第 2章 导数与微分
1.1 导数的概念
1.2 导数的运算
1.3 微分
结束
前页 结束后页
2.1.1 引出导数概念的实例
例 1 平面曲线的切线斜率
曲线 的图像如图所示,
在曲线上任取两点
和, 作割线
，割线的斜率为
)(xfy ?
00()M x,y
),( 00 yyxxN ????
x
xfxxf
x
yk
MN ?
????
?
??? )()(t a n 00
MN
2.1 导数的概念
y
xO
()y f x?
? ?
M
N
T
x?
0x xx ??0
y?
P
前页 结束后页
这里 为割线 MN的倾角，设 是切线 MT的倾角，
当 时,点 N沿曲线趋于点 M。 若上式的
极限存在，记为 k，则此极限值 k就是所求切线
MT的斜率，即
x
xfxxf
x
y
k
x
x
x
?
???
?
?
?
?
??
??
??
??
)()(
lim
lim
t anlimt an
00
0
0
0
θ
? ?
0??x
y
xO
()y f x?
? ?
M
N
T
x?
0x xx ??0
y?
P
前页 结束后页
当 趋向于 0时，如果极限
设某产品的总成本 C是产量 Q的函数，即 C=C(Q ),当产
量 Q 从 变到 时, 总成本相应地改变量为
当产量从 变到 时, 总成本的平均变化率
0Q 0QQ??
00( ) ( )C C Q Q C Q? ? ? ? ?
Q0 0QQ??
00( ) ( )C Q Q C QC
QQ
? ? ?? ?
??
00
00
( ) ( )lim lim
QQ
C Q Q C QC
QQ? ? ? ?
? ? ?? ?
??
存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。0Q
0Q??
例 2 产品总成本的变化率
前页 结束后页
定义 设 y=f(x)在点 x0的某邻域内有定义，
属于该邻域，记
若
存在，则称其极限值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记为
xx ??0
),()( 00 xfxxfy ?????
????? xyx 0lim x xfxxf
x ?
???
??
)()(lim 00
0
.|dd,|dd,|)( 0000 xxxxxx xfxyy'xf' ??? 或或或
.)()(limlim)( 00
000 x
xfxxf
x
yxf'
xx ?
????
?
??
????
?或
2.1.2 导数的概念
前页 结束后页
导数定义与下面的形式等价：
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
若 y =f (x)在 x= x0 的导数存在，则称 y=f(x)在点 x0
处可导，反之称 y = f (x)在 x = x0 不可导，此时意
味着不存在,函数的可导性与函数的连续性的概念
都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映
了函数在一点处变化 (增大或减小 )的快慢,
前页 结束后页
三、左导数与右导数
左导数,,)()(lim)( 0000 x xfxxfxf x ? ????? ????
右导数,,)()(lim)( 0000 x xfxxfxf x ? ????? ????
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
,)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
???,
)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
???
定理 3.1 y = f (x)在 x =x0可导的充分必要条件是
y = f (x)在 x=x0 的左、右导数存在且相等,
前页 结束后页
三、导数的几何意义
当自变量 从变化到 时，曲线 y=f(x)
上的点由 变到 )).(,( 00 xxfxxM ????
此时 为割线两端点 M0,M
的横坐标之差，而
则为 M0,M 的纵坐标之差，
所以 即为过 M0,M两点
的割线的斜率,
0x
) ),(,( 000 xfxM
x?
y?
x
y
?
?
xx ??0
M0
M
0x xx ??0
前页 结束后页
曲线 y = f (x)在点 M0处的切线即为割线 M0M当 M沿曲
线 y=f(x)无限接近 时的极限位置 M0P,因而当
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率,即：
0xD ?
0 0( ) lim lim t a n t a nx
yf x k
x ?? ??? ? ?
?? ? ? ? ?
?
所以，导数 的几何意义
是曲线 y = f (x) 在点 M0(x0,f(x0))
处的切线斜率,
)( 0xf ?
M0
M
0x xx ??0
P
0M
? ?
前页 结束后页
设函数 y=f(x)在点处可导，则曲线 y=f(x)在
点处的切线方程为,而
当 时,曲线 在 的切线方程为
00
0
1( ) ( ),
()y f x x xfx? ? ? ??
0xx? (即法线平行 y轴 ).
0xx?
0 0 0( ) ( ) ( ),y f x f x x x?? ? ?
当 时,曲线 在 的法线方程为0( ) 0fx? ? ()fx 0M
而当 时,曲线 在 的法线方程为0( ) 0fx? ? ()fx 0M
0()fx? ?? ()fx 0M
前页 结束后页
例 3 求函数 的导数
解, (1)求增量,
(2)算比值,
(3)取极限,
同理可得,
特别地,,
2xy ?
( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?
2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
xxxy ????? 2
xxxxyy
xx
2)2(limlim
00
????????
????
为正整数）nnxx nn ()( 1???
11( ) ( )xn? ??
前页 结束后页
例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程,
解,因为,由导数几何意义,曲线
在点 的切线与法线的斜率分别为,
于是所求的切线方程为,
即
法线方程为,
3xy ? )8,2(
23 3)( xx ??
3xy ?
)8,2(
12
11,12)3(
1
22
2
21 ???????? ?? kkxyk xx
)2(128 ??? xy
01612 ??? yx
)2(1218 ???? xy
即
09812 ??? yx
前页 结束后页
2.1.4 可导性与连续性的关系
定理 2 若函数 y = f (x)在点 x0处可导,则 f(x)在点 x0 处连续,
证 因为 f (x)在点 x0处可导，故有
0 0( ) lim,x
yfx
x??
?? ?
?
根据函数极限与无穷小的关系,可得,
0 0( ) l i m 0,x
y fx
x ?? ??
? ?? ? ?
?, 其 中
两端乘以 得, 0()y f x x x??? ? ? ? ? ? ?x?
由此可见,
000li m li m ( ( ) ) 0,xx y f x x x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
即函数 y = f (x)在点 x0 处连续,证毕,
前页 结束后页
例 5 证明函数 在 x=0处连续但不可导,||yx?
证 因为
0lim | | 0x x? ?
所以 在 x =0连续||yx?
00
( 0) l i m l i m 1
xx
yxf
xx??? ? ? ? ?
??? ???
1limlim)0(
00
?????????? ??
????? x
x
x
yf
xx
而
即函数 在 x=0处左右导数不相等,从而在||yx? x=0不可导,
由此可见，函数在某点连续是函数在该点可 导的必要
条件，但不是充分条件
即可导定连续,连续不一定可导,
前页 结束后页
设函数 u(x)与 v(x) 在点 x处均可导，则,定理一
);()()]()()[1( ''' xvxuxvxu ???
),()()()()]()()[2( ''' xvxuxvxuxvxu ??
uCCuCCxv ???? ) (,()(,则为常数）特别地
2)]([
)()()()(
)(
)()3(
xv
xvxuxvxu
xv
xu ????
?
?
?
?
?
?
?
( ) 1,ux ?
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
2.2 导数的运算
特别地,如果
可得公式
2
1 ( ) ( ( ) 0 )
( ) [ ( ) ]
vx vx
v x v x
? ??? ?
????
??
前页 结束后页
wvuwvu ????????? )(
注：法则（ 1）（ 2）均可推广到有限
多个可导函数的情形
wuvwvuvwuu v w ???????)(
例：设 u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点 x处均
可导，则
前页 结束后页
)3lns i n( 3 ?????? xexy x解：
)3( l n)( s i n)()( 3 ???????? xex x
xex x c o s3 2 ???
例 2 设 5 2,xy x y ?? 求
)(52)(5 ???? xx 2xx
解,)25( ??? xxy
2ln25
2
25 xx x
x
???
yxexy x ?????,求设 3lns i n3例 1
前页 结束后页
)( t a n ??? xy )
c o s
s in( ??
x
x解：
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n ????
x
xx
2
22
c o s
s i nc o s ?? x
x
2
2 s e cc o s
1 ??
即 2( t a n ) s e cxx? ?
2( c o t ) c s cxx? ??类似可得
例 3 求 y = tanx 的导数
前页 结束后页
)
c o s
1( ??
x
x
x
2c o s
s in?
)( s e c ??? xy解：
x
x
t a n
c o s
1 ??
xx t a ns e c ??
即
( s e c ) s e c t a nx x x? ??
( c s c ) c s c c o tx x x? ? ? ?
类似可得
例 4 求 y = secx 的导数
前页 结束后页
基本导数公式表
为常数）CC (0).(1 ??
为常数）?? ?? ().(2 1??? xx
axxa ln
1),( l o g3 ?? 1
4, ( ln )x x? ?
xx ee ??).(6
xx c o s),( s i n7 ?? xx s i n),( c o s8 ???
2.2.2 基本初等函数的导数
aaa xx ln)(5 ??.
前页 结束后页
xxx 2
2
c o s
1s e c),( t a n9 ???
xxx t a ns e c),( s e c11 ?? xxx c o tc s c),( c s c12 ???
21
1),( a r c s i n13
x
x
?
??
21
1),( a r c c o s14
x
x
?
???
21
1),( a r c t a n15
xx ??
?
2
116
1,( a r c c o t )x x? ?? ?
xx c o s h),( s i n h17 ?? xx s i n h),( c o s h18 ??
xxx 2
2
s i n
1c s c),( c o t10 ?????
前页 结束后页
)s i n2()s i n2(3 222 ???? xxxx
)c o s4()s i n2(3 22 xxxx ???
])s i n2[( 32 ???? xxy解：
22
)]c o s4()s i n2(3[ 22 ?? ?? ???? xx xxxxy
2
2
)1
2
(6 ?? ππ
2
,)s i n2( 32 ????? xyxxy 求设
例 5
前页 结束后页
定理二 )( xu ??如果函数 在 x处可导，而函数
y=f(u)在对应的 u处可导,那么复合函数
)]([ xfy ?? 在 x处可导，且有
d y d y d u
d x d u d x??
或
x u xy y u? ? ???
对于多次复合的函数，其求导公式类似，
此法则也称链导法
注：
2.2.3 复合函数的导数
前页 结束后页
xu xuy )1()( s i n 2 ?????
xu 2c o s ?? )1c o s (2 2xx ??
例 7 yxy ??? 求,2lns i n 2
2
2lnc o s
2
2
?
??
x
xx
x
xx
xy 2
22
1
2
12lnc o s
22
2 ?
?
?
?
????
解：
解,复合而成可看作 22 1,s i n)1s i n ( xuuyxy ?????
yxy ??? 求),1s i n ( 2例 6
前页 结束后页
定理三
,0)( ?? y?且
)( yx ??如果单调连续函数 在某区间内可导，
则它的反函数 y=f(x)在对应的区间
内可导，且有
1dy dxdydx ?
1()
()fx y?? ? ?
或
证 因为 的反函数( ) ( )y f x x y???是
( ) [ ( ) ]x y f x????所 以 有
dx
dy
dy
dx ??1上式两边对 x求导得 xy f ??? ?1 或
dy
dx
dx
dy 1?或 1()
()fx y?? ? ?所 以 ???
?
???
? ?? 0)( y
dy
dx ?
2.2.4 反函数的求导法则
前页 结束后页
）内单调且可导，在区间（而 2,2s i n ???? yx
,0c o s)( s i n ??? yy y且
解,y = arcsinx 是 x = siny 的反函数
因此在对应的区间（ -1,1）内有
)( s i n
1)( ar c s i n
??? yx x ycos
1?
y2s in1
1
?
?
21
1
x?
?
2
1( a r c s i n )
1x
x
x
? ?
?
即
同理
2
1( a r c c o s )
1x
x
x
? ??
? 2
1( a r c t a n )
1x x? ? ?
2
1( c o t )
1a r c x x? ?? ?
求函数 y = arcsinx 的导数例 8
前页 结束后页
2
2 x
y
xy ey
ex
?? ?
?
1,隐函数的导数
例 9 求方程 所确定的函数的导数
解,方程两端对 x求导得
0)2( 2 ??????? xy eyxxyye
2
2
xe
exy
dx
dyy
y
x
?
????
)0( 2 ?? xe y
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把 y
看成 x的函数，方程两端同时对 x求导，然后解出 。
(,)F x y
y?
2 0yxe x y e? ? ?
即
前页 结束后页
例 10
dx
dyyxy 求设 ),2a r c t a n ( ??
解,两边对 x求导得
)21()2(1 1 2 yyxy ??????
1)2(
1
2 ???? yxy
得解出,y ?
前页 结束后页
)1l n ( 2)1( xxx exyy ????? 2可以写成函数解一
][ )1l n ( 2 ???? ?? xxey
])1l n ([ 2)1l n ( 2 ???? ?? xxe xx
??
?
??
? ??
?
??? ?? )1(
1
)1l n ( 222)1l n (
2
x
x
xxe xx
?
?
?
?
?
?
?
???? 2
2
22
1
2
)1l n ()1(
x
x
xx x
yxy x ??? 求设,)1( 2例 11
前页 结束后页
)1l n (ln 2xxy ???
两边对 x求导，由链导法有
xxxxyy 21)1l n (1 22 ??????
2
2
2
1
2)1l n (
x
xx
????
?
?
?
?
?
?
?
?????? 2
2
22
1
2)1l n ()1(
x
xxxy x
解二称为 对数求导法,可用来求幂指函数和多个因
子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
注：
两边取自然对数将函数 xxy )1( 2??解二
前页 结束后页
)1l n (21)43l n (21)1l n (21ln 2 ?????? xxxy
解,将函数取自然对数得
)1(2
1
)43(2
3
1
1
2 ??????? xxx
xy
y
两边对 x求导得
2
2
31( 1 ) ( 3 4 ) ( 1 )
1 2 ( 3 4 ) 2 ( 1 )
xy x x x
x x x
??? ? ? ? ? ? ?
??? ? ???所 以
yxxxy ????? 求设,)1)(43)(1( 2例 12
前页 结束后页
且 )(tx ??)(),( tytx ?? ??设 均可导,具有单值连续
反函数 )(1 xt ?? ?, 则参数方程确定的函数可看成
)( ty ??
与 )(1 xt ?? ? 复合而成的函数,根据求导法则有：
求得 y对 x的导数
对参数方程所确定的函数 y=f(x),可利用参数方程直接
d y d y d t
d x d t d x??
dt
dxdt
dy 1??
)(
1)(
tt ?? ????
()
()
t
t
?
?
??
?
此即参数方程所确定函数的求导公式
2.参数方程所确定的函数的导数
变量 y与 x之间的函数关系有时是由参数方程
)(
)({
tx
ty
?
?
?
?
确定的，其中 t 称为参数
前页 结束后页
解,曲线上对应 t =1的点（ x,y)为（ 0,0）,
曲线 t =1在处的切线斜率为
1?
?
tdx
dyk
1
2
2
31
?
??
t
t
t
122 ???
于是所求的切线方程为 y =－ x
12
3{
??
??
tx
tty
求曲线 在 t =1处的切线方程例 13
前页 结束后页
??????? dxdydxddx yd 2
2即
,)( ????? yy ])([)( ????? xfxf 或
2
2 )(
dx
xfd
,y??记作 ),(xf ?? 2
2
dx
yd 或
二阶导数,)( xfy ???如果函数 f(x)的导函数 仍是 x的可导
函数，就称 )( xfy ??? 的导数为 f(x)的二阶导数，
n阶导数,( ) ( )( ) ( )n nn
n
d d d d yf x f x y
d x d x d x d x? ? ?
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
高阶导数的计算,运用导数运算法则与基本公式将函
数逐次求导
2.2.6 高阶导数
前页 结束后页
,ln aay x??解,nxn aay )( l n)( ?,)( l n 2aay x???,
特别地,)( xx ee ?? xnx ee ?)()(,)( xx ee ???,
例 15 )(,s i n nyxy 求设 ?
?
??
?
??
? ???? )
2
s i n ( ?xy )2c o s (
??? x )
22s i n (
???? x
解,)( s i n ??? xy xcos?
)2s i n ( ??? x
?
??
?
??
? ?????? )
2
2s i n ( ?xy )23s i n ( ???? x……
)2s i n ()( ???? nxy n 即 ()( s i n ) s i n ( )2nx x n ?? ? ?
同理
()( c o s ) c o s ( )
2
nx x n ?? ? ?
)(,nx yay 求设 ?例 14
前页 结束后页
解 如图，正方形金属片的面
积 A 与边长 x 的函数关 系
为 A = x2,受热后当边长由
x0伸长到 x0+ 时,面积 A
相应的增量为
x?
2.3.1 微分的概念
例 1 设有一个边长为 x0的正方形金属片，受热后它的
边长伸长了,问其面积增加了多少？x?
202020 )(2)( xxxxxxA ?????????
2.3 微分
前页 结束后页
的线性函数 同阶的无穷小；时与是当 xxxx ???? 0,2
0
从上式可以看出,xA ?? 是分成两部分：第一部分 xA ?? 是分成两部分：第一部分
高阶的无穷小。时比是当第二部分 xxx ???? 0,)( 2
这表明 的近似值：数作为很小时，可用其线性函 Ax ??
02.A x x? ? ?
这部分就是面积 A? 的增量的主要部分（线性主部）
,2)()( 020 0 xxx xx ???? ?A因为
所以上式可写成
0( ),A A x x?? ? ?
前页 结束后页
)()( 00 xfxxfy ????? 可以表示为
定义 设函数 )(xfy ? 在点
0x
的某邻域内有定义，
处的增量
0x
在点)(xf如果函数
),( xoxAy ??????
00 d | d |,x x x xy y A x,即?? ? ? ?
于是,（ 2.3.1)式可写成
0xxdAA ???
处的微分，0x)(xfxA ??可微,称为 在点
0x
处在点)(xf高阶的无穷小，则称函数
时0??x)( xo ?x?其中 A是与 无关的常数,是当
比 x?
记为
前页 结束后页
由微分定义，函数 f (x)在点 x0处可微与可导等价，
且
0()A f x??
,因而 )(xf 在点 x0 处的微分可写成
0 0d ( )xxy f x x?
???
0 0d ( ) dxxy f x x? ??
于是函数通常把 x? 记为,称自变量的微分，
上式两端同除以自变量的微分，得 d
()d y fxx ??
因此导数也称为微商．
可微函数：如果函数在区间 (a,b)内每一点都可微，
则称该函数在 (a,b)内可微。
d ( ) dy f x x??
f (x)在点 x0 处的微分又可写成
d x
f(x) 在 (a,b)内任一点 x处的微分记为
前页 结束后页
解,0201.0101.1)( 2222 ???????? xxxy
例 2 求函数 y=x2 在 x=1,01.0??x 时的改变量和微分。
于是
11
0, 0 1 0, 0 1
d 2 0, 0 2xx
xx
y x x??
? ? ? ?
? ? ?
面积的微分为 d 2,
rs s r r r??? ? ? ?
.)(2)( 222 rrrrrrs ????????? ????
解：面积的增量
面积的增量与微分．
r?当半径增大2rs ??例 3 半径为 r 的圆的面积 时，求
2d ( ) 2y x x x x?? ? ? ?在点 1?x 处，
前页 结束后页
2.3.2 微分的几何意义
x?当自变量 x有增量 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增量
t a n ( ) dP x f x x y? ?? ? ? ? ? ?Q
(,)M x y
因此，微分 d ( )y f x x???
几何上表示当 x有增量 x? 时，曲线 ()y f x? 在对应点
处的切线的纵坐标的增量,y?用 dy 近似代替
dy y P N? ? ?就是用 QP近似代替 QN，并且
t a n ( )fx? ??
设函数 y = f (x)的图形如下图所示,过曲线 y = f (x)上一点
M(x,y)处作切线 MT,设 MT的倾角为 则,?
y?
()y f x?
M
N
O x
y
?
dy
x xx??
Q
P
前页 结束后页
2.3.3 微分的运算法则
1,微分的基本公式：
( 1 ) d 0 ( )?CC 为 常 数
1( 2) d d ( ) aax a x x a?? 为 常 数
( 4) d e e dxx x?
1( 6 ) d ln dxx
x?
( 8 ) d c o s s in dx x x??
( 3) d l n d ( 0 1 )xxa a a x a,a? ? ?
11( 5 ) d lo g d ( 0 1 )
lna x x a,axa? ? ? ?
( 7 ) d s in c o s d x x x?
前页 结束后页
2
1( 1 6 ) d a r c c o t d
1xx x?? ?
2
1( 1 4 ) d a r c c o s d
1
xx
x
??
?2
1( 1 3 ) dar c sin d
1
xx
x
?
?
2
1( 1 5 ) d a r c t a n d
1xx x? ?
2( 1 0) d c o t c s c dx x x??2( 9) d t a n s e dx x x?
( 1 2 ) d c s c c s c c o t dx x x x??( 1 1 ) d s e c s e c t a n dx x x x?
续前表
前页 结束后页
2,微分的四则运算法则
设 u=u(x),v=v(x)均可微,则
d( ) d d ;u v u v? ? ?
d( ) d d ;u v v u u v??
d ( ) dC u C u? （ C 为常数）；
2
ddd u v u u v
v v
??? ?
????
0( ).v ?
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3．复合函数的微分法则
都是可导函数，则( ) ( )y f u u x???，设函数
的微分为)]([ xfy ??复合函数
? ?? ?d ( ) d ( ) ( ) dxy f x x f u x x??? ????
利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐
函数的微分,
这就是一阶微分形式不变性,
可见，若 y=f(u)可微，不论 u是自变量还是中间变量，
d ( ) dy f u u??总有
而 d ( ) du x x? ?? uufy d)(d ??于是
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解,)32(
322
1)32( 2
2
2 ??
?
???? x
x
xxydd
232
6
x
x
?
?
2
6d d,
23
xyx
x
?
?
解：对方程两边求导，得 04222 ?????? yyyxyx
)( xfy ?
dy的导数 ddyx 与微分
例 5 求由方程 122 22 ??? yxyx 所确定的隐函数
即导数为
xy
yxy
?
???
微分为 ddxyyx
yx
??
?
例 4,,32 2 y
x
yxy d
d
d 与求设 ??
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由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个
不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即
可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常
把函数的导数与微分的运算统称为微分法．
在高等数学中，把研究导数和微分的有关内
容称为微分学．
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2.3.4 微分在近似计算中的应用
0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x?? ? ? ? ? ? ? ?
或写成 0 0 0( ) ( ) ( ),f x x f x f x x?? ? ? ? ?（ 1）
上式中令 0
0 ??? xx
（ 2） 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ),f x f x f x x x?? ? ? ?
，则
特别地,当 x0=0,x 很小时,有
( ) ( 0) ( 0)f x f f x???（ 3）
公式 (1) (2) (3)可用来求函数 f(x)的近似值。
0( ) 0fx? ?
，且 x? 很小时，我们有近似公式
在 x0 点的导数()y f x?由微分的定义可知，当函数
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注,在求 )(xf 的近似值时，要选择适当的
0x
，使
)( 0xf, )( 0xf ? 容易求得，且
0xx ?
较小．
应用（ 3）式可以推得一些常用的近似公式,当
x 很小时,有
(1) xx ?sin （ ｘ 用弧度作单位）
(3) xe x ?? 1
(4) xx ?? )1ln ( (5)
xnxn 111 ???
(2) xx ?ta n (ｘ 用弧度作单位）
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例 6,46s i n 的近似值计算 ?
则
1 8 010
???? ?xx
解, 设,s in)( xxf ? 取 ?46?x,
4450
??? ?x
于是由（ 2）式得
).(coss i ns i n 000 xxxxx ????
719.01802 22 2 ???? ?
1804c o s4s i n46s i n
??? ????即
1.1 导数的概念
1.2 导数的运算
1.3 微分
结束
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2.1.1 引出导数概念的实例
例 1 平面曲线的切线斜率
曲线 的图像如图所示,
在曲线上任取两点
和, 作割线
，割线的斜率为
)(xfy ?
00()M x,y
),( 00 yyxxN ????
x
xfxxf
x
yk
MN ?
????
?
??? )()(t a n 00
MN
2.1 导数的概念
y
xO
()y f x?
? ?
M
N
T
x?
0x xx ??0
y?
P
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这里 为割线 MN的倾角，设 是切线 MT的倾角，
当 时,点 N沿曲线趋于点 M。 若上式的
极限存在，记为 k，则此极限值 k就是所求切线
MT的斜率，即
x
xfxxf
x
y
k
x
x
x
?
???
?
?
?
?
??
??
??
??
)()(
lim
lim
t anlimt an
00
0
0
0
θ
? ?
0??x
y
xO
()y f x?
? ?
M
N
T
x?
0x xx ??0
y?
P
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当 趋向于 0时，如果极限
设某产品的总成本 C是产量 Q的函数，即 C=C(Q ),当产
量 Q 从 变到 时, 总成本相应地改变量为
当产量从 变到 时, 总成本的平均变化率
0Q 0QQ??
00( ) ( )C C Q Q C Q? ? ? ? ?
Q0 0QQ??
00( ) ( )C Q Q C QC
? ? ?? ?
??
00
00
( ) ( )lim lim
C Q Q C QC
QQ? ? ? ?
? ? ?? ?
??
存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。0Q
0Q??
例 2 产品总成本的变化率
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定义 设 y=f(x)在点 x0的某邻域内有定义，
属于该邻域，记
若
存在，则称其极限值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记为
xx ??0
),()( 00 xfxxfy ?????
????? xyx 0lim x xfxxf
x ?
???
??
)()(lim 00
0
.|dd,|dd,|)( 0000 xxxxxx xfxyy'xf' ??? 或或或
.)()(limlim)( 00
000 x
xfxxf
x
yxf'
xx ?
????
?
??
????
?或
2.1.2 导数的概念
前页 结束后页
导数定义与下面的形式等价：
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
若 y =f (x)在 x= x0 的导数存在，则称 y=f(x)在点 x0
处可导，反之称 y = f (x)在 x = x0 不可导，此时意
味着不存在,函数的可导性与函数的连续性的概念
都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映
了函数在一点处变化 (增大或减小 )的快慢,
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三、左导数与右导数
左导数,,)()(lim)( 0000 x xfxxfxf x ? ????? ????
右导数,,)()(lim)( 0000 x xfxxfxf x ? ????? ????
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
,)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
???,
)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
???
定理 3.1 y = f (x)在 x =x0可导的充分必要条件是
y = f (x)在 x=x0 的左、右导数存在且相等,
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三、导数的几何意义
当自变量 从变化到 时，曲线 y=f(x)
上的点由 变到 )).(,( 00 xxfxxM ????
此时 为割线两端点 M0,M
的横坐标之差，而
则为 M0,M 的纵坐标之差，
所以 即为过 M0,M两点
的割线的斜率,
0x
) ),(,( 000 xfxM
x?
y?
x
y
?
?
xx ??0
M0
M
0x xx ??0
前页 结束后页
曲线 y = f (x)在点 M0处的切线即为割线 M0M当 M沿曲
线 y=f(x)无限接近 时的极限位置 M0P,因而当
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率,即：
0xD ?
0 0( ) lim lim t a n t a nx
yf x k
x ?? ??? ? ?
?? ? ? ? ?
?
所以，导数 的几何意义
是曲线 y = f (x) 在点 M0(x0,f(x0))
处的切线斜率,
)( 0xf ?
M0
M
0x xx ??0
P
0M
? ?
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设函数 y=f(x)在点处可导，则曲线 y=f(x)在
点处的切线方程为,而
当 时,曲线 在 的切线方程为
00
0
1( ) ( ),
()y f x x xfx? ? ? ??
0xx? (即法线平行 y轴 ).
0xx?
0 0 0( ) ( ) ( ),y f x f x x x?? ? ?
当 时,曲线 在 的法线方程为0( ) 0fx? ? ()fx 0M
而当 时,曲线 在 的法线方程为0( ) 0fx? ? ()fx 0M
0()fx? ?? ()fx 0M
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例 3 求函数 的导数
解, (1)求增量,
(2)算比值,
(3)取极限,
同理可得,
特别地,,
2xy ?
( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?
2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
xxxy ????? 2
xxxxyy
xx
2)2(limlim
00
????????
????
为正整数）nnxx nn ()( 1???
11( ) ( )xn? ??
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例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程,
解,因为,由导数几何意义,曲线
在点 的切线与法线的斜率分别为,
于是所求的切线方程为,
即
法线方程为,
3xy ? )8,2(
23 3)( xx ??
3xy ?
)8,2(
12
11,12)3(
1
22
2
21 ???????? ?? kkxyk xx
)2(128 ??? xy
01612 ??? yx
)2(1218 ???? xy
即
09812 ??? yx
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2.1.4 可导性与连续性的关系
定理 2 若函数 y = f (x)在点 x0处可导,则 f(x)在点 x0 处连续,
证 因为 f (x)在点 x0处可导，故有
0 0( ) lim,x
yfx
x??
?? ?
?
根据函数极限与无穷小的关系,可得,
0 0( ) l i m 0,x
y fx
x ?? ??
? ?? ? ?
?, 其 中
两端乘以 得, 0()y f x x x??? ? ? ? ? ? ?x?
由此可见,
000li m li m ( ( ) ) 0,xx y f x x x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
即函数 y = f (x)在点 x0 处连续,证毕,
前页 结束后页
例 5 证明函数 在 x=0处连续但不可导,||yx?
证 因为
0lim | | 0x x? ?
所以 在 x =0连续||yx?
00
( 0) l i m l i m 1
xx
yxf
xx??? ? ? ? ?
??? ???
1limlim)0(
00
?????????? ??
????? x
x
x
yf
xx
而
即函数 在 x=0处左右导数不相等,从而在||yx? x=0不可导,
由此可见，函数在某点连续是函数在该点可 导的必要
条件，但不是充分条件
即可导定连续,连续不一定可导,
前页 结束后页
设函数 u(x)与 v(x) 在点 x处均可导，则,定理一
);()()]()()[1( ''' xvxuxvxu ???
),()()()()]()()[2( ''' xvxuxvxuxvxu ??
uCCuCCxv ???? ) (,()(,则为常数）特别地
2)]([
)()()()(
)(
)()3(
xv
xvxuxvxu
xv
xu ????
?
?
?
?
?
?
?
( ) 1,ux ?
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
2.2 导数的运算
特别地,如果
可得公式
2
1 ( ) ( ( ) 0 )
( ) [ ( ) ]
vx vx
v x v x
? ??? ?
????
??
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wvuwvu ????????? )(
注：法则（ 1）（ 2）均可推广到有限
多个可导函数的情形
wuvwvuvwuu v w ???????)(
例：设 u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点 x处均
可导，则
前页 结束后页
)3lns i n( 3 ?????? xexy x解：
)3( l n)( s i n)()( 3 ???????? xex x
xex x c o s3 2 ???
例 2 设 5 2,xy x y ?? 求
)(52)(5 ???? xx 2xx
解,)25( ??? xxy
2ln25
2
25 xx x
x
???
yxexy x ?????,求设 3lns i n3例 1
前页 结束后页
)( t a n ??? xy )
c o s
s in( ??
x
x解：
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n ????
x
xx
2
22
c o s
s i nc o s ?? x
x
2
2 s e cc o s
1 ??
即 2( t a n ) s e cxx? ?
2( c o t ) c s cxx? ??类似可得
例 3 求 y = tanx 的导数
前页 结束后页
)
c o s
1( ??
x
x
x
2c o s
s in?
)( s e c ??? xy解：
x
x
t a n
c o s
1 ??
xx t a ns e c ??
即
( s e c ) s e c t a nx x x? ??
( c s c ) c s c c o tx x x? ? ? ?
类似可得
例 4 求 y = secx 的导数
前页 结束后页
基本导数公式表
为常数）CC (0).(1 ??
为常数）?? ?? ().(2 1??? xx
axxa ln
1),( l o g3 ?? 1
4, ( ln )x x? ?
xx ee ??).(6
xx c o s),( s i n7 ?? xx s i n),( c o s8 ???
2.2.2 基本初等函数的导数
aaa xx ln)(5 ??.
前页 结束后页
xxx 2
2
c o s
1s e c),( t a n9 ???
xxx t a ns e c),( s e c11 ?? xxx c o tc s c),( c s c12 ???
21
1),( a r c s i n13
x
x
?
??
21
1),( a r c c o s14
x
x
?
???
21
1),( a r c t a n15
xx ??
?
2
116
1,( a r c c o t )x x? ?? ?
xx c o s h),( s i n h17 ?? xx s i n h),( c o s h18 ??
xxx 2
2
s i n
1c s c),( c o t10 ?????
前页 结束后页
)s i n2()s i n2(3 222 ???? xxxx
)c o s4()s i n2(3 22 xxxx ???
])s i n2[( 32 ???? xxy解：
22
)]c o s4()s i n2(3[ 22 ?? ?? ???? xx xxxxy
2
2
)1
2
(6 ?? ππ
2
,)s i n2( 32 ????? xyxxy 求设
例 5
前页 结束后页
定理二 )( xu ??如果函数 在 x处可导，而函数
y=f(u)在对应的 u处可导,那么复合函数
)]([ xfy ?? 在 x处可导，且有
d y d y d u
d x d u d x??
或
x u xy y u? ? ???
对于多次复合的函数，其求导公式类似，
此法则也称链导法
注：
2.2.3 复合函数的导数
前页 结束后页
xu xuy )1()( s i n 2 ?????
xu 2c o s ?? )1c o s (2 2xx ??
例 7 yxy ??? 求,2lns i n 2
2
2lnc o s
2
2
?
??
x
xx
x
xx
xy 2
22
1
2
12lnc o s
22
2 ?
?
?
?
????
解：
解,复合而成可看作 22 1,s i n)1s i n ( xuuyxy ?????
yxy ??? 求),1s i n ( 2例 6
前页 结束后页
定理三
,0)( ?? y?且
)( yx ??如果单调连续函数 在某区间内可导，
则它的反函数 y=f(x)在对应的区间
内可导，且有
1dy dxdydx ?
1()
()fx y?? ? ?
或
证 因为 的反函数( ) ( )y f x x y???是
( ) [ ( ) ]x y f x????所 以 有
dx
dy
dy
dx ??1上式两边对 x求导得 xy f ??? ?1 或
dy
dx
dx
dy 1?或 1()
()fx y?? ? ?所 以 ???
?
???
? ?? 0)( y
dy
dx ?
2.2.4 反函数的求导法则
前页 结束后页
）内单调且可导，在区间（而 2,2s i n ???? yx
,0c o s)( s i n ??? yy y且
解,y = arcsinx 是 x = siny 的反函数
因此在对应的区间（ -1,1）内有
)( s i n
1)( ar c s i n
??? yx x ycos
1?
y2s in1
1
?
?
21
1
x?
?
2
1( a r c s i n )
1x
x
x
? ?
?
即
同理
2
1( a r c c o s )
1x
x
x
? ??
? 2
1( a r c t a n )
1x x? ? ?
2
1( c o t )
1a r c x x? ?? ?
求函数 y = arcsinx 的导数例 8
前页 结束后页
2
2 x
y
xy ey
ex
?? ?
?
1,隐函数的导数
例 9 求方程 所确定的函数的导数
解,方程两端对 x求导得
0)2( 2 ??????? xy eyxxyye
2
2
xe
exy
dx
dyy
y
x
?
????
)0( 2 ?? xe y
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把 y
看成 x的函数，方程两端同时对 x求导，然后解出 。
(,)F x y
y?
2 0yxe x y e? ? ?
即
前页 结束后页
例 10
dx
dyyxy 求设 ),2a r c t a n ( ??
解,两边对 x求导得
)21()2(1 1 2 yyxy ??????
1)2(
1
2 ???? yxy
得解出,y ?
前页 结束后页
)1l n ( 2)1( xxx exyy ????? 2可以写成函数解一
][ )1l n ( 2 ???? ?? xxey
])1l n ([ 2)1l n ( 2 ???? ?? xxe xx
??
?
??
? ??
?
??? ?? )1(
1
)1l n ( 222)1l n (
2
x
x
xxe xx
?
?
?
?
?
?
?
???? 2
2
22
1
2
)1l n ()1(
x
x
xx x
yxy x ??? 求设,)1( 2例 11
前页 结束后页
)1l n (ln 2xxy ???
两边对 x求导，由链导法有
xxxxyy 21)1l n (1 22 ??????
2
2
2
1
2)1l n (
x
xx
????
?
?
?
?
?
?
?
?????? 2
2
22
1
2)1l n ()1(
x
xxxy x
解二称为 对数求导法,可用来求幂指函数和多个因
子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
注：
两边取自然对数将函数 xxy )1( 2??解二
前页 结束后页
)1l n (21)43l n (21)1l n (21ln 2 ?????? xxxy
解,将函数取自然对数得
)1(2
1
)43(2
3
1
1
2 ??????? xxx
xy
y
两边对 x求导得
2
2
31( 1 ) ( 3 4 ) ( 1 )
1 2 ( 3 4 ) 2 ( 1 )
xy x x x
x x x
??? ? ? ? ? ? ?
??? ? ???所 以
yxxxy ????? 求设,)1)(43)(1( 2例 12
前页 结束后页
且 )(tx ??)(),( tytx ?? ??设 均可导,具有单值连续
反函数 )(1 xt ?? ?, 则参数方程确定的函数可看成
)( ty ??
与 )(1 xt ?? ? 复合而成的函数,根据求导法则有：
求得 y对 x的导数
对参数方程所确定的函数 y=f(x),可利用参数方程直接
d y d y d t
d x d t d x??
dt
dxdt
dy 1??
)(
1)(
tt ?? ????
()
()
t
t
?
?
??
?
此即参数方程所确定函数的求导公式
2.参数方程所确定的函数的导数
变量 y与 x之间的函数关系有时是由参数方程
)(
)({
tx
ty
?
?
?
?
确定的，其中 t 称为参数
前页 结束后页
解,曲线上对应 t =1的点（ x,y)为（ 0,0）,
曲线 t =1在处的切线斜率为
1?
?
tdx
dyk
1
2
2
31
?
??
t
t
t
122 ???
于是所求的切线方程为 y =－ x
12
3{
??
??
tx
tty
求曲线 在 t =1处的切线方程例 13
前页 结束后页
??????? dxdydxddx yd 2
2即
,)( ????? yy ])([)( ????? xfxf 或
2
2 )(
dx
xfd
,y??记作 ),(xf ?? 2
2
dx
yd 或
二阶导数,)( xfy ???如果函数 f(x)的导函数 仍是 x的可导
函数，就称 )( xfy ??? 的导数为 f(x)的二阶导数，
n阶导数,( ) ( )( ) ( )n nn
n
d d d d yf x f x y
d x d x d x d x? ? ?
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
高阶导数的计算,运用导数运算法则与基本公式将函
数逐次求导
2.2.6 高阶导数
前页 结束后页
,ln aay x??解,nxn aay )( l n)( ?,)( l n 2aay x???,
特别地,)( xx ee ?? xnx ee ?)()(,)( xx ee ???,
例 15 )(,s i n nyxy 求设 ?
?
??
?
??
? ???? )
2
s i n ( ?xy )2c o s (
??? x )
22s i n (
???? x
解,)( s i n ??? xy xcos?
)2s i n ( ??? x
?
??
?
??
? ?????? )
2
2s i n ( ?xy )23s i n ( ???? x……
)2s i n ()( ???? nxy n 即 ()( s i n ) s i n ( )2nx x n ?? ? ?
同理
()( c o s ) c o s ( )
2
nx x n ?? ? ?
)(,nx yay 求设 ?例 14
前页 结束后页
解 如图，正方形金属片的面
积 A 与边长 x 的函数关 系
为 A = x2,受热后当边长由
x0伸长到 x0+ 时,面积 A
相应的增量为
x?
2.3.1 微分的概念
例 1 设有一个边长为 x0的正方形金属片，受热后它的
边长伸长了,问其面积增加了多少？x?
202020 )(2)( xxxxxxA ?????????
2.3 微分
前页 结束后页
的线性函数 同阶的无穷小；时与是当 xxxx ???? 0,2
0
从上式可以看出,xA ?? 是分成两部分：第一部分 xA ?? 是分成两部分：第一部分
高阶的无穷小。时比是当第二部分 xxx ???? 0,)( 2
这表明 的近似值：数作为很小时，可用其线性函 Ax ??
02.A x x? ? ?
这部分就是面积 A? 的增量的主要部分（线性主部）
,2)()( 020 0 xxx xx ???? ?A因为
所以上式可写成
0( ),A A x x?? ? ?
前页 结束后页
)()( 00 xfxxfy ????? 可以表示为
定义 设函数 )(xfy ? 在点
0x
的某邻域内有定义，
处的增量
0x
在点)(xf如果函数
),( xoxAy ??????
00 d | d |,x x x xy y A x,即?? ? ? ?
于是,（ 2.3.1)式可写成
0xxdAA ???
处的微分，0x)(xfxA ??可微,称为 在点
0x
处在点)(xf高阶的无穷小，则称函数
时0??x)( xo ?x?其中 A是与 无关的常数,是当
比 x?
记为
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由微分定义，函数 f (x)在点 x0处可微与可导等价，
且
0()A f x??
,因而 )(xf 在点 x0 处的微分可写成
0 0d ( )xxy f x x?
???
0 0d ( ) dxxy f x x? ??
于是函数通常把 x? 记为,称自变量的微分，
上式两端同除以自变量的微分，得 d
()d y fxx ??
因此导数也称为微商．
可微函数：如果函数在区间 (a,b)内每一点都可微，
则称该函数在 (a,b)内可微。
d ( ) dy f x x??
f (x)在点 x0 处的微分又可写成
d x
f(x) 在 (a,b)内任一点 x处的微分记为
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解,0201.0101.1)( 2222 ???????? xxxy
例 2 求函数 y=x2 在 x=1,01.0??x 时的改变量和微分。
于是
11
0, 0 1 0, 0 1
d 2 0, 0 2xx
xx
y x x??
? ? ? ?
? ? ?
面积的微分为 d 2,
rs s r r r??? ? ? ?
.)(2)( 222 rrrrrrs ????????? ????
解：面积的增量
面积的增量与微分．
r?当半径增大2rs ??例 3 半径为 r 的圆的面积 时，求
2d ( ) 2y x x x x?? ? ? ?在点 1?x 处，
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2.3.2 微分的几何意义
x?当自变量 x有增量 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增量
t a n ( ) dP x f x x y? ?? ? ? ? ? ?Q
(,)M x y
因此，微分 d ( )y f x x???
几何上表示当 x有增量 x? 时，曲线 ()y f x? 在对应点
处的切线的纵坐标的增量,y?用 dy 近似代替
dy y P N? ? ?就是用 QP近似代替 QN，并且
t a n ( )fx? ??
设函数 y = f (x)的图形如下图所示,过曲线 y = f (x)上一点
M(x,y)处作切线 MT,设 MT的倾角为 则,?
y?
()y f x?
M
N
O x
y
?
dy
x xx??
Q
P
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2.3.3 微分的运算法则
1,微分的基本公式：
( 1 ) d 0 ( )?CC 为 常 数
1( 2) d d ( ) aax a x x a?? 为 常 数
( 4) d e e dxx x?
1( 6 ) d ln dxx
x?
( 8 ) d c o s s in dx x x??
( 3) d l n d ( 0 1 )xxa a a x a,a? ? ?
11( 5 ) d lo g d ( 0 1 )
lna x x a,axa? ? ? ?
( 7 ) d s in c o s d x x x?
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2
1( 1 6 ) d a r c c o t d
1xx x?? ?
2
1( 1 4 ) d a r c c o s d
1
xx
x
??
?2
1( 1 3 ) dar c sin d
1
xx
x
?
?
2
1( 1 5 ) d a r c t a n d
1xx x? ?
2( 1 0) d c o t c s c dx x x??2( 9) d t a n s e dx x x?
( 1 2 ) d c s c c s c c o t dx x x x??( 1 1 ) d s e c s e c t a n dx x x x?
续前表
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2,微分的四则运算法则
设 u=u(x),v=v(x)均可微,则
d( ) d d ;u v u v? ? ?
d( ) d d ;u v v u u v??
d ( ) dC u C u? （ C 为常数）；
2
ddd u v u u v
v v
??? ?
????
0( ).v ?
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3．复合函数的微分法则
都是可导函数，则( ) ( )y f u u x???，设函数
的微分为)]([ xfy ??复合函数
? ?? ?d ( ) d ( ) ( ) dxy f x x f u x x??? ????
利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐
函数的微分,
这就是一阶微分形式不变性,
可见，若 y=f(u)可微，不论 u是自变量还是中间变量，
d ( ) dy f u u??总有
而 d ( ) du x x? ?? uufy d)(d ??于是
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解,)32(
322
1)32( 2
2
2 ??
?
???? x
x
xxydd
232
6
x
x
?
?
2
6d d,
23
xyx
x
?
?
解：对方程两边求导，得 04222 ?????? yyyxyx
)( xfy ?
dy的导数 ddyx 与微分
例 5 求由方程 122 22 ??? yxyx 所确定的隐函数
即导数为
xy
yxy
?
???
微分为 ddxyyx
yx
??
?
例 4,,32 2 y
x
yxy d
d
d 与求设 ??
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由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个
不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即
可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常
把函数的导数与微分的运算统称为微分法．
在高等数学中，把研究导数和微分的有关内
容称为微分学．
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2.3.4 微分在近似计算中的应用
0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x?? ? ? ? ? ? ? ?
或写成 0 0 0( ) ( ) ( ),f x x f x f x x?? ? ? ? ?（ 1）
上式中令 0
0 ??? xx
（ 2） 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ),f x f x f x x x?? ? ? ?
，则
特别地,当 x0=0,x 很小时,有
( ) ( 0) ( 0)f x f f x???（ 3）
公式 (1) (2) (3)可用来求函数 f(x)的近似值。
0( ) 0fx? ?
，且 x? 很小时，我们有近似公式
在 x0 点的导数()y f x?由微分的定义可知，当函数
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注,在求 )(xf 的近似值时，要选择适当的
0x
，使
)( 0xf, )( 0xf ? 容易求得，且
0xx ?
较小．
应用（ 3）式可以推得一些常用的近似公式,当
x 很小时,有
(1) xx ?sin （ ｘ 用弧度作单位）
(3) xe x ?? 1
(4) xx ?? )1ln ( (5)
xnxn 111 ???
(2) xx ?ta n (ｘ 用弧度作单位）
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例 6,46s i n 的近似值计算 ?
则
1 8 010
???? ?xx
解, 设,s in)( xxf ? 取 ?46?x,
4450
??? ?x
于是由（ 2）式得
).(coss i ns i n 000 xxxxx ????
719.01802 22 2 ???? ?
1804c o s4s i n46s i n
??? ????即
