar c si n,x Ca??(2)
22
11 d ln,
2
???
???
xaxC
a x axa
c s c d ln c s c c o tx x x x C? ? ??
(4)
s e c d? xx l n s e c t a n? ? ?x x C
(5)
此外还可以得到一组积分公式：
前页 结束后页
4.2.2 第二类换元积分法
12d d
11 ? ????
txt
tx
1 d.
1 ?? xx例 6 求
22d
1
????
?????? tt
2 2 ln 1,? ? ? ?x x C
12 d 2 d( 1 )
1t? ? ????tt
2 2 ln 1? ? ? ?t t C
解 作变量代换,令,可将无理函数化为
有理函数的积分,所以有
,?xt
前页 结束后页
一般的说，若积分 不易计算可以作适当的
变量代换,把原积分化为 的形
式而可能使其容易积分,当然在求出原函数后,还要
将 代回,还原成 x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想,
? xxf d)(
)(tx ?? tx'xf d )())((? ??
)(1 xt ?? ?
前页 结束后页
设 是单调可导的函数,且定理 2 )(tx ?? '( ) 0t? ?
? ?( ) ( ) d ( )f t t t F t C?? ? ???
那么
? ?( ) d ( ) ' ( ) d ( )??? ? ???f x x f t t t F t C1 ()? ???????F x C
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
? ?( ) d ( ) '( ) d ( ) d ( )()f x x f t t t g t t F t Cxt ??? ? ? ??? ? ?换 元
()tx? ?
还 原 1 ()F t C? ??? ???
前页 结束后页
例 7 求,d1 xx
x?
?
? ??? tt )d1(2 2
，所以有，得，得令 ttxxtx t d2d1 1 2 ????? ?解
tttxx t d21d1 1
2
?? ????
,1)1(3212 Cxxx ???????
Ct t ???? 3322
前页 结束后页
).0( d22 ??? axxa,例 8 求
?? ? ????? ttattataxxa dc o s dc o sc o sd 2222
解
).2π2π( ??? x c o s s i n1
s i n
dc o sds i n
2
22222
tata
taaxa
ttaxtax
???
???
??,而，设
）（ ??? ???? tttatta d2c o sd2d2 2c o s1
2
2
? ?,c o ss i n
2
2s i n
2
1
2
2
2
Cttt
a
Ctt
a
???
??
?
?
?
?
?
??
前页 结束后页
并有，则，因为,a r c s i ns i ns i n axtaxttax ???
,1s i n1c o s
222
2
a
xa
a
xxt ???
?
??
?
?????
Cxaxaxaxxa ?????? ? 2a r c s i n2d
222
22
.c o s
,c o s
22
22
a
xa
t
a
xa
t
?
?
?
?
＝
斜边
邻边
直接写出：
角形也可由图所示的直角三上面
a x
t
a x2 2?
前页 结束后页
0 ),( d 22 ??? axa x,例 9 求
ttataxax ds e cc o s1d1 222 ?? ????
解
，＝
于是令
t
ataataxa
tax
c o s
1
s e c
1
t a n
11
,t a n
22222
?
?
?
?
?
，ttax ds e cd 2?
.t a ns e cln
ds e c
Ctt
tt
???
? ?
前页 结束后页
，
邻边
斜边
可得，利用图所示三角形，根据
a
ax
t
a
x
t
22
s e c
t a n
?
??
?
).ln(
ln
lnd
1
1
22
1
22
22
aCC
Cxax
C
a
x
a
ax
x
ax
??
????
??
?
?
?
?
其中
a
x22 ax ?
t
前页 结束后页
0 ),( d1 22 ??? axax,例 10 求
，令 s e c tax ?解
，
，于是
tttax
taataax
d t a ns e cd
t a n
1
s e c
11
22222
??
?
?
?
?
d s e c= ? tt
dt a n t a ns e c=d 22 ?? ??? tta ttaax x
.|t a ns e c|ln= Ctt ??
前页 结束后页
，
邻边
对边
得利用图所示三角形，易根据
a
ax
t
a
x
t
22
t a n
,s e c
?
??
?
).ln(
ln
ln d
1
1
22
1
22
22
aCC
Cxax
C
a
ax
a
x
x
ax
??
????
?
?
??
?
? ?
其中
a
x 22 ax ?
t
前页 结束后页
.
),( 2222
根号的是去掉被积函数中的函数，三角换元法的目
构成的有理和表示由其中 xaxxaxR ??
例 8— 例 10中的解题方法称为三角代换法或三角
换元法,
.dt a ns e cd,s e c,d ),(
ds e cd,t a n,d ),(
dc o sd,s i n,d ),(
22
222
22
tttaxtaxxaxxR
ttaxtaxxxaxR
ttaxtaxxxaxR
????
???
???
?
?
?
可令；可令；可令
一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如
下情形：
前页 结束后页
( 1 4 ) t a n d l n | c o s |,x x x C? ? ??
补充的积分公式：
( 1 5 ) c o t d l n | s i n |,x x x C???
( 1 6 ) s e c d l n | s e c t a n |,x x x x C? ? ??
22
d1( 19 ) ln | |,
2
x x a C
x a a x a
???
???
( 1 7 ) c s c d l n | c s c c o t |,x x x x C? ? ??
22
d1( 18 ) ar c t an,xx C
a x a a????
前页 结束后页
22
d( 2 0 ) a r c sin,xx C
aax ????
22
22
d( 2 1 ) ln | |,x x x a C
xa
? ? ? ?
??
22
22
d( 2 2 ) ln | |,x x x a C
xa
? ? ? ?
??
前页 结束后页
由函数乘积的微分公式
d( ) d( ) d ( )uv v u u v??,
移项得 d( ) d( ) d( )u v uv v u??,
d d ( 1 )????u v u v v u
对上式两端同时积分，得
公式 (1)或公式 (2)称为分部积分公式,
d d ( 2 )????u v ' x u v u ' v x
或
4.3 分部积分法
前页 结束后页
注意：
使用分部积分公式的目的是在于化难为
易，解题的关键在于恰当的选择 u和 v.
选 u的法则是,
指多弦多只选多 反多对多不选多
指弦同在可任选 一旦选中要固定
前页 结束后页
.d,
dedc o sds i n.1
vxu
xxxkxxxkxx
n
kxnnn
余下的为令
的不定积分，，，形如
?
???
.,dd
da r c s i n,da r c t a n,dln.2
uxxv
xxxxxxxxx
n
nnn
余下的为定积分，令
的不形如
?
???
即一般情况下,u与 dv按以下规律选择
.d
,d
dc o se,ds i ne.3
应保持一致和部积分公式，两次选择
因为要使用两次分，但应注意和任意选择
的不定积分，可以形如
vu
vu
xbxxbx axax ??
前页 结束后页
例 1 求,dsin? xxx
c o sddds i nd,则，，则，令 xvxuxxvxu ?????解
xxxxxxx ?? ???? d )c o s(c o s ds i n
.s i nc o s Cxxx ????
???? xxxx d c o sc o s
前页 结束后页
.de2? xxx例 2 求
d2ddd ee2 xx vxxuxvu x ????,，则，令解
]d[2d eeee 22 xxx xxxx xx ?? ???则
dd eee 22 ?? ?? xx xxx xxx则
ee dd d d xx vxuxvxu ????,，则，令
继续使用分部积分法
, )22 (
22
2
2
e
eee
Cx
Cx
x
x
x
xxx
????
????
前页 结束后页
例 3 求,dt a na r c? xxx
解 dda r c t a n,，令 xxvxu ??
?? ???? xxxxx xxx d1 12a r c t a n21 da r c t a n 2
2
2
d)1 11(21a r c t a n21 22 xx xx ???? ?
.a r c t a n 21 2a r c t a n21 2 Cxxxx ????
2d1 1d
2
2,则，则
x
x
vxu ???
前页 结束后页
.dln4? xxx例 4 求
)5(dlndln
5
4 ?? ? xx xxx解 ??? xx xx d
5
1ln
5
4
5
,25ln5
55
Cx xx ???
例 5 求,dln? xx
?? ?? )ln(dlndln xxxxxx解
.ln
dln
Cxxx
xxx
???
?? ?
前页 结束后页
.dc o se? xxx例 6 求
)(dc o s dc o s ee ?? ? xx xxx解 ??? xxx xx ds i nc o s ee
)(ds i nc o s ee xx xx ???
?? ?? xxxx xxx dc o ss i nc o s eee
,dc o ss i nc o sdc o s
eeee ??? ? xxxxxx xxxx －
这样便出现了循环公式
,s i nc o sdc o s2 1eee Cxxxx xxx ?? ??移项得
).2( )s i n( c o s2dc o s 1ee CCCxxxx
x
x ?????
Cxxxx
x
x ???? )c o s( s i n
2ds i n
ee类似地，有
前页 结束后页
例 7 求,ds ina r c? xx
?? ?? )a r c s i n(da r c s i nda r c s i n xxxxxx解
? ??? xxxx x d1a r c s i n 2
.)1l n (
2
1
a r c t a nda r c t a n 2 Cxxxx x ?????
类似地，有,1a r c s i n
2 Cxx x ????
前页 结束后页
例 8 求,dc o s? xx
，有，，则令 ttxxtx t d2d2 ???解
dc o s2dc o s ?? ? tttxx
2 s i n 2 c o st t t C? ? ?
2 s in 2 s in d t t t t?? ?
2 s i n 2 c o s,x x x C? ? ?
在计算积分时,有时需要同时使用换元积
分法与分部积分法,
前页 结束后页
把常用的积分公式汇集成表，这种表
叫做积分表,积分表是按照被积函数的类
型来排列的,求积分时，可根据被积函数
的类型直接地或经过简单的变形后，在
表内查得所需的结果,
4.4 积分表的使用
前页 结束后页
，Cbaxabxbax x bx ??????? 2ln1)( d 22
.|23|ln432 1)23( d2 Cxxxx xx ???????
.d)23(2? ? xxxx
现在 a=3,b=2,于是
例 1 求
被积函数为有理函数，属于积分表中的类型 (1)解
前页 结束后页
.4d 2? ?xx x
.42ln21
4
d 2
2 Cx
x
xx
x ????
??
例 2 求
解 被积函数为无理函数，属于积分表中的类型 (2)
现令 a=2,得
,||ln1d
22
22 Cx
axa
aaxx
x ????
??
前页 结束后页
例 3 求,d91 22 xxx ??
.a r c s i n811)12(8d1 2222 Cuuuu uuu ???????
再令 a=1,由公式 12得
d31d33,则，，令 uxuxux ???解
2 2 2 2 2 2
2
11 d 1 d = 1 d
2719 3x u ux x u u u u? ? ?? ? ?－
.)3a r c s i n (
8
1
1)118(
8
3
27
1
d1
9
9
22
22
Cx
x
x
xx
xx
??
?
?
??
? ????
??
再把 u=3x代回还原，得
4.2 不定积分的换元积分法
4.3 不定积分的分部积分法
4.4 积分表的用法
第 4章 不定积分
结束
前页 结束后页
又如 d(sec x)=sec x tan xdx,所以 sec x是 sec x tan x
的原函数,
定义 设 f (x) 在某 区间上 有 定义,如果对该区间的任意
点 x都有 F'(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx
则称 F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数,
4.1.1 原函数的概念
例如,, 是函数 在 上的原函数,
,sin x是 cos x在 上的原函数,
(,)?? ??
3
2()
3
x x? ? 2x
3
3
x
(,)?? ??( s in ) c o s?x ' x
4.1 不定积分的概念与性质
前页 结束后页
(2)如果 f(x)在某区间上存在原函数, 那么原函数
不是唯一的,且有无穷多个
注,(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存
在．具体理由将在下一章给出．
例如
而
在 上 是 的原函数(,)?? ??
s i n 1,s i n 2xx??
sinx cosx
i n 1,s i n 3xx??也是它的原函数
即 加任意常数都是 的原函数,sinxcosx
(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任
意两个原函数只差一个常数项,
此结论由 Lagrange定理推论可证
前页 结束后页
定义 2 如果函数 F(x)是 f (x)在 区间 I 上 的一个原函数，那
么 f (x)的全体 原函数 F(x) ＋ C(C为任意常数 )称为 f (x)在 区
间 I 上 的不定积分, 记作
( ) d? f x x
其中记号 称为积分号, f (x)称为被积函数,f (x)dx称
为被积表达式,x称为积分变量,C为积分常数,
""?
( ) d ( )??? f x x F x C,即
2.不定积分的概念
前页 结束后页
例 2 求 21 d.1 ?? xx
2
1( a r c t a n ) ( )
1
? ? ? ? ? ? ?
?
，x ' x
x
解
2
1
d ar c t an,
1
? ? ? ? ? ?
???
?
所 以 在 上 有x
x x C
x
例 1 求,d4 xx?
5
4()
5
?由 于,'x x解
5
4 d.
5
xCxx ???所 以
前页 结束后页
例 3 求,d1 xx?
? ?,1)1(1)(1 )l n(0 xx'xx'xx ??????????? 时，有当
解
)0( lnd
1
,
1
)( l n0
???
??
? xCxx
x
x
'xx 时，有当
1 d ln ( 0 ),x x C x
x ? ? ??所 以
?
?
?
??
?
?
,0 )l n (
,0 ln
ln
xx
xx
x
当
当
1 d ln ( ),x x C
x ? ? ??又
前页 结束后页
3 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算,
( 1 ) [ ( ) d ] ( )
d ( ) d ( ) d
f x x ' f x
f x x f x x
?
?
?
?或,
特别地，有 d.x x C???
( 2) ( ) d ( )
d ( ) ( )
F' x x F x C
F x F x C
??
??
?
?或,
前页 结束后页
( 6 ) s in d c o sx x x C? ? ??
( 1 ) d k x k x C???
4.1.2不定积分的基本积分公式
d( 3 ) ln | |,x xC
x ???
( 5 ) d,eexxxC???
1
( 2 ) d ( 1 ),1xx x C
?
? ?
?
?
? ? ? ???
( 4 ) d,ln
x
x xC
a
aa ???
前页 结束后页
2
2
d( 8 ) c s c d c o t,
s in
x x x x C
x ? ? ? ???
( 1 0 ) se c t a n d se c,x x x x C???
( 7 ) c o s d sin,x x x C???
2
2
d( 9 ) s e c d t a n,
c o s
x x x x C
x ? ? ???
( 1 1 ) c sc c o t d c sc,x x x x C? ? ??
2
1( 12 ) d ar c sin,
1
x x C
x
??
??
2
1( 1 3 ) d a r c t a n,
1 x x Cx ????
前页 结束后页
例 4 计算下列积分
.d1( 3 ),d1( 2 ),d)1( 23 xxxxx x???
.
4
3
1
3
1
1
3
4
1
3
1
CC xx ???
?
? ?
xxx x d d1( 2 ) 21?? ??
解 xxx x d d( 1) 313 ?? ?
xx xx dd1( 3 ) 22 ?? ??
.2
2
1
1
1
2
1
1 CxCx ???
?
? ?
.112 1 12 CxCx ??????? ??
前页 结束后页
例 5 计算下列积分
( 1 ) 2, ( ),,21d (2 ) d (3 ) dx x xx x e x? ? ?
解 (1)
22d
l n 2
x
x xC???
( 3 ), deexxxC???
1 1 1 1 1
( ) d ( ) ( )
12 2 l n 2 2
ln
2
x x xx C C? ? ? ?
??
(2)
前页 结束后页
4.1.3 不定积分的性质
性质 1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面,
( ) d ( ) dk f x x k f x x??? ).0( ?kk 是常数，
性质 2可以推广到有限多个函数的情形，即
?
12
12
( ) ( ) ( ) d
( ) d ( ) d ( ) d,
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
n
n
x x x x
x x x x x x
f f f
f f f
性质 2 两个函数的和 (或差 )的不定积分等于各函数
不定积分的和 (或差 )，即
[ ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d,f x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?
前页 结束后页
例 6 求 3 25 4 3 ) d,(2 xxx x? ? ??
32 2 d 5 d 4 d 3 dx x x x xxx? ? ? ?? ? ? ?
3 2
32
5 4 3 ) d
2 d 5 d 4 d 3 d
(2 xx
x x x x x
x x
xx
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
解
4 3 215 2 3,
23 xCx x x? ? ? ? ?
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意
常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只
要写出一个任意常数即可
前页 结束后页
例 7 求 xxx d)s i n23(? ?
xxxxx xx ds i n2d d)s i n2 33( ??? ???解
2 ( c o s ) 2 c o s,ln 3 ln 333
xx
x C x C? ? ? ? ? ? ? ?
例 8 求 2d.( 1 )xxx ??
5 312
2 2221( ) (? ? ????所 以 x x xxx xxd ) d
5 3 12
2 2 22,( 1 ) ? ? ??x x x x x解
xxx xxx dd2d 212325 ? ?? ???
.325472 232527 Cxxx ????
前页 结束后页
例 9 求
2c os d
2
x x?
? ?2 1 c o s 1c o s d d d c o s d2 2 2xxx x x x x?? ? ?? ? ? ?
1 ( s in )
2 x x C? ? ?
解
.a r c t a n Cxx ???
例 10 求 ? ? xx
x d
12
2
?? ???? xx xx x d)11(1 d1 22
2
解 xx d1
1d
2? ? ???
前页 结束后页
.a r c t a n3
3
Cxxx ????
? ?????? ???? xxx d 11)1( 22
?? ? ?????? xx x xxxx d1 1)1)(1(d12 2
22
2
4
解
xx
xx
d11 d)1( 22? ? ????
.d
1
2
2
4
? ?? xxx例 11 求
前页 结束后页
.dtan 2? xx
.t a n Cxx ???
例 12 求
?? ?? xxxx )d1( se cdt an 22解
? ??? xxx dds ec 2
有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但
经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数
的积分后，便可逐项积分求得结果．如例 9－ 12。
前页 结束后页
函数 f (x)的原函数图形称为 f (x)的
积分曲线,不定积分表示的不是一个原
函数,而是无穷多个 (全部 )原函数,通常
说成一族函数,反映在几何上则是一族
曲线,这族曲线称为 f (x)的 积分曲线族,
4.1.4.不定积分的几何意义
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为 k,
因此,在每一条积分曲线上,以 x为横坐标的点处的
切线彼此平行（如图）,f (x)为积分曲线在 (x,f (x))
处的切线斜率,
前页 结束后页
21d
2? ? ??所 以 y x x x C
( 2,3 )
1 C ?
把 代 入 上 述 方 程, 得
，
例 13 设曲线通过点 (2,3),且其上任一点的切线 斜率等
于这点的横坐标，求此曲线方程,
解 设所求的曲线方程为,依题意可知()?y f x
?,y' x
因此所求曲线的方程为
2
1.2??xy
前页 结束后页
.d2c o s? xx求
4.2.1 第一类换元法
例 1
1dd
2?,xu
原因在于被积函数 cos 2x与公式 中的被积
函数不一样,如果令 u=2x，则 cos2x=cos u,d u=2dx，从
而
? xx d c o s
11 c o s 2 d c o s d c o s d
22x x u u u u? ? ?? ? ?
所以有
？ 1c o s 2 d s in 2,2??? x x x C分析
4.2 换元积分法
前页 结束后页
.s i n
2
1
dc o s
2
1
c o s
s i nc o ss i n
d
d
Cuuu
u
uuuu
u
??
?
?
的原函数，因此有被积函数
是而言，，即对新的积分变量由于
.2s i n
2
1
s i n
2
1
2
CxCu
xu
???
? 代回，得再把
综合上述分析，此题的正确解法如下：
前页 结束后页
,d2d,2 xuxu ?? 得令
?? ? uuxx dc o s21d2c o s
解
.2s in
2
1
s in
2
1
Cx
Cu
??
??,则有得 ux d21d ?
.d2c o s? xx求
前页 结束后页
)(
)()d(
有具有连续导数，则如果
，
设
xu
CuFuuf
??
???
[ ( ) ] ( ) d [ ( ) ] ( 1 )f x ' x x F x C? ? ????
定理 1
证 依题意有
)()d(,CuFuuf ???
即有 ),()(dd ufuFx ?又由复合函数微分法可得
)()( x'uf ??? ? ?,)()( x'xf ???
? ?)(dd xFu ? xuuFu dd)(dd ?)(xx ??令
前页 结束后页
根据不定积分的定义，则有
? ? ? ?,)(d)( )( CxFxx'xf ??? ???
公式 (1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用
第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积
分法,也称“凑微分”法
应用定理 1求不定积分的步骤为
? ? ? ?( ) d ( ) ( ) d ( ) d ( )??? ? ?g x x f x x x f x x? ? ? ?凑 微 分
? ?( ) d ( ) ( )( ) ( )? ? ???? f u u F u C F x Cx u u x ???变 量 代 换 还 原
前页 结束后页
例 2 求,d)13( 2008 xx? ?
d31 d 20082008)13( ?? ? ux ux －于是有
，，得，得令 uxxuxu d31d3dd13 ????解
? uu d31= 2 0 0 8
2009 20091 1 1 ( 3 1 ),
3 2 0 0 9 6 0 2 7C x Cu? ? ? ? ? ?
.d 42? ? xx x
d2d4 2 则，，则令 xxuu x ???解 d21 d42 ?? ?? uuxx x
例 3 求
Cu ?? 233221=,31 )4( 2 2
3
Cx ?? ?
前页 结束后页
例 4 求 2
d? xx e x
解 22 2
2
11d d d
22
x x ux e x e x e u
xu ?? ? ?
变 量 代 换凑 微 分
2
2
11
22? ? ??
uxe C e C
ux
还 原
例 5 求,d ta n? xx
= l n | c o s |,xC??
类似地，有 d l n s inc o t | |,x x x C???
dc o ss i n d t a n ?? ? xxxxx解 )d ( c o s c o s1 xx???
前页 结束后页
(1)
22
d x
ax??
=1 ar c t an x C
aa ?
0?a
22
1 d
??
x
ab
ar c si n,x Ca??(2)
22
11 d ln,
2
???
???
xaxC
a x axa
c s c d ln c s c c o tx x x x C? ? ??
(4)
s e c d? xx l n s e c t a n? ? ?x x C
(5)
此外还可以得到一组积分公式：
前页 结束后页
4.2.2 第二类换元积分法
12d d
11 ? ????
txt
tx
1 d.
1 ?? xx例 6 求
22d
1
????
?????? tt
2 2 ln 1,? ? ? ?x x C
12 d 2 d( 1 )
1t? ? ????tt
2 2 ln 1? ? ? ?t t C
解 作变量代换,令,可将无理函数化为
有理函数的积分,所以有
,?xt
前页 结束后页
一般的说，若积分 不易计算可以作适当的
变量代换,把原积分化为 的形
式而可能使其容易积分,当然在求出原函数后,还要
将 代回,还原成 x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想,
? xxf d)(
)(tx ?? tx'xf d )())((? ??
)(1 xt ?? ?
前页 结束后页
设 是单调可导的函数,且定理 2 )(tx ?? '( ) 0t? ?
? ?( ) ( ) d ( )f t t t F t C?? ? ???
那么
? ?( ) d ( ) ' ( ) d ( )??? ? ???f x x f t t t F t C1 ()? ???????F x C
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
? ?( ) d ( ) '( ) d ( ) d ( )()f x x f t t t g t t F t Cxt ??? ? ? ??? ? ?换 元
()tx? ?
还 原 1 ()F t C? ??? ???
前页 结束后页
例 7 求,d1 xx
x?
?
? ??? tt )d1(2 2
，所以有，得，得令 ttxxtx t d2d1 1 2 ????? ?解
tttxx t d21d1 1
2
?? ????
,1)1(3212 Cxxx ???????
Ct t ???? 3322
前页 结束后页
).0( d22 ??? axxa,例 8 求
?? ? ????? ttattataxxa dc o s dc o sc o sd 2222
解
).2π2π( ??? x c o s s i n1
s i n
dc o sds i n
2
22222
tata
taaxa
ttaxtax
???
???
??,而，设
）（ ??? ???? tttatta d2c o sd2d2 2c o s1
2
2
? ?,c o ss i n
2
2s i n
2
1
2
2
2
Cttt
a
Ctt
a
???
??
?
?
?
?
?
??
前页 结束后页
并有，则，因为,a r c s i ns i ns i n axtaxttax ???
,1s i n1c o s
222
2
a
xa
a
xxt ???
?
??
?
?????
Cxaxaxaxxa ?????? ? 2a r c s i n2d
222
22
.c o s
,c o s
22
22
a
xa
t
a
xa
t
?
?
?
?
＝
斜边
邻边
直接写出：
角形也可由图所示的直角三上面
a x
t
a x2 2?
前页 结束后页
0 ),( d 22 ??? axa x,例 9 求
ttataxax ds e cc o s1d1 222 ?? ????
解
，＝
于是令
t
ataataxa
tax
c o s
1
s e c
1
t a n
11
,t a n
22222
?
?
?
?
?
，ttax ds e cd 2?
.t a ns e cln
ds e c
Ctt
tt
???
? ?
前页 结束后页
，
邻边
斜边
可得，利用图所示三角形，根据
a
ax
t
a
x
t
22
s e c
t a n
?
??
?
).ln(
ln
lnd
1
1
22
1
22
22
aCC
Cxax
C
a
x
a
ax
x
ax
??
????
??
?
?
?
?
其中
a
x22 ax ?
t
前页 结束后页
0 ),( d1 22 ??? axax,例 10 求
，令 s e c tax ?解
，
，于是
tttax
taataax
d t a ns e cd
t a n
1
s e c
11
22222
??
?
?
?
?
d s e c= ? tt
dt a n t a ns e c=d 22 ?? ??? tta ttaax x
.|t a ns e c|ln= Ctt ??
前页 结束后页
，
邻边
对边
得利用图所示三角形，易根据
a
ax
t
a
x
t
22
t a n
,s e c
?
??
?
).ln(
ln
ln d
1
1
22
1
22
22
aCC
Cxax
C
a
ax
a
x
x
ax
??
????
?
?
??
?
? ?
其中
a
x 22 ax ?
t
前页 结束后页
.
),( 2222
根号的是去掉被积函数中的函数，三角换元法的目
构成的有理和表示由其中 xaxxaxR ??
例 8— 例 10中的解题方法称为三角代换法或三角
换元法,
.dt a ns e cd,s e c,d ),(
ds e cd,t a n,d ),(
dc o sd,s i n,d ),(
22
222
22
tttaxtaxxaxxR
ttaxtaxxxaxR
ttaxtaxxxaxR
????
???
???
?
?
?
可令；可令；可令
一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如
下情形：
前页 结束后页
( 1 4 ) t a n d l n | c o s |,x x x C? ? ??
补充的积分公式：
( 1 5 ) c o t d l n | s i n |,x x x C???
( 1 6 ) s e c d l n | s e c t a n |,x x x x C? ? ??
22
d1( 19 ) ln | |,
2
x x a C
x a a x a
???
???
( 1 7 ) c s c d l n | c s c c o t |,x x x x C? ? ??
22
d1( 18 ) ar c t an,xx C
a x a a????
前页 结束后页
22
d( 2 0 ) a r c sin,xx C
aax ????
22
22
d( 2 1 ) ln | |,x x x a C
xa
? ? ? ?
??
22
22
d( 2 2 ) ln | |,x x x a C
xa
? ? ? ?
??
前页 结束后页
由函数乘积的微分公式
d( ) d( ) d ( )uv v u u v??,
移项得 d( ) d( ) d( )u v uv v u??,
d d ( 1 )????u v u v v u
对上式两端同时积分，得
公式 (1)或公式 (2)称为分部积分公式,
d d ( 2 )????u v ' x u v u ' v x
或
4.3 分部积分法
前页 结束后页
注意：
使用分部积分公式的目的是在于化难为
易，解题的关键在于恰当的选择 u和 v.
选 u的法则是,
指多弦多只选多 反多对多不选多
指弦同在可任选 一旦选中要固定
前页 结束后页
.d,
dedc o sds i n.1
vxu
xxxkxxxkxx
n
kxnnn
余下的为令
的不定积分，，，形如
?
???
.,dd
da r c s i n,da r c t a n,dln.2
uxxv
xxxxxxxxx
n
nnn
余下的为定积分，令
的不形如
?
???
即一般情况下,u与 dv按以下规律选择
.d
,d
dc o se,ds i ne.3
应保持一致和部积分公式，两次选择
因为要使用两次分，但应注意和任意选择
的不定积分，可以形如
vu
vu
xbxxbx axax ??
前页 结束后页
例 1 求,dsin? xxx
c o sddds i nd,则，，则，令 xvxuxxvxu ?????解
xxxxxxx ?? ???? d )c o s(c o s ds i n
.s i nc o s Cxxx ????
???? xxxx d c o sc o s
前页 结束后页
.de2? xxx例 2 求
d2ddd ee2 xx vxxuxvu x ????,，则，令解
]d[2d eeee 22 xxx xxxx xx ?? ???则
dd eee 22 ?? ?? xx xxx xxx则
ee dd d d xx vxuxvxu ????,，则，令
继续使用分部积分法
, )22 (
22
2
2
e
eee
Cx
Cx
x
x
x
xxx
????
????
前页 结束后页
例 3 求,dt a na r c? xxx
解 dda r c t a n,，令 xxvxu ??
?? ???? xxxxx xxx d1 12a r c t a n21 da r c t a n 2
2
2
d)1 11(21a r c t a n21 22 xx xx ???? ?
.a r c t a n 21 2a r c t a n21 2 Cxxxx ????
2d1 1d
2
2,则，则
x
x
vxu ???
前页 结束后页
.dln4? xxx例 4 求
)5(dlndln
5
4 ?? ? xx xxx解 ??? xx xx d
5
1ln
5
4
5
,25ln5
55
Cx xx ???
例 5 求,dln? xx
?? ?? )ln(dlndln xxxxxx解
.ln
dln
Cxxx
xxx
???
?? ?
前页 结束后页
.dc o se? xxx例 6 求
)(dc o s dc o s ee ?? ? xx xxx解 ??? xxx xx ds i nc o s ee
)(ds i nc o s ee xx xx ???
?? ?? xxxx xxx dc o ss i nc o s eee
,dc o ss i nc o sdc o s
eeee ??? ? xxxxxx xxxx －
这样便出现了循环公式
,s i nc o sdc o s2 1eee Cxxxx xxx ?? ??移项得
).2( )s i n( c o s2dc o s 1ee CCCxxxx
x
x ?????
Cxxxx
x
x ???? )c o s( s i n
2ds i n
ee类似地，有
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例 7 求,ds ina r c? xx
?? ?? )a r c s i n(da r c s i nda r c s i n xxxxxx解
? ??? xxxx x d1a r c s i n 2
.)1l n (
2
1
a r c t a nda r c t a n 2 Cxxxx x ?????
类似地，有,1a r c s i n
2 Cxx x ????
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例 8 求,dc o s? xx
，有，，则令 ttxxtx t d2d2 ???解
dc o s2dc o s ?? ? tttxx
2 s i n 2 c o st t t C? ? ?
2 s in 2 s in d t t t t?? ?
2 s i n 2 c o s,x x x C? ? ?
在计算积分时,有时需要同时使用换元积
分法与分部积分法,
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把常用的积分公式汇集成表，这种表
叫做积分表,积分表是按照被积函数的类
型来排列的,求积分时，可根据被积函数
的类型直接地或经过简单的变形后，在
表内查得所需的结果,
4.4 积分表的使用
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，Cbaxabxbax x bx ??????? 2ln1)( d 22
.|23|ln432 1)23( d2 Cxxxx xx ???????
.d)23(2? ? xxxx
现在 a=3,b=2,于是
例 1 求
被积函数为有理函数，属于积分表中的类型 (1)解
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.4d 2? ?xx x
.42ln21
4
d 2
2 Cx
x
xx
x ????
??
例 2 求
解 被积函数为无理函数，属于积分表中的类型 (2)
现令 a=2,得
,||ln1d
22
22 Cx
axa
aaxx
x ????
??
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例 3 求,d91 22 xxx ??
.a r c s i n811)12(8d1 2222 Cuuuu uuu ???????
再令 a=1,由公式 12得
d31d33,则，，令 uxuxux ???解
2 2 2 2 2 2
2
11 d 1 d = 1 d
2719 3x u ux x u u u u? ? ?? ? ?－
.)3a r c s i n (
8
1
1)118(
8
3
27
1
d1
9
9
22
22
Cx
x
x
xx
xx
??
?
?
??
? ????
??
再把 u=3x代回还原，得
